(5.5.4)-6.2層次分析法-層次權(quán)重的確定與檢驗(yàn)

紅色字體表示在屏幕上需要體現(xiàn)的文字內(nèi)容，與語音同時(shí)出現(xiàn)黃底色紅字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示并顯示文字黃底色黑字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示，文字不用顯示灰底色刪除線表示刪除的文字批注制作的意見或重點(diǎn)文字的提煉藍(lán)色字體制作的意見或說明綠色字體表示講稿存疑之處，需要與老師進(jìn)行溝通如無特殊說明，上屏文字均為：思源宋體CNSemiBold腳本-6.2層次分析法—層次權(quán)重的確定與檢驗(yàn)（ppt1ppt2）同學(xué)，你好，這節(jié)課我們講授層次分析方法中層次權(quán)重的確定與檢驗(yàn)。（ppt3）我們先來層次權(quán)重的確定。（ppt4）我們先回顧選擇領(lǐng)導(dǎo)干部的層次結(jié)構(gòu)圖。某單位擬從3名干部中選拔一名領(lǐng)導(dǎo)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有健康狀況、業(yè)務(wù)知識(shí)、寫作能力、口才、政策水平和工作作風(fēng)。我們建立了如下的層次結(jié)構(gòu)圖。（動(dòng)畫1）準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重和方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重如何確定？進(jìn)一步，方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重如何確定呢？（ppt5）（動(dòng)畫1）我們首先構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣。（動(dòng)畫2）在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受。如何構(gòu)造一致矩陣呢？Santy等人提出：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較；2.對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。（ppt6）（動(dòng)畫1）假設(shè)要比較某一層ｎ個(gè)元素C_1,C_2,…,C_n，對(duì)上一層因素O的影響，每次取兩個(gè)因素C_i和C_j，用a_ij表示C_i和C_j對(duì)O的影響之比。在決策者心目中，準(zhǔn)則層中各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，他們各自會(huì)占有一定的比例。（動(dòng)畫2）這里，引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度來定義判斷矩陣：（見背板）A=(a_ij)_(n×n)（動(dòng)畫3）它應(yīng)滿足a_ij>0,a_ji=1/a_ij(i≠j,i、j=1,2,...,n),使上式成立的矩陣稱為正互反矩陣．（動(dòng)畫4）為什么要用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度來定義判斷矩陣呢？心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過9個(gè)，即每層不要超過9個(gè)因素。（ppt7）（動(dòng)畫1）判斷矩陣元素a_ij的標(biāo)定原則：（動(dòng)畫2）標(biāo)度為1，表示兩個(gè)因素相比，具有同樣重要性，標(biāo)度為3，表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要，標(biāo)度為5，表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要，標(biāo)度為7，表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素強(qiáng)烈重要，標(biāo)度為9，表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素極端重要，標(biāo)度為2，4，6，8，上述兩相鄰判斷的中值，標(biāo)度為上述值的倒數(shù)，因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij（ppt8）（動(dòng)畫1）以選拔領(lǐng)導(dǎo)為例，從三人中選拔一名干部，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有政策水平、工作作風(fēng)、業(yè)務(wù)知識(shí)、口才、寫作能力和健康狀況。（動(dòng)畫2）這里，如果用C_1，C_2，…，C_6依次表示健康狀況，業(yè)務(wù)知識(shí)，寫作能力，口才，政策水平，工作作風(fēng)6個(gè)準(zhǔn)則，（動(dòng)畫3）設(shè)某人用成對(duì)比較法（做C_6^2=(6×5)/2=15次對(duì)比）得到的成對(duì)比較矩陣如下。（動(dòng)畫4）比如a_36=二分之一，表示寫作能力C_3與工作作風(fēng)C_6對(duì)選擇領(lǐng)導(dǎo)干部這個(gè)目標(biāo)O的重要性之比為1：2.（動(dòng)畫5）我們進(jìn)一步分析，我們選取C_2:C_1=1:1和C_1:C_3=1:1，根據(jù)這兩個(gè)推出C_2:C_3應(yīng)該是1:1，而不是1:2。（動(dòng)畫5）發(fā)現(xiàn)有矛盾元素存在，即不一致。由于元素是兩兩相比得到的，因此這種不一致是存在的，且因素越多，不一致的元素肯定也會(huì)越多。下面我們?cè)趺刺幚磉@種現(xiàn)象呢？（ppt9）（動(dòng)畫1）下面我先看矩陣如果完全一致有什么性質(zhì)，相應(yīng)的結(jié)論是否可以借鑒到不一致矩陣上來？完全一致矩陣可以這樣產(chǎn)生。（動(dòng)畫2）設(shè)想把一塊單位重量的大石頭M砸成n塊小石頭C_1,C_2,…,C_n，如果精確地稱出它們的重量為w_1,w_2,…,w_n，在做成對(duì)比較時(shí)令a_ij=w_i∕w_j，（動(dòng)畫3）那么得到完成一致的矩陣A_1。（動(dòng)畫4）我們計(jì)W=（w_1,w_2,…,w_n）的轉(zhuǎn)置，顯然，w_1+w_2+…+w_n=1，這里W可以理解為n塊小石頭對(duì)大石頭的權(quán)向量。（動(dòng)畫5）顯然，A_1的各個(gè)列向量與權(quán)向量W成比例。（ppt10）（動(dòng)畫1）我們發(fā)現(xiàn)權(quán)向量W是矩陣A_1最大特征值對(duì)應(yīng)的特性向量，即（見背板）A1W=nW（動(dòng)畫2）這里n是A_1最大的特征根，說明每小塊石頭對(duì)整個(gè)大石頭的權(quán)重是A_1對(duì)應(yīng)于最大特征根n的特征向量歸一化后的各個(gè)分量。（動(dòng)畫3）下面我們看一致性矩陣的嚴(yán)格定義。（動(dòng)畫4）如果一個(gè)正互反矩陣滿足a_ij?a_jk=a_ik,則A稱為一致性矩陣。一致性矩陣有什么性質(zhì)呢？（動(dòng)畫5）第一個(gè)性質(zhì)，A的秩為1，A的唯一非零特征根為n（動(dòng)畫6）非零特征根n所對(duì)應(yīng)的特征向量歸一化后可作為權(quán)向量。（ppt11）（動(dòng)畫1）下面我們講層次單排序及其一致性檢驗(yàn)（ppt12）（動(dòng)畫1）針對(duì)于非一致正互反矩陣，我們有一個(gè)重要結(jié)論：（動(dòng)畫2）正互反矩陣A的最大特征根λ_max必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征值的模均嚴(yán)格小于λ_max。（動(dòng)畫3）n階正互反矩陣A=(a_ij)_(n×n)是一致陣，當(dāng)且僅當(dāng)λ_max=n。（動(dòng)畫4）借鑒一致性矩陣的結(jié)論，對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，Saaty等人建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根l的特征向量作為權(quán)向量w，即AW=λ_maxW。（動(dòng)畫5）不一致的允許范圍是多大？如何界定呢?（ppt13）（動(dòng)畫1）下面我們講講什么叫層次單排序。（動(dòng)畫2）判斷矩陣A對(duì)應(yīng)于最大特征值λ_max，再利用AW=λ_maxW解出特征向量W，W經(jīng)歸一化后，即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。（動(dòng)畫3）由于λ_max連續(xù)的依賴于a_ij,則λ_max比n大的越多,A的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量,其不一致程度越大,引起的判斷誤差越大。（動(dòng)畫4）能否確認(rèn)層次單排序，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，所謂一致性檢驗(yàn)是指對(duì)確定A不一致的允許范圍。（ppt14）（動(dòng)畫1）下面講述如何檢驗(yàn)A的不一致性。（動(dòng)畫2）計(jì)算判斷矩陣A的一致性指標(biāo)CI，定義：CI=(λ_max-n)/(n-1)式中n為判斷矩陣的階數(shù)。顯然，當(dāng)A具有完全一致性時(shí)，CI=0。λ_max-n愈大，CI愈大，矩陣的一致性愈差．根據(jù)矩陣A的跡可以知道，A所有的特征值加起來為n,因此這個(gè)指標(biāo)可以理解為矩陣A中，把最大的特征值去掉后，余下特征值的和，取絕對(duì)值后的平均值。（動(dòng)畫3）前面我們觀察可知，矩陣的維數(shù)越大，不一致性也越嚴(yán)重，因此這種不一致應(yīng)該要和矩陣的維數(shù)建立關(guān)系。因此我們引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。（動(dòng)畫4）隨機(jī)一致性指標(biāo)是指針對(duì)某一階的矩陣，比如5階矩陣，我們隨機(jī)產(chǎn)生1000個(gè)5階成對(duì)比矩陣，然后計(jì)算他們的CI后取平均值。這個(gè)值會(huì)穩(wěn)定為近似常數(shù)，比如5階矩陣，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12。類似，我們可得到各階矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)的值如下表所示。從表可以看出矩陣階越高，隨機(jī)一致性指標(biāo)的值越大。（動(dòng)畫5）因此，我們修正CI，引入一致性比例CR：CR=CI/RI。說明矩陣的階越高，我們?cè)试SCI越大。（動(dòng)畫6）具體的判別標(biāo)準(zhǔn)是：當(dāng)一致性比率CR<0.1時(shí)，判斷矩陣A具有滿意的一致性。（ppt15）（動(dòng)畫1）我們以選擇領(lǐng)導(dǎo)為例，由“選擇領(lǐng)導(dǎo)干部”的成對(duì)比較矩陣可知，A的最大特征值λ_max=6.35（動(dòng)畫2）其一致性指標(biāo)CI=(6.35-6)/(6-1)=0.07（動(dòng)畫3）查表1可知其平均隨機(jī)一致性指標(biāo)：RI=1.24（動(dòng)畫4）一致性比率：CR=(0.07)/(1.24)=0.0565<0.1（動(dòng)畫5）矩陣A通過一致性檢驗(yàn)。由此可知，盡管我們的成對(duì)比較矩陣A具有不一致的地方，但在Saaty等人給出的這種不一致的允許范圍內(nèi)，仍然可以近似認(rèn)為它是一致性矩陣。（ppt16）（動(dòng)畫1）下面我們講層次總排序及其一致性檢驗(yàn)（ppt17）（動(dòng)畫1，2）利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可計(jì)算針對(duì)上一層次而言本層次所有元素重要的權(quán)值，這就是層次總排序，需要從上至下逐層進(jìn)行。（動(dòng)畫3）我們建立的層次結(jié)構(gòu)圖如圖所示，Z為目標(biāo)層，準(zhǔn)則A層有m個(gè)因素，方案B層有n個(gè)方案。（動(dòng)畫4）A層m個(gè)因素A_1,A_2,?,A_m，對(duì)總目標(biāo)Z的權(quán)重為（動(dòng)畫5）a_1,a_2,?,a_m，具體標(biāo)注到左圖。（動(dòng)畫6）B層n個(gè)因素對(duì)上層A中因素為A_j的層次單排序?yàn)椋▌?dòng)畫7）b_1j,b_2j,?,b_nj(j=1,2,?,m)，同樣標(biāo)注到左圖。（動(dòng)畫8）從左圖看，我們發(fā)現(xiàn)方案B1到目標(biāo)Z的路徑總共有m條，分別是通過A_1,A_2,?,A_m到達(dá)Z。因此我們把同一條路上的兩個(gè)權(quán)重相乘，不同路徑上得到的值相加，從而得到B1到目標(biāo)Z的權(quán)重為：a_1b_11+a_2b_12+?a_mb_1m。類似可以得到方案層其他方案對(duì)目標(biāo)Z的權(quán)重。把它們排一起，我們發(fā)現(xiàn)它們和線性變換形式類似。因此我們進(jìn)一步寫出表格，形成矩陣，可以利用矩陣相乘來得到層次總排序。（ppt18）（動(dòng)畫1）層次A和層次B的層次總排序權(quán)值計(jì)算表如下：（動(dòng)畫2）這里第二行a_1,a_2,?,a_m為A層m個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)Z，記為W1。把方案層B層對(duì)A_1的權(quán)重，放第1列，把方案層B層對(duì)A_2的權(quán)重，放第2列，把方案層B層對(duì)A_m的權(quán)重，放第m列，這些元素可以組成矩陣W2，則方案層B層對(duì)目標(biāo)Z的權(quán)重為W=W2W1。（ppt19）（動(dòng)畫1）我們得的這個(gè)權(quán)是否可行呢？我們需檢驗(yàn)層次總排序計(jì)算結(jié)果的一致性。（動(dòng)畫2）（1）層次總排序一致性指標(biāo)CI=∑_(j=1)^ma_j乘以CI_j，式中CI_j為與A_j對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)。（動(dòng)畫3）（2）層次總排序隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=∑_(j=1)^ma_j乘以RI_j，式中RI_j為與A_j對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)。（動(dòng)畫4）層次總排序隨機(jī)一致性比率CR=CI/RI，當(dāng)CR≤0.1時(shí)，認(rèn)為層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有滿意的一致性。（ppt20）（動(dòng)畫1，2）已選擇領(lǐng)導(dǎo)為例，構(gòu)造方案層對(duì)準(zhǔn)則層的每一個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較陣，總共6個(gè)準(zhǔn)則，3個(gè)備選領(lǐng)導(dǎo)，即3個(gè)方案，因此需要構(gòu)造6個(gè)3*3的成對(duì)比矩陣，（動(dòng)畫3）不妨設(shè)它們?nèi)缦滤尽＃╬pt21）（動(dòng)畫1，2）由此可求得各矩陣的最大特征值和相應(yīng)的特征向量。最大特征值和相應(yīng)的CI如下表所示。我們得到層次總排序的檢驗(yàn)指標(biāo)CI=0.125，查表，當(dāng)矩陣階為3時(shí)，RI為0.58.因此計(jì)算出CR=0.0213，小于0.1，通過檢驗(yàn)。（ppt22）（動(dòng)畫1，2）6個(gè)3*3的成對(duì)比矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量歸一化后排成6列，構(gòu)成矩陣W2，根據(jù)層次總排序的計(jì)算公式W=W2W1，得到最終3個(gè)方案的權(quán)向量為，0.40,0,34,0,26.我們選取權(quán)重最大的為當(dāng)選的領(lǐng)導(dǎo)。即第一個(gè)人是最合適人選。（ppt23）（動(dòng)畫1）下面我們來看看案例分析（ppt24）（動(dòng)畫1）我們考慮選擇旅游地，假定我們有3的方案，即3個(gè)旅游地供選著，分別是蘇杭，北戴河，桂林。（ppt25）（動(dòng)畫1）首先構(gòu)建層次架構(gòu)圖。（動(dòng)畫2，3）其次是目標(biāo)，我們的目標(biāo)是選擇旅游地。（動(dòng)畫4）在選旅游地的時(shí)候，（動(dòng)畫5）我們會(huì)考慮景色、費(fèi)用、居住條件、飲食和交通等因素，這些因素構(gòu)成準(zhǔn)則層。（動(dòng)畫6）最后是方案層。（動(dòng)畫7）供我們選擇的3個(gè)旅游地構(gòu)成我們的方案層。（ppt26）（動(dòng)畫1，2）我們構(gòu)造準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比矩陣記為A，（動(dòng)畫3）構(gòu)造方案層對(duì)5個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比矩陣記為B1,B2,....,B5.（ppt27）（動(dòng)畫1）下面計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)。（動(dòng)畫2）成對(duì)比較矩陣A的最大特征值λ=5.073（動(dòng)畫3）該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量記為W（動(dòng)畫4）我們分別計(jì)算CI和CR，得到CR=0.016，小于0.1（動(dòng)畫5）因此通過一致性檢驗(yàn)。（ppt28）（動(dòng)畫1）下次計(jì)算方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重及檢驗(yàn)。（動(dòng)畫2）對(duì)成對(duì)比較矩陣B_1,B_2,B_3,B_4,B_5求最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，把特征向量按列排名，并求出每個(gè)矩陣的CI，具體的結(jié)果如表所示。（ppt29）（動(dòng)畫1，2,3）利用矩陣相乘，很容易得到方案層對(duì)目標(biāo)層的