復(fù)合方程的零點(特色專題卷)

專題4.3復(fù)合方程的零點(特色專題卷)

考試時間：120分鐘；滿分：150分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，

細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！

選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

1.(2021秋?楊浦區(qū)校級月考)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),滿足對任意(0,+°°),

恒有小(x)—口=4,若函數(shù)y=/(x)-4的零點個數(shù)為有限的〃(?￡N*)個，則〃的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】由題意可知無)為一個大于零常數(shù)，設(shè)這個常數(shù)為m(m>0),則/(x)-1=m,且/

(m)=4,從而求出加的值，函數(shù)無)-4的零點個數(shù)，即為方程/(無)=4的根的個數(shù)，即心的

值的個數(shù)，從而求出結(jié)果.

【解答】解：：滿足對任意xe(0,+8)，恒有川(x)-i]=4,

：.f(x)―1為一個大于零常數(shù)，設(shè)這個常數(shù)為冽(加>0),

則/'(x)—=m,且/(機)=4,

1

(X)=-+冽，

1

再令Xf得，/(M=沅+加=4,

整理得，加2-4加+1=0,

解得：m=2+V3,

函數(shù)y=/(x)-4的零點個數(shù)，即為方程/(x)=4的根的個數(shù)，即機的值的個數(shù)，

：.n的最大值為2,

故選：B.

2.(2021秋?上高縣校級月考)已知函數(shù)f(x)=X<1,若關(guān)于x的函數(shù)G)+2bf(x)

12—x,x>1

+1有6個不同的零點，則實數(shù)6的取值范圍是()

A.b<-^b>y/2B.<h<-V2C.6(一第6>0D.<b<0

【分析】作出函數(shù)/(x)的大致圖像，設(shè)/(x)=t,由圖像可知關(guān)于x的函數(shù)了二斤2(x)+2bf(x)+1

有6個不同的零點，等價于關(guān)于f的方程2於+24+1=0在(0,1)上有兩個不相等的根，再利用二次函

數(shù)的根的分布列出不等式組，解出6的取值范圍即可.

【解答】解：作出函數(shù)/(x)的大致圖像，如圖所示：

設(shè)/(x)=t,則當(dāng)f=l或f<0時，方程/(x)只有1個解，

當(dāng)f=0時，方程/(x)=^有2個解，

當(dāng)0<f<l時，方程/G)=/有3個解，

當(dāng)f>l時，方程/(x)=/無解，

:關(guān)于X的函數(shù)>=?/(x)+2bf(x)+1有6個不同的零點，

關(guān)于f的方程2*+2從+1=0在(0,1)上有兩個不相等的根，

△=4b2-8>0

OV—2V1,解得：—I'V/jV—夜，

{2+2b+1>0

即實數(shù)6的取值范圍是(一/-V2),

故選：B.

3.(2021?華箜市校級模擬)已知函數(shù)/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x》0時，f(x)=

_y2_1_2y_L__QVyV2

2'-一，若關(guān)于x的方程心?[/'(x)]2+〃./(x)+1=0恰有7個不同的實數(shù)根，那么

,log4x,x>2

m-n的值為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】作出/(X)的圖象，令/(x)=t,根據(jù)關(guān)于x的方程以?[/?(X)]2+n-/(x)+1=0恰有7個不同

的實數(shù)根，可得匕=；,上=|，結(jié)合韋達定理即可求解機-”的值.

_x2,2r+10<x<2

【解答】解：函數(shù)/(X)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)X2O時，f(X)=2'--,

,log4x,x>2

作出/(x)的圖象，

令/(x)=t,根據(jù)關(guān)于x的方程叱/(x)]2+n-/(%)+1=0恰有7個不同的實數(shù)根，

12

可得S=2，12=]，

由韋達定理，可得。+七2二一而,「1，《2=正，

解得m=]n=-1

：?m-〃=4.

故選：D.y.

A"

-2'7八，

4.(2021?延邊州一模)已知函數(shù)/(久)=[1"+2x|'“一°’則函數(shù)g()

?)=2/(/(x)-1)-1的零點

[lnx,x>0

個數(shù)為()

A.7B.8C.10D.11

【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求出函數(shù)的零點個數(shù)即可.

【解答】解：令g(x)=0,得/(/(x)-1)

令/(x)-\=t,則/G)=/

作出函數(shù)/(X)的大致圖象如圖示：

1

則f(力=2有4個實數(shù)根tl,t2,U,其中tiE(-3,-2),t2&(-2,-1),白€(-1，0)，以6

(1,2),

若怎(-3,-2),則/G)7~有1個實數(shù)根，

若正(-2,-1),則/(無)-l=f有1個實數(shù)根，

若怎(7,0),則/(x)-l=f有4個實數(shù)根，

若怎(1,2),則/(x)-1=/有2個實數(shù)根，

故/(尤)-l=t共有8個實數(shù)根，

即函數(shù)g(x)有8個零點，

故選：B.

/]._丫2v<^2

',若關(guān)于X的方程，（x）^+af（無）+1=0有6個實

{4Zn（x-1）,x>2

數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是()

175

A.(—,—2)B.(―2f—2)U(2,+8)

175

C.(—4,—2]D.(―2，—2]U[2/+8)

【分析】畫出函數(shù)/G)的大致圖像，設(shè)t=/(x),關(guān)于x的方程，(x)]2+b(x)+1=0有6個實數(shù)解,

等價于關(guān)于/的方程理+加+1=0有兩個不相等的實根〃，鉉，且d念6(0,4),再由二次函數(shù)根的分布

列出不等式組，解出。的取值范圍即可.

【解答】解：畫出函數(shù)f(x)的大致圖像，如圖所示：

設(shè)(x),貝!!及+。什1=0,

???關(guān)于X的方程，(x)f+af(x)+1=0有6個實數(shù)解,

關(guān)于t的方程Z2+at+\=0有兩個不相等的實根?1,?21

且由函數(shù)的大致圖像可知：a,/2C(0,4)

設(shè)g⑺=e+af+l,

，△=a2—4>0

0V—5V4

由二次函數(shù)根的分布可得：2

5(0)>0

<5(4)>0

17

解得：<a<-2,

故選：A.

6.(2021?涼山州模擬)集合/={1,2,3,4},y=/(x)是/到/的函數(shù)，方程/(無)=/(/(x))恰

好有兩個不同的根，且/(I)+(2)V<3)+f<4)=10,則函數(shù)y=/(x)-x的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.1或2D.4

【分析】根據(jù)已知函數(shù)的定義分兩類，①當(dāng)是1+2+3+4=10或2+2+3+3=10或1+1+4+4=10這三種情況，

②當(dāng)是3+3+3+1=10或2+2+2+4=10這兩種情況，然后分別求出零點即可.

【解答】解：函數(shù)y=f(%)是/到/的函數(shù)，意思為x=i,x=2,x=3,x=4分別與y=1>y=2,y

=3,y=4中的某一個對應(yīng)，

又/(I)+f(2)+f(3)+f(4)=10,

①當(dāng)是1+2+3+4=10或2+2+3+3=10或l+l+4+4=10這三種情況，

比如1對2,2對2,3對3,4對3,

即f(1)=/(/(1))=2,/(3)=/(/(3))=3,有/(2)=2,/(3)=3兩個零點，

②當(dāng)是3+3+3+1=10或2+2+2+4=10這兩種情況，

比如1對4,2對2,3對2,4對2,則/(3))=2,/(4)=/(/(4))=2,

此時只有/(2)=2一個零點，

故選：C.

7.(2021春?保山期末)已知函數(shù)/(x)=~仇?+以的值域為R,且若關(guān)于x的方程/

1-%2+1,%<0

(x)-(加+2)/(x)+2機=0有三個不同的實數(shù)根，則機的取值范圍為()

A.(-8,1)B.(-8,e)C.[0,1]D.[0,e]

【分析】先根據(jù)條件求出。，畫出/(x)的圖像，再把所求問題轉(zhuǎn)化為/(x)=加有一個實數(shù)根，進而

求解結(jié)論.

\lnx\+a,Y>0

【解答】解：根據(jù)該分段函數(shù)的圖象，函數(shù)/(X)=的值域要為&，

—x2+1/%<0

則aWl,但

??〃=1,

當(dāng)4=1時，函數(shù)/(X)圖象如圖所示:

關(guān)于x的方程/(x)-(m+2)f(x)+2加=0有三個不同的實數(shù)根,

即(/(x)-m)(/(x)-2)=0有三個不相等的實數(shù)根，

由圖象可知/G)=2有兩個實數(shù)根，則/G)=加有一個實數(shù)根，

:?m<1,

故選：A.

8.(2021?成都開學(xué))已知函數(shù)/(%)=1°93刈’”>0,若函數(shù)a)=[^(x)f,(心+2)f3+2m

{3X,%<0

恰好有5個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,1)C.[1,+8)D.(1,+8)

【分析】先畫出函數(shù)/(X)的大致圖像，g(x)=[f(x)]2-(加+2)/(x)+2加恰好有5個不同的零點

等價于方程[f(x)]2-(m+2)f(x)+2m=0有5個根，設(shè)t=f(x),則關(guān)于t的方程Z2-(TM+2)t+2m

=0必須有兩個不等的實根a,t2,且ae(o,1],?2e(b+°°),再利用二次函數(shù)根的分布列出不等式

組，解出洸的取值范圍即可.

【解答】解：畫出函數(shù)/(X)的大致圖像，如圖所示：

?.?函數(shù)g(x)=[f(x)]2-(勿+2)/(X)+2加恰好有5個不同的零點，

方程[A(x)]2-(m+2)f(x)+2m=0有5個根，

設(shè)f=/(x),則方程化為Z2-(m+2)t+2m=0,

易知關(guān)于/的方程尸-(%+2)什2m=0必須有兩個不等的實根力，念，

根據(jù)函數(shù)/(X)的圖像可知，ae(0,1],?2e(b+°°),

設(shè)/z(f)=P-(m+2)t+2m,

△=(m+2產(chǎn)—8m>0

h(0)〉0，

{h⑴<0

解得：0<加Wl.

故選：A.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

(住一xx<0

9.(2020秋?金州區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=%',則關(guān)于x的方程(x)]2-/(x)+a=Q

\\lgx\,x>0

的實數(shù)根個數(shù)可能為()

A.0B.2C.4D.6

【分析】作出/(x)圖像，令t=f(x),再作出-P+t圖像，結(jié)合圖像即可得出結(jié)論,

【解答】解：當(dāng)x＜0時，/(x)=(—x為減函數(shù)，

Igx,xE(1/+oo)

當(dāng)x>0時，f(x)=\lgx\=

—Igx,xE(0,1)

f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+°°)上單調(diào)遞增,

設(shè)t=f(x),則方程-p-+t=a,

當(dāng)a＜0時，方程-P+/=a,有兩個解＜0,及＞1，

若力＜0,t=f(x)有一個解，

若四＞1，有兩個解，共三個解，

當(dāng)a=0時，方程-P+f=a,有兩個解n=0，以=1,

若力=0,(x)有兩個解，

若f2=l,f=/(x)有兩個解，共四個解，

當(dāng)0<aV/時，方程-P+f=a,有兩個解0<6號，1<t6<\,

1

若0V“<*」=/(x)有兩個解，

1

若二V%VI,/=/(%)有兩個解，共四個解，

2

當(dāng)。=,時，方程-P+/=a,有一個解力=1,

若力=1,，=/(%)有1個解，

當(dāng)a>J時，方程-t1+t=a無解，

綜上，方程|/(尤)]2-/(x)+。=0的實數(shù)根個數(shù)：0,1,3,4.

故選：AC.

2

10.(2020秋?渝中區(qū)校級月考)設(shè)函數(shù)/(x)=2)，"2，g(尤)=/_{m+\)x+m-2,下列

l|x+1|,x<2,

選項正確的有()

A.當(dāng)機>3時，j\f(x)]=m有5個不相等的實根

B.當(dāng)心=0時，g[g(x)]=%有4個不相等的實根

C.當(dāng)0<加<1時，力g(x)]=加有6個不相等的實根

D.當(dāng)機=2時，g[f(x)戶機有5個不相等的實根

【分析】作出函數(shù)/G)的圖像，對于/：若"(x)]=機>3,由圖像可知/G)6(-8,-4)U(e3+2,

+8),再結(jié)合圖像可得共三個解，可判斷力是否正確.

對于8：若心=0,由圖像可知若g[g(無)]=0,得g(x)=-1或g(x)=2,又g(x)=(x-2)(x+1),

即可判斷2是否正確.

對于C：若0<加<1,則_/[g(x)]￡(0,1),結(jié)合圖像可得g(x)G(-2,-1)或g(x)￡(-1,0)

或gG)€(3,+8),即可判斷C是否正確.

對于。：若m=2,則g(x)=7-3x+2且g|/(x)]=2,即/(x)-y(x)+2=2,解/(x),再結(jié)合

圖像，即可判斷。是否正確.

【解答】解：因為已知函數(shù)/(x)=卜("—2)'”>2,

l|x+1|/x<2

作圖,

A.若力(x)]=m>3,則/(x)e(-8,-4)U(e3+2,+°°),

由上圖可知/(x)e(-8,-4)有一個解，

f(x)￡(e3+2,+8)有兩個解，共三個解，故/不符合題意.

B.若加=0,則g(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),

若g[g(x)]=m=0,

則g(尤)=T或g(x)=2,

由g(x)=-1可得方程x2-x-1=0,

由判別式大于零可知，該方程有兩個解，共有四個解，且四個解不互相同，故8符合題意，

c.若0<小<1,則y(g(x)]=me(o,i),

由函數(shù)/(X)的圖像可知g(X)e(-2,-1)或g(X)e(-1,0)或g(X)e(3,+°°),

令xiC(-2,-1),X2G(-1,0),X3G(3,+8),

此時g(x)=X1或g(x)=X2或g(X)=X3共6個解，故C符合題意，

D.若m=2,則g(無)=7-3x+2,

此時g\f(x)]=m=2,

所以/(x)-3/(x)+2=2,

所以/(x)=0或/(x)=3,

由函數(shù)/(x)的圖像可知，/(x)=0有兩個解，/(無)=3有三個解，共5個解，且5個解，故。符合

題意，

故選：BCD.

11.(2021春?浙江期中)設(shè)函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(。，b,ceR,a>0),則下列說法正確的是()

A.若/G)=x有實根，則方程/(/(x))=x有實根

B.若/(%)=%無實根，則方程/(/(x))=x無實根

C.若f(—務(wù)V0，則函數(shù)尸/⑴與尸/(/(X))都恰有2個零點

D.若/(/(—/))<0，則函數(shù)y=/(x)與y=/(/(x))都恰有2零點

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項4,B,。的正誤，舉反例[(x)=W-x可判斷選項。的正誤.

【解答】解：對于選項Z：若/(x)=x有實根x=xo，則方程/(/(x))=f(xo)=xo，/選項正確，

對于選項5：因為。>0,若方程/(%)=%無實根，則/(x)-x>0對任意的xCR恒成立，

所以/(/G))>/(x)>x,從而方程/(/(x))=》無實根，8選項正確，

對于選項C取/(x)=x2-x,則/.)=-^<0,函數(shù)>=/(%)有2個零點，

則/(/(%))=[/t(x)]2-f(x)=0,可得/(%)=0或/(%)=1,

即x2-X=0或/-x=1,

解得x=0或1或蘭盧，

2

此時，函數(shù)y=/(/G))有4個零點，。選項錯誤，

對于選項。：因為/(/(—白))V0,設(shè)，=/(—/)，貝(X)min，

因為/(力<0且。>0,

所以函數(shù)/(X)必有2個零點，設(shè)為XI，X2,且X1VX2，

則X1VEVX2，所以方程/(x)=X1無解,方程/(X)=%2有2個解，

因此若/(/(—務(wù))V0,則函數(shù)尸/(X)與y=f(f(X))都恰有2零點，。選項正確，

故選：ABD.

p1Y>277

'~(〃?eR),則()

{—(%+2)2,x<m

A.對任意的加6R,函數(shù)/(x)都有零點

B.當(dāng)加W-3時，對VxiWx2,都有(XI-X2)(/(XI)-f(X2))<0成立

C.當(dāng)機=0時，方程“G)]=0有4個不同的實數(shù)根

D.當(dāng)%=0時，方程/G)tf(-無)=0有2個不同的實數(shù)根

【分析】作出函數(shù)歹="-1和y=-f-4%-4的圖象，逐個判斷即可.

【解答】解：對于出作出函數(shù)-1和y=-x2-4x-4的圖象如圖所示：

當(dāng)加>0時，函數(shù)/(x)只有1個零點，

當(dāng)-2〈加W0時，函數(shù)/(x)有2個零點，

當(dāng)加W-2時，函數(shù)f(x)只有1個零點，故/正確；

對于8：當(dāng)〃zW-3時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

若當(dāng)冽W-3時，對Vxi力X2，都有(xi-X2)(/(XI)-f(X2))<0成立，則f(X)單調(diào)遞減，故B

錯誤；

對于C：加=0時，/(力=0得a=-2,t2=0,

當(dāng)/(x)=h=-2時，方程有兩個解，

當(dāng)/(x)=f2=0時，方程有兩個解，

所以方程;[/(x)]=0有4個不同的實數(shù)根，故C正確；

對于D：當(dāng)機=0時，方程/(x)+fC-x)=0的根為/(x)=-/(-X)的根，

令h(x)=-/(-%)，

可得函數(shù)/(x)與h(x)有三個交點，其中包括x=0,

即方程/(x)+f(-X)有三個根,

故選：AC.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(2021?畢節(jié)市模擬)已知函數(shù)/(無)=，魂-2],關(guān)于尤的方程|/(尤)f+bf(x)+廿-1=0恰有5個

不同實數(shù)解，則實數(shù)6=.

【分析】首先畫出函數(shù)/(x)的圖像，然后結(jié)合題意和函數(shù)圖像即可求得實數(shù)6的值.

【解答】解：繪制函數(shù)/G)的圖像如圖所示：

當(dāng)t=0時，f(x)=1有2個實數(shù)根,

當(dāng)/=1時，f(x)=1有3個實數(shù)根,

當(dāng)t>l時，/(x)=/有2個實數(shù)根,

當(dāng)0</<1時，/G)=/有4個實數(shù)根,

令t=/(x),則關(guān)于f的方程P+從+/-1=0有一個根為1,另外一個根為0或者另外一個根大于1,

令才=1可得：1+b+b2-1=0,則6=0或b=-l,

6=0時，方程即理-1=0,此時，=1或￡=-1,不合題意；

6=-1時，方程即P-才=0,此時￡=0或才=1,滿足題意；

綜上可得，6=-1.

故答案為：-1.

14.(2021秋?浦東新區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(無)=["劃'X>°,若關(guān)于x的方程/(x)+bf

l|x2+4x+3|,%<0

G)+4=0有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)6的取值范圍是.

【分析】作出函數(shù)/(x)的大致圖像，設(shè)f=/(x),根據(jù)圖像確定當(dāng)/取不同的范圍時，t=/(x)的根

的個數(shù)，若關(guān)于x的方程/(x)+bf(x)+4=0有8個不同的實數(shù)根，則等價于①方程J+6什4=0有兩

個根，滿足1C/1W3,1C/2W3,②方程p+6r+4=o有兩個根，滿足a=l,f2>3,再結(jié)合二次函數(shù)的圖

像和性質(zhì)，從而求出6的取值范圍.

【解答】解：作出函數(shù)/(無)的大致圖像，如圖所示，

設(shè)t=f(x),

由圖像可知，當(dāng)f>3時，f=/(x)有3個根，

當(dāng)1C/W3時，(x)有4個根，

當(dāng)t=i時，，=/(X)有5個根，

當(dāng)0<t<l時，t=f(x)有6個根，

當(dāng)/=0時,t=f(x)有3個根，

當(dāng)<0時，f=/(x)有0個根，

方程/(x)+bf(x)+4=0等價于理+從+4=0,

：/=0時，方程不成立，

...若方程/(x)+bf(x)+4=0有8個不同的實數(shù)根，

則等價于以下兩者情況：

①方程金+6什4=0有兩個根，滿足1<短或3,

②方程理+4+4=0有兩個根，滿足力=1,四>3,

設(shè)〃(x)=P+6f+4,

'△=b2-16>0

b

對于①，則滿足<12,解得—學(xué)WbV—4,

ft(l)>0

</i(3)>0

對于②，則〃(1)=0,即l+b+4=0,：.b=-5,

此時P-5什4=0,解得%=1或才=4,滿足，2>3,

綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是［―*-4)U{-5},

故答案為：［一早-4)U{-5}.

2T——%〉］

15.(2021春?濱海新區(qū)校級期末)已知函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，當(dāng)Q0時，/G)=2',關(guān)于

1nx,0<x<1

x的方程/(x)+af(x)-廿=0有且僅有6個不同的實根，則實數(shù)。的范圍是.

【分析】根據(jù)題意作出/G)的圖象，令t=f3,則方程為/=0,若方程/(x)+b(x)-

/=0有且僅有6個不同的實根，則方程金+必-/=()有兩個實數(shù)根，即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意作出/G)的圖象，

令t=fQx）,則方程為P+W-廿=0,

若方程/（x）+b（x）-/=0有且僅有6個不同的實根,

則方程P+at-廿=0有兩個實數(shù)根，

所以其中一個根『0,且另一根叁在區(qū)間（一表0）,

所以廿=0,

、1

所以九=0或，2=-ae（—2，0）,

1

所以O(shè)VaV.,

1

所以。的取值范圍（0,-）.

2

、1

故答案為：（0,-）.

2

—Inx,%G（0/1]

16.（2020秋?玉溪期末）函數(shù)/（%）=j（l廣1（]），關(guān)于x的方程2,（x）F-4何'（x）

+5加-2=0）有4個不同的實數(shù)解，則加的取值范圍是.

【分析】作出了（X）的圖像，令/（x）=t,問題可轉(zhuǎn)化為2/-4加+5加-2=0有兩個且兩個都在區(qū)間（0,

1）上，設(shè)g（力=2?-4mt+5m-2,結(jié)合圖像列式，即可得出答案.

【解答】解：作出/（x）的圖像如下：

令f(x)=t,

則關(guān)于X的方程2|/(x)]2-4mf(x)+5m-2=0有4個不同的實數(shù)解，

等價于2金-4mt+5m-2=0有兩個且兩個都在區(qū)間(0,1)上，

r0<m<l

設(shè)gG)=2戶-4M+5加-2,由圖可知,

g(0)>0

<g(m)<0

21

解得me(-,-).

四.解答題(共6小題，滿分70分)

x2m

17.(2021春?湖南期中)已知函數(shù)f(x)=|(x+'x>0在(0,+8)上有最小值1.

110出(一%),X<0

(1)求實數(shù)%的值；

(2)若關(guān)于X的方程[/Xx)]2-(2葉l)/(x)+廬+左=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)片的取值

范圍.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)有最小值可以判斷出加<0,然后根據(jù)基本不等式即可求出答案.

(2)化簡方程可得/(x)=左或/(x)=k+\,根據(jù)方程有4個不相等的實數(shù)根，得出即可

得出答案.

【解答】解：⑴當(dāng)x>0時，f(x)=尤+果

當(dāng)初W0時，顯然不存在最小值，

故m>0,x+^->24m-1,

?*.m=-7,

(2)方程/(X)]2-(2左+1)/(X)+嚴(yán)+左=0,

解得/(X)=左或/(尤)=后+1,

因為方程有四個不相等的實數(shù)根，

所以/(X)=人有一個解，f(X)=左+1有二個解,

根據(jù)圖像可知

lfc<l

18.(2020秋?江蘇月考)已知函數(shù)f(x)=三芋一2,g(x)=p-2x|.

(1)利用定義法討論函數(shù)/(x)在(0,+8)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/i(x)=/[。(久)]+V動-人有6個不同的零點，求實數(shù)人的取值范圍.

【分析】(1)由單調(diào)性的定義，取值，作差，變形，定號，下結(jié)論，即可.

lx2—2X|2+2/C1c

(2)問題轉(zhuǎn)化為h(x)=0有六個根，即~~;--2+,2n-k^O,令卜2-加=/(t>o),

|X2-2%||XZ-2X|

t2-1k+2；t+2k+l=o,作出/=F-2R的圖象，即可得出答案.

【解答】解：⑴證明：/(x)=x+當(dāng)一2,

設(shè)XI，X2是(0，+°°)內(nèi)的任意兩個數(shù)，且X1〈X2,

2k2k2k2k、(xx-2k)

f(xi)-f(X2)—(xiH------2)-(%2H------2)=(xi-X2)+(———)=(xi-X2)?---1---2------

X1X2*2%1%2

當(dāng)左>0時，當(dāng)OVxiV%2左時，XI-X2<0,XlX2>0,X1X2-2左VO,

所以/(XI)-/(X2)>0,即/(XI)>/(%2),函數(shù)/(%)在(0,V2k)單調(diào)遞減，

當(dāng)<X\<X2時，xi-X2<0,XlX2>0，X1X2~2左>0,

所以/Gi)-/(M)<0,即/G1)>Z(X2),函數(shù)/(x)在(何，+8)單調(diào)遞增,

當(dāng)EWO時，XI-X2〈0,XlX2>0，X\X2-2左>0,

所以/(制)-/(工2)<0,即/(制)</(X2),函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)上W0時，函數(shù)/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)左>0時，函數(shù)/(%)在(0,V2fc)單調(diào)遞減，在(&E+8)單調(diào)遞增.

22

.t\x-2x\+2k1

⑵令"⑴=°'則”_2制_2+曲不一2°'

令p-2x\=t(r>0),

t2+2kI廠t2-(/c+2)t+2/c+l

—2+——k=0，BP=0，

ttt

由f=p-2x|的圖象可知，h(x)要有6個零點，

則金-(左+2)什2左+1=0有兩個實數(shù)根，九E(0,1),念￡(1,+8),

設(shè)加(/)-(左+2)Z+2左+1,

>0f2fc+1>01

貝必，即on］，解得一5v^vo,

(m(l)<011-(fc+2)+2/c+1<02

綜上可知，片的取值范圍為(―/0).

19.(2020秋?海珠區(qū)校級期中)已知函數(shù)g(x)=/-2*+1且函數(shù)y=g(x+l)是偶函數(shù)，設(shè)/(%)=嚕.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若不等式/G)-〃?xNO在區(qū)間［1,2］上有解，求實數(shù)拉的取值范圍.

(3)若方程f(|2，-1|)+人二不-2=0有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)片的取值范圍.

-1|

【分析】(1)由函數(shù)y=g(x+1)是奇偶性，推出二次函數(shù)g(x)關(guān)于尤=1對稱，解得。，進而可得g

(x)解析式和/(x)的解析式.

(2)問題可化為如(孕―+1，只需加小于等不J)2一+1最小值即可.

(3)方程化簡為1產(chǎn)-4邛-1|+1+2左=0,令廠=|2工-1|。>0),問題轉(zhuǎn)化為方程J-4什1+2后=0,

必須有兩個不相等的實數(shù)根門，廠2,進而解出實數(shù)人的取值范圍.

【解答】解：(1)???函數(shù)y=g(計1)是偶函數(shù)，

...二次函數(shù)g(x)=x2-2ax+l的圖象關(guān)于x=l對稱，

受=1,即。=1,

；.g(x)=x2-2x+l,

/./(%)=^=x+i-2.

(2)不等式/(x)-優(yōu)尤>0可化為mW$2—1+1,

...不等式機Wd)2-1+l在區(qū)間口，2]上有解，

11

令仁事則te匿，1],

C1

記人(I)=r-2/+1,t6[2/1],

1

???對稱軸f=l,???函數(shù)〃⑺在5，1]上單調(diào)遞減,

.11.1

??h(f)max—h=4，??加44，

1

即實數(shù)機的取值范圍為(-8,-].

4

2

(3)方程/(|2入1|)+后?石芍—2=0，

即|2工-1I+-A—-2+A：-—-2=0,化簡得|2X-1|2-4\2X-1|+1+2左=0,

|2-1||2X-1|

令r=|2"-1|(r>0),貝ljr2-4什1+2左=0,

若方程f(|2久-1|)+k-i--2=0有三個不同的實數(shù)根，

I，一1|

則方程J-4什1+2%=0,必須有兩個不相等的實數(shù)根廠1，;-2，

且001<1,廠2>1或001<1,ri=\,

令h(r)=/-4r+l+2左,

當(dāng)?！?則愣二:即-加<1，

當(dāng)n=\時，h(r)=尸-4r+3,ri=3舍去,

綜上所述，實數(shù)人的取值范圍是(-，1).

20.(2020秋?九江期中)已知函數(shù)g(x)=o？-2x+l+b,函數(shù)g(x)有兩個零點分別是-1和3.

(1)若存在猶曰1,3］,使不等式gGo)■■機xo》O成立，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)記/(x)=g(x)-3kx+2k,若方程=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)后的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)題意可得7,3是方程/-2x+l+6=0的兩個根，求出a,b,進而得g(x)的解析

式，然后將問題轉(zhuǎn)化為22〃?，在回41,3］上有解，再求出加的范圍；

(2)結(jié)合(1),可得原方程轉(zhuǎn)化為|2工-if-(3^+2)\2X-1|+2A--3=0,令￡=|2工-1|(總0),則方程

?-(34+2)汁24-3=0,有兩個不同的實數(shù)根〃=0,0<r2<l，列出不等式，解得實數(shù)人的取值范圍.

【解答】解：(1)因為g(-1)=0,g(3)=0,

所以X=-1,x=3是方程ac?-2x+l+6=0的兩個根,

所以::受小心

所以g(x)=7-2x-3.

因為存在xoe［l,3］,使得不等式g(xo)27Mxo成立,

等價于X—最一2》加，在期日1,3］上有解,

、3

而I己u(x)—x------2,

X

因為“(x)在［1,3］上單調(diào)遞增,

所以M(X)max=U(3)=0,

所以加的取值范圍(-8,0].

(2)f(x)=g(尤)-3>kx+2k,

所以/(x)=?-(2+38x+2k-3,

原方程轉(zhuǎn)化為0-1|2-(3左+2)\2X-l\+2k-3=0,

令上邛-1|G20),

t2-(3左+2)什2左-3=0,有兩個不同的實數(shù)根0=0,0V亥VI,

記〃(/)=?-(3眉~2)t+2k-3,

則像二二U或優(yōu)卜(0)=建2fc二-3』愣二二3U

解得k>l，

3

所以實數(shù)上的取值范圍為(?+8).

21.(2020秋?宛城區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=x2+ax+\(a>0).

(1)若f3的值域為［0,+8),求關(guān)于x的方程/G)=4的解；

(2)當(dāng)”=2時，函數(shù)g(x)=［f(x)］2-2切'(%)+混-1在［-2,1］上有三個零點，求”?的取值范圍.

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)值域可得/(x)=0,解出。即可得到/(x)的解析式，進而即可

得到方程的解；

(2)g(x)=［f(x)］2-2mf(x)+m2-1在［-2,1］上有三個零點等價于方程,(x)］2-2mf(x)+m2

-1=0在［-2,1］上有三個不同的根.則有/(x)=機+1或/G)=m-\,

結(jié)合/(x)圖象可知/(x)=加+1在［-2,1］上有一個實數(shù)根，/G)=加-1在［-2,1］在上有兩個不等

實數(shù)根’叱m解得…

【解答】解：⑴因為/(X)的值域為［0,+8),所以/(X)加〃=/(一分=/一■|/+1=0,

因為。>0,所以。=2,則/(x)=X2+2X+1,

因為/(x)=4,所以f+Zx+l：%即/+2工-3=0,

解得x=-3或x=l；

(2)g(x)=［f(x)］2-2mf(x)+m2-1在