重難點(diǎn)10 輕松解決空間幾何體的體積問題（四大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁重難點(diǎn)10輕松解決空間幾何體的體積問題【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：割補(bǔ)法題型三：換底法題型四：祖暅原理【典型例題】題型一：直接法【典例1-1】（2024·高一·河南濮陽·階段練習(xí)）如圖，已知在正四棱錐中，，.

(1)求四棱錐的表面積；(2)求四棱錐的體積.【解析】（1）連接相交于，連接過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則是斜高，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，．所以正四棱錐的表面積為84．（2），所以正四棱錐的體積為；【典例1-2】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）在①平面，②，③點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．在三棱錐中，.若________，求三棱錐的體積．

【解析】若選擇①和②，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫?，所以即為點(diǎn)到平面的距離，且，所以；若選擇①和③，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，又因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心，所以點(diǎn)即為的垂心，所以，因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，所以，因?yàn)槠矫?，所以即為點(diǎn)到平面的距離，且，所以；若選擇②和③，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，設(shè)的中心為點(diǎn)，則點(diǎn)即為等邊的重心、垂心，且，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心，即點(diǎn)，所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，且，所以.【變式1-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在邊長為的菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，.沿將翻折到的位置，連接，得到如圖所示的五棱錐．(1)在翻折過程中是否總有平面平面?證明你的結(jié)論；(2)在翻折過程中當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離；【解析】（1）證明：在翻折過程中總有平面平面；證明如下：點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，菱形中，，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，；菱形的對(duì)角線互相垂直，，；，平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）要使得四棱錐體積最大，只要點(diǎn)到平面的距離最大即可，當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大為，又，；，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，解得：，即點(diǎn)到平面的距離為.題型二：割補(bǔ)法【典例2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面與交于點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)若，求四棱錐的體積．【解析】（1）解法一：如圖，延長與，交于點(diǎn)，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．連接，因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，所以與的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以．取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，．因?yàn)椋?，所以．在直三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫夥ǘ喝鐖D，延長與，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解法一：因?yàn)?，所以，所以．連接，所以．因?yàn)?，，因?yàn)椋?，．解法二：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，易得．因?yàn)椋?，則．連接，所以，則因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，．【典?-2】（2024·高三·江蘇連云港·期中）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)若平面平面，H為的中點(diǎn)，，，，求該幾何體的體積.【解析】（1）證明：∵，而平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.（2）∵，，H為中點(diǎn)，∴.而，∴，∵平面平面.平面平面，平面，∴平面.過E分別作交于點(diǎn)I，交于點(diǎn)J，連接.∴.【變式2-1】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．(1)求此旋轉(zhuǎn)體的表面積．(2)求此旋轉(zhuǎn)體的體積．【解析】（1）在梯形中，，，且，，，，，．以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周后，形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐，且圓柱高為，底面半徑為，圓錐的母線長為，底面半徑為，圓柱的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，圓柱的底面積，圓錐的底面積，組合體上底面積，旋轉(zhuǎn)體的表面積．（2）由題意知，形成的幾何體的體積為一個(gè)圓柱的體積減去一個(gè)圓錐的體積，圓柱的體積，圓錐的體積，旋轉(zhuǎn)體的體積．題型三：換底法【典例3-1】（2024·高二·四川南充·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)三棱錐的體積大?。窘馕觥浚?）在正方體中，連接，取的中點(diǎn)，連接，有M為的中點(diǎn)，則，又E為BC的中點(diǎn)，于是，則四邊形是平行四邊形，，又F為CD的中點(diǎn)，則有，即四邊形是平行四邊形，，因此，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，而正方體的棱長為1，平面，則點(diǎn)到平面的距離為到平面的距離1，所以三棱錐的體積.【典例3-2】（2024·四川成都·一模）如圖，正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）如圖，連接.正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，，，，，又，.，.同理可得.，平面，平面，平面.（2）由（1）知，，且平面..三棱錐的體積為4.【變式3-1】（2024·高二·寧夏吳忠·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，，求三棱錐的體積【解析】（1）在四棱錐中，平面，平面，則，由四邊形為正方形，得，而平面，所以平面.（2）點(diǎn)為邊長為2的正方形的邊的中點(diǎn)，則的面積：，而平面，且，所以三棱錐的體積.題型四：祖暅原理【典例4-1】（2024·天津·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)截面與底面的距離為，在帳篷中的截面為，設(shè)底面中心為，截面中心為，則，，所以，所以截面為的面積為.設(shè)截面截正四棱柱得四邊形為，截正四棱錐得四邊形為，底面中心與截面中心之間的距離為，在正四棱柱中，底面正方形邊長為，高為2，，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以四邊形邊長為，所以四邊形面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，與截面面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即.故選：D.【典例4-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸．規(guī)之為圓，徑二寸，高二寸，又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣．”牟合方蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）．記正方形OABC的邊長為r，設(shè)，過P點(diǎn)作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面積是．如果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于．（如圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為h，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何高度h，此截面面積必為，根據(jù)祖暅原理計(jì)算牟合方蓋體積（

）注：祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”、意思是兩個(gè)同高的立體圖形，如在等高處的截面積相等，則體積相等．A． B． C． D．【答案】C【解析】棱錐，由祖暅原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于棱錐所以圖1中幾何體體積為，所以牟合方蓋體積為．故選：C．【變式4-1】（2024·高一·遼寧·期末）國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，將底面半徑都為b，高都為的半橢球（左側(cè)圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側(cè)圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點(diǎn)）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明總成立．據(jù)此，圖中圓柱體（右側(cè)圖）的底面半徑b為2，高a為3，則該半橢球體（左側(cè)圖）的體積為．

【答案】【解析】根據(jù)題意，因?yàn)榭偝闪?，所以半橢球體的體積為，由題意知：，，所以半橢球體的體積為：．故答案為：．【同步練習(xí)】1．（2024·高一·陜西榆林·階段練習(xí)）祖暅（公元前世紀(jì)），字景爍，是我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家.他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖桓晩一千一百多年.如圖將某幾何體（左側(cè)圖）與已被挖去了圓錐體的圓柱體（右側(cè)圖）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高處可橫截得到及兩截面，若總成立，且圖中圓柱體（右側(cè)圖）的底面半徑為2，高為3，則該幾何體（左側(cè)圖）的體積是.【答案】【解析】因?yàn)榭傆校瑘A柱的高為3，底面圓的半徑為2，所以該幾何體的體積為，故答案為：.2．（2024·高二·云南大理·期末）如圖，在棱長為3的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)檎襟w的棱長為3，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，故；（2）由題意得，正方形的面積為，，，故，又⊥平面，故⊥平面，三棱錐的體積為.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，為正三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，．

(1)證明：平面平面；(2)若，求三棱錐的體積．【解析】（1）取AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接BG，EH，如圖．由，且，則，由，則，所以，由，且可知，，且，所以四邊形BEHG是平行四邊形，所以．因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）因?yàn)椋?，又，所以．由?）知平面，且，因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積，所以．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，，，，且在中，，．(1)求證：；(2)若，求四棱錐的體積．【解析】（1）如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接BE．∵，∴．∵且，∴四邊形ABED是矩形，∴．又∵，即，且，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴．（2）由題可得，．又平面PAD，平面ABCD，∴平面平面ABCD．∵平面平面，∴過P作于H，則平面ABCD．∵，，∴．∴．故四棱錐的體積為．5．（2024·高二·安徽·期中）如圖，在三棱錐中，平面，為等邊三角形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，(1)求證:平面；(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面；（2），，因?yàn)槠矫?，所?6．（2024·高一·遼寧阜新·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，且.(1)求證：平面平面；(2)若D是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【解析】（1）證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC，所以.因?yàn)椋矫?，所以平?又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）由（1）知，平面，所以是三棱錐的底面上的高.因?yàn)?，所?因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積，所以三棱錐的體積.7．（2024·高二·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在邊長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，CD的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求四面體的體積．【解析】（1）連接交于，連接，由E，F(xiàn)分別是，CD的中點(diǎn)，則且，由正方體性質(zhì)：為中點(diǎn)，故，則又，即，故，所以為平行四邊形，則，面，面，則平面.（2）過作交延長線于，又，故為平行四邊形，則，故，又平面，所以平面，故到面的距離等于到面的距離，所以.8．（2024·高三·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，⊥平面，⊥，分別為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面平面.(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面所以，又⊥，，所以平?因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，所以，則平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫妫矫嫠?，因?yàn)椋?，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椤停?，由勾股定理得，因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，所以，由（1）可得平面，所以三棱錐的體積.9．（2024·高三·四川成都·期中）在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積.【解析】（1）取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，面，面，∴面，∵面，∴.（2）

，，在中由余弦定理得，，由（1）知面.10．（2024·高二·江西南昌·期中）已知四棱錐，底面是菱形，底面，且，點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）在四棱錐中，底面是菱形，取的中點(diǎn)，連接.由分別為的中點(diǎn)，得，又是的中點(diǎn)，則，于是，因此四邊形為平行四邊形，即有，而平面平面，所以平面.（2）由底面，且，為中點(diǎn)，得點(diǎn)到底面的距離為1，菱形中，，則，因此，所以，即三棱錐的體積為.11．（2024·高三·上海閔行·期中）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求四面體的體積．【解析】（1）在正四棱錐中為底面中心，連接，，則與交于點(diǎn)，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋?，所以，又為上靠近的三等分點(diǎn)，所以，則.12．（2024·高二·上海虹口·期中）已知長方體中，，求：

(1)長方體表面積；(2)三棱錐的體積．【解析】（1）長方體中，，，因此長方體的側(cè)面積，所以長方體的表面積.（2）的面積，顯然三棱錐的高為，所以三棱錐的體積.13．（2024·高二·上海徐匯·期中）如圖，在正四棱錐中，是棱的中點(diǎn)；

(1)求證：平面；(2)