考研數(shù)學(xué)三(二重積分)模擬試卷2(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（二重積分）模擬試卷2(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)平面區(qū)域D：(x－2)2+(y－1)2≤1，若比較的大小，則有()A．I1=I2B．I1＞I2C．I1＜I2D．不能比較正確答案：C解析：由二重積分的比較性質(zhì)，只需比較D上(x+y)2與(x+y)3的大小，即x+y與1的大?。畯膸缀蔚慕嵌纫簿褪强疾閳A域D與直線x+y=1的位置關(guān)系．因積分域D的圓心(2，1)到直線x+y=1的距離d=＞1(1為圓的半徑)，故閉域D在直線x+y=1的上方，即當(dāng)(x，y)∈D時(shí)，有x+y＞1，從而在D上(x+y)2＜(x+y)3，則I1＜I2．知識(shí)模塊：二重積分2．設(shè)m和n為正整數(shù)，a＞0，且為常數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是()A．當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，xmyndxdy一定為0B．當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，xmyndxdy一定為0C．當(dāng)m為奇數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，xmyndxdy一定為0D．當(dāng)m為偶數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，xmyndxdy一定為0正確答案：D解析：令則對(duì)于cosmφsinnφdφ，令φ=π+t，則cosmφsinnφdφ=(－1)m(－1)ncosmtsinntdt．①當(dāng)m和n中有且僅有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，(－1)m(－1)n=－1，從而積分為零；②當(dāng)m和n均為奇數(shù)時(shí)，(－1)m(－1)n=1，從而由于cosmφsinnφ為上的奇函數(shù)，故積分為零．總之，當(dāng)m和行中至少一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，xmyn=0．故答案選擇(D)．知識(shí)模塊：二重積分3．，其中D={(x，y)｜(x，y)x2+y2≤1)，A．c＞b＞aB．a(chǎn)＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b正確答案：A解析：由于D={(x，y)｜x2+y2≤1)，所以(x2+y2)2≤x2+y2≤≤1．由cosx在上單調(diào)減少可得cos(x2+y2)≥cos(x2+y2)≥cos≥0．因此有c＞b＞a．知識(shí)模塊：二重積分4．設(shè)D：｜x｜+｜y｜≤1，則(｜x｜+y)dxdy=()A．0B．C．D．1正確答案：C解析：因?yàn)镈關(guān)于x，y軸都對(duì)稱(chēng)，故ydxdy=0，且有，其中D1=｛(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0｝．于是知識(shí)模塊：二重積分5．化為極坐標(biāo)系中的累次積分為()A．B．C．D．正確答案：A解析：由y=1－，有x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以，積分區(qū)域D是圓x2+(y－1)2≤1的右半圓在直線y=x上方的部分，于是，其極坐標(biāo)形式為f(rcosθ，rsinθ)rdr，其中D=｛(r，θ)0≤r≤2sinθ，｝知識(shí)模塊：二重積分6．設(shè)D由直線x=0,y=0,x+y=1圍成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，則f(x)dxdy=()A．2B．0C．D．1正確答案：B解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，有∫01(1－x)f(x)dx=0，于是f(x)dxdy=∫01dx∫01－xf(x)dy=∫01(1－x)f(x)dx=0．知識(shí)模塊：二重積分填空題7．(x2+y2)dxdy=_________．正確答案：解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，則原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ)rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=2π知識(shí)模塊：二重積分8．交換二次積分次序：=_________．正確答案：∫04dxf(x，y)dy解析：由已知可知，所求積分區(qū)域?yàn)閥=，x=y2所圍成的區(qū)域，所以知識(shí)模塊：二重積分9．交換二次積分次序：=_________．正確答案：∫01dyf(x，y)dx解析：由已知可知，所求積分區(qū)域?yàn)閥=1，y=－x2+1，y=lnx所圍成的區(qū)域，所以知識(shí)模塊：二重積分10．設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，a與m是常數(shù)且a＞0，將二次積分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化為定積分，則I=_________．正確答案：∫0aem(a－x)f(x)(a－x)dx解析：被積函數(shù)僅是x的函數(shù)，交換積分次序即可完成一次定積分．由二次積分的積分限可知D為：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a－x)f(x)dy=∫0aem(a－x)f(x)(a－x)dx．知識(shí)模塊：二重積分11．設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則I==________．正確答案：0解析：因積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)xy(y2)關(guān)于變量x是奇函數(shù)，故xf(y2)dσ=0．知識(shí)模塊：二重積分解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。12．變換下列二次積分的積分次序：正確答案：(1)如圖1．5-5所示，D：則(2)如圖1．5-6所示，D：則(3)如圖1．5-7所示，D=D1+D2，其中故(4)如圖1．5-8所示，D：故涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分13．計(jì)算二重積分，其中D是第一象限中由直線y=x和曲線y=x3所圍成的封閉區(qū)域．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分14．計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}．正確答案：原式=涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分15．求二重積分，其中D是由曲線y=，直線y=2，y=x所圍成的平面區(qū)域．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分16．求，其中D={(x，y)｜0≤x≤3，0≤y≤1)．正確答案：被積函數(shù)：min｛x，y｝=其中D1=｛(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤3｝，D2=｛(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤y｝．所以=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分17．計(jì)算，其中a，b＞0．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分18．計(jì)算，其中D：x2+y2≤1．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分19．計(jì)算，其中D由y=－x，x2+y2=4，y=所圍成．正確答案：y==>(x－1)2+y2=1，y≥0．y=－x與x2+y2=4的交點(diǎn)為y=－x與y=的交點(diǎn)為(0，0)．x2+y2=4與y=的交點(diǎn)為(2，0)．如圖1．5-9所示．涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分20．計(jì)算正確答案：則D=D1+D2：所以涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分21．設(shè)，其中D為正方形域{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分22．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增，證明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx．正確答案：設(shè)I=(b－a)∫abf(x)g(x)dx－∫abf(x)dx∫abg(x)dx=∫abdy∫abf(x)g(x)dx－∫abf(x)dx∫abg(y)dy=f(x)g(x)dxdy－f(x)g(y)dxdy=f(x)[g(x)－g(y)]dxdy．其中D：a≤x≤b，a≤y≤b．因?yàn)镈關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以I=f(y)[g(y)－g(x)]dxdy，故2I=[f(x)－f(y)].[g(x)－g(y)]dxdy．由f(x)，g(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，得2I≥0，即I≥0，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b－