2024年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與檢測試卷（含解析）

2024年深圳市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與檢測試卷

一、選擇題（本大題共有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1.2024的倒數(shù)是（）

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是（）

3.隨著2024年2月第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)臨近，吉祥物成為焦點(diǎn),

某日通過搜索得出相關(guān)結(jié)果約為16000000個(gè).將“16000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（)

A.16xl06B.1.6xlO7C.1.6xlO8D.O.16xlO8

4.某校10名籃球隊(duì)員進(jìn)行投籃命中率測試，每人投籃10次，實(shí)際測得成績記錄如下表:

命中次數(shù)（次）56789

人數(shù)（人）14311

由上表知，這次投籃測試成績的中位數(shù)與眾數(shù)分別是（）

A.6,6B.6.5,6C.6,6.5D.7,6

5.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列關(guān)系式不成立的是（）

b0a1

A.a-5>b-5B.6a>6bC.-a>—bD.a-b>0

6.某學(xué)校將國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)一一“抖空竹”引入陽光特色大課間，

某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖所示，若將左圖抽象成右圖的數(shù)學(xué)問題：

在平面內(nèi)，ABCD,0c的延長線交AE于點(diǎn)內(nèi)；若NBAE=75。,ZAEC=35°,

則/OCE的度數(shù)為（）

1

A.120°B.115°C.110°D.75°

7.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是:

“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？”意思是:

用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺;

將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？

可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為P尺，則所列方程組正確的是（）

AUcALIx-y=4.5\y—x=4.5

R\y-x=4.5\x-y=4.57,

A.iB?〈C.iyD.\y

[2x-y=l[2x-y=l--x=lx--=1

、2、2

8.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形,

跨度約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑"約為（）

9.如圖，0E是JLBC的中位線，點(diǎn)戶在03上，DF=2BF.連接EF并延長,

與CB的延長線相交于點(diǎn)M.若3C=6,則線段CM的長為（）

10.如圖，已知開口向上的拋物線y=ax2+Zzx+c與x軸交于點(diǎn)（-1,0）,對(duì)稱軸為直線x=l.下列結(jié)論:

2

①%>0；②2°+6=0；③若關(guān)于*的方程ox2+6x+c+l=0一■定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④a>§.

二、填空題（本大題共有5個(gè)小題，每小題4分，共20分）

11.分解因式：4a2-4a+l=.

12.一只不透明的袋中裝有2個(gè)白球和〃個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，

攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為:，那么黑球的個(gè)數(shù)是

13.已知關(guān)于x的一元二次方程X2-（〃?+2）x+3=0的一個(gè)根為1,則片.

14.如圖，正六邊形4%/即的邊長為2,以頂點(diǎn)/為圓心，48的長為半徑畫圓，

則圖中陰影部分的面積為.

15.如圖，圖1是一盞臺(tái)燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），

其中燈臂AC=40cm,燈罩CD=30cm,燈臂與底座構(gòu)成的NC4B=60。.

8可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)。與水平線所成的角為30。時(shí)，臺(tái)燈光線最佳,

則此時(shí)點(diǎn)。與桌面的距離是.（結(jié)果精確到1cm,8取1.732）

D

圖1圖2

3

三、解答題（本大題共有6個(gè)小題，共50分）

16.計(jì)算：（一;尸+2cos45°-卜一也|+（3.14-萬）

17.先化簡，再求值：（1-士）T-—4X+4,其中了=3.

x+1X+1

18.“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗.

我市某食品廠為了解市民對(duì)去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽

（以下分別用AB、C、〃表示）這四種不同口味粽子的喜愛情況，

在節(jié)前對(duì)某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖（尚不完整）.

請(qǐng)根據(jù)以上信息回答：

（1）本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人？

（2）將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整；

（3）若居民區(qū)有8000人，請(qǐng)估計(jì)愛吃〃粽的人數(shù)；

（4）若有外型完全相同的4B、C、2粽各一個(gè)，煮熟后，小王吃了兩個(gè).用列表或畫樹狀圖的方法，求他第

二個(gè)吃到的恰好是，粽的概率.

19.某廠家生產(chǎn)一批遮陽傘，每個(gè)遮陽傘的成本價(jià)是20元，試銷售時(shí)發(fā)現(xiàn)：

遮陽傘每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間是一次函數(shù)關(guān)系，

當(dāng)銷售單價(jià)為28元時(shí)，每天的銷售量為260個(gè)；當(dāng)銷售單價(jià)為30元時(shí)，每天的銷售量為240個(gè).

（1）求遮陽傘每天的銷出量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)遮陽傘每天的銷售利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天的銷售利潤最大？

最大利潤是多少元？

20.已知：如圖，在‘ABC中，AB=BC,。是AC中點(diǎn)，BE平分NABD交AC于點(diǎn)E,

點(diǎn)。是A3上一點(diǎn)，。過5、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)、G,交AB于點(diǎn)尸.

4

C

D

￡

(1)試說明直線AC與。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)BD=2,sinC=；時(shí)，求。。的半徑.

21.如圖，拋物線>=-爐+桁+。交x軸于A,8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線8c的表達(dá)式為>=-尤+3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)動(dòng)點(diǎn)。在直線BC上方的二次函數(shù)圖像上，連接。C,DB,設(shè)四邊形ABDC的面積為S,求S的最大值;

(3)當(dāng)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形與，3CE相似？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

22.綜合與探究

在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E,將3CE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)尸處.

FD

BC

圖③

(1)如圖①，若BC=2BA,求/CBE的度數(shù);

(2)如圖②，當(dāng)AB=5,且AF-FD=10時(shí)，求E尸的長;

(3)如圖③，延長斯，與尸的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于氤N,

當(dāng)NR=AN+㈤時(shí)，請(qǐng)直接寫出8c的值.

5

2024年深圳市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與檢測試卷（解析版）

二、選擇題（本大題共有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1.2024的倒數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了倒數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握倒數(shù)的定義，“乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”.

【詳解】解：2024的倒數(shù)上.

2024

故選：A.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點(diǎn)求解.

【詳解】人是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意，

8、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意，

C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意，

以是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意，

故選：A.

4.隨著2024年2月第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)臨近，吉祥物成為焦點(diǎn),

某日通過搜索得出相關(guān)結(jié)果約為16000000個(gè).將“16000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.16xl06B.1.6xlO7C.1.6x10sD.0.16xl08

【答案】B

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法；根據(jù)科學(xué)記數(shù)法計(jì)算方法計(jì)算即可；解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算方

法.

6

【詳解】解：16000000=1.6xl07

4.某校10名籃球隊(duì)員進(jìn)行投籃命中率測試，每人投籃10次，實(shí)際測得成績記錄如下表:

命中次數(shù)（次）56789

人數(shù)（人）14311

由上表知，這次投籃測試成績的中位數(shù)與眾數(shù)分別是（）

A.6,6B.6.5,6C.6,6.5D.7,6

【答案】B

【分析】根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：

中位數(shù)為*=6.5,眾數(shù)為6；

故選B.

5.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列關(guān)系式不成立的是（）

b0a1

A.a-5>b-5B.6a>6bC.-a>-bD.a-b>0

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出匕的正負(fù)情況以及絕對(duì)值的大小，然后解答即可.

【詳解】由圖可知，b<O<a,且同<同，

a-5>b-5,6a>6b,-a<-b,a-b>0,

???關(guān)系式不成立的是選項(xiàng)C.

故選c.

6.某學(xué)校將國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)一一“抖空竹”引入陽光特色大課間，某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖所

示，若將左圖抽象成右圖的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，ABCD,DC的延長線交AE于點(diǎn)尸；若

ZBA￡=75°,ZAEC=35°,則/DCE的度數(shù)為（）

7

E

F

rr/

圖1圖2

A.120°B.115°C.110°D.75°

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/瓦匕=/胡￡=75。，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：CD,ZBAE=75°,

NEFC=NBAE=15°,

,：ZDCE=ZAEC+Z.EFC,ZAEC=35°,

ZDCE=110°,

故選：C.

7.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：

“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？”意思是:

用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；

將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？

可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（）

【答案】D

【分析】設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子

對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】解：設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，

y-x=4.5

由題意可得y1.

I2

故選：D.

8.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，

跨度約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑A約為（)

8

A.20mB.28mC.35mD.40m

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知，AB=37m,CD=7m,主橋拱半徑尼根據(jù)垂徑定理，得到">=千m,再利用勾股

定理列方程求解，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，由題意可知，AB=37m,CD=7m,主橋拱半徑尼

:.OD=OC-CD=（R-7）m,

OC是半徑，且

137

AD=BD=—AB=—m,

22

在RtAADO中，AD2+OD2=OA2>

；?］；+（E-7）2=代，

解得：R=粵。28m,

56

故選B

9.如圖，OE是uABC的中位線，點(diǎn)P在上，DF=2BF.連接所并延長,

與CB的延長線相交于點(diǎn)若BC=6,則線段CM的長為（）

9

A

15

C.—D.8

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得。石〃BC,求出進(jìn)而證得DEFs,BMF,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)求出即可求出結(jié)論.

【詳解】解：DE是.ABC的中位線，

:.DE//BC,DE=—BC=—x6=3,

22

:..DEFs.BMF，

DEDF2BF「

-----=-----=------=2,

BMBFBF

3

:.BM=-,

2

：.CM=BC+BM=—.

2

故選：c.

10.如圖，已知開口向上的拋物線y=o?+fcv+c與x軸交于點(diǎn)對(duì)稱軸為直線x=l.下列結(jié)論:

①abc>0；②2a+6=0；③若關(guān)于x的方程々/+笈+°+]=。一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

10

【詳解】解：???拋物線開口向上，

a>0,

???拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，

???c<0,

b

:對(duì)稱軸為x=-丁=1,

2a

:.b--2a<0,

/.abcX）,

故①正確；

?.?拋物線的對(duì)稱軸為x=l,

?,A=1

la，

2a+b=0,

故②正確；

?.?函數(shù)y=〃/+加:+。與直線y=—1有兩個(gè)交點(diǎn).

???關(guān)于工的方程依2+法+°+1=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故③正確；

<％二—1時(shí)，y=。即a-Z?+c=O,

*.*b--2a,

tz+2a+c=0,BP-3a=c,

Vc<-1,

-3a<—1,

.1

?,〃〉一,

3

故④正確，

故選：D

三、填空題（本大題共有5個(gè)小題，每小題4分，共20分）

11.分解因式：4a2-4〃+1=.

【答案】（2—1）2

【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)相同，另一項(xiàng)是兩底數(shù)積的兩倍,

本題可以用完全平方公式.

11

【詳解】原式=（2a）2-2x2oxl+F=（2a-l）2.

故答案為：（2a-l）2.

13.一只不透明的袋中裝有2個(gè)白球和〃個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，

攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為!，那么黑球的個(gè)數(shù)是.

【答案】6

【分析】根據(jù)概率公式建立分式方程求解即可

【詳解】???袋子中裝有2個(gè)白球和〃個(gè)黑球，摸出白球的概率為!，

4

,21

??------=—，

〃+24

解得爐6,

經(jīng)檢驗(yàn)爐6是原方程的根，

故答案為：6

13.已知關(guān)于x的一元二次方程d-（〃?+2）x+3=0的一個(gè)根為1,則勿=

【答案】2

【分析】把x=l代入方程計(jì)算即可求出加的值.

【詳解】解：把x=l代入方程得：1-（機(jī)+2）+3=0,

去括號(hào)得：1-m-2+3=0，

解得：m=2,

故答案為：2

14.如圖，正六邊形/閱％F的邊長為2,以頂點(diǎn)/為圓心，46的長為半徑畫圓，

則圖中陰影部分的面積為.

【答案】y-

?360°

【分析】延長用交。/于G,如圖所示:根據(jù)六邊形力及為即是正六邊形,AB=2,利用外角和求得ZGAB=――=60°,

6

再求出正六邊形內(nèi)角N為廬180。-N函廬180。-60°=120°,利用扇形面積公式代入數(shù)值計(jì)算即可.

12

【詳解】解：延長川交。/于G,如圖所示:

:六邊形/腐!砂"是正六邊形，AB=2,

ZFAB=180°~ZGAB=180°-60°=120°,

11兀丁120x萬x44萬

故答案為.

15.如圖，圖1是一盞臺(tái)燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），

其中燈臂AC=40cm,燈罩CD=30cm,燈臂與底座構(gòu)成的NC4B=60。.

8可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)。與水平線所成的角為30。時(shí)，臺(tái)燈光線最佳,

則此時(shí)點(diǎn)。與桌面的距離是.（結(jié)果精確到1cm,6取1.732）

【答案】50cm

【分析】過點(diǎn)。作交A3延長線于點(diǎn)過點(diǎn)C作于凡過點(diǎn)C作CE，?！庇凇?

分別在&.ACF和Rt^CDE中，利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)求出C尸和DE的長，再由矩形的判定和性質(zhì)得到

CF=EH,最后根據(jù)線段的和差計(jì)算出D"的長，問題得解.

【詳解】過點(diǎn)。作交A3延長線于點(diǎn)過點(diǎn)C作C4H于凡過點(diǎn)C作。后，。”于￡,

ABH

13

在RtACF中，ZA=60°,AC=40cm,

/.CF=ACsin60°=2073（cm）,

在RtZXCDE中，ZDCE=30°,CD=30cm,

DP

：sin/OCE=—,

CD

：.DE=CDsin30°=15（cm）,

VDH1AB,CFLAH,CELDH,

四邊形5立是矩形，

CF=EH,

'：DH=DE+EH,

：.DH=DE+EH=2。出+15-50（cm）.

答：點(diǎn)。與桌面的距離約為50cm.

三、解答題（本大題共有6個(gè)小題，共50分）

16.計(jì)算：（一；尸+28$45°-卜一也|+（3.14-萬）°.

【答案】2

【詳解】分析：代入45°角的余弦函數(shù)值，結(jié)合“負(fù)整數(shù)指數(shù)累和零指數(shù)累的意義及絕對(duì)值的意義”進(jìn)行計(jì)

算即可.

詳解：

原式=_4+2x曰_（夜_1）+1

=-4+72-72+1+1，

=-2.

3丫2—4丫+4

17.先化簡，再求值：（1-二）尸4X+4,其中x=3.

-r+1x+1

【答案】一］,1.

無一2

【分析】先將括號(hào)里的分式通分，然后按照分式減法法則計(jì)算，再根據(jù)分式除法法則進(jìn)行運(yùn)算即可將分式化簡,

最后代入字母取值進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：原式=（五1一二］

\x+lx+1Jx+1

14

無一2尤+1

x+1（尤-2）2'

當(dāng)x=3時(shí),

20.“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗.

我市某食品廠為了解市民對(duì)去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽

(以下分別用AB、C、〃表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況，

在節(jié)前對(duì)某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整).

D

40%

10%/

請(qǐng)根據(jù)以上信息回答：

(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人？

(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整；

(3)若居民區(qū)有8000人，請(qǐng)估計(jì)愛吃2粽的人數(shù)；

(4)若有外型完全相同的AB、a，粽各一個(gè)，煮熟后，小王吃了兩個(gè).用列表或畫樹狀圖的方法，求他第

二個(gè)吃到的恰好是。粽的概率.

【答案】(1)600；(2)見解析；(3)3200；(4)I

【詳解】（1）604-10%=600（人）.

答：本次參加抽樣調(diào)查的居民有600人.

(2)如圖,

15

（3）8000X40%=3200（人）.

答：該居民區(qū)有8000人，估計(jì)愛吃〃粽的人有3200人.

（4）如圖；

開始

ABCD

AAAA

BCDACDABDABC

共有12種等可能的情況，其中他第二個(gè)吃到的恰好是C粽的有3種，

、31

:，P（「粽）

答：他第二個(gè)吃到的恰好是C粽的概率是9.

21.某廠家生產(chǎn)一批遮陽傘，每個(gè)遮陽傘的成本價(jià)是20元，試銷售時(shí)發(fā)現(xiàn)：

遮陽傘每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間是一次函數(shù)關(guān)系，

當(dāng)銷售單價(jià)為28元時(shí)，每天的銷售量為260個(gè)；當(dāng)銷售單價(jià)為30元時(shí)，每天的銷售量為240個(gè).

（3）求遮陽傘每天的銷出量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）設(shè)遮陽傘每天的銷售利潤為?。ㄔ?，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天的銷售利潤最大？

最大利潤是多少元？

【答案】⑴尸-10x+540；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為37元時(shí)，才能使每天的銷售利潤最大，最大利潤是2890元

【分析】（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為了="矛+6,由銷售單價(jià)為28元時(shí)，每天的銷售量為260個(gè)；

銷售單價(jià)為30元時(shí)，每天的銷量為240個(gè)；列方程組求解即可；

（2）由每天銷售利潤=每個(gè)遮陽傘的利潤X銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，

16

再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

【詳解】(1)解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=Ax+6,

260=28k+6

由題意可得:

240=30%+6

k=-W

解得:

6=540

...函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+540；

(2)解:由題意可得：

片(x-20)尸(x-20)(-10x+540)=-10(x-37)2+2890,

V-10<0,二次函數(shù)開口向下，

當(dāng)x=37時(shí)，曠有最大值為2890,

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為37元時(shí)，才能使每天的銷售利潤最大，最大利潤是2890元.

20.已知：如圖，在，ASC中，AB=BC,。是AC中點(diǎn)，8E平分交AC于點(diǎn)E,

點(diǎn)。是A3上一點(diǎn)，。過8、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)、G,交AB于點(diǎn)尸.

(1)試說明直線AC與：。的位置關(guān)系，并說明理由;

解：(1)證明：如圖，連接OE,

17

???/斤8。且〃是比1中點(diǎn)，

：.BDLAC,

■:BE平分/ABD,

:?/AB斤/DBE,

;0方0E,

：.ZOBE=ZOEB,

：./OEF/DBE,

：.OE//BD,

：.OELAC,

，力。與。。相切.

(2),:BA2,si心三,BDLAC,

:.BO4,

：.AB=4f

設(shè)。。的半徑為r,則234-r,

9：AB=BC,

：.ZOZAf

sin忙sinC^J,

???4。與。。相切于點(diǎn)反

：.OEVAC

,4

,?尸3'

4

經(jīng)檢驗(yàn)：尸1是原方程的解.

21.如圖，拋物線》=一/+"+。交工軸于A,5兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線3c的表達(dá)式為y=—x+3.

18

(2)求拋物線的表達(dá)式；

(2)動(dòng)點(diǎn)。在直線8c上方的二次函數(shù)圖像上，連接。C,DB,設(shè)四邊形的面積為S,求S的最大值;

(3)當(dāng)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在無軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形與sBCE相似？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)2的坐標(biāo).

【答案】⑴尸r、2x+3⑵稱⑶存在，。的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)

O

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)由S=S梯形C0FD+S4DFB+§△AOC，即可求解；

(3)分—AQCy反方、△QACsAECB、△ACQS^ECB三種情況，分別求解即可.

【詳解】(1)解：：直線BC的表達(dá)式為>=T+3,

當(dāng)x=0時(shí)，得：y=3,

AC(0,3),OC=3,

當(dāng)>=。時(shí)，得：0=—x+3,解得：x=3,

.?.3(3,0),03=3,

:拋物線>=-/+a+。交X軸于A,3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

J-9+3/?+c=0

[c=3

b=2

解得:

c=3

???拋物線的表達(dá)式為y=*+2x+3；

(2)過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)尸，

-爐+2x+3）,

：.F（x,0）,OF=x,BF=3-x,

19

DF=—x2+2x+3,

:拋物線y=-￡+2x+3交x軸于A,3兩點(diǎn)，

當(dāng)y=0時(shí)，得：一Y+2尤+3=0,

解得：玉=-1,%=3,

AA（-l,0）,OA=1,

S=S梯形COFD+S&DFB+SAAOC

=1x（3-x2+2.x+3）+1（3-x）（-x2+2.x+3）+1xlx3

3

xv--<o,即拋物線的圖像開口向下，

當(dāng)尤=:3時(shí)，S有最大值，最大值為7等5.

2o

.1.￡（1,4）,

又???C（0,3）,5（3,0）,

/.CE=^（1-0）2+（4-3）2=也,

BC=^（3-0）2+（0-3）2=3拒，

BE=J（3-l）2+（0-4）2=2^5,

20

CE2+BC2=（V2）2+（3A/2）2=20=（2司=BE2,

：.ZECB=90°,

如圖所示，連接AC,

①A（T,0）,C（0,3）,

OA=1,OC=3,AC=y]AO2+CO2=A/12+32=>/10>

.AOECI

CO-BC_3）

又ZAOC=ZECB=90°,

AAOC^ECB,

當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0）時(shí)，AQC^ECB.

②過點(diǎn)C作CQ」AC,交X軸與點(diǎn)Q,

：..AC。'為直角三角形，CO±AQ',

：.ZACQ'=ZAOC=90°,ZAQ'C=90°-ZCAQ'=ZACO,

：.ACQ's,AOC,

又,：AOCS_ECB,

ACQ's,ECB,

.AQEBAQ'_245

ACEC71072

解得：A。=10,

.?.Q'（9,0）；

:一AC。為直角三角形，CAA.AQ,

21

ZQAC=ZAOC=90°,ZACQ=90°-ZCQA=ZOAQ,

△QXCsXAOC,

又：AOCsECB,

AQACSAECB,

.QCACmQC_y/io

EBCB2有372

解得：QC=~,

此時(shí)點(diǎn)。在y軸上，不符合題意，舍去.

綜上所述：當(dāng)在X軸上的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí)，以A,C,。為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似.

22.綜合與探究

在矩形ABCD的C。邊上取一點(diǎn)E,將BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)尸處.

M

圖①圖②圖③

(2)如圖①，若BC=2BA,求/CBE的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)AB=5,且AF-FD=10時(shí)，求政的長；

(3)如圖③，延長EF,與/AS尸的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于點(diǎn)N,

當(dāng)AE=AN+FD時(shí)，請(qǐng)直接寫出一的值.

BC