七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)平行線的性質(zhì)與判定-綜合問題-專題培優(yōu)

七下數(shù)學(xué)-平行線的性質(zhì)與判定一．解答題（共20小題）1．（道里區(qū)期末）已知：如圖，DB⊥AF于點(diǎn)G，EC⊥AF于點(diǎn)H，∠C＝∠D．求證：∠A＝∠F．證明：∵DB⊥AF于點(diǎn)G，EC⊥AF于點(diǎn)H（已知），∴∠DGH＝∠EHF＝90°（）．∴DB∥EC（）．∴∠C＝（）．∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝（）．∴DF∥AC（）．∴∠A＝∠F（）．2．（道外區(qū)期末）完成推理填空如圖，已知∠B＝∠D，∠BAE＝∠E．將證明∠AFC+∠DAE＝180°的過程填寫完整．證明：∵∠BAE＝∠E，∴∥（）．∴∠B＝∠（）．又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠（等量代換）．∴AD∥BC（）．∴∠AFC+∠DAE＝180°（）．3．（長(zhǎng)春期末）完成推理填空．填寫推理理由：如圖：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的過程填寫完整．∵EF∥AD，∴∠2＝，（）又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥，（）∴∠BAC+＝180°，（）又∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．4．（敘州區(qū)期末）如圖，A、B、C和D、E、F分別在同一條直線上，且∠1＝∠2，∠C＝∠D，試完成下面證明∠A＝∠F的過程．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（），∴（等量代換）∴BD∥CE（）∴∠D+∠DEC＝180°（），又∵∠C＝∠D（），∴∠C+∠DEC＝180°（），∴（），∴∠A＝∠F（）．5．（德惠市期末）如圖，點(diǎn)E在直線DF上，點(diǎn)B在直線AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．試說明：∠A＝∠F．請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充下面的解答過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵∠AGB＝∠DGF（）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（）∴∥（）∴∠D＝（）∵∠D＝∠C（已知）∴＝∠C（）∴∥（）∴∠A＝∠F（）6．（太原期末）如圖，點(diǎn)D、F在線段AB上，點(diǎn)E、G分別在線段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．（1）判斷DG與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，試說明AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？7．（肅州區(qū)期末）已知：如圖，AD∥BE，∠1＝∠2，求證：∠A＝∠E．8．（天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AD∥EF，∠2＝50°．（1）求∠3的度數(shù)；（2）若∠1＝∠2，問：DG∥BA嗎？請(qǐng)說明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度數(shù)．9．（南崗區(qū)校級(jí)月考）已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．（1）如圖1，求證：DE∥BC．（2）如圖2，當(dāng)∠A＝∠EFG＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出與∠C互余的角．10．（市南區(qū)期末）如圖，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）請(qǐng)你判斷∠1與∠ABD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，試求∠ACF的度數(shù)．11．（楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖：AB∥CD，AE、DF分別是∠BAO、∠CDO的平分線，求證：AE∥DF．12．（香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度數(shù)．13．（南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求證：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度數(shù)．14．（津南區(qū)校級(jí)月考）已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．證明：（1）GD∥AC；（2）∠ADC＝90°．15．（河口區(qū)期末）如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？16．（漢陽區(qū)期末）如圖，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠C＝63°，求∠DEC的度數(shù)．17．（南崗區(qū)期中）如圖，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)F為線段AC上一點(diǎn)，連接EF，求證：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）如圖3，在（2）的條件下，在射線AB上取點(diǎn)G，連接EG，使得∠GEF＝∠C，當(dāng)∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF時(shí)，求∠C的度數(shù)．18．（南崗區(qū)期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點(diǎn)H，求證：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，過點(diǎn)H作HM⊥FH交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．19．（黃陂區(qū)期末）如圖，直線AB與CD交于點(diǎn)F，銳角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．（1）求證：AB∥DE；（2）若G為直線AB（不與點(diǎn)F重合）上一點(diǎn)，∠FDG與∠DGB的角平分線所在的直線交于點(diǎn)P．①如圖2，α＝50°，G為FB上一點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)齊圖形并求∠DPG的度數(shù)；②直接寫出∠DPG的度數(shù)為（結(jié)果用含α的式子表示）．20．（漢陽區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)M為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)，若∠A＝105°+α，∠M＝108°﹣α，請(qǐng)直接寫出∠C的度數(shù)；（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E在直線CD上，AN平分∠PAB，射線AN的反向延長(zhǎng)線交∠PCE的平分線于M，若∠P＝30°，求∠AMC的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)P與直線AB，CD在同一平面內(nèi)，AN平分∠PAB，射線AN的反向延長(zhǎng)線交∠PCD的平分線于M，若∠AMC＝180°?12∠P，求證：AB∥

平行線的性質(zhì)與判定-綜合問題-專題培優(yōu)（解析版）一．解答題（共20小題）1．（道里區(qū)期末）已知：如圖，DB⊥AF于點(diǎn)G，EC⊥AF于點(diǎn)H，∠C＝∠D．求證：∠A＝∠F．證明：∵DB⊥AF于點(diǎn)G，EC⊥AF于點(diǎn)H（已知），∴∠DGH＝∠EHF＝90°（垂直的定義）．∴DB∥EC（同位角相等，兩直線平行）．∴∠C＝∠DBA（兩直線平行，同位角相等）．∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝∠DBA（等量代換）．∴DF∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．【分析】先證DB∥EC，得∠C＝∠DBA，再證∠D＝∠DBA，得DF∥AC，然后由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】∵DB⊥AF于點(diǎn)G，EC⊥AF于點(diǎn)H（已知），∴∠DGH＝∠EHF＝90°（垂直的定義），∴DB∥EC（同位角相等，兩直線平行），∴∠C＝∠DBA（兩直線平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝∠DBA（等量代換），∴DF∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；∠DBA，兩直線平行，同位角相等；∠DBA，等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2．（道外區(qū)期末）完成推理填空如圖，已知∠B＝∠D，∠BAE＝∠E．將證明∠AFC+∠DAE＝180°的過程填寫完整．證明：∵∠BAE＝∠E，∴AB∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴∠B＝∠BCE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠BCE（等量代換）．∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）．∴∠AFC+∠DAE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成證明．【解析】證明：∵∠BAE＝∠E，∴AB∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴∠B＝∠BCE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠BCE（等量代換）．∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）．∴∠AFC+∠DAE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：AB，DE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；BCE，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；BCE，同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．3．（長(zhǎng)春期末）完成推理填空．填寫推理理由：如圖：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的過程填寫完整．∵EF∥AD，∴∠2＝∠3，（兩直線平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥DG，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠BAC+∠DGA＝180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定推出AB∥DG，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠BAC+∠DGA＝180°即可．【解析】∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠BAC+∠DGA＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案為：∠3；兩直線平行，同位角相等；DG；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠DGA；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．4．（敘州區(qū)期末）如圖，A、B、C和D、E、F分別在同一條直線上，且∠1＝∠2，∠C＝∠D，試完成下面證明∠A＝∠F的過程．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（對(duì)頂角相等），∴∠1＝∠3（等量代換）∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）∴∠D+∠DEC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵∠C＝∠D（已知），∴∠C+∠DEC＝180°（等量代換），∴DF∥AC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．【分析】依據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可得到BD∥CE，再根據(jù)平行線的判定，即可得到DF∥AC，進(jìn)而得出∠A＝∠F．【解析】證明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（對(duì)頂角相等），∴∠1＝∠3（等量代換），∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行），∴∠D+∠DEC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵∠C＝∠D（已知），∴∠C+∠DEC＝180°（等量代換），∴DF∥AC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故答案為：對(duì)頂角相等；∠1＝∠3；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；等量代換；DF∥AC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．5．（德惠市期末）如圖，點(diǎn)E在直線DF上，點(diǎn)B在直線AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．試說明：∠A＝∠F．請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充下面的解答過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵∠AGB＝∠DGF（對(duì)頂角相等）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（等量代換）∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）∴∠D＝∠CEF（兩直線平行，同位角相等）∵∠D＝∠C（已知）∴∠CEF＝∠C（等量代換）∴DF∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)及等量代換求解可得．【解析】∵∠AGB＝∠DGF（對(duì)頂角相等）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（等量代換）∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）∴∠D＝∠CEF（兩直線平行，同位角相等）∵∠D＝∠C（已知）∴∠CEF＝∠C（等量代換）∴DF∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）故答案為：對(duì)頂角相等；等量代換；BD；CE；同位角相等，兩直線平行；∠CEF；兩直線平行，同位角相等；∠CEF；等量代換；DF；AC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．6．（太原期末）如圖，點(diǎn)D、F在線段AB上，點(diǎn)E、G分別在線段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．（1）判斷DG與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，試說明AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？【分析】（1）先根據(jù)CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)DG∥BC，∠3＝85°得出∠BCG的度數(shù)，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度數(shù)，由DG是∠ADC的平分線可得出∠ADC的度數(shù)，由此得出結(jié)論．【解析】（1）DG∥BC．理由：∵CD∥EF，∴∠2＝∠BCD．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC；（2）CD⊥AB．理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．∵∠DCE：∠DCG＝9：10，∴∠DCE＝95°×9∵DG是∠ADC的平分線，∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，∴CD⊥AB．7．（肅州區(qū)期末）已知：如圖，AD∥BE，∠1＝∠2，求證：∠A＝∠E．【分析】由于AD∥BE可以得到∠A＝∠3，又∠1＝∠2可以得到DE∥AC，由此可以證明∠E＝∠3，等量代換即可證明題目結(jié)論．【解析】證明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠3，∵∠1＝∠2，∴DE∥AC，∴∠E＝∠3，∴∠A＝∠EBC＝∠E．8．（天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AD∥EF，∠2＝50°．（1）求∠3的度數(shù)；（2）若∠1＝∠2，問：DG∥BA嗎？請(qǐng)說明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)AD∥EF，可得同位角相等即可得∠3的度數(shù)；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠1＝∠2，即可證明DG∥BA；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠1＝∠2，∠DAG＝20°，即可求∠AGD的度數(shù)．【解析】（1）∵AD∥EF，∴∠3＝∠2＝50°；（2）DG∥BA，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DG∥BA；（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠3＝∠2，∴∠3＝∠1＝50°，∴DG∥BA，∴∠AGD＝∠CAB，∵∠CAB＝∠DAG+∠3＝20°+50°＝70°，∴∠AGD＝∠CAB＝70°．9．（南崗區(qū)校級(jí)月考）已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．（1）如圖1，求證：DE∥BC．（2）如圖2，當(dāng)∠A＝∠EFG＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出與∠C互余的角．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得出∠EFD+∠EFG＝180°，再由同角的補(bǔ)角相等及內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判斷出BD∥EF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得到∠BDE+∠DEF＝180°，進(jìn)而可判斷出DE∥BC；（2）根據(jù)∠A＝∠EFG＝90°可得∠B+∠C＝90°，再利用平行線的性質(zhì)定理與已知條件判斷與∠B相等的角即可．【解析】（1）證明：∵∠EFD+∠EFG＝180°，∠BDG+∠EFG＝180°，∴∠BDG＝∠EFD，∴BD∥EF，∴∠BDE+∠DEF＝180°，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE+∠B＝180°，∴DE∥BC；（2）解：∵∠A＝∠EFG＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠B+∠C＝90°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴與∠C互余的角有∠B，∠ADE，∠DEF．10．（市南區(qū)期末）如圖，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）請(qǐng)你判斷∠1與∠ABD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，試求∠ACF的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，即可得到∠1與∠ABD的數(shù)量關(guān)系；（2）利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得出∠2的度數(shù)，再根據(jù)∠ACB為直角，即可得出∠ACF．【解析】（1）∠1＝∠ABD，理由：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠CBD＝180°，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝∠CBD，∴CF∥DB，∴∠1＝∠ABD．（2）∵∠1＝70°，CF∥DB，∴∠ABD＝70°，又∵BC平分∠ABD，∴∠DBC=12∠∴∠2＝∠DBC＝35°，又∵BC⊥AG，∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．11．（楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖：AB∥CD，AE、DF分別是∠BAO、∠CDO的平分線，求證：AE∥DF．【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAO＝∠CDO，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠EAO=12∠BAO=12∠CDO＝∠FDO，進(jìn)而判定【解析】證明：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠CDO，又∵AE、DF分別是∠BAO、∠CDO的平分線，∴∠EAO=12∠BAO=12∠∴AE∥DF．12．（香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度數(shù)．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直線AD與EC平行，可得到∠2與∠4間關(guān)系，再由∠2+∠3＝180°判斷AC與EF的位置關(guān)系；（2）由（1）的結(jié)論及垂直可得到∠BAC的度數(shù)，再由平行線及角平分線的性質(zhì)得到∠2的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系可得結(jié)論．【解析】（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠E＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．13．（南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求證：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度數(shù)．【分析】（1）要證明EF∥BH，可通過∠E與∠EBH互補(bǔ)求得，利用平行線的性質(zhì)說明∠EBH＝∠CHB可得結(jié)論．（2）要求∠CHO的度數(shù)，可通過平角和∠FHC求得，利用（1）的結(jié)論及角平分線的性質(zhì)求出∠FHB及∠BHC的度數(shù)即可．【解析】證明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB=12∠∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．14．（津南區(qū)校級(jí)月考）已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．證明：（1）GD∥AC；（2）∠ADC＝90°．【分析】（1）根據(jù)∠1＝∠C，可以得到GD∥AC；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可以得到∠2＝∠DAC，再根據(jù)∠2+∠3＝180°，即可得到∠DAC+∠3＝180°，從而可以得到AD∥EF，則∠ADC＝∠EFC，由EF⊥BC，即可得到∠EFC的度數(shù)，從而可以求得∠ADC的度數(shù)．【解析】證明：（1）∵∠1＝∠C，∴GD∥AC（同位角相等，兩直線平行）；（2）由（1）知，GD∥AC，則∠2＝∠DAC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠DAC+∠3＝180°，∴AD∥EF，∴∠ADC＝∠EFC，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°．15．（河口區(qū)期末）如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠2＝∠3，求出∠5＝∠6，根據(jù)平行線判定推出即可．【解析】∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即∠5＝∠6，∴l(xiāng)∥m，所以，進(jìn)入潛望鏡的光線l和離開潛望鏡的光線m是平行的．16．（漢陽區(qū)期末）如圖，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠C＝63°，求∠DEC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定得出AB∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠3，求出∠ADE＝∠B，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C+∠DEC＝180°，即可求出答案．【解析】（1）DE∥BC．理由：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠C+∠DEC＝180°，∵∠C＝63°，∴∠DEC＝117°．17．（南崗區(qū)期中）如圖，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)F為線段AC上一點(diǎn)，連接EF，求證：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）如圖3，在（2）的條件下，在射線AB上取點(diǎn)G，連接EG，使得∠GEF＝∠C，當(dāng)∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF時(shí)，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）過F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案；（3）設(shè)∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC＝180°﹣x°，根據(jù)角平分線的定義得出∠BAE=12∠BAC＝90°?12x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90?12x【解析】（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）證明：過F作FM∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）解：設(shè)∠GEF＝∠C＝x°，∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，∴∠GED＝2x°，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣x°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣由（1）知：AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AEF＝35°，∴90?12x+x﹣35+2解得：x＝50，即∠C＝50°．18．（南崗區(qū)期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點(diǎn)H，求證：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，過點(diǎn)H作HM⊥FH交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EP∥CD，根據(jù)AB∥CD，可得AB∥EP，設(shè)∠FAB＝α，∠CFH＝β，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線定義，可得∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）延長(zhǎng)DC至點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MN∥AB，結(jié)合（2）問可得∠EAF+∠GMH的度數(shù)．【解析】（1）證明：∵AE∥BD，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠D+∠B＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)E作EP∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EP，∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，∵AF是∠BAE的平分線，∴∠EAF＝∠FAB=12∵FH是∠CFG的平分線，∴∠CFH＝∠HFG=12∵CD∥AB，∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，設(shè)∠FAB＝α，∠CFH＝β，∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）解：如圖，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)Q，∵AB∥CD，∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，∴∠ECF＝∠CFG，由（2）問知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，∴∠AEC＝2∠AFH，∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，∴∠AFH＝20°，由（2）問知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，∵FH⊥HM，∴∠FHM＝90°，∴∠GHM＝90°﹣β，過點(diǎn)M作MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，由（2）問知：∠EAF＝∠FAB，∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，∴∠EAF+∠GMH＝70°．19．（黃陂區(qū)期末）如圖，直線AB與CD交于點(diǎn)F，銳角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．（1）求證：AB∥DE；（2）若G為直線AB（不與點(diǎn)F重合）上一點(diǎn)，∠FDG與∠DGB的角平分線所在的直線交于點(diǎn)P．①如圖2，α＝50°，G為FB上一點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)齊圖形并求∠DPG的度數(shù)；②直接寫出∠DPG的度數(shù)為90°?12α【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的意義，得出∠D＝∠AFD，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得結(jié)論；（2）①根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合（1）即可求出∠DPG的度數(shù)；②結(jié)合①即可寫出∠DPG的度數(shù)．【解析】（1）證明：∵∠AFC+∠AFD＝180°，∠AFC+α＝180°，∴∠AFD＝α＝∠CDE，∴AB∥DE；（2）解：①如圖即為補(bǔ)齊的圖形，∵∠FDG與∠DGB的角平分線所在的直線交于點(diǎn)P，∴∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠D