高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(文科) (一)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章——集合與簡(jiǎn)易邏輯

集合——知識(shí)點(diǎn)歸納己

定義：一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合.

特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

表示法：列舉法{1,2,3,…}、描述法{xIP卜韋恩圖

分類(lèi)：有限集、無(wú)限集

數(shù)集：自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N*、空集3

關(guān)系：屬于G、不屬于￡、包含于g(或u)、真包含于三、集合相等=.

運(yùn)算：交運(yùn)算ACB={xlxGA且xGB}；

并運(yùn)算AUB={xlxGA或xGB);

補(bǔ)運(yùn)算G/A={xlxeA且xGU},U為全集

性質(zhì)：AcA；<l>cA；若AqB,BcC,則AqC；

APIA=AUA=A；AD6=6；AU<|>=A；

ACB=AOAUB=B=AqB：

AnCyA=4)；AUCyA=I；C(7(Ct7A)=A；

C"(AuB)=(CuA)n(CuB)

方法：韋恩示意圖，數(shù)軸分析.

注意：①區(qū)別G與生、五與之、a與{a}、4)與{?}、{(1,2)}與{1,2}；

②A=B時(shí)，A有兩種情況：A=6與

③若集合A中有n(〃eN)個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為2",所有真子集的個(gè)數(shù)是2"-1,所有

非空真子集的個(gè)數(shù)是2"-2.

④區(qū)分集合中元素的形式:i\\A={x\y=x2+2x+l};B={y\y=x2+2x+l};C={(x,y)Iy=x?+2x+1}；

D={x\x=x2+2A+1);E={(x,y)Iy=x?+2x+l,xeZ,yeZ};F={(x,y")\y=x'+2x+\];

G={z\y=x2+2x+\,z=—}-

x

⑤空集是指不含任何元素的集合.{0}、”和{0}的區(qū)別；。與三者間的關(guān)系.空集是任何集合的子集，是任何非空

集合的真子集條件為A￡B,在討論的忖候不要遺忘了A=</>的情況

⑥符號(hào)“e,e”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線(xiàn)(面)的關(guān)系；符號(hào)“0,<Z”是

表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(xiàn)(面)的關(guān)系。

絕對(duì)值不等式——知識(shí)點(diǎn)歸納：

1。絕對(duì)值不等式2

忖<Q與忖>a(a>0)型不等式\ax+<c與同+.>c(c>0)型不等式的解法與解集:

不等式W<a(a>0)的解集是｛乂一〃<x<a]\

不等式W>a(a>0)的解集是卜卜>。，或x<-a]

不等式+b\<c(c>0)的解集為｛xI-c<ax+b<c｝(c>0);

不等式版+b|>c(c>0)的解集為｛x\ax^b<-c,^ax+/?>c\c>0)

2a解一元一次不等式ax>b(aW0)

①Q(mào)〉0,〈尢x>—>②〃—>

a]a

3?韋達(dá)定理：

方程。12+6工+。=0(。。0)的二實(shí)根為七、x2,

h

尤]+X?——

則△=/—4ac20且|'a

X-￡

A1xA2一

Ia

A>0

①兩個(gè)正根，則需滿(mǎn)足<X|+》2>。，

xtx2>0

A>0

②兩個(gè)負(fù)根，則需滿(mǎn)足<x,+x2<0.

X]X2>0

fA>0

③一正根和一負(fù)根，則需滿(mǎn)足1

xix2<0

4.一元二次不等式的解法步驟.

對(duì)于一元二次不等式ax2+bx+c>0i^ax2+bx+c<0(a>0)，設(shè)相應(yīng)的一元二次方程

利2+/+。=0(?！?)的兩根為林々且玉<々，△=〃—4ac,則不等式的解的各種情況如下表：

A>0A=0A<0

222

y=Gc+Z?x+cy=ax+bx+cy=ax+bx+c

二次函數(shù)

V

y=ax2+Ox+c

(a>0)的圖象[1\)/

x。X2X

°|xi=X2X—

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+/?x+c=0b無(wú)實(shí)根

Xi，%*]<X)…=-五

(a〉0的根2

ax2+fex+c>0b、

<xx^---->R

(a>0)的解集2a

ax2+"+c<0

<x<x}

200

(〃>0)的解集

方程的根一函數(shù)草圖一觀察得解，對(duì)于a<0的情況可以化為?！?的情況解決.

注意：含參數(shù)的不等式ax2+bx+c>0恒成立問(wèn)題。含參不等式ax2+bx+c>0的解集是R；其解答分a=

0(驗(yàn)證bx+c>0是否恒成立)、aWO(a<0且△〈())兩種情況

簡(jiǎn)易邏輯——知識(shí)點(diǎn)歸納己

命題a可以判斷真假的語(yǔ)句：

邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非；

簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；

復(fù)合命題8由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命版

三種形式：p或q、p且q、非p

真假判斷：p或q,同假為假，否則為真；

p且q,同真為真，否則為假；

非P，真假相反

原命題8若p則q；逆命題：若q則p：否命題：若rp則rq；逆否命題：若「q則』p：互為逆否的兩個(gè)命題是等

價(jià)的.

反證法步驟8假設(shè)結(jié)論不成立一推出矛盾-*假設(shè)不成立■

充要條件：條件p成立=>結(jié)論q成立，則稱(chēng)條件p是結(jié)論q的充分條件，

結(jié)論q成立=條件p成立，則稱(chēng)條件p是結(jié)論q的必要條件，

條件p成立=結(jié)論q成立，則稱(chēng)條件p是結(jié)論q的充要條件，

第二章——函數(shù)

函數(shù)定義——知識(shí)點(diǎn)歸納8

1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,在集

合8中都有唯一確定的數(shù)/（無(wú)）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)九4一8為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)，記作），4（x）,xG

A,其中x叫做自變量”的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合，

（x）NG4｝叫做函數(shù)的值域.

Z兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域4、值域C和對(duì)應(yīng)法則/當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到

值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩

個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。

3』央射的定義：一般地，設(shè)4、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系力對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集

合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么，這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B,以及集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系/）叫做集

合A到集合B的映射，記作fA-B。

由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類(lèi)特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集.

4映射的概念中象、原象的理解：（1）A中每一個(gè)元素都有象;（2）B中每一個(gè)元素不一定都有原象，不一定只??個(gè)

原象；（3）A中每一個(gè)元素的象唯一.

函數(shù)解析式——知識(shí)點(diǎn)歸納3

函數(shù)的三種表示法

（1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析

式.

（2）列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系。

（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

2,求函數(shù)解析式的題型有：

（1）已知函數(shù)類(lèi)型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；

（2）已知/（x）求/［g（x）］或已知〃g（x）］求/（x）：換元法、配湊法;

（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；

（4）/*）滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除/（x）外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式解方程組法；

（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等

題型講解

例1（1）已知/（犬+,）=》3+二，求/（x）；

XX'

(2)已知/(2+l)=lgx,求/(x)；

X

(3)已知/(x)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3/。+1)—2/(x—l)=2x+17,求/(x)；

(4)已知/(x)滿(mǎn)足2/(x)+/(』)=3x,求/(X)、

x

解⑴V/U+-)=x3=(x+-)3-3(%+-),

XXXX

/./(x)=x3-3x(xN2或工<-2)。

(2)令2+1=，(r>1),

x

222

則工=—7，，/?)=恒—7，，/(x)=lg---7(x>l)。

t-1t-1x-\

(3)設(shè)/(x)=〃x+b(a+0),

則3/(x+l)-2/(x-l)=3ax+3〃+3/?-lax+2a—2Z?

=〃X+/?+5Q=2x+17,

a=2,0=7,f(x)=2x4-7.

(4)2/(x)+/(—)=3x①，

x

113

把①中的x換成一，得2/(一)+/(幻=一②，

XXX

31

①x2-②得3/(x)=61——，,/(x)=2x——。

XX

注：第(1)題用配湊法；第(2)題用換元法；第(3)題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第(4)題用方程組法

定義域和值域——知識(shí)點(diǎn)歸納：

由給定函數(shù)解析式求其定義域這類(lèi)問(wèn)題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍。它依賴(lài)于對(duì)各種式

的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練

1。求函數(shù)解析式的題型有：

(1)已知函數(shù)類(lèi)型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；

(2)已知求〃g(x)］或已知〃g(x)］求/(x)：換元法、配湊法;

(3)已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；

(4)/(x)滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除了。)外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法；

(5)應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等0

2,求函數(shù)定義域一般有三類(lèi)問(wèn)題：

(1)給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；

(2)實(shí)際問(wèn)題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題有意義;

(3)已知/(x)的定義域求〃g(x)]的定義域或已知/[g(x)]的定義域求/(x)的定義域：

①掌握基本初等函數(shù)(尤其是分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))的定義域；

②若已知/(x)的定義域,其復(fù)合函數(shù)/加(切的定義域應(yīng)山a<g(x)<b解出.

3。求函數(shù)值域的各種方法

函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的.其類(lèi)型依解析式的特點(diǎn)分可分三類(lèi)：(1)求常見(jiàn)函數(shù)值域；(2)

求山常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見(jiàn)函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域

①直接法：利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求

一次函數(shù)y=ax+b(aH0)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽：

反比例函數(shù)y=々攵w0)的定義域?yàn)椋鹸lx#0｝,值域?yàn)椋鹹ly*0｝：

X

二次函數(shù)f(x)=ax2+/?x+c(aw0)的定義域?yàn)镽,

當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋鹹[y*幽二Q｝；

4。

當(dāng)avO時(shí)，值域?yàn)椋鹠一〃)｝.

4。

②配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如：/(x)=ax2+bx+c,x&

的形式；

③分式轉(zhuǎn)化法(或改為“分離常數(shù)法”)

④換元法:通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域：

⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如：y=x+-(^>0),利用平均值不等式公式來(lái)求值域；

x

⑦單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域

⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域.

⑨逆求法(反求法):通過(guò)反解，用y來(lái)表示x,再由x的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取值范圍；

常用來(lái)解，型如：y=e(〃?,〃)

cx+d

單調(diào)性——知識(shí)點(diǎn)歸納己

1,函數(shù)單調(diào)性的定義：

Z證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法：

①定義法：設(shè)X1,X2€A且X]<x2;作差/(西)-/(%2)(?般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式的乘積，且每一個(gè)因式的

正或負(fù)號(hào)能清楚地判斷出)；判斷正負(fù)號(hào).

②用導(dǎo)數(shù)證明：若/(x)在某個(gè)區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則/'(X)2O,(xwA)

=/(x)在A內(nèi)為增函數(shù)；f(x)<0,(xwA)o/(x)在A內(nèi)為減函數(shù)0

3。求單調(diào)區(qū)間的方法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法.

4復(fù)合函數(shù)>=/[g(x)]在公共定義域上的單調(diào)性：

①若f與g的單調(diào)性相同，則/[g(x)]為增函數(shù)；

②若f與g的單調(diào)性相反，則/[g(x)]為減函數(shù).

注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.

5。一些有用的結(jié)論：

①奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；

②偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反；

③在公共定義域內(nèi)：

增函數(shù)/(x)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(x)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù);

增函數(shù)/(x)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù);

減函數(shù)/(X)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù).

④函數(shù)y=ax+2(a>0/>0)在

上單調(diào)遞增；在

x

減>

奇偶性——知識(shí)點(diǎn)歸納己

1.函數(shù)的奇偶性的定義；

2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

3。/1)為偶函數(shù)o/(x)=/(lxI).

4.若奇函數(shù)/(x)的定義域包含0,則/(0)=0.

5。判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響；

60牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；

7。判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：

/(x)±/(-x)=0,;.)、=±1.

f(~x)

&設(shè)/(X),g(X)的定義域分別是。那么在它們的公共定義域上：

奇+奇=奇，奇、奇=偶，偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇，

1。判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)=+f(x)?f(-x)

+f(x)=o；

Z討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，要重視這一點(diǎn)；

3。若奇函數(shù)的定義域包含0,貝ijf(0)=0,因此"f(x)為奇函數(shù)"是"f(0)=0''的非充分非必要條件；

4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可以判斷函數(shù)的奇偶性.

5。若存在常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱(chēng)T為函數(shù)f(x)的周期，

(5)函數(shù)的周期性

定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x,使/(x+T)=/(x)恒成立

則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。

反函數(shù)——知識(shí)點(diǎn)歸納a

1.反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)；

2,定義域、值域：反函數(shù)的定義域、值域上分別是原函數(shù)的值域、定義域，若y=/(x)與y=/T(x)互為反函

數(shù)，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳、值域?yàn)?,則/"T(x)]=x(xeB),/-'[/(%)]=x(xeA)；

3.單調(diào)性、圖象：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性，它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).

4.求反函數(shù)的一般方法：

(1)由y=/(x)解出x=/T(y),(2)將x=/iy)中的互換位置，得y=/T(x),(3)求y=/(x)的

值域得y=/T(x)的定義域.

二次函數(shù)——知識(shí)點(diǎn)歸納a

二次函數(shù)是高中最重要的函數(shù)，它與不等式、解析幾何、數(shù)列、復(fù)數(shù)等有著廣泛的聯(lián)系.

1.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：二次函數(shù)>=0?+法+。的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

b4ac-b2

2a4〃

2.二次函數(shù)的解析式的三種形式：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí)，解析式的設(shè)法有三種形式，即

/(x)=ax2+&x+c(一般式)，/(x)=。(工一再),(工一工2)(零點(diǎn)式)和/(九)=〃(工一機(jī))2+〃(頂點(diǎn)式)。

3。根分布問(wèn)題：一般地對(duì)于含有字母的一元二次方程ax?+bx+c=O的實(shí)根分布問(wèn)題，用圖象求解，有如下結(jié)論：

令f(x)=ax~+bx+c(a>0)

A>0A>0

(l)xi<a,x2<a，則<-b/(2a)<a;(2)X］>a,X2>a,貝ij<—/?/(2Q)>a

W(a)>04(。)>0

A>0

A>0

/(a)>0

(3)a<X|<p,a<x<p,!J!iJ\.八

2(4)Xj<a,x2>p(。<0),則</(a)<0

a<-b/(2a)<P

(5)若f(x)=O在區(qū)間(a⑼內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，則有/(a)/(夕)<0

4最值問(wèn)題：二次函數(shù)f(x)=ax?+bx+c在區(qū)間［a,0］上的最值一般分為三種情況討論，即：(1)對(duì)稱(chēng)軸-b/(2a)在區(qū)

間左邊，函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性；；(2)對(duì)稱(chēng)軸-b/(2a)在區(qū)間之內(nèi);(3)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊.要注意系數(shù)a的符號(hào)對(duì)拋

物線(xiàn)開(kāi)口的影響.

1。討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題：①注意對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的相對(duì)位置；②

2。討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)；③對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)

間的相對(duì)位置.

5.二次函數(shù)、元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系：

①A<0=f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)Oax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根Oax,bx+oOlcO)的解集為0或者是R;

②△=0=f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸相切Oax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根Oax'bx+oOyO)的解集為0或者

是R；

③△〉0=f(x)=ax?+bx+c的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)Oax'+bx+cuO有兩個(gè)不等的實(shí)根=ax,bx+oOyO)的

解集為(a,萬(wàn))(a<夕)或者是(-oo,a)U(4,+<?)?

指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)——知識(shí)點(diǎn)歸納a

1.根式的運(yùn)算性質(zhì):

①當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，（心）"=?

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，/F=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，叱=lal=<a(a>0)

-a(a<0)

⑶根式的基本性質(zhì)：'痂7=萬(wàn)，（a>0）.

2?分?jǐn)?shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì):

am-an=a'"+"(/n,〃eQ)

(amy=amn(m,neQ)

(ab)"=a"-b"(neQ)

3.y=ax（a>0且a豐1）的圖象和性質(zhì).

（1）定義域：R

性（2）值域：（0,+8）

質(zhì)（3）過(guò)點(diǎn)（0,1）,即x=0時(shí)，y=l

（4）在R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)

4。指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化：a"=N=log“N=0.

5.重要公式：logj=0,log?a=l.對(duì)數(shù)恒等式=N.

6.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果4>0,4/1,">0,”>0有

log“(MN)=log?M+log“N

log?—=log?M-log?^

log

n

7?對(duì)數(shù)換底公式:

logN

logN=——(a>0,awl,m>0,ml,N>0).

log,"a

8.兩個(gè)常用的推論：

①log.h-logb。=1,logab-log6c-logca=l.

②logb"=—log.6(a,b>0且均不為1).

“m

9。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

a>l0<a<l

圖

象IzS

Tv

定義域：(0，+8)

值域：R

過(guò)點(diǎn)(1,0),口脂x=l時(shí),y=0

性

質(zhì)

xe(0,l)時(shí)y<0.xe(0,1)時(shí)y>0?

x￡(l,+8)時(shí)y>0.xe(1,+8)時(shí)y<0.

在(0,+8)上是增函數(shù).在(0,+8)上是減函數(shù).

x

10.同底的指數(shù)函數(shù)y=a與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).

11。指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類(lèi)型：

⑴a'("=bof(x)=logab,k>gaf(x)=b=f(x)=ab;(定義法)

t<x|s(x)

(2)a=a<=>f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>a(轉(zhuǎn)化法)

(3)a""=bg")=f(x)1ogma=g(x)logmb>(取對(duì)數(shù)法)

(4)log,f(x)=logbg(x)01ogaf(x)=logag(x)/logab(換底法)

函數(shù)圖象變換——知識(shí)點(diǎn)歸納2

1.作圖方法：描點(diǎn)法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析

式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢(shì))；④描點(diǎn)連線(xiàn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象.

2.二種圖象變換：平移變換、對(duì)稱(chēng)變換和伸縮變換等等；

3。識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性、周期性等等方面.

4平移變換：(1)水平平移：函數(shù)y=/(x+a)的圖像可以把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸方向向左(a>0)或向右

5<0)平移IaI個(gè)單位即可得到;

(2)豎直平移：函數(shù)y=/(x)+a的圖像可以把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸方向向上(a>0)或向下(a<0)平移

lai個(gè)單位即可得到.

左移〃右移〃

①y=f(x)—?y=f(x+h);②y=f(x)—?y=f(x-h);

上移〃下移〃

③y=f(x)—?y=f(x)+h;④y=f(x)—?y=f(x)-h.

5。對(duì)稱(chēng)變換：(1)函數(shù)y=/(-x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)即可得至I：

(2)函數(shù)y=-/(x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)即可得到;

(3)函數(shù)y=-/(-x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可得至ij；

(4)函數(shù)y=/T(X)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)得到.

X軸州i

①y=f(x)->y=-f(x);②y=f(x)fy=f(-x);

直直線(xiàn)產(chǎn)X

③y=f(x)-?y=f(2a-x);@y=f(x)->y=r'(x)；

原點(diǎn)

@y=f(x)—>y=-f(-x).

心翻折變換：(1)函數(shù)y=l/(x)l的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像的x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉

原x軸下方部分，并保留y=/(x)的x軸上方部分即可得到:

(2)函數(shù)y=/(Ixl)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留

7.伸縮變換：(1)函數(shù)y=4(x)(a>0)的圖像可以將函數(shù))，=/*)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)

(a>1)或壓縮(0<。<1)為原來(lái)的a倍得到；

(2)函數(shù)y=f(ax)(a>0)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(。>1)或壓縮

(0<a<l)為原來(lái)的,倍得到.

a

xxo)Yyx0

①y=f(x)->y=f(—);②y=f(x)->y=3f(x)。

co

第三章數(shù)列一數(shù)列

數(shù)列定義——知識(shí)點(diǎn)歸納,

(1)?般形式：ax,a2,...,an

(2)通項(xiàng)公式：冊(cè)=/(〃)

(3)前n項(xiàng)和：S“=q+%+…%及數(shù)列的通項(xiàng)a。與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：

等差數(shù)列——知識(shí)點(diǎn)歸納己

1。等差數(shù)列的定義：

①如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同■個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)

常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

Z等差數(shù)列的判定方法：

②定義法：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若%M—%=d(常數(shù))，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

③等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若=%+%+2,則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列。

3,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

④如果等差數(shù)列｛。“｝的首項(xiàng)是4,公差是d,則等差數(shù)列的通項(xiàng)為%=卬+(〃-l)d.該公式整理后是關(guān)于n

的一次函數(shù)。

4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：

⑤S“=當(dāng)產(chǎn)⑥s“=叫+”〃

對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).

5。等差中項(xiàng)：

⑥如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做。與人的等差中項(xiàng).即：A=*或2A=a+b

2

在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；

事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).

5。等差數(shù)列的性質(zhì)：

⑦等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:如果a,是等差數(shù)列的第〃項(xiàng)，a,?是等差數(shù)列的第機(jī)項(xiàng)，且加4"，公差為d，

則有=am+(n-m)d

⑧對(duì)于筆差數(shù)列｛%｝，若〃+6=p+q,則+a,"=冊(cè)+0

a

也就是：勺+an=a2+a〃_]=%+n-2.....

⑨若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)的和，keN*,那么Sk,S2k-Sk,Sik-S2k成等差數(shù)列.如下圖

所示：

S3k

，八、

aI+a2+。3+…+以,+”+]+：.+、2勺+。2欠+1+1?+%(

SkS?k-Sks3k-S[k

&奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系：

⑩設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，S“是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：

前n項(xiàng)的和S〃=S奇+S偶

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶-S奇=]d,其中d為公差;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),則S奇一S偶=。中，S奇卜5偶=\~^。中，六"=2士!

22SMn-\

等差數(shù)列的中間一項(xiàng)).

70前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系:

(11)若等差數(shù)列的前2”—1項(xiàng)的和為S,“1,等差數(shù)列也｝的前2〃—1項(xiàng)的和為S2-，則包=①.

"S2,1

等比數(shù)列——知識(shí)點(diǎn)歸納己

1.等比數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等

比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(qWO).

Z等比中項(xiàng)：如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,匕成等比數(shù)列，那么G叫做。與匕的等比中項(xiàng).

也就是，如果是的等比中項(xiàng)，那么9=2,即G2=ab.

aG

3。等比數(shù)列的判定方法：

①定義法：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若況=q(qxO),則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.

②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若%%+2=a3,則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列。

4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是4,公比是q,則等比數(shù)列的通項(xiàng)為%=aq"T.或著

5。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和:

①S"=叩心(#1)②5?=罕x1)

1-q[-q

③當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n?|.

當(dāng)qH1時(shí)，前n項(xiàng)和必須具備形式S?=A(<f—1),(A*0).

&等比數(shù)列的性質(zhì)：

①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:如果a,是等出數(shù)列的第〃項(xiàng)，“是等差數(shù)列的第機(jī)項(xiàng)，且〃公比為q,則

有%=%L

②對(duì)于等比數(shù)列｛%｝，若"+加=M+V，則%?《“=%?%,

也就是：可?an=a2?an_x=a3-an_2=....-

a\'an

/--------------A--------------

如圖所示：%，、2，〃3,…，?！?2，冊(cè)-1,，an

?2?n-l

③若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)的和，kwN*,那么4，S2k-Sk,S3k-S"成等比數(shù)列?如下圖所示：

I+。2&+1+"'+a3k

\al+a2+a3+\---+ak+ak+x\+???+?2J______________/

SkS2k~SkS3k~S2k

數(shù)列的求和一~知識(shí)點(diǎn)歸納:

1,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

cn(n-1),門(mén)〃(/+%)/n(n-l),

S?=na.H--------dSn=-----------Sn=na---------d

222

當(dāng)dWO時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；

當(dāng)d=0時(shí)(a[#。)，Sn=nai是關(guān)于n的正比例式.

Z等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

當(dāng)q=l時(shí)，Sn=na](是關(guān)于n的正比例式)；

.，—<2,(1—(J1)iZ.--ClCl

當(dāng)q，l時(shí)，~JSn=-!一曳

1-q\-q

3.拆項(xiàng)法求數(shù)列的和，如an=2n+3n

n

4錯(cuò)位相減法求和，$11an=(2n-l)2

(非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的積的形式)

5。分裂項(xiàng)法求和，如an=l/n（n+l）='—1

n77+1

（分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式）

&反序相加法求和，如

7。求數(shù)列｛a?,｝的最大、最小項(xiàng)的方法:

>0

12

①a”"-a”==0如an=-2n+29n-3

<0

>1

9"(?+1)

②—=.=1(an>0)如an=

10"

a.<1

n

③a=f（n）研究函數(shù)f（n）的增減性如a=

nn+156“

數(shù)列的綜合應(yīng)用——知識(shí)點(diǎn)歸納3

=1)

1。通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：S“fci"=

-5?_1,(n>2)

Sn

2.迭加累加法:

若=/（〃），（〃N2）,

2-%=/(2)，=/(3),冊(cè)一冊(cè)-i=/（〃）

則。a3-a2

^a?~a\=/(2)+/(3)+.../(?)

工迭乘累乘法：

若-^-=g(〃)，則竺=g(2),&=g(3),.......，-^-=g(〃)

an-\a\a2冊(cè)-I

n2=g(2)...g(”)

a,

111

4裂項(xiàng)相消法:_(A〃+C)

(An+B)(An+C)C-BAn+B

5。錯(cuò)位相減法：

dWO｛c“｝qWl

an=bn-cn,也｝是公差等差數(shù)列，是公比等比數(shù)列

Sig+b2c2+...+b,,_lcn_i+bncn

貝必s“=麻2+……+2#”+匕"<?”+1

所以有(1-q)S"="q+(Q+C3+……4)d-bncn+x

a通項(xiàng)分解法：a”=b“±clt

70等差與等比的互變關(guān)系：

{4}成等差數(shù)列3M}成等國(guó)數(shù)列

{4}成等差數(shù)列給{鶴等用數(shù)列

{4}成等比數(shù)列做僦冽}

上}成等比數(shù)列螂增數(shù)列

&等比、等差數(shù)列和的形式：

2

{”“}成等差數(shù)列Oan=An+B<^>Sn=An+Bn

{a“}(qw成等比數(shù)列oS“=A(q"-lXA/0)

9。無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)和：

{4}(|q|<l)成等比數(shù)列OS=lirn5?=言.

第四章三角函數(shù)

角的概念的推廣和弧度制——知識(shí)點(diǎn)歸納a

1°角cc和(3終邊相同：/3=a+kx360°keZ

Z兒種終邊在特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)角的集合為：

角的終邊所在位置角的集合

X軸正半軸{ala="360。，k&Z]

Y軸正半軸{ala=Jtx360°+90°,keZ}

X軸負(fù)半軸{ala=^x360°+180°,k&Z}

Y軸負(fù)半軸{ala=0360。+270。，k&z}

X軸{a1a=攵x180°,kEZ}

Y軸{ala=Axl80°+90°,keZ}

坐標(biāo)軸{a\a=kx90°,kEZ}

3?；《戎贫x：我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫1弧度角

角度制與弧度制的互化：180°=萬(wàn)

1°=—1弧度=幽。57.3。

1807t

4弧長(zhǎng)公式：/=1?Ir（a是圓心角的弧度數(shù)）

5。扇形面積公式：S=-lr=-\a\r2

22

任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式——知識(shí)點(diǎn)歸納a

1.?:角函數(shù)的定義：以角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角星標(biāo)系，在角a的終邊上任取一個(gè)異于

原點(diǎn)的點(diǎn)P（x,y）,點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為r（r="lxF+1yF=舊+4>0）,那么

yxy

—；cosa=—；tana=一；

x

rr

（/cot=-X；seca=—；csca=—X）°

y%y

2o三角函數(shù)的符號(hào)：

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們aIIIIllIV

可以得知：①正弦值2對(duì)于第一、二象限為正

sina——

r++

（y>0,r>0）,對(duì)于第三、四象限為負(fù)（y<0,r>0）；cosa+——+

x

②余弦值一對(duì)于第一、四象限為正（x>0j>0）,X疔tana+——+——

r

第二、三象限為負(fù)（x<0,r>0）；③正切值2對(duì)于第一、cota+—+—

三象限為正（x,y同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（x,y異號(hào)）.

說(shuō)明：若終邊落在軸線(xiàn)上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

3。特殊角的三角函數(shù)值:

7C71717137r

a71

0~6~4

T2T

]_V2有

sina010-1

2~T~T

A/21

cosa1旦0-10

TV2

V3

tana01石oo0oo

T

A/3

cotaoo居1T0oo0

4三角函數(shù)的定義域、值域:

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

TC

y=tana{a1aw萬(wàn)+Z乃，攵GZ}R

5。誘導(dǎo)公式：可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。

誘導(dǎo)公式一：sin(a+2攵;r)=sina,cos(a+2Z;r)=cosa,其中4cZ。

誘導(dǎo)公式二：sin(180°+a)=-sina；cos(1800-\-a)=-cosa

誘導(dǎo)公式三：sin(-6z)=-sina；cos(-a)=cosa

誘導(dǎo)公式四：sin(180°一a)=sina；cos(1800-a)=-cos^z.

誘導(dǎo)公式五：sin(360°-戊)=-sina；cos(360"-a)=cosa

71

-a7i-a7t+a2TT-a2k7r+a{kGZ)----a

2

sin—sinasina一sina—sina