高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.2.3空間的角的計(jì)算省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

第3章3.2空間向量應(yīng)用3.2.3空間角計(jì)算1/381.了解直線與平面所成角概念.2.能夠利用向量方法處理線線、線面、面面夾角問(wèn)題.3.掌握用空間向量處理立體幾何問(wèn)題基本步驟.學(xué)習(xí)目標(biāo)2/38知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾欄目索引3/38知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一兩條異面直線所成角(1)定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成銳角(或直角)叫做a與b所成角.(2)范圍：兩條異面直線所成角θ取值范圍是(3)向量求法：設(shè)直線a，b方向向量分別為a，b，其夾角為φ，則a，b所成角余弦值為cosθ＝|cosφ|＝.4/38(1)定義：直線和平面所成角，是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)射影所成角.(2)范圍：直線和平面所成角θ取值范圍是0≤θ≤.(3)向量求法：設(shè)直線l方向向量為a，平面法向量為u，直線與平面所成角為θ，a與u夾角為φ，則有知識(shí)點(diǎn)二直線與平面所成角5/38知識(shí)點(diǎn)三二面角(1)二面角取值范圍：[0，π].(2)二面角向量求法：①若AB，CD分別是二面角α-l-β兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直異面直線(垂足分別為A，C)，如圖，則二面角大小就是向量

與

夾角.②設(shè)n1、n2是二面角α-l-β兩個(gè)面α，β法向量，則向量n1與向量n2夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角平面角大小.返回6/38例1

如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC中點(diǎn).求異面直線A1B與C1D所成角余弦值.題型探究重點(diǎn)突破題型一兩條異面直線所成角向量求法解析答案反思與感悟7/38解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1為x，y，z軸建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，反思與感悟則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，8/38建立空間直角坐標(biāo)系要充分利用題目中垂直關(guān)系；利用向量法求兩異面直線所成角計(jì)算思緒簡(jiǎn)便，要注意角范圍.反思與感悟9/38跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB上動(dòng)點(diǎn).若異面直線AD1與EC所成角為60°，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E位置.解析答案10/38解以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所表示.設(shè)E(1，t,0)(0≤t≤2)，所以t＝1，所以點(diǎn)E位置是AB中點(diǎn).11/38題型二直線與平面所成角向量求法解析答案反思與感悟12/38解析答案反思與感悟解建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面AMC1法向量為n＝(x，y，z).13/38反思與感悟設(shè)BC1與平面AMC1所成角為θ，14/38借助于向量求線面角關(guān)鍵在于確定直線方向向量和平面法向量，一定要注意向量夾角與線面角區(qū)分和聯(lián)絡(luò).反思與感悟15/38跟蹤訓(xùn)練2

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC中點(diǎn).解析答案(1)證實(shí)MN∥平面PAB；16/38又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.17/38解析答案(2)求直線AN與平面PMN所成角正弦值.(2)解取BC中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，18/38設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN法向量，則19/38例3

如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求證：BF⊥平面ACFD；題型三二面角向量求法解析答案(1)證實(shí)延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所表示.20/38因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以，AC⊥平面BCK，所以BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK中點(diǎn)，則BF⊥CK，且CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD.反思與感悟21/38解析答案(2)求二面角B－AD－F平面角余弦值.反思與感悟(2)解如圖，延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，則△BCK為等邊三角形.取BC中點(diǎn)O，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OK方向?yàn)閤，z正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.22/38反思與感悟設(shè)平面ACK法向量為m＝(x1，y1，z1)，平面ABK法向量為n＝(x2，y2，z2).23/38反思與感悟24/38設(shè)n1，n2分別是平面α，β法向量，則向量n1與n2夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面所成角大小，如圖.反思與感悟用坐標(biāo)法解題步驟以下：(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系.(2)求法向量：在建立空間直角坐標(biāo)系下求兩個(gè)面法向量n1，n2.(3)計(jì)算：求n1與n2所成銳角θ，cosθ＝ .(4)定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.25/38跟蹤訓(xùn)練3

在如圖所表示圓臺(tái)中，AC是下底面圓O直徑，EF是上底面圓O′直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)一條母線.解析答案返回26/38(1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；解析答案(1)證實(shí)設(shè)FC中點(diǎn)為I，連接GI，HI，在△CEF中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CE中點(diǎn)，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因?yàn)镠是FB中點(diǎn)，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因?yàn)镚H?平面GHI，所以GH∥平面ABC.27/38解析答案(2)連接OO′，則OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圓O直徑，所以BO⊥AC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系O－xyz.28/38返回設(shè)m＝(x，y，z)是平面BCF一個(gè)法向量.29/38返回因?yàn)槠矫鍭BC一個(gè)法向量n＝(0，0，1)，30/38當(dāng)堂檢測(cè)123451.已知向量m，n分別是直線l和平面α方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－

，則直線l與平面α所成角為_(kāi)_______.解析答案30°31/38123452.已知兩平面法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成二面角大小為_(kāi)_______________.∴二面角大小為45°或135°.45°或135°解析答案32/3812345解析答案33/38解析建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系，即AB1與C1B所成角大小為90°.答案90°1234534/38123454.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角余弦值為_(kāi)___.解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，建系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).解析答案35/38123455.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1C所成角余