第09講 不等式組的解法及不等式的應(yīng)用（6大考點）（原卷版）

第09講不等式組的解法及不等式的應(yīng)用（6大考點）考點考點考向一．由實際問題抽象出一元一次不等式用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系．二．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．三．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．四．一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．五．由實際問題抽象出一元一次不等式組由實際問題列一元一次不等式組時，首先把題意弄明白，在此基礎(chǔ)上找準(zhǔn)題干中體現(xiàn)不等關(guān)系的語句，根據(jù)語句列出不等關(guān)系．往往不等關(guān)系出現(xiàn)在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方．所以重點理解這些地方有利于自己解決此類題目．六．一元一次不等式組的應(yīng)用對具有多種不等關(guān)系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解．一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：（1）分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．考點考點精講一．由實際問題抽象出一元一次不等式（共5小題）1．（2020秋?海曙區(qū)期末）海曙區(qū)禁毒知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣2分，小明得分要超過80分，他至少要答對多少道題？如果設(shè)小明答對x道題，則他答錯或不答的題數(shù)為20﹣x，根據(jù)題意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80 B．5x﹣2（20﹣x）≤80 C．5x﹣2（20﹣x）＞80 D．5x﹣2（20﹣x）＜802．（2021秋?瑞安市月考）某校要購買一批羽毛球拍和羽毛球，現(xiàn)有經(jīng)費850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若該校購買了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，則可列不等式（）A．150x+30×4≤850 B．150x+30×4＜850 C．150×4+30x＜850 D．150×4+30x≤8503．（2021秋?上城區(qū)校級期中）某次知識競賽共有30道選擇題，答對一題得10分，若答錯或不答一道題，則扣3分，要使總得分不少于70分則應(yīng)該至少答對幾道題？若設(shè)答對x題，可得式子為（）A．10x﹣3（30﹣x）＞70 B．10x﹣3（30﹣x）≤70 C．10x﹣3x≥70 D．10x﹣3（30﹣x）≥704．（2021秋?瑞安市月考）某電梯的額定限載量為1000千克，某人要用電梯把一批重物從底層搬到頂層，若人的身體質(zhì)量為70千克，每箱貨物質(zhì)量為30千克，問他每次最多搬運多少箱？若設(shè)每次搬運貨物x箱，則根據(jù)題意可列出關(guān)于x的不等式：．5．（2021秋?溫州校級期中）某商店對A型號筆記本電腦舉行促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案可供選擇．方案一：每臺按售價的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．已知A型號筆記本電腦的原售價是5000元/臺，某公司一次性從該商店購買A型號筆記本電腦x臺．（1）若方案二比方案一更便宜，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式．（2）若公司買12臺筆記本，你會選擇哪個方案？請說明理由．二．一元一次不等式的應(yīng)用（共10小題）6．（2021春?柯橋區(qū)月考）隨著科技的進(jìn)步，我們可以通過手機APP實時查看公交車到站情況．小明想乘公交車，可又不想靜靜地等在A站，他從A站往B站走了一段路，拿出手機查看了公交車到站情況，發(fā)現(xiàn)他與公交車的距離為720m（如圖）．此時有兩種選擇：（1）與公交車相向而行，到A公交站去乘車；（2）與公交車同向而行，到B公交站去乘車．假設(shè)公交車的速度是小明速度的5倍．若要保證小明不會錯過這輛公交車，則A，B兩公交站之間的距離最大為（）A．240m B．300m C．320m D．360m7．（2021秋?定海區(qū)校級月考）在一次知識競賽中有50道題，評分標(biāo)準(zhǔn)：答對一道得2分，答錯一道倒扣1分，不答得0分，某學(xué)生有4道題沒有答，這個學(xué)生至少答對道題，成績才能不低于82分．8．（2021秋?濱江區(qū)校級月考）已知一種卡車每輛至多能載3噸貨物．現(xiàn)有100噸黃豆，若要一次運完這批黃豆，至少需要這種卡車輛．9．（2021秋?衢江區(qū)期末）某業(yè)主貸款22000元購進(jìn)一臺機器，生產(chǎn)某種產(chǎn)品．已知產(chǎn)品的成本每個5元，售價是每個8元，應(yīng)付的稅款和其他費用是售價的10%．若每月能生產(chǎn)、銷售2000個產(chǎn)品，問至少個月后能賺回這臺機器的貸款．10．（2022?仙居縣校級開學(xué)）某種商品的進(jìn)價為800元，出售時標(biāo)價為1200，后來由于該商品積壓商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤率不低于20%，則至多可打折．11．（2021秋?蕭山區(qū)期中）某業(yè)主貸款3.3萬元購進(jìn)一臺機器，生產(chǎn)某種產(chǎn)品．已知產(chǎn)品的成本是每個3元，售價是每個5元，應(yīng)付的稅款和其它費用是售價的10%．若每個月能生產(chǎn)、銷售6000個產(chǎn)品，問至少幾個月后能賺回這臺機器的貸款？（用列不等式的方法解決）12．（2021秋?青田縣期中）在創(chuàng)建文明城市的活動中，為更好的增強人們對垃圾分類的意識，某小區(qū)決定在其轄區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類提示牌和垃圾箱，若購買3個垃圾分類提示牌和4個垃圾箱共需580元；購買5個垃圾分類提示牌和3個垃圾箱費用相同，（1）求購買1個垃圾分類提示牌和1個垃圾箱各需多少元？（2）若該小區(qū)需購買垃圾分類提示牌和垃圾箱共10個，計劃投入費用不超過800元，問最多購買垃圾箱多少個？13．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）某網(wǎng)店“雙11”前準(zhǔn)備從廠家選購甲、乙兩種商品，乙種商品每件進(jìn)價比甲種商品每件進(jìn)價少20元，若購進(jìn)5件甲種商品和4件乙種商品共需要1000元．（1）求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價分別是多少元？（2）若甲種商品的售價為每件145元，乙種商品的售價為每件120元，該網(wǎng)店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種商品共40件，且這兩種商品全部售出后總利潤不少于920元，則乙種商品最多可購進(jìn)多少件？14．（2021秋?長興縣月考）某校開學(xué)初在超市購進(jìn)A、B兩種品牌的消毒液，已知購買一瓶B品牌消毒液比購買一瓶A品牌消毒液多花20元．購買6瓶A品牌消毒液和7瓶B品牌消毒液需要花費400元．（1）購買一瓶A品牌消毒液需元；購買一瓶B品牌消毒液需元；（2）該校為了防疫，決定再次購進(jìn)A、B兩種品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市對這兩種品牌消毒液的售價進(jìn)行調(diào)整，A品牌消毒液售價比第一次購買時提高了8%，B品牌消毒液按第一次購買時售價的9折出售，如果該校此次購買的總費用不超過1680元，那么，最多可以購買多少瓶B品牌消毒液？15．（2021秋?秀洲區(qū)校級月考）某手機經(jīng)銷商計劃同時購進(jìn)一批甲、乙兩種型號的手機，已知每部甲種型號的手機進(jìn)價比每部乙種型號的手機進(jìn)價多200元，且購進(jìn)3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金9600元．（1）求甲、乙型號手機每部進(jìn)價為多少元？（2）該店計劃購進(jìn)甲、乙兩種型號的手機共20臺進(jìn)行銷售，現(xiàn)已有顧客預(yù)定了8臺甲種型號手機，且該店投入購進(jìn)手機的資金不多于3.8萬元，請求出有幾種進(jìn)貨方案？并請寫出進(jìn)貨方案．三．解一元一次不等式組（共4小題）16．（2021秋?普陀區(qū)期末）定義：對于實數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范圍是．（2）如果[]＝3，滿足條件的所有正整數(shù)x為．17．（2022秋?定海區(qū)校級月考）利用數(shù)軸解下列不等式組：．18．（2022?仙居縣校級開學(xué)）解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．19．（2021秋?龍泉市期末）解下列一元一次不等式（組）．（1）x﹣3＞5．（2）．四．一元一次不等式組的整數(shù)解（共3小題）20．（2022?恩施市模擬）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有4個，則a的取值范圍是（）A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a(chǎn)＜﹣221．（2021秋?慈溪市期末）關(guān)于x的一元一次不等式組恰有一個整數(shù)解，則m的取值范圍是．22．（2021秋?越城區(qū)期末）解不等式組，求出解集并寫出此不等式組的整數(shù)解．五．由實際問題抽象出一元一次不等式組（共2小題）23．（2021秋?金華期末）研究表明，運動時將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過（220﹣年齡）×0.8，最低值不低于（220﹣年齡）×0.6．以30歲為例計算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（）A．114≤p≤152 B．114＜p＜152 C．114≤p≤190 D．114＜p＜19024．（2021秋?杭州期末）檢測游泳池的水質(zhì)，要求三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前兩次檢驗，pH的讀數(shù)分別是7.4，7.9，那么第三次檢驗的pH應(yīng)該為多少才能合格？設(shè)第3次的pH值為x，由題意可得（）A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3 B．7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3 C．7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3 D．7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×3六．一元一次不等式組的應(yīng)用（共3小題）25．（2021秋?北侖區(qū)期末）桌游“劇本殺”已經(jīng)成為了年輕人的新的娛樂方式，小帥計劃開設(shè)一家劇本殺門店，計劃建造A，B兩類桌游房間共10個．兩類桌游房的占地面積，容納玩家數(shù)以及造價如下表：類型占地面積（平方米/間）可容納玩家數(shù)（人/間）造價（萬元/間）A1562B20103已知門店可供使用面積最多不超過165平方米，且要求該門店至少可同時容納64名玩家游戲．（1）若要滿足門店要求，則需建造A，B兩類房間各幾個？寫出所有建造方案．（2）具體計算判斷哪種建造方案最省錢？26．（2021秋?縉云縣期末）某校為了表彰“新時代好少年”決定購買一些筆記本和文具盒做獎品．已知筆記本單價是9元，文具盒的單價是4元，若購買兩種獎品的數(shù)量總共30個，購買費用不低于140元，且不高于150元．求學(xué)校有哪幾種購買方案？27．（2022?仙居縣校級開學(xué)）湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市．某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？（2）該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？鞏固鞏固提升一．選擇題（共3小題）1．（2020秋?西湖區(qū)校級期中）某次知識競賽共有20道題，答對一題得10分，答錯或不答均扣5分，小玉得分超過95分，他至多可以答錯的試題道數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）若關(guān)于x的不等式組的解只有4個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣＜a＜﹣5 B．﹣5≤a＜﹣ C．﹣5＜a≤﹣ D．﹣＜a≤﹣53．（2020秋?南潯區(qū)期末）某超市開展促銷活動，一次購買的商品超過88元時，就可享受打折優(yōu)惠．小明同學(xué)準(zhǔn)備為班級購買獎品，需買6本筆記本和若干支鋼筆．已知筆記本每本4元，鋼筆每支7元，如果小明想享受打折優(yōu)惠，那么至少買鋼筆（）A．12支 B．11支 C．10支 D．9支二．填空題（共6小題）4．（2020春?老河口市期末）現(xiàn)用甲，乙兩種運輸車將46噸抗旱物資運往災(zāi)區(qū)，甲種運輸車載重5噸，乙種運輸車載重4噸，安排車輛不超過10輛，則甲種運輸車至少應(yīng)安排輛．5．（2021秋?義烏市期末）某產(chǎn)品進(jìn)價為每件200元，商店標(biāo)價為每件300元．現(xiàn)商店準(zhǔn)備將這批服裝打折出售，但要保證毛利潤不低于5%，則商店最低可按折出售．6．（2021秋?開化縣期末）一次中學(xué)生憲法知識競賽中共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分．若小麗答了所有的題，要想獲得優(yōu)勝獎（75分及以上），則她至少要答對道題．7．（2021秋?嘉興期末）一次知識競賽一共有26道題，答對一題得4分、不答得0分，答錯一題扣2分，小明有1道題沒答，競賽成績不少于88分，則小明至少答對題．8．（2022?樂清市一模）不等式組的解集是．9．（2022?甌海區(qū)一模）不等式組的解集是．三．解答題（共19小題）10．（2020秋?蕭山區(qū)期中）某商場計劃經(jīng)銷A、B兩種新型節(jié)能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進(jìn)價、售價如表所示：A型B型進(jìn)價（元/盞）4065售價（元/盞）60100（1）若該商場購進(jìn)這批臺燈共用去2500元，問這兩種臺燈各購進(jìn)多少盞？（2）在每種臺燈銷售利潤不變的情況下，若該商場銷售這批臺燈的總利潤不少于1400元，問至少購進(jìn)B種臺燈多少盞？11．（2021秋?義烏市期末）解不等式組．12．（2021秋?衢江區(qū)期末）解不等式組：．13．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）某廚具店購進(jìn)A型和B型兩種電飯煲進(jìn)行銷售，其進(jìn)價與售價如表：進(jìn)價（元/臺）售價（元/臺）A型200300B型180260（1）一季度，廚具店購進(jìn)這兩種電飯煲共30臺，用去了5600元，問該廚具店購進(jìn)A，B型電飯煲各多少臺？（2）為了滿足市場需求，二季度廚具店決定用不超過9560元的資金采購兩種電飯煲共50臺，且A型電飯煲的數(shù)量不少于B型電飯煲數(shù)量，問廚具店有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，全部售完，請你通過計算判斷，哪種進(jìn)貨方案廚具店利潤最大，并求出最大利潤．14．（2022?松陽縣二模）解不等式組：．15．（2021秋?海曙區(qū)期末）解不等式（組）：（1）；（2）．16．（2021秋?定海區(qū)期末）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上標(biāo)示出來．17．（2022春?海豐縣期末）解不等式組，并把不等式組的解集表示在數(shù)軸上．18．（2021秋?嵊州市期末）解不等式（組）：（1）5x﹣2＞3（x﹣2）；（2）．19．（2021秋?開化縣期末）解不等式組．20．（2021秋?新昌縣期末）以下是圓圓解不等式組的解答過程．解：由①，得2x﹣1＞3，所以，x＞2．由②，得1+x＞5，所以，x＞4．所以原不等式組的解集為x＞4．圓圓的解答過程是否正確？若不正確，寫出正確的解答過程．21．（2021秋?杭州期末）以下是圓圓解不等式組的解答過程：解：由①，得2+x＞﹣2，所以x＞﹣4．由②，得1﹣x＞﹣3，所以﹣x＞﹣2，所以x＞2．所以原不等式組的解是x＞2．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．22．（2022?南陵縣模擬）解不等式組：，并求出最小整數(shù)解與最大整數(shù)解的和．23．（2021秋?諸暨市期末）解不等式（組）：（1）4x≤3x+7；（2）．24．（2017秋?蕭山區(qū)期末）解不等式（組）：，并寫出它的整數(shù)解．25．（2019秋?鄞州區(qū)校級期中）某市民政部門將租用甲、乙兩種貨車共16輛，把糧食266噸、副食品169噸全部運到災(zāi)區(qū)．已知一輛甲種貨車同時可裝糧食18噸、副食品10噸；一輛乙種貨車同時可裝糧食16噸、副食品11噸．（1）若將這批貨