直線的傾斜角和斜率教學(xué)案-高中數(shù)學(xué)

7.1直線的傾斜角和斜率

教學(xué)目標(biāo)

(1)了解直線方程的概念.

(2)正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直

線都存在斜率.

(3)理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.

(4)通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索

能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價(jià)能力.

(5)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)

學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)詼函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)-

步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向

或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)

過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①,節(jié)的基幅是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線，無論是建

立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線

的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)

鍵.

②本節(jié)的難點(diǎn)是對斜率概念的理解.學(xué)生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難

接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問題卻并不

容易接受.

2.教法建議

(1)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也

對應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相

應(yīng)的教學(xué)過程也有三個(gè)階段

①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義

這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

②本節(jié)的難點(diǎn)是對斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一

條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一

樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要

解決這些問題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是

傾斜角的正切，即直線方程(一次函數(shù)的形式，下同)中x的系數(shù)恰好就是直線

傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設(shè)計(jì)：

(1)a變化f直線變化f中的*系數(shù)：-變化(同時(shí)注意?的變

化).

(2),.匕中的工系數(shù)二變化一直線變化一a變化(同時(shí)注意總工的變

化).

運(yùn)用上述正反兩種變化的動態(tài)演示充分揭示直線方程中工系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)

系，這對幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.

③在進(jìn)行過兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識的聯(lián)系，課前要對平面向量,

三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.

④在學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直

線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對應(yīng)關(guān)系.為將來學(xué)習(xí)曲線方程做好準(zhǔn)備.

(2)本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評價(jià)的

教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭辯、交流、和評價(jià).傾斜角如何

定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交

流、評價(jià)中完成的.在此過程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題

情境，引發(fā)爭論，組織交流，參與評價(jià).

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

直線的傾斜角和斜率

教學(xué)目標(biāo)：

(1)了解直線方程的概念，正確理解宜線傾斜角和斜率概念，

(2)理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.

(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價(jià)能力.

(4)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式

教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法

教學(xué)過程：

(-)直線方程的概念

如圖1,對于一次函數(shù)和它的圖像一y=2x+l

直線J有下面關(guān)系：

(1)有序數(shù)對(0,1)滿足函數(shù)/.H+l,則直

線上就有一點(diǎn)它的坐標(biāo)是(0,1).

圖1

（2）反過來，直線上點(diǎn)以1,3）,則有序?qū)崝?shù)對（1,3）就滿足^"2z+1.

一般地，滿足函數(shù)式尸的每一對工，：一的值，都是直線上的點(diǎn)

的坐標(biāo)（工，；）；

反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（工，；）都滿足函數(shù)式因此,

圖2

一次函數(shù)A=h+A的圖象是條直線，它是以滿足的每一對x,

y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.

從方程的角度看，函數(shù)也可以看作是二元一次方程0,這樣滿

足一次函數(shù)/?匕*白的每一對工，了的值“變成了"二元一次方程）-后一0-0的解,

使方程和直線建立了聯(lián)系.

定義：以?個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上的所有點(diǎn)

坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條宜線就叫做這個(gè)方程

的直線.

以上定義改用集合表述：義，；的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作m.若（1）

cu=（2）7nc,則c-F.

問：你能用充要條件敘述嗎？

答：?條直線是個(gè)方程的直線，或者說這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….

（二）直線的傾斜角

【問題1】

請畫出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

JF-X+1.jr-2x*l.y-z+1

過定點(diǎn)，方向不同.

如何確定?條直線？

兩點(diǎn)確定一條直線.

還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？

學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

【導(dǎo)入】

今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

【問題2】

在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以

設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時(shí)還應(yīng)該是簡單的、自然的.

學(xué)生：展開討論.

學(xué)生討論過程中會有錯誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo).

通過討論認(rèn)為：應(yīng)選擇a角來刻畫直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識，表明一個(gè)方向可

以有無窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然

用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

【板書】

定義：一條直線1向上的方向與工軸的正方向所成的最小正角叫做直線’的傾斜角.

（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2）工軸的正方向，（3）最小正角.）

特別地，當(dāng),與工軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.

由此定義，角的范圍如何？

0°Wa<180°或0Wa<B如圖3

至此問題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.

（三）直線的斜率

【問題3】

下面我們在同一坐標(biāo)系中畫出過原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45。、135。的直線，并試

著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？

學(xué)生：在練習(xí)本上畫出直線，寫出方程.

也

30°■'=3*

45°?——>

135°?——>?**=-M

（注：學(xué)生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°

可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30。角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來解決.）

【演示動畫】

觀察宜線變化，傾斜角變化，直線方程中工系數(shù)變化的關(guān)系

（1）直線變化-a變化一尸.以中的工系數(shù)字變化（同時(shí)注意亞a的變化）.

（2）■匕中的x系數(shù)在變化一直線變化一a變化（同時(shí)注意但a的變化）.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與工的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中工的

系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！

【板書】

定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作之，即

這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫直線相對于工軸（正方向）傾斜程度的量一

傾斜角，現(xiàn)在我們又定義?個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫直線相對于工軸（正方向）傾斜程度的量

----斜率.

指出下列直線的傾斜角和斜率：

（1）=-電工（2）--="tg60°（3）=Xtg（-30。）

學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°：（2）60°；（3）150°（為什么不是-30°

呢？）

畫圖，指出傾斜角和斜率.

結(jié)合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.

93

圖4

注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.

a=0。<?一>上=0

0°<a<90"<——>=>0

a=90°<?一玲:不存在

900<a<180°<——>-■<0

（四）直線過兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)

【問題4】

如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義上=tga求出直線的斜率；

如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么

又怎么求出直線的斜率呢？

即已知兩點(diǎn)幺（小，%）、PAx>,M）（其中xHxz）,求直線的斜率.

思路分析：

首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo):

運(yùn)用正切定義，解決問題.

（1）正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）

（2）角a是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）

⑶如何把角a放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量片舄，使A與原點(diǎn)重合，得到新向量OP.）

⑷P的坐標(biāo)是多少？（毛-小，斤y）

（5）直線的斜率是多少？?=tga=（%中至）

（6）如果R和2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.

圖5

評價(jià)：注意公式中小片也，即直線4/2不垂直x軸.因此當(dāng)直線4月不垂直片軸時(shí)，由已

知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

【練習(xí)】

（D直線的傾斜角為a,則直線的斜率為*a?

（2）任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

（3）直線）'X依（-330。）的傾斜角和斜率分別是多少？

（4）求經(jīng)過兩點(diǎn)匚（0,0）、二（-1,湎）直線的傾斜角和斜率.

⑸課本第37頁練習(xí)第2、4題.

教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案(答案略).

【總結(jié)】

教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應(yīng)嗎？

(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？

學(xué)生邊討論邊總結(jié)：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)a=90。時(shí)，電a不存在.

⑶*=(*1=叼)，沒有.

【作業(yè)】

1.課本第37頁習(xí)題7.1第3、4、5題.

2.思考題

(1)方程*1是單位圓的方程嗎？

(2)你能說出過原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？

(3)你能說出過原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？

(4)你能說出過(1,1)點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？

板書設(shè)計(jì)

7.1直線的傾斜角和斜率三、直線的斜率練習(xí)

一、直線方程四、斜率公式小結(jié)

二、直線的傾斜角作業(yè)

擴(kuò)展資料

魔術(shù)師的地毯

?天，著名魔術(shù)大師秋先生拿了?塊長和寬都是1.3米的地毯去找地毯匠敬師傅，要求

把這塊正方形地毯改成0.8米寬2.1米長的矩形.敬師傅對秋先生說：“你這位大名鼎鼎的

魔術(shù)師，難道連小學(xué)算術(shù)都沒有學(xué)過嗎？邊長1.3米的正方形面積為1.69平方米，而寬0.8

米長2.1米的矩形面積只有1.68平方米，兩者并不相等?。〕遣萌?.01平方米，不然沒

法做.”秋先生拿出他事先畫好的兩張?jiān)O(shè)計(jì)圖，對敬師傅說：“你先照這張圖（圖1.2）的尺

寸把地毯裁成四塊，然后照另一張圖（圖1.3）的樣子把這四塊拼在一起縫好就行了.魔術(shù)大

師是從來不會錯的，你放心做吧！”敬師傅照著做了，縫好-量，果真是寬0.8米長2.1米.魔

術(shù)師拿著改好的地毯滿意地走了，而敬師傅卻還在納悶兒：這是怎么回事呢？那0.01平方米

的地毯到什么地方去了？你能幫敬師傅解開這個(gè)謎嗎？

圖1

過了幾個(gè)月，魔術(shù)師秋先生又拿來一塊地毯，長和寬都是1.2米，只

是上面燒了一個(gè)燒餅大?。s0.01平方米）的窟窿.秋先生要求敬師傅將

地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但長和寬仍舊是1.2米.敬師傅很為難，覺得

這位魔術(shù)大師的要求不合理，根本無法做到.秋先生又拿出了自己的設(shè)計(jì)

圖紙，要敬師傅按圖1.4的尺寸將地毯剪開，再按圖L5的樣子拼在一起

縫好.敬師傅照著做了，結(jié)果真的得到了?塊長和寬仍是L2米的地毯，

而原來的窟窿卻消失了.魔術(shù)師拿著補(bǔ)好的地毯得意洋洋地走了，而敬師

傅還在想，補(bǔ)那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里來的呢？你能幫敬師傅解開這個(gè)謎嗎？

你準(zhǔn)備如何著手去揭開魔術(shù)大秘密呢？通常的辦法是根據(jù)他給的尺寸按某個(gè)比例（例如

10：1）縮小，自己動手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，實(shí)際量一量，看看秘密藏在

什么地方.這種做模型（或做實(shí)驗(yàn)）的方法，是科技工作者和工程技術(shù)人員通常采用的方法.這

種方法要求操作和測量都非常精確，否則你就發(fā)現(xiàn)不了秘密.例如，按縮小后的尺寸，剪拼

前后面積差應(yīng)為1平方厘米，如果在你操作和測量過程中所產(chǎn)生的誤差就已經(jīng)大于1平方厘

米了，那么你怎能發(fā)現(xiàn)那1平方厘米的面積差出在什么地方呢？

數(shù)學(xué)工作者在研究和解決問題時(shí)，通常采用另一種方法一數(shù)學(xué)計(jì)算，即通過精細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算

來發(fā)現(xiàn)剪拼前后的面積差出在何處.

現(xiàn)在我們先來分析第一個(gè)魔術(shù)。

比較圖1.2和圖1.3將圖1.2中的四塊圖形分別記為I,II,HI,IV（圖1.6）,而將圖1.3

中相應(yīng)的四塊分別記為工，IT,皿'，IV'（圖1.7）.現(xiàn)在的問題是，圖1.6中的四塊

能否拼得像圖L7那樣“嚴(yán)絲合縫”、“不重不漏”？也就是說，圖1.7中所標(biāo)的各個(gè)尺寸

是否全都準(zhǔn)確無誤？例如圖1.7中的I為直角三角形￡DB,如果￡?■5時(shí)，點(diǎn)三是否

恰好落在矩形的對角線OB上？同樣，如果和.5時(shí)，點(diǎn)三是否恰好落在OB

上？讓我們通過計(jì)算來回答這個(gè)問題.

如圖1.8建立直角坐標(biāo)系，以0c所在直線為工軸，Q4所在直線為

軸，單位長度表示0.1米，于是有二（0,0）,二（0,21）,三（8,21）,

I：（8,0）,三（0,13）,2（5,13）,三（3,8）,三（8,8）.如

何判斷三和.二是否恰好落在直線OB上呢？一種辦法是±,三的坐標(biāo)代入

直線OB的方程，看是否滿足方程；另一種辦法是分別計(jì)算OE,QB,QG

的斜率，比較它們是否相等.下面用后種方法進(jìn)行討論.

圖8

〃8A.21138、21

設(shè)線段OS的斜率為*?,則有3,8.5.比較之，由38

>12

5得*at>?■>%?，即。國的斜角大于OB的斜角，OB的斜角又大于R的斜角,

可見三和二都不在對角線OB上，它們分別落在OB的兩側(cè)（圖1.8）：又由

21-81321-13_8

8-3T,8-53得禹即EBttOCf,

G8BOE可知將圖1.6中的四塊圖形按照圖1.7拼接時(shí)，在矩形對角線附近重疊了?個(gè)小

平行四邊形（圖1.8）.正是這一微小的重登導(dǎo)致面積減少，減少的正是這個(gè)重登的

21

_7——x

O<XM總的面積.記三（3,8）到對角線OB（8）的距離為^,

|2lx0.3+(?8)x叫Q.1

d

米,

畫■廊產(chǎn)玉并師米

SBE--2xAx|0fl|xrf-aoUlf

把面積僅為0.01平方米的地毯拉成對角線長為而行米（約2.247米）的極細(xì)長的平

行四邊形，在一個(gè)大矩形的對角線附近重疊了這么點(diǎn)點(diǎn)，當(dāng)然很難覺察出來，魔術(shù)大是由

正是利用了這?點(diǎn)蒙混過去，然而這?障眼法卻怎么也逃不過精細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算這?“火眼金

睛”.

如果我們把上述分割正方形和構(gòu)成矩形所涉及的四個(gè)數(shù)，從小到大排列起來，即

5,8,13,21,

這列數(shù)有什么規(guī)律呢？相鄰兩數(shù)之和，正好是緊跟著的第三個(gè)數(shù).按照這個(gè)規(guī)律，5前面

應(yīng)該是（8-5=）3,3前面應(yīng)是（5-3=）2,2前面應(yīng)是（3-2=）1,1前面應(yīng)是（2-1

=）1,21后面應(yīng)為（13+21=）34,34后面應(yīng)為（21+34=）55,等等，于是得到數(shù)列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是，它的任意相鄰三項(xiàng)中前兩項(xiàng)之和即為第三項(xiàng).我們稱這個(gè)數(shù)列為斐

波那契數(shù)列.魔術(shù)師的上述第?個(gè)地毯魔術(shù)中的四個(gè)數(shù)5,8,13,21只是斐波那契數(shù)列中的

一段，從該數(shù)列中任意取出其他相鄰的四個(gè)數(shù)，還能玩上述魔術(shù)嗎？為了使計(jì)算簡單一些，

我們?nèi)〕鰯?shù)字更小的一段3,5,8,13來試一試.把邊長為8的正方形按圖1.9分成四塊，

再拼成邊長為5和13的矩形（圖1.10）.

這時(shí)圖形的面積由圖1.9的64變成了圖1.10的65,憑空增加了1個(gè)單位面積.通過完

全類似的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)圖L10的尺寸是不合理的，實(shí)際上在矩形對角線附近，同樣會出現(xiàn)

一個(gè)小平行四邊形.不過這次不是一個(gè)重疊的平行四邊形，而一具平行四邊形空隙（圖

1.11）.這就是拼成的矩形比原來的下方形面積“增大”的秘密所在.

圖11

我們可以使用斐波那契數(shù)列的任何相鄰四項(xiàng)，來玩上述分割重拼的魔術(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，正

方形比重拼成的矩形，時(shí)而少一個(gè)單位面積，時(shí)而又多一個(gè)單位面積.這是因?yàn)橹仄磿r(shí)，在

矩形對角線附近，有時(shí)會重疊一個(gè)細(xì)長的平行四邊形（因此失去一個(gè)單位面積），有時(shí)又會

出現(xiàn)一個(gè)細(xì)長的平行四邊形空隙（因此多出一個(gè)單位面積）.面積何時(shí)變不，何時(shí)變大，有

沒有規(guī)律呢？

我們把斐波那契數(shù)列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

記為-1,%,-3,%,...

這里既T,鳥T,鳥4-3,鳴…，且具有遞推關(guān)系

號）

考察以縣為邊長的正方形面積與以耳7及凡?】為兩邊長的矩形面積之間的關(guān)系.隨著

':從小到大依次取2,3,4,5,我們得到

當(dāng)”-2時(shí)有P-1x2-1,即鳥■鳥遇T；

當(dāng)/1?3時(shí)有2：-1x3+1,即可'■馬,招?］；

當(dāng)，?4時(shí)有.-2x5-1，即用‘■鳥,用T.

當(dāng)“=5時(shí)有5|-3*814,即用‘■居,"?I：

從中我們發(fā)現(xiàn)，隨著之的奇偶變化，在上述關(guān)系式中，加1和減1交替出現(xiàn).對于數(shù)列

的第七項(xiàng)身，當(dāng)5■:是大于1的奇數(shù)時(shí)有E0%?%+】，此時(shí)正方形的面積比矩形小

1.寫成統(tǒng)一的表示式就是

原?%?%+（-/（?如，）

將斐波那契數(shù)列前后相鄰兩項(xiàng)的比，作成一個(gè)新的數(shù)列

112?5813

1,2,3,5,8,13,21,..

該數(shù)列的極限

Ji

ffl12

fan■吏二■0.618033…

一心2

是一個(gè)定數(shù)（無理數(shù)），這個(gè)數(shù)有很重要的應(yīng)用，而且還有一個(gè)非常好聽的名字，叫“黃金

分割比”.

相傳早在歐兒里得之前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus,約公元前400?前347）

提出并解決了下列按比例分線段的問題：“將線段分為不相等的兩段，使長段為全線段和短

段的比例中項(xiàng).”歐兒里得把它收入《兒何原本》之中，并稱它分線段為中外比.據(jù)說“黃

金分割”這個(gè)華貴的名字是中世紀(jì)著名畫家達(dá)?芬奇取的，從此就廣為留傳，直至今日.

AMMB

對于長度為；的線段空，使犯”的分點(diǎn)”稱為“黃金分割點(diǎn)”

^1*0.618

（圖1.12）.設(shè)AM-x,則22即

黃金分割比.從古希臘起直到今天，人們都認(rèn)為這種比例在造型藝術(shù)上具有很

高的美學(xué)價(jià)值.在所有矩形中，兩邊之比符合黃金分割比的矩形是最優(yōu)美的.難

怪口常生活中許多矩形用品和建筑中的矩形結(jié)構(gòu)，往往是按黃金分割比設(shè)計(jì)

的.甚至連人體自身的形體美，即最優(yōu)美的身段，也遵循著黃金分割比.據(jù)說

“維納斯”雕像以及世界著名藝術(shù)珍品中的女神像，她們身體的腰以下部分的

長度與整個(gè)身高的比，都近于0.618,于是人們就把這個(gè)比作為形體美的標(biāo)準(zhǔn).芭蕾舞女演員

腰以卜.部分的身長與身高之比，一般約在0.58左右，因此在她們翩翩起舞時(shí)，總是腳尖點(diǎn)地,

使腰以下部分的長度增長8?10厘米，以圖展示符合0.618身段比例的優(yōu)美體形（圖1.13）,

給觀眾以美的藝術(shù)享受.

黃金分割比不僅在藝術(shù)上，而且在工程技術(shù)上也有重要意義.工廠里廣泛使用的“優(yōu)選

法”，就是黃金分割比的?種應(yīng)用，因此有人干脆把優(yōu)選法稱為“0.618法”.

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，黃金分割比可用斐波那契數(shù)列中相鄰前后兩項(xiàng)的比作為近似值來代替.■:

越大，比值%越近似黃金分割比.

我們接著分析魔術(shù)師秋先生的第二個(gè)魔術(shù)，其秘密在哪里呢？補(bǔ)洞用的

那一小塊面積是從哪里來的呢？根據(jù)識破第個(gè)魔術(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們來考查拼

成新的無洞正方形的各個(gè)尺寸（圖L14）是否全都準(zhǔn)確無誤？這就要追查到

分割有洞正方形的各個(gè)尺寸（圖L15）是否全都準(zhǔn)確無誤碼？在圖1.15中

分割正方形四邊的尺寸是取定的，用不著懷疑.值得懷疑的是中間的那條分

割線WJF,它的尺寸可靠嗎？其中是正確的，“及

“OTF-10對嗎？

而它們正是新拼正方形兩邊上線段細(xì)）及8的尺寸.如圖1.15所示，分別以直線OR

和OP為工軸和：.軸建立坐標(biāo)系，于是有Q（0.7）,二（12,12）,7（7,0）,「

（7.3）,要得到W及”的長度，只須求出點(diǎn)二的坐標(biāo)即可.二是直線0s與直線

星.y-7

k的交點(diǎn).直線厚的方程是1212-7,即5xT2"84?O；直線nr的方程是

II

911OTF-9

X=7.兩方程聯(lián)立解得交點(diǎn)-的坐標(biāo)為（7,12）.于是得到12,因而

611

12.這就是說,在新拼正方形（圖1.14）中，左邊上的線段/B的長不是7而是12,

911

右邊上的線段您的長不是10而是12.這樣，新拼圖形的左邊&長為

9-H4-2-1111

12,右邊Cb長為1212,上下兩邊明.就F-12,因此新拼

12x11—

圖形不是邊長為12的正方形，而是一個(gè)12的長方形，比原來的有洞正方形稍微短了

—112^---?1

一點(diǎn)點(diǎn)（短1個(gè)單位長的12）.兩者的面積相差12（單位面積），而這正好等于

那個(gè)洞的面積.這個(gè)補(bǔ)洞的魔術(shù)之所以能夠成功，靠的就是兩者之差是一個(gè)很狹窄的細(xì)長條,

不易被人覺察，但在精確的數(shù)學(xué)計(jì)算面前，秘密馬上就被揭穿了.

我們也可以用平面幾何方法算出圖1.15中的線段W實(shí)際長多少.過二-作#S的平行

PS.MU|25

線交SR尸M（圖1.15）,則超82S?數(shù)AMS",于是有即5US,

MF-2—U^^ifT^ST-SM~9-2—-6—

得12,于是1212.

習(xí)題精選

右的傾斜角分別是4、kz、4,

(選擇題)如圖，若圖中直線’1、

()

&＜與＜與

第1題(A)(B)

備＜為

(C)⑻

2.(選擇題)直線/沿y軸正方向平移0個(gè)單位(0＞0,w-1),再沿x軸負(fù)方向平移0—1

個(gè)單位得直線r,若/與/'重合，則直線1的斜率為()

1-JRM-I

(A)M(B)M

MJS

(OI-?e(D)m-1

2

1

3.(填空題)已知/(x,-2),8(3,0),且?*-2,則產(chǎn)__.

X

A4.(填空題)若-萬〈矣＜0,則直線＞--方■的傾斜角為一.

x

2

5.(填空題)已知三點(diǎn)月(-2,3),6(3,-4m),＜7(-,而在同一條直線上,

第6題則實(shí)數(shù)m=____.

6.如圖，AABC為正三角形，N5F45°則三條直線相，必然的斜率：U-—,為6

7.四條直線八、h、A、h,它們的傾斜角之比依次為1：2：3：4,若心的斜率為4,求其

余三條直線的斜率.

答案：1.C；2.C；3.-1：4.2+2；5.2；6.2-￡；一1；2+招:

11324

7.3；7,7.

典型例題

例1判斷卜列命題是否正確:

①一條直線1一定是某個(gè)一次函數(shù)的圖像；

②一次函數(shù)/-H+A的圖像一定是一條不過原點(diǎn)的直線；

③如果一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是某?個(gè)方程的解，那么這個(gè)方程叫做這條直線的方

程；

④如果以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某一條直線上，那么這條直線叫做這個(gè)

方程的直線.

解：①不正確.直線*-2-0,不是一次函數(shù)；

②不正確.當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn).

③不正確.第一、三象限角的平分線上所有的點(diǎn)都是方程的解，但此

方程不是第一、三象限角平分線的方程

④不正確.以方程*(x20)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第?象限的角平分線上，但此直

線不是方程y■*(*20)的圖像.

說明：直線方程概念中的兩個(gè)條件缺一不可，它們和在一起構(gòu)成充要條件.

例2設(shè)直線的斜率為〃，且指出直線傾斜角。的范圍.

解a由己知得

???Eo.We聞喑T

直線的傾斜角的范圍是

例3已知兩點(diǎn)4(-3,4),8(3,2),過點(diǎn)尸(2,-1)的直線1與線段45有公共點(diǎn).

(1)求直線1的斜率的取值范圍.(2)求直線1的傾斜角的取值范圍.

分析：如圖1,為使直線1與線段49有公共點(diǎn)，則直線1的傾斜角應(yīng)

X介于直線期的傾斜角與直線處的傾斜角之間，所以，當(dāng)1的傾斜角小于

90°時(shí)，有C如；當(dāng)1的傾斜角大于90°時(shí)，則有

圖1解：如圖1,有分析知

4-(-1)

*?--3-2=-i,

2-17

3-2=3.

⑴樂4T或人3.

3<

(2)arctg3--4.

說明：學(xué)生常錯誤地寫成一1-%-3,原因是與傾斜角分不清或誤以為正切函數(shù)在［?*)

上單調(diào)遞增.

例4已知兩點(diǎn)4(-1,-5),8(3,-2),直線1的傾斜角是直線上片傾斜角的一半，求直

線1的斜率.

解1：設(shè)直線1的傾斜角為2,則直線她的傾斜角為22

-2-1-5)3

,**tg2q=上"-3-(-D=4

的a3

?1-電％=Z

化簡得3^2+8^25-3=0

解得tg含=3或tg就=-3

tg2經(jīng)=4>0

0°<2￡<90°,0°<繪<45°

tg*>0,故直線的斜率是3.

-2-(-5)3

解2：(思路要點(diǎn))根據(jù)tg2M=七”.3-「1)=:，且2S：為銳角，

-?■

二r

易得sin22=5和cos27=5,

1-cos2a工

進(jìn)一步有：tg二=疝12a=3.

說明：這里應(yīng)考慮角的取值范圍及函數(shù)值的取舍，解2計(jì)算更容易.

例5求經(jīng)過兩點(diǎn)加2,1),以例2)(〃三心的直線’的斜率，并求出其傾斜角及其取值范圍.

分析：斜率公式成立的條件是\“K，，所以應(yīng)先就"的值是否等于2進(jìn)行討論.

解：：當(dāng)爐2時(shí)，*1~*t~2

X

...直線/垂直于工軸，故其斜率不存在，此時(shí)，傾斜角2=2.

[

當(dāng)勿=2時(shí)，k=M-2

1X

當(dāng)m>2時(shí)，>>0此時(shí)?=arctg內(nèi)一2三(0,2)

tJT

當(dāng)rV2時(shí)，9Vo此時(shí)盆==+arctg1-2三(2,二)

說明：通過討論確定直線的斜率存在與不存在是解決直線斜率問題常用的方法.

<S**Ma

例6已知a、b、"都是正數(shù)，且。<5,試用解析法證明：b

證明：如圖2,

在坐標(biāo)平面上取點(diǎn)力（如向,B（a,份,

<S+Mb

圖2

則然的中點(diǎn)為C（2,）

顯然。1、OB、%的斜率滿足

aa

又-b,-b,*a'i.

a-t-Ma

所以A+mi>b

說明：本題與前邊不等式的證明聯(lián)系緊密，此處提供了一種新穎的證明，有助于學(xué)生對

解析法的理解.同時(shí)本題為構(gòu)造性證明，不易想到.事實(shí)上，把分式看成斜率是常用的方法.

7.2直線的方程

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線方

程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程.

（2）理解直線方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把握直線的方程.

（3）掌握直線方程各種形式之間的互化.

（4）通過直線方程一般式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、周密地分析、討論問題的能力.

（5）通過直線方程特殊式與一般式轉(zhuǎn)化的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)和辯證唯物主

義觀點(diǎn).

（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解直線斜率的意義和解析幾何的思想方法.

教學(xué)建議

1.教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

由直線方程的概念和直線斜率的概念導(dǎo)出直線方程的點(diǎn)斜式；由直線方程的點(diǎn)斜式分別

導(dǎo)出直線方程的斜截式和兩點(diǎn)式；再由兩點(diǎn)式導(dǎo)出截距式；最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線的一

殷武；同時(shí)一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式.

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①采,的基工是直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，以及根據(jù)具體條件求出直線的方

程.

解析幾何有兩項(xiàng)根本性的任務(wù)：一個(gè)是求曲線的方程；另一個(gè)就是用方程研究曲線.本

節(jié)內(nèi)容就是求直線的方程，因此是非常重要的內(nèi)容，它對以后學(xué)習(xí)用方程討論直線起著直接

的作用，同時(shí)也對曲線方程的學(xué)習(xí)起著重要的作用.

直線的點(diǎn)斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個(gè)方程，是后面幾種特殊形式的源

頭.學(xué)生對點(diǎn)斜式學(xué)習(xí)的效果將直接影響后繼知識的學(xué)習(xí).

②本節(jié)的難點(diǎn)是直線方程特殊形式的限制條件，直線方程的整體結(jié)構(gòu)，直線與二元一次

方程的關(guān)系證明.

2.教法建議

(1)教材中求直線方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程幾何特征明顯，但局

限性強(qiáng)：一般形式的方程無任何限制，但幾何特征不明顯.教學(xué)中各部分知識之間過渡要自

然流暢，不生硬.

(2)直線方程的一般式反映了直線方程各種形式之間的統(tǒng)一性，教學(xué)中應(yīng)充分揭示直線

方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線方程”打下基礎(chǔ).

直線一般式方程都是字母系數(shù)，在揭示這一概念深刻內(nèi)涵時(shí)\還需要進(jìn)行正反兩方面的

分析論證.教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)分析思路，還應(yīng)抓住這一有利時(shí)使學(xué)生學(xué)會嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的分類討論方

法，從而培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、辯證、周密地分析、討論問題的能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生邏輯

思維能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)

(3)在強(qiáng)調(diào)幾種形式互化時(shí)要向?qū)W生充分揭示各種形式的特點(diǎn)，它們的幾何特征，參數(shù)

的意義等，使學(xué)生明白為什么要轉(zhuǎn)化，并加深對各種形式的理解.

（4）教學(xué)中要使學(xué)生明白兩個(gè)獨(dú)立條件確定?條直線，如兩個(gè)點(diǎn)、一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向或

其他兩個(gè)獨(dú)立條件.兩點(diǎn)確定?條直線，這是學(xué)生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，

平面向量等理論中，直線或向量的方向是極其重要的要素，解析兒何中刻畫直線方向的量化

形式就是斜率.因此，直線方程的兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式在直線方程的幾種形式中占有很重要的地

位，而已知兩點(diǎn)可以求得斜率，所以點(diǎn)斜式又可推出兩點(diǎn)式（斜截式和截距式僅是它們的特

例），因此點(diǎn)斜式最重要.教學(xué)中應(yīng)突出點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式三個(gè)教學(xué)高潮.

求直線方程需要兩個(gè)獨(dú)立的條件，要依不同的兒何條件選用不同形式的方程.根據(jù)兩個(gè)

條件運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想求直線方程.

（5）注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線（也是曲線）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

的相應(yīng)坐標(biāo)，它是有向線段的數(shù)量，因而是一個(gè)實(shí)數(shù)；距離是線段的長度，是個(gè)正實(shí)數(shù)（或

非負(fù)實(shí)數(shù)）.

（6）本節(jié)中有不少與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)有關(guān)的問題，是函數(shù)、不等式、三角與直

線的重要知識交匯點(diǎn)之一，教學(xué)中要適當(dāng)選擇?些有關(guān)的問題指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜

合能力

（7）直線方程的理論在其他學(xué)科和生產(chǎn)生活實(shí)際中有大量的應(yīng)用.教學(xué)中注意聯(lián)系實(shí)際

和其它學(xué)科，教師要注意引導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和能力.

（8）本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握，

而不是僅停留在觀念上.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

直線方程的一般形式

教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握直線方程的一般形式，掌握直線方程幾種形式之間的互化.

（2）理解直線與二元一次方程的關(guān)系及其證明

（3）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)

一的觀點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線方程的一般式.直線與二元一次方程&?取°（三、三不

同時(shí)為0）的對應(yīng)關(guān)系及其證明.

教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法

教學(xué)過程：

下面給出教學(xué)實(shí)施過程設(shè)計(jì)的簡要思路：

教學(xué)設(shè)計(jì)思路：

（-）引入的設(shè)計(jì)

前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法，看卜面問題：

問：說出過點(diǎn)F（2,1）,斜率為2的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么？

答:直線方程是屬于二元一次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高

次數(shù)為—次

肯定學(xué)生回答，并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述.再看一個(gè)問題：

問：求出過點(diǎn)胭）的直線的方程，并觀察方程屬于哪-類，為什么？

答：直線方程是（或其它形式），也屬于二元一次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有

兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次.

肯定學(xué)生回答后強(qiáng)調(diào)“也是二元詼方程，都是因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為

一次”.

啟發(fā)：你在想什么（或你想到了什么）？誰來談?wù)?？各小組可以討論討論.

學(xué)生紛紛談出自己的想法，教師邊評價(jià)邊啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生的認(rèn)識統(tǒng)一到如下問題：

【問題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎？”

（二）本節(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計(jì)

這是本節(jié)課要解決的第一個(gè)問題，如何解決？自己先研究研究，也可以小組研究，確定

解決問題的思路.

學(xué)生或獨(dú)立研究，或合作研究，教師巡視指導(dǎo).

經(jīng)過一定時(shí)間的研究，教師組織開展集體討論.首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案：

思路一：…

思路二：…

教師組織評價(jià)，確定最優(yōu)方案（其它待課下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直線？的位置有兩種可能，即斜率今存在或不存在.

當(dāng)W存在時(shí)，直線I的截距上也-定存在，直線’的方程可表示為，?匕+5,它是二元一

次方程.

當(dāng)■之不存在時(shí)，直線『的方程可表示為“?句形式的方程，它是二元一次方程嗎？

學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生，逐步認(rèn)識到把它看成二元一次方程的合

理性：

平面直角坐標(biāo)系中直線左■■上點(diǎn)的坐標(biāo)形式，與其它直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)

別，根據(jù)直線方程的概念，方程*■勺解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形

如*.，的二元一次方程是合理的.

綜合兩種情況，我們得出如卜結(jié)論：

在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何?條直線，都有條表示這條直線的關(guān)于X、的二元

一次方程.

至此，我們的問題1就解決了.簡單點(diǎn)說就是：直線方程都是二元一次方程.而且這個(gè)方程

一定可以表示成）=—+白或的形式，準(zhǔn)確地說應(yīng)該是“要么形如>?而+?這樣，

要么形如這樣的方程”.

同學(xué)們注意：這樣表達(dá)起來是不是很啰嗦，能不能有一個(gè)更好的表達(dá)？

學(xué)生們不難得出：二者可以概括為統(tǒng)一的形式.

這樣上邊的結(jié)論可以表述如下：

在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何?條直線，都有一條表示這條直線的形如

AJU-BX+C-0（其中_■￡、M不同時(shí)為0）的二元一次方程.

啟發(fā)：任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得還有什么與之相關(guān)的問題呢？

【問題2】任何形如（其中土、三不同時(shí)為0）的二元一次方程都表

示一條直線嗎？

不難看出上邊的結(jié)論只是直線與方程相互關(guān)系的?個(gè)方面，這個(gè)問題是它的另一方面.這

是顯然的嗎？不是，因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究，得到明確的結(jié)論.那么如何研究呢？

師生共同討論，評價(jià)不同思路，達(dá)成共識：

回顧上邊解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路，即方程出+比+c?o

（其中二、￡不同時(shí)為0）系數(shù)三是否為0恰好對應(yīng)斜率占是否存在，即

A.C_

（1）當(dāng)8工0時(shí)，方程可化為：=~Bx-B

一—A一_C_

這是表示斜率為6、在線軸上的截距為6的直線.

（2）當(dāng)時(shí)，由于后、■?不同時(shí)為0,必有/,0,方程可化為

C

這表示?條與工軸垂直的直線.

因此，得到結(jié)論：

在平面直角坐標(biāo)系中，任何形如41+班（其中二、三不同時(shí)為O）的二元

一次方程都表示一條直線.

為方便，我們把4**a*C-°（其中-■￡、三不同時(shí)為0）稱作直線方程的一般式

是合理的.

【動畫演示】

演示“直線各參數(shù).gsp”文件，體會任何二元一次方程都表示一條直線.

至此，我們的第二個(gè)問題也圓滿解決，而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)問題其實(shí)是一個(gè)大問題

的兩個(gè)方面，這個(gè)大問題揭示了直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系，同時(shí)，直線方程的一般形

式是對直線特殊形式的抽象和概括，而且抽象的層次越高越簡潔，我們還體會到了特殊與一

般的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

（三）練習(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書和作、也等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)在此從略

擴(kuò)展資料

一次式

直線的方程

心.4x+c?0

是一次方程.它的左邊如+C是工、；?的一次式.為方便起見，常數(shù)U也看作是

一次式.

顯然，如果工的一次式在X./與X.巧（馬■巧）時(shí)取相同的值，那么0+C

必定是常數(shù)；（即？必定為零）.這一個(gè)簡單的事實(shí)有許多應(yīng)用.

例1求證等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩邊距離之和為定值.

解設(shè)底邊BC為工軸，腰AByAC的法線式為

-0

及

?0

并且從的內(nèi)部在這兩條直線的正側(cè).點(diǎn)F在線段BC上，它的坐標(biāo)為（工，0）.因

此，F(xiàn)到兩腰的距離之和為

4y―%*?,?,*+6（10.1）

是工的一次式.

由于當(dāng)F與g或匚重合時(shí)，（10.1）的值均為腰上的高士，所以（10.1）式是常數(shù)七.

注意點(diǎn)到直