人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2課后習(xí)題參考答案

新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)選修2—2第一章課后習(xí)題解答第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1變化率與導(dǎo)數(shù)練習(xí)(P6)在第3h和5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-1和3.它說明在第3h附近，原油溫度大約以1℃/h的速度下降；在第5h時(shí)，原油溫度大約以3℃/h的速率上升.練習(xí)(P8)練習(xí)(P9)函數(shù)根據(jù)圖象，估算出r(0.6)≈0.3,r'(1.2)≈0.2.說明：如果沒有信息技術(shù)，教師可以將此圖直接提供給學(xué)生，然后讓學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義估算兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).習(xí)題1.1A組(P10)所以，企業(yè)甲比企業(yè)乙治理的效率高.說明：平均變化率的應(yīng)用，體會(huì)平均變化率的內(nèi)涵.這說明運(yùn)動(dòng)員在t=1s附近以3.3m/s的速度下降.3、物體在第5s的瞬時(shí)速度就是函數(shù)s(t)在t=5時(shí)的導(dǎo)數(shù).因此，物體在第5s時(shí)的瞬時(shí)速度為10m/s,它在第5s的動(dòng)能4、設(shè)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為θ,時(shí)間為t,則θ=kt2(t>0).由題意可知，當(dāng)1=0.8時(shí)，0=2π.所以,于是。調(diào)遞增.同理可得，函數(shù)f(x)在x=-4,-2,0,2附近分別單調(diào)遞增，幾乎沒有3、由(1)的題意可知，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,-5)處的切線斜率為-1,所以此點(diǎn)可得(2)(3)某點(diǎn)處函數(shù)圖象的大致形狀.下面是一種參考答案.1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(2)y1=2e?;;(3)y'=10x?-6x;(4)y'=-3sinx-4cosx;(5)y'=-2e-*;(6)y1=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).8、(1)氨氣的散發(fā)速度A'(t)=500×ln0.834×0.834'.(2)A'(7)=-25.5,它表示氨氣在第7天左右時(shí)，以25.5克/天的速率減少，習(xí)題1.2B組(P19)就越來越逼近函數(shù)y=cosx(3)y=sinx的導(dǎo)數(shù)為y=cosx.2、當(dāng)y=0時(shí)，x=0.所以函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)P(0,0).所以，曲線在點(diǎn)P處的切線的方程為y=-x2、d'(t)=-4sint.所以，上午6:00時(shí)潮水的速度為-0.42m/h;上午9:00時(shí)潮水的速度為-0.63m/h;中午12:00時(shí)潮水的速度為-0.83m/h;下午6:00時(shí)潮水的速度為-1.24m/h.1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用練習(xí)(P26)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)>0,即x>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-2x+4單調(diào)遞增；注：圖象形狀不唯一.練習(xí)(P29)2、(1)因?yàn)閒(x)=6x2-x-2,所以f'(x)=12x-1.(2)因?yàn)閒(x)=x3-27x,所以f'(x)=3x2-27.令f'(x)=3x2-27=0,得x=±3.x3十00十單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增(3)因?yàn)閒(x)=6+12x-x3,所以f'(x)=12-3x2.令f'(x)=12-3x2=0,得x=±2.x2 0十0 單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減x1—0十0 單調(diào)遞減單調(diào)遞增2單調(diào)遞減(1)在[0,2]上，當(dāng)又由于,f(3)=15.因此，函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù).(4)因?yàn)閒(x)=x3+x2-x,所以f'(x)=3x2+2x-1.3、(1)圖略.(2)加速度等于0.(3)在x=x?處，函數(shù)y=f(x)有極大值；(4)在x=x?處，函數(shù)y=f(x)有極小值.5、(1)因?yàn)閒(x)=6x2+x+2,所以f'(x)=12x+1.(2)因?yàn)閒(x)=x3-12x,所以f'(x)=3x2-12.令f'(x)=3x2-12=0,得x=±2.X2十0—0十單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增得x=±2.x2十00十單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增x40十0—單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，函數(shù)f(x)=x3-12x在[-3,3]上的最大值和最小值分別為16,-16.(4)當(dāng)x=4時(shí)，f(x)有極大值，并且極大值為128.所以，函數(shù)f(x)=48x-x3在[-3,5]上1、(1)證明：設(shè)f(x)=sinx-x,x∈(0,π).因此f(x)=sinx-x<f(0)=0,x∈(0,π),即sinx<x,x∈(0,π).圖略(2)證明：設(shè)f(x)=x-x2,x∈(0,1).(3)證明：設(shè)f(x)=e2-1-x,x≠0.(4)證明：設(shè)f(x)=lnx-x,x>0.由(3)可知，e*>x+1>x,x>0.2、(1)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(2)因?yàn)閒(x)=ax3+bx2+cx+d,所以f'(x)=3ax2+2bx+c.減.1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1、設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為x,l-x,則這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為,9,兩個(gè)正方形的面積和為2、如圖所示，由于在邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片..四個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，所以無蓋方盒的底面為正方形，且邊長(zhǎng)為a-2x,高為x.(2)因?yàn)閂(x)=4x3-4ax2+a2x,所以V’(x)=12x2-8ax+a2令V'(x)=0,得(舍去),或因此，是函數(shù)V(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)時(shí)，無蓋方盒的容積最大.3、如圖，設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R則表面積S=2πRh+2πR2(第3題)所以，當(dāng)罐高與底面直徑相等時(shí)，所用材料最省.4、證明：由于這個(gè)結(jié)果說明，用n個(gè)數(shù)據(jù)的平均值這就是最小二乘法的基本原理.表示這個(gè)物體的長(zhǎng)度是合理5、設(shè)矩形的底寬為xm,則半圓的半徑為半圓的面積為矩形的面積為,矩形的另一邊長(zhǎng)為因此鐵絲的長(zhǎng)：,(負(fù)值舍去)是函數(shù)l(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).所以，當(dāng)?shù)讓挒闀r(shí)，所用材料最省，6、利潤(rùn)L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘單價(jià).由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn).令L'=0,即,q=84.,.,.1、設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)為x元，因此，x=350是函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為350元時(shí)，賓館利潤(rùn)最大.2、設(shè)銷售價(jià)為x元/件時(shí)，,是函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，銷售價(jià)為元/件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn).1.5定積分的概念練習(xí)(P42)說明：進(jìn)一步熟悉求曲邊梯形面積的方法和步驟，體會(huì)“以直代曲”和“逼近”的思想.練習(xí)(P45)說明：進(jìn)一步體會(huì)“以不變代變”和“逼近”的思想.說明：進(jìn)一步體會(huì)“以不變代變”和“逼近”的思想，熟悉求變速直線運(yùn)動(dòng)物體路程的方法和步驟.說明：進(jìn)一步熟悉定積分的定義和幾何意積S=4.習(xí)題1.5A組(P50)說明：體會(huì)通過分割、近似替換、求和得到定積分的近似值的方法.2、距離的不足近似值為：18×1+12×1+7×1+3×1+0×1=40(m);距離的過剩近似值為：27×1+18×1+12×1+7×1+3×1=67(m)從而說明：進(jìn)一步熟悉定積分的概念.4、根據(jù)定積分的幾何意義，表示由直線x=0,x=1,y=0以及曲線由于在區(qū)間[-1,0]上x3≤0,所以定積分表示由直線x=0,x=-1,y=0和曲線y=x3所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).(2)根據(jù)定積分的性質(zhì)，得等于位于x軸等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.(3)根據(jù)定積分的性質(zhì)，得上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.說明：在(3)中，由于x3在區(qū)間[-1,0]上是非正的，在區(qū)間[0,2]上是非負(fù)的，如果直接利用定義把區(qū)間[-1,2]分成n等份來求這個(gè)定積分，那么和式中既有正項(xiàng)又有負(fù)項(xiàng)，而且無法抵擋一些項(xiàng)，求和會(huì)非常麻煩.利用性質(zhì)3可以將定積分為,這樣，x3在區(qū)間[-1,0]和區(qū)間[0,2]上的符號(hào)都是不變的，再利用定積分的定義，容易求出,進(jìn)而得到定積分的值.由此可用定積分的定義，容易求出,見，利用定積分的性質(zhì)可以化簡(jiǎn)運(yùn)算.在(2)(3)中，被積函數(shù)在積分區(qū)間上的函數(shù)值有正有負(fù)，通過練習(xí)進(jìn)一步體會(huì)定積分的幾何意義.習(xí)題1.5B組(P50)1、該物體在t=0到t=6(單位：s)之間走過的路程大約為145m.說明：根據(jù)定積分的幾何意義，通過估算曲邊梯形內(nèi)包含單位正方形的個(gè)數(shù)來估計(jì)物體走過的路程.(2)過剩近似值：3、(1)分割,記第i個(gè)區(qū)間為,(2)近似代替的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于任意一點(diǎn)處的函數(shù)值p(ξ)=5;2.于是，細(xì)棒在小段上質(zhì)量(3)求和(4)取極限1.6微積分基本定理練習(xí)(P55);;(6)e2-e-2ln2.表述為：位于x軸上方的兩個(gè)曲邊梯形的面積(取正值)與x軸下方的曲邊梯形的面積(取負(fù)值)的代數(shù)和.(2)由題意得49t+245e?2'-245=5000.,時(shí)，O<e?2'<1,從而5000<49t<5245,,所以，1.24×10?<245e-02'<3.36×10-7.1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用練習(xí)(P58)說明：進(jìn)一步熟悉應(yīng)用定積分求平面圖形的面積的方法與求解過程.3、令v(t)=0,即40-10t=0.解得t=4.即第4s時(shí)物體達(dá)到最大高度.4、設(shè)ts后兩物體相遇，則解之得t=5.即A,B兩物體5s后相遇.此時(shí)，物體A離出發(fā)地的距離為5、由F=kl,得10=0.01k.解之得k=1000.解之得t=10.因此，火車經(jīng)過10s后完全停止.習(xí)題1.7B組(P60)(第1(2)題)y=x所圍成的圖形(如圖所示)的面積，方程為y=ax2,則,所以.得曲線y=x2+2與曲線y=3x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x;=1,x?=21、(1)3;(2)y=-4.(2)y1=3(x-2)2(3x+1)(5x-表明在3℃附近時(shí)，紅茶溫度約以4℃/min的速度下降.圖略.:得p=-2.又因?yàn)閒(1)=1-2+q=4,所以q=5.xC十0—0十單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增8、設(shè)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)時(shí)，△AOB的面積最小.因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)A(a,0),P(1,1),所以直線AB因此，△AOB的面積x2 0十單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增V=V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,0<x<1.6所以，(舍去),或x=1.所以，當(dāng)長(zhǎng)方體容器的高為1m時(shí)，容器最大，最大容器為1.8m3.旅行社費(fèi)用為y=f(x)=(100+x)(1000-5x)=-5x2+500+100000(O≤x≤80).又f(0)=100000,f(80)=108000,f(50)=112500.所以，當(dāng)旅游團(tuán)人數(shù)為150時(shí)，可使旅行社收費(fèi)最多.因?yàn)榇蛴〖埖拿娣e為623.7,長(zhǎng)為x,所以寬為5.08<x<98.38.令S'(x)=0,即,x≈22.36(負(fù)值含去),x=22.36是函數(shù)S(x)在(5.08,98.38)內(nèi)唯一極值點(diǎn)，且為極大值，從而是最大值所以，打印紙的長(zhǎng)、寬分別約為27.89cm,22.36cm時(shí)，可使其打印面積最大.13、設(shè)每年養(yǎng)q頭豬時(shí)，總利潤(rùn)為y元.q=300是函數(shù)y(p)在(0,400)內(nèi)唯一極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，從而是最大值點(diǎn).所以，每年養(yǎng)300頭豬時(shí)，可使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為25000元.說明：利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性、定積分的幾何意義進(jìn)行解釋.17、由F=kl,得0.049=0.01k.解之得k=4.9.所做的功為第一章復(fù)習(xí)參考題B組(P66)1、(1)b'(t)=10?-2×103t.所以，細(xì)菌在t=5與t=10時(shí)的瞬時(shí)速度分別為0和2、設(shè)扇形的半徑為r,中心角為α弧度時(shí)，扇形的面積為S.。,此時(shí)α為2弧度.內(nèi)唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，從而是最大值點(diǎn).所以，扇形的半徑為中心角為2弧度時(shí)，扇形的面積最大.3、設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,那么r2+h2=R2..容易知道，R是函數(shù)V(h)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)R時(shí)，容積最大.把,得所以，圓心角為時(shí)，容積最大設(shè)船速為xkm/h時(shí)，總費(fèi)用為y,!容易知道，x=24是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).所以，船速約為24km/h時(shí)，總費(fèi)用最少，此時(shí)每小時(shí)費(fèi)用約為941元.容易得到，x≈53是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).因此，當(dāng)x≈53時(shí)，行車總費(fèi)用最少.所以，最經(jīng)濟(jì)的車速約為53km/h;如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用約是114元.拋物線與x軸所圍圖形的面由此求出k的值.但計(jì)算較為煩瑣.新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)選修2—2第二章課后習(xí)題解答第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2、F+V=E+2.2"-1>(n+1)2(n∈N*).因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，又因?yàn)锳D//BE,AB//DE.所以四邊形ABED是平行四邊形.少少因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等.又因?yàn)樗倪呅蜛BED是平行四邊形.所以AB=DE.因?yàn)榕c同一條線段等長(zhǎng)的兩條線段的長(zhǎng)度相等，又因?yàn)锳B=DE,AB=DC,所以DE=DC因?yàn)榈妊切蔚膬傻捉鞘窍嗟鹊?因?yàn)槠叫芯€的同位角相等因?yàn)榈扔谕堑膬蓚€(gè)角是相等的，,2.2直接證明與間接證明練習(xí)(P89)所以∠B=∠C3、因?yàn)?a2-b2)2=(a-b)2(a+b)2=(2sina)2(2tana)2=16sin2atan2a,從而(a2-b2)2=16ab,所以，命題成立.說明：進(jìn)一步熟悉運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)命題的思考過程與特點(diǎn).練習(xí)(P91)1、假設(shè)∠B不是銳角，則∠B≥90°.因此∠C+∠B≥90°+90°=180°.這與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾.所以，假設(shè)不成立.從而，∠B一定是銳角.所以(2√3)2=(√2+√5)2,化簡(jiǎn)得5=2√10,從而52=(2√10)2,即25=40,這是不可能的.所以，假設(shè)不成立.說明：進(jìn)一步熟悉運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的思考過程與特點(diǎn)1、由于a≠0,因此方程至少有一個(gè)跟假設(shè)方程不止一個(gè)根，則至少有兩個(gè)根，不妨設(shè)x,x,是它的兩個(gè)不同的根，假設(shè)1-tanAtanB=0,則所以cos(A+B)=0因?yàn)锳,B都是銳角，所以O(shè)<A+B<π,從而與已知矛盾.因此1-tanAtanB≠0.①式變形得即tan(A+B)=1.說明：本題也可以把綜合法和分析法綜合使用完成證明.3、因?yàn)樗?+2tana=0,從而2sina+cosa=0.另一方面，要證3sin2a=-4cos2a,只要證6sinacosα=-4(cos2α-sin2a)即證2sin2a-3sinacosa-2cos2a=0,由2sina+cosa=0可得，(2sina+cosa)(sinα-2cosa)=0,于是命題得證.說明：本題可以單獨(dú)使用綜合法或分析法進(jìn)行證明，但把綜合法和分析法結(jié)合使用從而這與矛盾.由①②,得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc,4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc,即證3[sin(a+β)cosα-cos(a+β)sinα]=sin(a+β)cosa+cos(a+β)sina所以，命題成立.說明：用綜合法和分析法證明命題時(shí)，經(jīng)常需要把兩者結(jié)合起來使用.2.3數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)(P95)(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a,右邊=α?+(1-1)d=a因此，左邊=右邊.所以，當(dāng)n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即a?=q?+(k-1)d.那么,a=a+d=a?+(k-1)d+d=a?+[(k+1)-1]d.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.根據(jù)(1)和(2),可知命題對(duì)任何n∈N*都成立.再證明：該數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是因此，左邊=右邊.所以，當(dāng)n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即那么,所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.根據(jù)(1)和(2),可知命題對(duì)任何n∈N*都成立.1、(1)略.(2)證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=12=1,因此，左邊=右邊.所以，當(dāng)n=1時(shí)，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2.那么,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2.根據(jù)①和②,可知等式對(duì)任何n∈N*都成立.(3)略.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.,因此，左邊=右邊.所以，當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即那么,所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.,因此，左邊=右邊.所以，當(dāng)n=1時(shí)，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，那么,1×(k+1)+2×[(k+1)-1]+3×[(k+1)-2]+…+(k+1)×1.=[1×k+2×(k-1)+3×(k-2)+…+k×1]+[1+2+3+…+(k+1)]所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何n∈N*都成立.第二章復(fù)習(xí)參考題A組(P98)1、圖略，共有n(n-1)+1(n∈N*)個(gè)圓圈.4、運(yùn)算的結(jié)果總等于1.5、如圖，設(shè)O是四面體A-BCD內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO,BO,CO,DO并延長(zhǎng)交對(duì)面于A',B',C',D',則用“體積法”證明：(第5題),所以變形即得①式.所以，命題得證.7、證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=-1,右邊=(-1)'×1=-1,因此，左邊=右邊.所以，當(dāng)n=1時(shí)，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即-1+3-5+…+(-1)(2k-1)=(-1)^k.那么,-1+3-5+…+(-1)^(2k-1)+(-1)+|[2(k+1)-1].=(-1)^k+(-1)^*[2(k+1)-1]根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何n∈N*都成立.第二章復(fù)習(xí)參考題B組(P47)(3)最多將圓分割成①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，部分所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)①和②,可知結(jié)論對(duì)任何n∈N*都成立.=1-8sin2βcos2β-4×(1-8sin2a=1-8sin2β(1-sin2β)-4×[1-8sin2a(1-sin2只需證1-8sin2β(1-sin2β)-4×[1-8sin2a(1-sin2a)]=3=-3-8sinθcosθ(1-sinθcosθ)+32sin2a(1-sin2a)=-3-8sinθcosθ+8sin2θcos2θ+2(1+2sinθcosθ)(3-2sinθcosθ)=-3-8sinθcosθ+8sin2θcos2θ+6-8sin2θcos2θ+8sinθcos0新課程標(biāo)準(zhǔn)