第13講探索三角形相似的條件（2大考點）（解析版）

第13講探索三角形相似的條件（2大考點）考點考點考向一．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．二．相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．【方法點撥】相似三角形的判定方法匯總：1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似?？键c考點精講一．平行線分線段成比例（共11小題）1．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，則DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到DE、EF的關(guān)系，根據(jù)DF＝15，得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，，∴＝＝，∴，∴DE＝6，故選：B．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確運用定理找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF＝3FE，BD＝3，則DC＝2．【分析】過點E作EG∥DC交AD于G，可得EG是△ACD的中位線，所以CD＝2EG，由EG∥DC根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BD＝3EF，可得EF＝1，即可求解．【解答】解：如圖，過點E作EG∥DC交AD于G，∵BE是△ABC的中線，∴點E是AC的中點，∴EG是△ACD的中位線，∴DC＝2EG，∵GE∥BD，∴，∵BF＝3FE，∴，∴，∵BD＝3，∴EF＝1，∴CD＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，三角形的中位線，過點E作EG∥DC，構(gòu)造三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?灌云縣期末）如圖，，AD＝15，AB＝40，AC＝28，則AE＝．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)把原式變形，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解答】解：∵＝，∴＝，∵AD＝15，AB＝40，AC＝28，∴＝，解得：AE＝，故答案為：．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、正確代入計算是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，則AC的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求出求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝3：2，AE＝6cm，∴＝，∴EC＝4cm．∴AC＝AE+CE＝10（cm），故選：D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，DE∥BC，且EC：BD＝2：3，AD＝6，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由平行線分線段成比例定理得＝＝，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，即＝，解得：AE＝4，故選：D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個判斷即可．【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本選項不符合題意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項不符合題意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項不符合題意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．7．（2021秋?儀征市期末）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條直線分別交于點A、B、C和D、E、F．若AB＝6，BC＝3，EF＝4，則DE的長為（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝，再求出DE的長度即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝6，BC＝3，EF＝4，∴＝，解得：DE＝8，故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．8．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，若Rt△ABC的面積為4，則△ABO面積為．【分析】過點D作DF∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得＝＝，根據(jù)已知＝，得DF＝2EC，DO＝2OC，DO＝DC，所以得S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，即S△ABO＝S△ABC．【解答】解：如圖，過點D作DF∥AE，交BE于點F，則＝＝，∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，∴DO＝DC，∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，∴S△ABO＝S△ABC＝×4＝．故答案為：．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．9．（2021秋?常州期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，AD：DB＝2：3，點E是CD的中點，連接AE并延長，交BC于點F，則BF：FC＝5：2．【分析】過D作DG∥AF交BC于G，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過D作DG∥AF交BC于G，∴，∵AD：DB＝2：3，∴＝，∵DG∥EF，∴＝，∵點E是CD的中點，∴＝1，∴CF＝GF，∴BF：FC＝5：2，故答案為：5：2．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?靖江市校級月考）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進行逐項判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴＝，∵AC＝CG，∴＝＝，故A正確，不符合題意；∵CD∥EF，∴＝，∵DE＝3DG，∴EG＝2DG，∴＝＝，故B正確，不符合題意．∵CD∥EF，∴＝∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴＝＝，故C正確，不符合題意；∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵＝＝，∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴＝，故D錯誤，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐一分析四個結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．點P從點A出發(fā)，沿折線AB﹣BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動．點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒個單位長度的速度運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點P停止時，點Q也隨之停止．設(shè)點P運動的時間為t秒．（1）求線段AQ的長．（用含t的代數(shù)式表示）（2）當PQ與△ABC的一邊平行時，求t的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC即可解決問題．（2）分兩種情形分別討論即可解決問題．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵CQ＝t，∴．（2）①當點P在AB上，PQ∥BC時，＝，∴＝，∴t＝，②當點P在BC上，PQ∥AB時，＝，∴＝，∴t＝3，綜上所述，t＝或3s時，PQ與△ABC的一邊平行．【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．二．相似三角形的判定（共14小題）12．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，不能說明△ABC∽△ACD的一組條件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD?AB D．＝【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法主要分析判斷即可．【解答】解：A、∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故選項A不符合題意；B、∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故選項B不符合題意；C、∵AC2＝AD?AB，∴，又∵∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故選項C不符合題意；D、∵根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，∴不能判斷△ABC∽△ACD，故選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法，（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法；（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．13．（2022秋?海陵區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，點P在邊AB上，則在下列四個條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④CP?AB＝AP?CB，能滿足△APC與△ABC相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對①②進行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對③④進行判斷．【解答】解：當∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故①符合題意；當∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故②符合題意；當AC2＝AP?AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故③符合題意；當CP?AB＝AP?CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判斷△APC和△ACB相似．故④不符合題意；故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．14．（2022?宿豫區(qū)校級開學）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在線段BD上有一點P，使得△PAB和△PCD相似，則滿足條件的點P的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【分析】分兩種情況討論，由三角形的性質(zhì)可列出等式，可求解．【解答】解：設(shè)BP＝x，則PD＝17﹣x，∵∠B＝∠D＝90°，∴當或時，△PAB和△PCD相似，當時，則，解得：x＝，當時，則，解得：x＝，∴BP的值有三個，故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?沛縣校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P以2mm/s的速度從A向B移動，（不與B重合），動點Q以4mm/s的速度從B向C移動，（不與C重合），若P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過3或秒后，△PBQ與△ABC相似．【分析】設(shè)x秒后△PBQ與原三角形相似，則可用x表示出AP＝2x，PB＝12﹣2x，BQ＝4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，分兩種情況．【解答】解：設(shè)x秒后△PBQ與△ABC相似，則AP＝xcm，PB＝（12﹣2x）（cm），BQ＝4xcm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當時，△BPQ∽△BAC，即，解得x＝3；當時，△PBQ∽△CBA，即，解得x＝．即經(jīng)過3秒或秒后，△PBQ與△ABC相似．故答案為：3或．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?蘇州期中）如圖，在矩形ABCD中，P是AD上的動點，連接BP，CP，若AD上存在三個不同位置的點P，使△ABP與△CDP相似，設(shè)，則d的取值范圍是0＜d＜．【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)列出方程，即可求解．【解答】解：當點P是AD的中點時，則AP＝PD，∴，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABP∽△DCP，當點P不是AD的中點時，若，∠A＝∠D＝90°，則△ABP∽△DPC，∴，∴AB2﹣BC?AP+AP2＝0∵AD上存在三個不同位置的點P，∴Δ＞0，∴BC2﹣4AB2＞0，∴0＜＜，∴0＜d＜，故答案為：0＜d＜．【點評】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，列出方程是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的正半軸成60°的射線OC，在射線OC上截取OA＝2，過點A作AB⊥x軸于點B，在坐標軸上取一點P（不與點B重合），使得以P，O，A為頂點的三角形與△AOB相似，則所有符合條件的點P的坐標為（4，0）或（0，）或（0，）．【分析】由于∠AOB＝60°，∠ABC＝90°，所以當P點在x軸上，∠AOP＝60°，∠OAP＝90°時，△PAO∽△ABO，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到OP＝4，于是得到P（4，0）；當P點在y軸上，若∠APO＝60°，∠OAP＝90°時，△PAO∽△OBA，接著計算出OP＝，于是得到P（0，）；若∠PAO＝60°，∠APO＝90°時，△APO∽△OBA，則可計算出OP＝AP＝，于是得到P（0，）．【解答】解：∵∠AOB＝60°，∠ABC＝90°，∴當P點在x軸上，∠AOP＝60°，∠OAP＝90°時，△PAO∽△ABO，此時OP＝2OA＝4，則P（4，0）；當P點在y軸上，若∠APO＝60°，∠OAP＝90°時，△PAO∽△OBA，此時AP＝OA＝，OP＝2AP＝，則P（0，）；若∠PAO＝60°，∠APO＝90°時，△APO∽△OBA，此時AP＝OA＝1，OP＝AP＝，則P（0，）；綜上所述，P點坐標為：（4，0）或（0，）或（0，）．故答案為：（4，0）或（0，）或（0，）．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了分類討論的思想．18．（2022秋?射陽縣月考）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P為CD邊上的動點，當△ADP與△BCP相似時，求DP長．【分析】設(shè)DP＝x，利用矩形的性質(zhì)得到BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°，則根據(jù)相似三角形的判定方法，當＝時，△DAP∽△CBP，＝；當＝時，△DAP∽△CFB，即＝，然后分別解方程即可．【解答】解：設(shè)DP＝x，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°，∴PC＝5﹣x，∵∠D＝∠C，∴當＝時，△DAP∽△CBP，即＝，解得x＝；當＝時，△DAP∽△CFB，即＝，解得x1＝1，x2＝4，綜上所述，DP的長為或1或4．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了矩形的性質(zhì)．19．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從點A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為xs．（1）當PQ∥BC時，求x的值．（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．【分析】（1）當PQ∥BC時，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值；（2）分兩種情況進行討論．由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A和∠C對應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對應(yīng)成比例以及AP和BC對應(yīng)成比例兩種情況．【解答】解：（1）當PQ∥BC時，AP：AB＝AQ：AC，∵AP＝4x，AQ＝30﹣3x，∴，解得：x＝；即當x＝，PQ∥BC；（2）能，①當△APQ∽△CQB時，有，即：，解得：x＝，∴AP＝4x＝（cm），②當△APQ∽△CBQ時，有，即：，解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），綜上所述，當AP＝cm或20cm時，△APQ與△CQB相似．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC＝20°，點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當α＝50、70、160時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【分析】分DE⊥AB或DE⊥BC或DE⊥AC三種情形，分別畫出圖形，求出旋轉(zhuǎn)角∠COD的度數(shù)即可．【解答】解：當DE⊥AB時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．連接OC，∵∠ABC＝20°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC＝20°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，當DE⊥BC時，△BOF∽△BCA，∴∠COD＝∠BOD＝70°，∴α＝70，當DE⊥AC時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．∴∠COE＝∠AOE＝∠ABC＝20°，∴α＝∠COD＝160，故答案為：50或70或160．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，圓周角定理，垂徑定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝14，AC＝6，在AC上取一點D，使AD＝2，如果在AB上取點E，使△ADE和△ABC相似，則AE＝或．【分析】本題應(yīng)分兩種情況進行討論，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根據(jù)各相似三角形得出的關(guān)于AE、AE、AB、AC四條線段的比例關(guān)系式求出AE的長．【解答】解：本題分兩種情況：①△ADE∽△ACB，∴AB：AC＝AE：AD，∵AB＝14，AC＝6，AD＝2，∴AE＝；②△ADE∽△ABC，∴AB：AC＝AD：AE，∵AB＝14，AC＝6，AD＝2，∴AE＝，故答案為：或．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)．由于題中沒有明確相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，因此本題要分情況進行討論，以免漏解．22．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D為AB上一動點（點D與點A不重合）．若在△ABC的直角邊BC上存在一點E，使△ADE與△ABC相似，則AD的值為或1或2或．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB＝2，∠A＝60°，△ADE與△ABC相似，分以下四種情況：①△ACB∽△ADE，②△ACB∽△EDA，③△ACB∽△AED，④△ACB∽△DEA，分別求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，∴AB＝2，∠A＝60°，在△ABC的直角邊BC上存在一點E，△ADE與△ABC相似，分以下四種情況：①△ACB∽△ADE，如圖所示：此時點E與點C重合，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠ABC＝30°，∴AD＝＝；②△ACB∽△EDA，如圖所示：此時∠ADE＝∠BCA＝90°，∠DAE＝∠ABC＝30°，∴∠CAE＝30°，∴∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE（AAS），∴AD＝AC＝1；③△ACB∽△AED，如圖所示：此時△ACB≌△AED，∴AD＝AB＝2；④△ACB∽△DEA，如圖所示：此時∠DEA＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠ABC＝30°，∴∠CAE＝30°，∵AC＝1，AE＝＝，∴AD＝＝；綜上，AD的值為或1或2或．故答案為：或1或2或．【點評】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，注意△ADE與△ABC相似要分情況討論．23．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，動點E在邊BC上，連接DE，過點A作AH⊥DE，垂足為H，AH交CD于F．（1）求證：△CDE∽△DAF；（2）當FC＝2時，求EC的長．（3）若直線AF與線段BC延長線交于點G，當△DEB∽△GFD時，求DF的長．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ADC＝∠BCD＝90°．根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DC＝AB＝3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）由∠DEC＝∠AFD＝90﹣∠EDC可得∠BED＝∠DFG，用x的代數(shù)式表示ED、FG、EB，再運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC＝∠BCD＝90°．又∵AF⊥DE，∴∠DCE＝∠ADF＝90°，∠EDC＝∠DAF＝90°﹣∠DFA，∴△ADF∽△DCE（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∵FC＝2，∴DF＝DC﹣FC＝1，∵△ADF∽△DCE，∴＝，∴EC＝＝＝；（3）解：如圖中，∵△ADF∽△DCE∴＝，∴＝＝＝2，設(shè)EC＝x，則DF＝2x，∵△DEB∽△GFD，∴＝，∴FG＝＝∵△ADF∽△GCF，∴＝，∴FG＝?，∴＝?解得x＝，∴DF＝2x＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點，作∠DEF＝90°，EF交射線BC于點F設(shè)BE＝x，△BED的面積為y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如果以B、E、F為頂點的三角形與△BED相似，求△BED的面積．【分析】（1）根據(jù)∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根據(jù)BC的長和∠B的正弦值，表示出BD邊上的高，再根據(jù)三角形BED的面積公式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若兩三角形相似，則∠BEF＝∠BDF．求△BED的面積就需要知道底邊和高，關(guān)鍵是求出BE的長，可通過構(gòu)建相等的線段，來得出關(guān)于x的方程求解．分別過E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根據(jù)∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE＝∠FEB＝∠FDE．因此可得出EM＝EH，可根據(jù)EM，EH的不同的表示方法，來得出含x的等式，從而求出x的值．也就可以求出三角形BED的面積了．∠BEF為銳角和鈍角的不同情況時，表示線段EM的式子會略有不同，但是思路是一致的，不要丟掉任何一種情況．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴CD＝DB＝4．如圖1，過點E作EH⊥CB于H．則可求得EH＝x．∴y＝×4×x＝x（0＜x≤或5＜x≤10）．即y＝x（0＜x≤或5＜x≤10）；（2）由題意知∠BEF≠90°，故可以分兩種情況．①如圖2，當∠BEF為銳角時，由已知以B、E、F為頂點的三角形與△BED相似，又知∠EBF＝∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF＝∠BDE．過點D作DM⊥BA于M，過E作EH⊥BC于H．根據(jù)等角的余角相等，可證得∠MDE＝∠HDE，∴EM＝EH．又EM＝MB﹣EB＝﹣x，由（1）知：EH＝x，∴?x＝x，∴x＝2．∴y＝×2＝．②如圖3，當∠BEF為鈍角時，同理可求得x﹣＝x，∴x＝8．∴y＝×8＝．所以，△BED的面積是或．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式．注意（2）中都要分情況進行討論：要分∠BEF時鈍角還是銳角進行分類討論，不要丟掉任何一種情況．25．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，其中點A、C分別在x軸、y軸上，B（4，2）．P是x軸負半軸上一點，OP＝OC，過點P的直線l分別與y軸、邊BC交于點D、點E，連接AE．當△POD與△ABE相似時，求CE的長．【分析】分兩種情形：當△ABE∽△DOP時，∠AEB＝∠DPO，證明EP＝EA，求出點E的橫坐標即可解決問題．②當△ABE∽△POD時，過點E作EH⊥PA于H．證明△PHE∽△EHA，可得EH2＝PH?AH，設(shè)AH＝x，則PH＝6﹣x，構(gòu)建方程求出x，即可解決問題．【解答】解：①當△ABE∽△DOP時，∠AEB＝∠DPO，∵BC∥AP，∴∠EAP＝∠AEB，∴∠EPA＝∠EAP，∴EP＝EA，∴點E的橫坐標為1，∴CE＝1．②當△ABE∽△POD時，過點E作EH⊥PA于H．∵∠BAE＝∠EPA，∠BAE+∠EAP＝90°，∴∠EPA+∠EAP＝90°，∴∠AEP＝90°，∵EH⊥AP，∴∠EHP＝∠EHA＝90°，∴∠PEH+∠EPH＝90°，∠PEH+∠AEH＝90°，∴∠EPH＝∠AEH，∴△PHE∽△EHA，∴EH2＝PH?AH，設(shè)AH＝x，則PH＝6﹣x，∴x（6﹣x）＝4，∴x2﹣6x+4＝0，∴x＝3﹣或3+（舍棄），∴CE＝+1．綜上所述，滿足條件的CE的值為1或+1．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020·江蘇·無錫市錢橋中學九年級月考）下列四個選項中的三角形，與圖中的三角形相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由于已知三角形和選擇項的三角形都放在小正方形的網(wǎng)格中，設(shè)正方形的邊長為1，所以每一個三角形的邊長都是可以表示出，然后根據(jù)三角形的對應(yīng)邊成比例即可判定選擇項．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，那么已知三角形的三邊長分別為，2，，所以三邊之比為1：2：．A、三角形的三邊分別為2，，3，三邊之比為：：3，故本選項錯誤；B、三角形的三邊分別為2，4，2，三邊之比為1：2：，故本選項正確；C、三角形的三邊分別為2，3，，三邊之比為2：3：，故本選項錯誤；D、三角形的三邊分別為，，4，三邊之比為：：4，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，掌握三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．2．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學九年級月考）如圖，在四邊形中，如果，那么下列條件中不能判定和相似的是（）A． B．是的平分線C． D．【答案】D【分析】已知∠ADC＝∠BAC，則A、B選項可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；C選項可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定；D選項雖然也是對應(yīng)邊成比例但無法得到其夾角相等，所以不能推出兩三角形相似.【詳解】在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需滿足的條件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分線；②；故選：D．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·無錫市天一實驗學校九年級期中）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．【詳解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．4．（2021·江蘇高郵·九年級期末）已知等腰△ABC的底角為75°，則下列三角形一定與△ABC相似的是（）A．頂角為30°的等腰三角形B．頂角為40°的等腰三角形C．等邊三角形D．頂角為75°的等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出等腰三角形的角的度數(shù)，進而利用相似三角形的判定解答即可．【詳解】解：∵等腰△ABC的底角為75°，∴等腰△ABC的三角的度數(shù)分別為30°，75°，75°∴一定與△ABC相似的是頂角為30°的等腰三角形故選：A．【點睛】本題考查了想做淺咖人判定，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出等腰三角形的角的度數(shù)解答．5．（2021·江蘇玄武·一模）如圖，在中，是邊上一點，在邊上求作一點，使得．甲的作法：過點作，交于點，則點即為所求．乙的作法：經(jīng)過點，，作，交于點，則點即為所求．對于甲、乙的作法，下列判斷正確的是（）A．甲錯誤，乙正確 B．甲正確，乙錯誤 C．甲、乙都錯誤 D．甲、乙都正確【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定解決問題即可．【詳解】解：乙的作法正確．理由：∵B，C，Q，P四點共圓，∴∠B+∠CQP=180°，∵∠AQP+∠CQP=180°，∴∠AQP=∠B，∵∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC．甲的作法，無法證明∠AQP=∠B，故甲的作法錯誤．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形．解決此題關(guān)鍵是理解有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似．6．（2020·江蘇·射陽縣第二初級中學九年級月考）如圖，點P是△ABC的邊AC上一點，連結(jié)BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理（①有兩角分別相等的兩三角形相似，②有兩邊的比相等，并且它們的夾角也相等的兩三角形相似）逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；B、根據(jù)＝和∠A=∠A不能判斷△ABP∽△ACB，故本選項符合題意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了相似的三角形的判定定理的應(yīng)用，能正確運用判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，在中，，則圖中相似三角形共有______對．【答案】6【分析】根據(jù)平行于三角形的一邊與另兩邊相交形成的三角形與原三角形相似，可知圖中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意兩個三角形都相似．【詳解】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，

∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意兩個三角形都相似．

∴相似三角形共有6對．故答案為：6.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟記平行于三角形的一邊與另兩邊相交形成的三角形與原三角形相似是解題關(guān)鍵．8．（2020·江蘇·淮安六中九年級期中）如圖，若，需添加的一個條件是______（填寫一個條件即可）．【答案】或或（任填其一）【分析】本題考查的是相似三角形的判定，本題要判定△ABC∽△EBD，已知∠ABC=∠EBD，具備了一組角對應(yīng)相等，故添加∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA后可分別滿足三角形相似，而三角形相似還需考慮一組角相等，對應(yīng)兩組邊成比例，故還有．【詳解】解：∵要△ABC∽△EBD，又∵∠ABC=∠EBD，∴只需∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或即可，故答案為：∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或（任選其一即可）．【點睛】本題主要考查三角形相似判定定理，正確理解三角形相似判定定理是本題解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中有3個斜三角形：①；②；③；其中能與相似的是_________．（除外）【答案】③（）【分析】分別求出三個三角形的三邊的比，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格可知：AB=1，AC=，BC=，△ABC的三邊之比是AB：AC：BC＝1：：，同理可求：②△CDB的三邊之比是CD：BC：BD＝1：：2；③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．∴③（△DEB）與△ABC相似，故答案為：③△DEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，從“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似”的角度考慮是解題關(guān)鍵．10．（2019·江蘇寶應(yīng)·中考模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E是重心，點D在斜邊AB上，CD過點E，作EF//AB交CB于點F，若EF=6，則【答案】18【分析】依據(jù)重心的性質(zhì)即可得出CE=2DE，再根據(jù)△CEF∽△CDB，即可得到BD=9，依據(jù)Rt△ABC中，CD是中線，可得AB=2BD=18．【詳解】∵點E是重心，

∴CE=2DE，

∴CECD=23，

又∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CDB，

∴EFDB=CECD，即6BD【點睛】本題主要考查了三角形的重心以及相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．11．（2019·江蘇·海慶中學九年級期末）如圖，在△ABC中，P是AB邊上的點，請補充一個條件，使△ACP∽△ABC，這個條件可以是：___(寫出一個即可)，【答案】∠ACP=∠B（或）．【分析】由于△ACP與△ABC有一個公共角，所以可利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似或有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進行添加條件．【詳解】解：∵∠PAC=∠CAB，∴當∠ACP=∠B時，△ACP∽△ABC；當時，△ACP∽△ABC．故答案為：∠ACP=∠B（或）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．12．（2020·江蘇寶應(yīng)·九年級）如圖，在中，，是上一點且，當________時，使得與相似．【答案】或1.5【分析】ΔADE與ΔABC相似有兩種情況，針對每一種情況，有對應(yīng)邊成比例，據(jù)此可列出等式求得AE的值．【詳解】解：分兩種情況：第一種情況：如圖，過D作DE||AC于點E，則；第二種情況：如圖，ΔADEΔACB則故答案為．【點睛】本題考查三角形相似的判定，找出對應(yīng)三角形相似的兩種情況是解題關(guān)鍵．13．（2020·江蘇宜興·九年級月考）如圖，點D、E在△ABC的邊AB、AC上，請?zhí)砑右粋€條件：____，使△ADE∽△ACB．【答案】∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一個即可）．【分析】解：根據(jù)∠AED=∠B和∠A=∠A,可證△AED∽△ABC，故添加條件∠AED=∠B；根據(jù)∠2=∠B和∠A=∠A,可證△AED∽△ABC，故添加條件∠2=∠B；根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，故添加條件AD∶AC＝AE∶AB，然后任選其一即可解答．【詳解】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A∴△AED∽△ABC，故添加條件∠AED=∠B可證其相似；∵∠2=∠B，∠A=∠A,∴△AED∽△ABC，故添加條件∠2=∠B可證其相似；根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，故添加條件AD∶AC＝AE∶AB可證其相似．故答案為∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一個即可）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題14．（2019·江蘇無錫·九年級期末）如圖2，ΔABC與ΔDEA是兩個全等的等腰三角形，?BAC=?D=900，BC分別與AD,AE相交于點F,G，（1）圖中有哪幾對不全等的相似三角形，請把他們表示出來；（2）根據(jù)圖1兩位同學對圖形的探索，試探索BF,FG,GC之間的關(guān)系，并證明.【答案】（1）共有3對.ΔGAF～ΔGAB；ΔFAC～ΔFGA；ΔABG～ΔFAC；（2）GF【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形判定定理找出所有不全等的相似三角形的個數(shù)；

（2）方法（一）把△ABF、△AGC分別沿AD、AE折疊，利用三角形全等的知識證明∠FPG=∠B+∠C=90°，進而可以證明BF、FG、GC之間的關(guān)系；

方法（二）標出∠1、∠2、∠3、∠4，把△ABF旋轉(zhuǎn)至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知識證明∠ACP+∠ACB=90°，進而可以證明BF、FG、GC之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）共有3對.ΔGAF～ΔGAB；ΔFAC～ΔFGA；ΔABG～ΔFAC；（或ΔGAF～ΔGAB～ΔFAC）（2）證明方法（一）∵把ΔABF、ΔAGC分別沿AD,AE折疊，∴ΔABF?ΔAPF，ΔACG?ΔAPG，∵B,C兩點重合，∴BF=FP，CG=GP，?FPG=?B+?C=90在RtΔPFG中，GF或證明方法（二）把ΔABF旋轉(zhuǎn)至ΔACP，得ΔABF?ΔACP，∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，?1+?3=45∴?4+?3=450，在ΔAFG和ΔAGP中，AF=AP?2=?PAG∴ΔAFG?ΔAGP(SAS)，∴FG=GP，?ACP+?ACB=90在RtΔPGC中，G故答案為：（1）共有3對.ΔGAF～ΔGAB；ΔFAC～ΔFGA；ΔABG～ΔFAC；（2）GF【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).15．（2018·江蘇雨花臺·九年級期末）如圖，已知AD?AC＝AB?AE．求證：△ADE∽△ABC．【分析】由AD?AC＝AE?AB，可得,從而根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例并且夾角相等的兩個三角形相似”可證明結(jié)論成立.【詳解】證明：∵AD?AC＝AE?AB，∴＝在△ABC與△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE16．（2020·江蘇·常州市田家炳初級中學九年級期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為邊CD延長線上一點，連接BE交邊AD于點F．（1）找出圖中所有的相似三角形（不再添加輔助線），它們分別是_____．（2）請在你找出的各對相似三角形中，選擇一對加以證明．【答案】（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF，（2）選△EAF∽△EBC，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可以得到對邊平行，那么就存在“A”字型和“8”字型的相似三角形；（2）結(jié)合平行線的性質(zhì)，利用兩組對應(yīng)角相等證明三角形相似．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴△EAF∽△EBC，∵，∴△CDF∽△EAF，∴△CDF∽△EBC，故答案是：△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF；（2）選△EAF∽△EBC，理由如下：在ABCD中AD∥BC，∴∠EAF＝∠B．又∵∠E＝∠E，∴△EAF∽△EBC．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．17．（2021·江蘇淮安·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點，EF⊥EC交AB于F，連接FC，求證：．【分析】由矩形，證明結(jié)合：，證明：，從而可得結(jié)論．【詳解】解：矩形ABCD，，，，．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇江都·九年級期末）我們知道，全等是特殊的相似，相似與三角函數(shù)也有著密切的聯(lián)系．某數(shù)學興趣小組類比“斜邊和直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”，進而提出猜想“斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？”如圖，在和中，，且，則與相似嗎？并說明理由．【答案】相似；理由見解析【分析】根據(jù)三角形相似的判定條件：三邊對應(yīng)成比例，即可證得．【詳解】相似，理由如下：令，則，，由勾股定理得：，∴，∴，∴；【點睛】本題考查三角形相似，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定條件．19．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖1，二次函數(shù)的圖像記為，與y軸交于點A，其頂點為B，二次函數(shù)的圖像記為，其頂點為D，圖像、相交于點P，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求證：點D在直線上；（2）求m和h的數(shù)量關(guān)系；（3）平行于x軸的直線經(jīng)過點P，與圖像交于另一點E，與圖像交于另一點F，若，求h的值；（4）如圖2，過點P作平行于的直線，與圖像交于另一點Q，連接．當時，_________．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）見解析；（2）m=h；（3）h的值為8；（4）4或20．【分析】（1）先求出A、B的坐標，再代入，最后驗證即可；（2）聯(lián)立，得出x與h的關(guān)系，再根據(jù)圖象交于點P，即可得出結(jié)論；（3）求出P、E、F的坐標軸即可得出結(jié)果；（4）得出四邊形BPQD為矩形，再分兩種情況解得即可．【詳解】（1）證明：由，令x=0時，y=1，即A(0，1)，令y=0時，x=2，即B(2，0)，設(shè)A，B的解析式為：，把A，B的坐標代入得，解得，∴頂點D的坐標為，令x=h，則