機(jī)械振動理論：第五章 多自由度系統(tǒng)的振動

1第五章多自由度系統(tǒng)的振動

力學(xué)模型簡化——工程中很多實(shí)際問題需要簡化成多自由度系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型建立——用影響系數(shù)法建立剛度矩陣、柔度矩陣；以作用力方程、位移方程描述系統(tǒng)的運(yùn)動。剛度系數(shù)影響：代表一個(gè)力，它相當(dāng)于——

使質(zhì)點(diǎn)沿第個(gè)坐標(biāo)方向唯一產(chǎn)生單位位移，需在第個(gè)坐標(biāo)方向施加的力。柔度系數(shù)影響：代表一個(gè)位移，它相當(dāng)于——

在質(zhì)點(diǎn)沿第個(gè)坐標(biāo)方向作用一單位力，而在第個(gè)坐標(biāo)方向產(chǎn)生的位移。2作用力方程展開式——振動方程求解——多自由度求解與兩自由度沒有本質(zhì)上的差別，但在求解方程組時(shí)帶來很多實(shí)際困難，要有效處理相互耦合的問題。一般采用矩陣方法，把大量的微分方程表示成簡明的格式，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。3耦合的實(shí)質(zhì)——實(shí)際上系統(tǒng)方程的耦合與否，不是系統(tǒng)的本身特性，完全取決于坐標(biāo)的選擇。

解耦目標(biāo)——現(xiàn)在我們的問題是能否找到一個(gè)變換陣，使得彈性矩陣，慣性矩陣，同時(shí)解耦。坐標(biāo)選擇——選用主坐標(biāo)，用主振型向量構(gòu)成矩陣——模態(tài)矩陣，解耦變換——用模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，可以使振動系統(tǒng)的彈性，慣性矩陣同時(shí)解耦。[待證]模態(tài)分析的方法（振型疊加法）——

用主坐標(biāo)[或正則坐標(biāo)]代替原來的物理坐標(biāo)，使原耦合微分方程變成一組相互獨(dú)立的微分方程，這樣不但使振動問題求解方便，又可以加深對系統(tǒng)振動性質(zhì)的了解。

4

一、特征值和特征矢量,模態(tài)矩陣設(shè)：無阻尼的n個(gè)自由度系統(tǒng),在初條件激勵(lì)下作自由振動,

其運(yùn)動微分方程如下:[聯(lián)系兩自由度所學(xué)內(nèi)容]在特定的條件下,系統(tǒng)可按一階固有頻率作主振動,

……

也可按某階[如N階]固有頻率作主振動。

現(xiàn)在我們來尋求——N個(gè)自由度系統(tǒng)的N組特解，

N組特解的線性組合就是系統(tǒng)的通解。其中2N個(gè)任意常數(shù)由初始條件來確定。5設(shè)：系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)在自由振動中，均作簡諧振動，[某階主振動、同步特解]

即：將(8)代入(7)得:[省略了振型上標(biāo)i]式中：用矩陣的形式表示為：6(9）、（10）是一組的N元線性齊次代數(shù)方程組,它的非零解的條件是系數(shù)行列式等于零,即:其中特征矩陣為——一般形式：7對于正定系統(tǒng)[即系統(tǒng)動能總是大于零的（各點(diǎn)速度全部為零除外）]，期望[可以]得到的n個(gè)大于零的實(shí)根，

——稱為特征值。一般地：特征值——（11）式又稱為多自由度系統(tǒng)的特征方程。展開后得的n次代數(shù)方程：8求得各階固有頻率后，將方程組（9）a.劃去某一個(gè)不獨(dú)立的方程式；（如：第個(gè)方程）b.將剩下的n-1個(gè)方程式中某一項(xiàng)（如：）移至等式右邊；c.把某一頻率（如：）代入，得下述代數(shù)方程組：特征矢量——9求解此方程：可得，顯然求得的值都與此值成正比。（假定方程組（14）的左邊系數(shù)行列式不為零，否則應(yīng)另選其它項(xiàng)，移至右邊）

任意設(shè)定

，可求出對應(yīng)固有頻率的n個(gè)振幅值[均用表達(dá)]，振幅比——

間的比例關(guān)系，稱為振幅比。

說明當(dāng)系統(tǒng)按第j階固有頻率作同步簡諧振動時(shí)，各振幅值間具有確定的比例關(guān)系，或者說系統(tǒng)有一定的振動形態(tài)(主振型、固有振型）10特征矢量——數(shù)學(xué)上把[對應(yīng)于每一特征值的]

系統(tǒng)各點(diǎn)特有的振動形態(tài)

稱為——特征矢量，特征矢量的各分量即為各幅值###11用左乘（17）式，欲求解特征矢量,未必一定求代數(shù)方程組（14）把代入特征矩陣，則（9）式用矩陣式表示如下： 特征矩陣的逆陣——特征矢量求解：12即為：對比（18）（16），結(jié)論：特征矢量與伴隨矩陣的任何非零列成比例，伴隨矩陣的任一列就是特征矢（向）量。對應(yīng)某一頻率，有唯一的特征矢量和它對應(yīng)——

唯一性指兩元素之間的比值，而元素本身是任意的，因?yàn)榉匠蹋?6）是齊次的。

所以如果是方程的一個(gè)解，那么也是一個(gè)解，為任意常數(shù)，因此——13如果中的任一元素給定，其余N-1個(gè)元素也就唯一確定了?？梢?guī)定主振型中最大的一個(gè)坐標(biāo)幅值為1，進(jìn)而確定其它各坐標(biāo)幅值——?dú)w一化，歸一化了的特征向量稱為振型向量。振型向量——14

將各及代回（8）式，我們得n組特解，將以n組特解相加，可得系統(tǒng)自由振動的一般特解，即：

模態(tài)矩陣——

如果把n個(gè)特征矢量排列成一矩陣用[A]表示，即：15例如，當(dāng)t=0，各坐標(biāo)給定后,

則2n個(gè)常數(shù)便唯一地確定了。此通解中有2n個(gè)待定常數(shù)，

則（19）式改寫為：

16例1系統(tǒng)如圖，設(shè)：求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解:用影響系數(shù)法寫質(zhì)量矩陣[M]、剛度矩陣[K]，17作用力方程[自由振動微分方程]為：令：代入(a)式得：特征矩陣： 18解代數(shù)方程(d)得特征值：特征方程為：寫出特征矩陣(c)的伴隨矩陣：19分別把代入伴隨矩陣(e)式的任意一列（例如第一列)。(如果該列元素全是零，可換一列）并對第一個(gè)元素歸一化，得：三個(gè)主振型為：即得：20固有頻率主振型成對地相對應(yīng)，是系統(tǒng)的固有特性，它們只取決于系統(tǒng)的[M][K]?！B(tài)矩陣[振型矩陣]各主振型所構(gòu)成的矩陣：作振型圖——……21作振型圖——……22耦合的實(shí)質(zhì)——實(shí)際上系統(tǒng)方程的耦合與否，不是系統(tǒng)的本身特性，完全取決于坐標(biāo)的選擇。

解耦目標(biāo)——現(xiàn)在我們的問題是能否找到一個(gè)變換陣，使得彈性矩陣，慣性矩陣，同時(shí)解耦。坐標(biāo)選擇——選用主坐標(biāo)，用主振型向量構(gòu)成矩陣——模態(tài)矩陣，解耦變換——用模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，可以使振動系統(tǒng)的彈性，慣性矩陣同時(shí)解耦。[待證]模態(tài)分析的方法（振型疊加法）——

用主坐標(biāo)[或正則坐標(biāo)]代替原來的物理坐標(biāo)，使原耦合微分方程變成一組相互獨(dú)立的微分方程，這樣不但使振動問題求解方便，又可以加深對系統(tǒng)振動性質(zhì)的了解。

23二、特征矢量的正交性，展開定理

（一）主振型的正交性上節(jié)指出：n個(gè)自由度系統(tǒng)具有n個(gè)固有頻率和n組主振型現(xiàn)在我們來研究任兩組主振型之間的關(guān)系——

已知對應(yīng)于固有頻率的主振型分別滿足下述兩方程式：將（3-21）式前乘列陣的轉(zhuǎn)置矩陣，（3-22）式前乘列陣的轉(zhuǎn)置矩陣，得：24由于所研究的[K]，[M]都是對稱矩陣，即：將（23）、（25）式兩邊相減，得：轉(zhuǎn)置（24）式的兩端，得：在的條件下，必存在：則：25正交條件

——

（27）（28）式表明：

對應(yīng)于不相等固有頻率的兩個(gè)主振型之間，存在著對質(zhì)量矩陣[M]、和剛度矩陣[K]的正交性，統(tǒng)稱為主振型的正交性。式（27）（28）就是主振型的正交條件。（27）代回（23）式，得：正交性的物理意義

——對于每一階主振動，它的動能、勢能之和是常數(shù)，可相互轉(zhuǎn)化，就像一個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)振動時(shí)的情況一樣；但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此從能量的觀點(diǎn)出發(fā)——各階主振動之間相互是獨(dú)立的。

這些0將處在變換后的主剛度陣、主質(zhì)量陣的非主對角線的各元素位置上（因?yàn)椋海?。—?/p>

非主對角線位置上的各元素均為零。26正交條件的數(shù)學(xué)意義——

（27）（28）式表明：

27因質(zhì)量矩陣是正定的，令：總是一個(gè)正實(shí)數(shù)，稱之為第階主質(zhì)量，對正定系統(tǒng)來說，剛度矩陣也是正定的，令：也是一個(gè)正實(shí)數(shù)，稱之為第階主剛度。對于（21）兩邊前乘，得：行向量*矩陣*列向量=數(shù)主對角線元素計(jì)算：主剛度陣、主質(zhì)量陣這些正實(shí)數(shù)將處在變換后的主剛度陣、主質(zhì)量陣的主對角線的各元素位置上（因?yàn)椋海??！?/p>

主對角線位置上的各元素均為正實(shí)數(shù)。2829由（29）（30）（31）三式得到：即：第階固有頻率平方等于第階主剛度與第階主質(zhì)量的比值。將n個(gè)特征矢量排列成模態(tài)矩陣，則（27）和（30）（28）和（31）可合并成矩陣形式如下：30由上面的推證可見：如果以模態(tài)矩陣[A]為變換矩陣，一定會使慣性矩陣，剛度矩陣同時(shí)解耦!!!31在實(shí)際系統(tǒng)中，頻率方程有重根的情形是存在的，（即某些頻率相等）總可以找到對應(yīng)于重根情況下的特征矢量族。即——如有R個(gè)重根，可在特征矢量族中挑出R個(gè)特征矢量，保證彼此正交（雖然它們不是唯一的）。以模態(tài)矩陣為變換矩陣——還必須證明特征矢量組的線性無關(guān)。由前推證可知：n個(gè)特征矢量滿足正交性條件（27）、（28）。32（二）特征矢量組 線性無關(guān)反證法——假設(shè)特征矢量組線性相關(guān)，則應(yīng)滿足：

設(shè)：為一組不全是零的常數(shù)。令（35）式前乘 ，由特征矢量組的正交性可知：除第r項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為零；而第r項(xiàng)為：依次令 ，可得出推論：只有在全部都等于零時(shí)，（35）式才成立——與所設(shè)不符。即：特征矢量不滿足線性相關(guān)式（35）——特征矢量組線性無關(guān)。33推論——

n維空間里，任意n個(gè)線性無關(guān)的矢量都可以作為這個(gè)n維空間的基,

既然特征矢量組是線性無關(guān)的,當(dāng)然也可以以它們?yōu)榛?

于是系統(tǒng)任一(可實(shí)現(xiàn)的)位置,

均可用特征矢量組的線性組合來表示,即：想像——

n維笛卡爾坐標(biāo)(空間)，各坐標(biāo)軸單位矢量為(即為n維空間的基),

振動系統(tǒng)的任一位置用坐標(biāo) 表示,

可用n維空間的矢量表示,即：(三)展開定理:34式中系數(shù)是第r階振型對貢獻(xiàn)多少的度量,

稱為以 為基的坐標(biāo),用矩陣式表示為

說明——系統(tǒng)的物理坐標(biāo) 經(jīng)模態(tài)矩陣[A]的變換,

變成以特征矢量組為基的新坐標(biāo)[主坐標(biāo)]，可等價(jià)描述系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的真實(shí)振動。35由正交性條件可知：等式右端的各項(xiàng)，其值均等于零；僅剩余一項(xiàng)，即：由物理坐標(biāo)——求主坐標(biāo):稱(36)、(37)式為展開定理——[數(shù)學(xué)描述],

可得:對式(36a),前乘36

是以特征矢量組為基的新坐標(biāo),

——稱主坐標(biāo),用表示?！罢归_定理”的物理解釋——每個(gè)分運(yùn)動保持它對應(yīng)的主振型。分解為n個(gè)主坐標(biāo)表示的分運(yùn)動；###圖示把系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的運(yùn)動，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動時(shí)，這種變換相當(dāng)于——物理坐標(biāo)主坐標(biāo)（帶有下標(biāo)）37總結(jié)：用模態(tài)矩陣作為變換矩陣——

可使剛度矩陣和慣性矩陣同時(shí)解耦，也就是說——以主坐標(biāo)表示的運(yùn)動方程組是互相獨(dú)立的，每個(gè)主運(yùn)動可以獨(dú)立的被激勵(lì)而與其它階無關(guān)，這樣求系統(tǒng)的響應(yīng)就容易多了。利用展開定理求系統(tǒng)響應(yīng)的方法——模態(tài)分析法。

38即：如果是對應(yīng)頻率的特征矢量，那么也是對應(yīng)的特征矢量。注意：按不同的方式規(guī)一化，并用求得的模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，計(jì)算出來的主質(zhì)量,主剛度數(shù)值不相等。說明：如選為特征矢量,某階主質(zhì)量為：如選為特征矢量，某階主質(zhì)量為：顯然：按需要?dú)w一化：如令，[假設(shè)第一個(gè)元素不為零]

其它元素則唯一地確定；

[也可令中其它元素等于1來規(guī)一化]。

振型是唯一的，但幅值是任意的。三、正則方程前述內(nèi)容曾講過：對應(yīng)某階固有頻率，39再將回帶至（51），即可確定正則振型。將（51）代入（50）式，即可確定主振型正則化——為方便計(jì)算，試將方程組中質(zhì)量項(xiàng)歸一，對每階主振動，定義一組特定的主振型——正則振型，使它滿足條件:

——即正則振型所對應(yīng)的主質(zhì)量[正則質(zhì)量]等于1。正則振型求解——可以由任意的主振型求出:

令：[正則質(zhì)量][物理質(zhì)量]正則化因子[模態(tài)質(zhì)量]40由于正則振型是主振型中特定的一組，因此，主振型所滿足的正交性條件，正則振型當(dāng)然也滿足，由于各階經(jīng)正則變換的主質(zhì)量[正則質(zhì)量]均有 ，所以：對各階主振型依次進(jìn)行上述計(jì)算，我們就可求得對應(yīng)N階主振動的N個(gè)正則振型 。