第03講 二次根式的加減（解析版）

第03講二次根式的加減1.3（2）【學習目標】1、理解并掌握二次根式的加減法法則，會合并含有被開方數(shù)相同的二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.【基礎知識】1.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)要點：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式.即：；2.二次根式的加減二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結果中.即：；要點：（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運算的步驟：1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結合為一組；3)合并同類二次根式.3.二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.要點詮釋：(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；(3)二次根式混合運算的結果要寫成最簡形式.4.二次根式的比較大小能化簡成同類二次根式的，化簡后比較系數(shù)，系數(shù)大的二次根式就大；不能化簡成同類二次根式的：正數(shù)大于負數(shù)；同為正數(shù)時，進行平方運算，結果大的二次根式就大；同為負數(shù)時，進行平方運算，結果大的二次根式反而??；【考點剖析】考點1：二次根式的加減法1-數(shù)字型例1．的計算結果是（

）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求解．=,故選C．【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．例2．化簡：______．【答案】【解析】【分析】先進行化簡，然后作差求解即可．解：原式故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡與減法運算．解題的關鍵在于正確的計算．例3．計算：______．【答案】【解析】【分析】首先化簡二次根式，進而合并求出即可．解：原式．故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．考點2：二次根式的加減法2-字母型例4．計算：（1）________；

（2）_________．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)合并同類二次根式的法則計算即可；解：（1），（2）；故答案為：，【點睛】本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握合并同類二次根式的法則是解題的關鍵例5．計算；（1）________；（2）________．【答案】

或【解析】【分析】（1）先化簡二次根式，然后根據(jù)合并同類二次根式的法則計算即可；（2）討論x和a同時大于0和同時小于0，利用二次根式的性質化簡即可．解：（1），（2）∵和有意義，∴當，時；當，時；故答案為：，或．【點睛】本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握合并同類二次根式的法則是解題的關鍵．例6．計算二次根式5-3-7+9的最后結果是________．【答案】6-2【解析】合并同類二次根式得：5-3-7+9=6-2.故答案：6-2.例7．的值一定是（

）A．正數(shù) B．非正數(shù) C．非負數(shù) D．負數(shù)【答案】B【解析】【分析】先化為最簡二次根式，然后合并同類項，再根據(jù)二次根式有意義確定,，最后確定值的符號即可．解:=∵有意義，∴,，∴，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，及二次根式的加減運算，二次根式有意義條件，熟知此知識點是解題的關鍵．考點3：二次根式的混合運算1-數(shù)字型例8．計算：_____________．【答案】2【解析】【分析】先把分子中的二次根式化為最簡二次根式，然后合并后進行二次根式的除法運算．解：原式＝．故答案為：2．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式，然后進行二次根式的乘除運算．例9．計算：（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的性質化簡括號內的式子，再進行減法運算，最后進行除法運算即可．原式．故選C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，利用二次根式的性質化簡是解題的關鍵．例10．計算：________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運算法則和零指數(shù)的性質進行計算即可．解：原式故答案為1．【點睛】本題考查了二次根式的運算法則和零指數(shù)，解題關鍵是熟練運用相關法則，準確進行計算．例11．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先化簡各個二次根式再合并即可.解：.故選A.【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的化簡與同類二次根式的合并是解題的關鍵.例12．計算：______．【答案】##【解析】【分析】利用二次根式的混合運算法則計算即可．解：==．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的混合運算法則，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算法則．例13．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則進行計算即可原，故選D．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．例14．計算：______．【答案】【解析】【分析】先分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減運算法則求解即可．解：故答案為：．【點睛】本題考查分母有理化、二次根式的加減運算，熟練掌握分母有理化的方法是解答的關鍵．例15．計算：．【答案】【解析】【分析】分別根據(jù)分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性質化簡與計算，再合并同類二次根式即可．解：==．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，屬于基礎考點，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．考點4：二次根式的大小比較例16．請用“，，”符號比較大小：__________．【答案】＞【解析】【分析】求出，再比較大小即可．解：，∵18＞12，∴，故答案為：＞．【點睛】本題考查了二次根式的大小比較，能選擇適當?shù)姆椒ū容^兩個數(shù)的大小是解此題的關鍵．例17．比較大?。篲_____；化簡：＝______．【答案】

##【解析】【分析】根據(jù)可推出，從而可比較兩數(shù)大小；利用平方差公式分母有理化即可．解：∵，∴，∴即，∴；，故答案為：；．【點睛】本題考查實數(shù)的大小比較，和二次根式的化簡．能正確得出和利用平方差公式分母有理化是解題關鍵．例18．比較大?。海?）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．【答案】

>，

<，

>，

<【解析】【分析】（1）先將，變形為，有，即可比較大??；（2）利用作差法，即可比較大??；（3）利用作商法，即可比較大??；（4）先將，化為，，又有，即可比較大?。猓海?）∵，且，∴，∴；（2）∵，又∵，∴，即，∴；（3）∵，∴；（4）∵，，，∴，即．故答案為：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【點睛】本題主要考查了二次根式比較大小，二次根式的運算，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．考點5：二次根式的混合運算2-字母型及復合型例19．若m，n為有理數(shù)，且，則mn=_____.【答案】1【解析】【分析】利用二次根式的運算法則將已知等式化簡，求出m、n的值，代入mn即可求解.=m+n

3=m+n4=m+n16+1=4m+4n∴4m=1,

4n=16,∴m=，

n=4，mn=4=1.故答案為1.【點睛】本題考查二次根式的化簡求值.例20．若a、b為有理數(shù)，且，則________，________．【答案】

0

【解析】【分析】先把等式的左邊化簡，再合并同類二次根式，再利用實數(shù)的無理數(shù)性質可得答案．解：∵，∴，∴，∴a=0，b=．故答案為：0;．【點睛】本題考查的是二次根式的加減運算，實數(shù)中無理數(shù)的性質，掌握合并同類二次根式與實數(shù)中無理數(shù)的性質是解題的關鍵．例21．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)a與b的值結合選項進行一一比較及計算即可結論．∵，，∴，A選項不正確；∴∴B、C選項都不正確；∴，D選項正確．故選D．【點睛】此題考查了二次根式求值運算，掌握二次根式的運算法則是解題關鍵．例22．已知：，，則的值為（

）A．5 B．-5 C．25 D．5或-5【答案】A【解析】【分析】首先由a+b=-5，ab=1得出a、b的取值范圍，然后使原式分母有理化，再由a、b的取值范圍確定所求值的符號，通分化簡代入求值；解：∵ab=1＞0，∴a、b同號，又∵a+b=-5＜0，∴a＜0，b＜0．；故選：A【點睛】此題考查的知識點是二次根式的化簡求值，關鍵是體現(xiàn)了整體代入思想，還要注意字母的取值．例23．已知，，則______．【答案】【解析】【分析】先把所求代數(shù)式通分，再把x、y的值代入進行計算即可．解：，將，代入得：原式=，故答案為：8．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，結合平方差公式以及完全平方公式是解題的關鍵．考點6：二次根式的混合運算與分式例24．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)分式的加減乘除法則進行化簡，然后代入數(shù)值計算即可．解：原式當時，原式．【點睛】本題考查了分式加減乘除的混合運算，分式的化簡求值，二次根式的加減運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，正確進行化簡．例25．已知，則的值．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)分母有理化化簡x，再把原式變形即可求解．∵∴．【點睛】此題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟知二次根式、分式及完全平方公式的運算．例26．先化簡，再求值：已知a＝，求的值．【答案】，3【解析】【分析】先化簡得，再將代入即可得．解：原式===當代入得：．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，二次根式的混合運算，正確計算是解題的關鍵．考點7：復雜的二次根式混合運算例27．計算：．【答案】．【解析】【分析】先把二次根式進行化簡，再合并同類二次根式即可求得結果．解：=．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，在進行此類運算時，一般先把二次根式化為最簡二次根式的形式后再運算．例28．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先把括號內的二次根式化簡及除法運算，再計算二次根式的除法運算，最后合并同類二次根式即可；（2）先計算括號內的二次根式的減法運算，再計算二次根式的除法運算，從而可得答案.(1)解：(2)解：【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握“二次根式的混合運算的運算順序”是解本題的關鍵.例29．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式將原式變?yōu)?，再利用分式的性質和二次根式的加減計算法則進行化簡即可．解：．【點睛】本題主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化簡，二次根式的加減計算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平方差公式和完全平方公式．例30．計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先化為最簡二次根式，再利用二次根式的加減法則進行計算；（2）利用二次根式的乘除法則及分式乘法運算法則進行計算即可．解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，分式的乘法運算，熟練掌握各運算法則是解題的關鍵．考點8：二次根式混合運算的應用例31．一個長方形的長和寬分別是和，這個長方形的長與寬的和=________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)長+寬列式，利用二次根式的性質化簡，再進行二次根式的加法計算即可．解：這個長方形的長與寬的和=．故答案為．【點睛】本題考查了二次根式的加減法，解答本題的關鍵是掌握二次根式的化簡方法．例32．解不等式：【答案】【解析】【分析】根據(jù)解不等式的步驟解不等式即可．解：去括號，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，即．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本題的易錯點是易忽略．例33．如圖是一個簡單的數(shù)值運算程序，若輸入x的值為的小數(shù)部分，則輸出的數(shù)值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得：程序所代表的代數(shù)式為，再由x為的小數(shù)部分，可得到，代入即可求解．解：程序所代表的代數(shù)式為，∵x為的小數(shù)部分，∴，當時，輸出的值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，根據(jù)程序圖得到程序所代表的代數(shù)式為是解題的關鍵．例34．宋代數(shù)學家秦九韶，古希臘數(shù)字家海倫在探究三角形面積的求解過程中發(fā)現(xiàn)，若一個三角形的三邊長分別為，，，設，則這個三角形面積為：，并進行了嚴格證明，這個公式叫海倫秦九韶公式，當，，時，三角形邊上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意易得，則有，設邊上的高為，進而問題可求解．解：由題意，得：，，；；；設邊上的高為，則，，故選：．【點睛】本題主要考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的運算是解題的關鍵．例35．若＝2.5，則的值為_____．【答案】【解析】【分析】設=a，將原等式變形后可求得a的值，代入所求式子可得結論．設=a，則24-t2=a2，8-t2=a2-16，∵?=2.5，a-=，a?＝，兩邊同時平方得：(a?)2＝a2?16，解得：a=，則，=+，=+，=+，=+，=，故答案為．【點睛】本題是二次根式的化簡求值問題，利用換元法，將原方程轉化為關于a的方程，解方程可解決問題，計算量大，要細心．【真題演練】一、單選題1．（2021·廣西柳州·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的運算性質求解，逐項分析即可【解析】A.，不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；B.，不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；C.符合題意；D.，不是同類二次根式，不能合并，不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握二次根式的乘法法則，是解題的關鍵．2．（2021·重慶·中考真題）下列計算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式運算法則逐項進行計算即可．【解析】解：A.，原選項錯誤，不符合題意；B.和不是同類二次根式，不能合并，原選項錯誤，不符合題意；C.，原選項正確，符合題意；D.，原選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題關鍵是熟練運用二次根式運算法則，進行準確計算．3．（2020·廣東廣州·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的加法法則，二次根式的乘法法則，同底數(shù)冪的相乘，冪的乘方運算法則依次判斷即可得到答案.【解析】A、與不是同類二次根式，不能進行加法運算，故該選項錯誤；B、，故該選項錯誤；C、，故該選項錯誤；D、，故該選項正確，故選：D.【點睛】此題考查計算能力，正確掌握二次根式的加法法則，二次根式的乘法法則，同底數(shù)冪的相乘，冪的乘方運算法則是解題的關鍵.二、填空題4．（2022·貴州六盤水·中考真題）計算：__________．【答案】0【分析】先把化簡為，再作差，即可．【解析】解：==故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的減法運算，熟練掌握二次根式的基礎知識是解題的關鍵．5．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算的結果是___________．【答案】【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【解析】解：==，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡二次根式是解題的關鍵．6．（2020·河北·中考真題）已知：，則_________．【答案】6【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求解．【解析】∵∴a=3,b=2∴6故答案為：6．【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．三、解答題7．（2021·福建·中考真題）計算：．【答案】【分析】先化簡二次根式，絕對值，負整式指數(shù)冪，然后計算即可得答案．【解析】．【點睛】本小題考查二次根式的化簡、絕對值的意義、負指數(shù)冪等基礎知識，熟練掌握運算法則是解題關鍵．8．（2019·遼寧鐵嶺·中考真題）先化簡，再求值：，其中，．【答案】-6【分析】先化簡分式，然后將a、b的值代入求值．【解析】解：原式，當，，原式．【點睛】本題考查了分式的計算和化簡.解決這類題目關鍵是把握好通分與約分，分式加減的本質是通分，乘除的本質是約分，熟練了分式的運算法則是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加減法則和二次根式的除法法則進行計算，再得出選項即可．【解析】解：A．和不能合并，故本選項不符合題意；B．，故本選項符合題意；C．和不能合并，故本選項不符合題意；D．，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．2．下列計算正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可依次判斷．【解析】A.不能計算，故錯誤；

B.，故錯誤；C.，正確；

D.不能計算，故錯誤；故選C．【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．3．若，則的值為（

）A．56 B．34 C．28 D．14【答案】C【分析】先求出的值，進而可得出結論．【解析】解：∵35，∴532，∴m＝28．故選：C．【點睛】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關鍵．4．若，則x的值等于（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】先化簡、合并等號左邊的二次根式，再將系數(shù)化為，繼而兩邊平方，進一步求解可得．【解析】解：原方程化為，合并，得，即，∴．故選：C【點睛】本題主要考查二次根式的性質與化簡，二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．5．﹣與﹣的關系是（）A．互為相反數(shù) B．互為倒數(shù)C．相等 D．乘積是有理式【答案】A【分析】根據(jù)﹣+﹣＝0可得答案．【解析】解：∵﹣+﹣＝0，∴﹣與﹣互為相反數(shù)，故選A．【點睛】本題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是掌握二次根式的加減運算法則．6．計算的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式的性質化簡，然后再計算即可．【解析】解：原式=．故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的加法計算，正確運用二次根式的性質化簡原式是解答本題的關鍵．7．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正確的是（

）A．（1）和（3） B．（2）和（4） C．（3）和（4） D．（1）和（4）【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質和二次根式的加法運算，分別進行判斷，即可得到答案．【解析】（1）和不是同類項，不能合并，錯誤；（2），正確；（3）＝，錯誤；（4），正確；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的加法運算，二次根式的性質，解題的關鍵是熟練掌握運算法則進行解題．8．的值一定是（

）A．正數(shù) B．非正數(shù) C．非負數(shù) D．負數(shù)【答案】B【分析】先化為最簡二次根式，然后合并同類項，再根據(jù)二次根式有意義確定,，最后確定值的符號即可．【解析】解:=∵有意義，∴,，∴，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，及二次根式的加減運算，二次根式有意義條件，熟知此知識點是解題的關鍵．9．若a，b為有理數(shù)，且，那么的值是（

）A．0 B．2 C．8 D．10【答案】B【分析】先利用完全平方公式求出，根據(jù)a，b為有理數(shù)，求出a、b的值，再利用平方差公式求出，代值計算即可．【解析】解：∵，又∵a，b為有理數(shù)，∴，，∴．故選B．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，平方差公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．10．已知，，，那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結合從而可得答案．【解析】解：∵，，，而∴故選A．【點睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關鍵．二、填空題11．計算的值等于________．【答案】【分析】先利用二次根式的性質化簡，然后合并同類二次根式即可得到答案．【解析】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了利用二次根式的性質化簡和合并同類二次根式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關計算法則．12．比較大小：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．【答案】

>，

<，

>，

<【分析】（1）先將，變形為，有，即可比較大??；（2）利用作差法，即可比較大??；（3）利用作商法，即可比較大小；（4）先將，化為，，又有，即可比較大小．【解析】解：（1）∵，且，∴，∴；（2）∵，又∵，∴，即，∴；（3）∵，∴；（4）∵，，，∴，即．故答案為：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【點睛】本題主要考查了二次根式比較大小，二次根式的運算，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．13．數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2,將點A向右平移個單位長度得到點B,則點B表示的數(shù)是____.【答案】2【分析】根據(jù)平移的性質，結合數(shù)軸的特點進行分析即可得答案.【解析】∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2，將點A向右平移個單位長度得到點B，∴點B表示的數(shù)是2，故答案為2.【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的平移，熟練掌握平移的性質以及右移加左移減是解題的關鍵.14．一個三角形的三邊長分別為，則它的周長是___________cm．【答案】【解析】試題解析：15．若a、b均為有理數(shù)，且則a=______b=________.【答案】

0

【解析】試題解析：＋＋＝23+=，∴a=0，b=．故答案為0；16．計算二次根式5-3-7+9的最后結果是________．【答案】6-2【解析】合并同類二次根式得：5-3-7+9=6-2.故答案：6-2.17．不等式的解集是______．【答案】##【分析】通過移項，合并，系數(shù)化1，根據(jù)不等式的性質即可求出的解集．【解析】解：∵∴∴故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的運算法則以及不等式的基本性質，解題的關鍵是判斷與0的大小關系，本題屬于基礎考點．18．對于任意兩個正數(shù)m、n，定義運算※為：計算的結果為_____．【答案】##【分析】利用新定義先列式，再把二次根式化為最簡二次根式，然后計算即可．【解析】由題意得：，∴故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．19．若，則__________．【答案】【分析】由，利用完全平方公式和二次根式運算將二元轉化為一元，即用x去表示a，再去進行整式的化簡求值．【解析】解：，則，兩邊同時平方，得，將其代入原式得：故答案為：【點睛】本題主要考查了完全平方公式、二次根式的混合運算以及整式的混合運算，如何利用二次根式計算將x表示為a是解題的關鍵．20．觀察下列分母有理化的計算：，，……，從計算結果中找出規(guī)律并利用規(guī)律計算：____________．【答案】2021【分析】先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計算．【解析】解：原式．故答案為：2021．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的除法法則和分母有理化是解決問題的關鍵．也考查了規(guī)律型問題的解決方法．三、解答題21．計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）5；（2）0.2；（3）；（4）125；（5）10；（6）14；（7）；（8）【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（2）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（3）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（4）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（5）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（6）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（7）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解；（8）根據(jù)二次根式的性質即可化解求解．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知二次根式的性質及運算法則．22．計算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質將各項化為同類二次根式，再計算即可；（2）根據(jù)二次根式乘法運算法則計算即可；（3）先根據(jù)二次根式的性質將各項化為同類二次根式，再計算即可；【解析】（1）；（2）；（3）．【點睛】本題主要考查了二次根式的運算以及二次根式的性質，掌握二次根式的運算法則是解答本題的關鍵．23．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)4【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質化簡，然后再合并二次根式即可；（2）先運用平方差公式展開，然后再根據(jù)二次根式的性質解答即可．(1)解：==．(2)解：==6-2=4．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質、二次根式的加減運算、二次根式的乘方等知識點，靈活運用相關運算法則成為解答本題的關鍵．24．化簡與計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)-45．【分析】（1）先運用乘法的分配律計算乘法并化簡二次根式，最后計算加減；（2）運用完全平方公式進行計算；（3）先計算乘法、二次根式的化簡，再計算加減；（4）運用平方差公式進行計算化簡．【解析】（1）解：，，；（2）解：，，；（3）解：，，，；（4）解：，，．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算能力，熟練運用乘法公式及二次根式的運算法則是解題的關鍵．25．計算：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質化簡，然后再合并同類二次根式即可；（2）先將原式化成平方差公式的形式，再展開，然后按二次根式混合運算的法則計算即可．(1)解：==．(2)解：===．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質、二次根式的混合運算、平方差公式的運用等知識點，靈活運用平方差公式成為解答本題的關鍵．26．化簡二次根式：．【答案】【分析】先將括號內各式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．【解析】解：原式當時，原式，當時，原式．【點睛】本題考查二次根式的化簡以及二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的化簡法則以及二次根式的混合運算法則．27．解不等式：．【答案】【分析】先化簡二次根式，然后根據(jù)解不等式的方法和步驟解不等式即可；【解析】解：【點睛】本題考查了二次根式的化簡、二次根式的混合運算、解一元