適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十一章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)事件與概率課件

第四節(jié)隨機(jī)事件與概率第十一章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會用頻率估計概率.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.事件的分類

確定事件必然事件Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生,所以Ω總會發(fā)生,我們稱Ω為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生,我們稱?為不可能事件隨機(jī)事件我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件基本事件把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件2.頻率與概率一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用

來估計概率

.

從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小

頻率fn(A)P(A)微點(diǎn)撥理解頻數(shù)與頻率需注意:①前提:對于給定的隨機(jī)事件A,在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察事件A是否出現(xiàn).②頻數(shù):指的是n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA.頻率:指的是事件A出現(xiàn)的比微思考隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的,而概率是客觀存在的確定的常數(shù),但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近.3.事件的關(guān)系與運(yùn)算

事件的關(guān)系與運(yùn)算含義符號表示包含事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A+B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?,A∪B=Ω微點(diǎn)撥定義多個事件的和事件以及積事件.例如,對于三個事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時發(fā)生.微思考隨機(jī)事件A,B互斥與對立有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

當(dāng)隨機(jī)事件A,B互斥時,不一定對立;當(dāng)隨機(jī)事件A,B對立時,一定互斥,即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.4.古典概型(1)具有以下兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有

;

②等可能性:每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性

.

判斷一個試驗(yàn)是否是古典概型的關(guān)鍵點(diǎn)

有限個

相等

(2)古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個樣本點(diǎn),則定義事件A的概率P(A)=

.其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù).

微思考試驗(yàn):“種下一粒種子,觀察它是否發(fā)芽”是古典概型嗎?提示

不是.“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”出現(xiàn)的可能性不相等.常用結(jié)論概率的幾個基本性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5:如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生.(

)(3)若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B)=1.(

)√××2.從一批羽毛球中任取一個,其質(zhì)量小于4.8克的概率為0.3,質(zhì)量不小于4.85克的概率為0.32,則質(zhì)量在[4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為(

)A.0.62 B.0.38

C.0.7

D.0.68答案

B

解析

由互斥事件的概率計算公式可得質(zhì)量在[4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為P=1-0.3-0.32=0.38.故選B.3.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為

.

解析

設(shè)除甲、乙外,其余三名同學(xué)為A,B,C.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名,則所有的可能結(jié)果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10個.甲、乙都入選的可能結(jié)果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3個.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一隨機(jī)事件(多考向探究)考向1.隨機(jī)事件之間關(guān)系的判斷典例突破例1.(1)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件A,B,C,D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是(

)A.A∪B與C是互斥事件,也是對立事件B.B∪C與D是互斥事件,也是對立事件C.A∪C與B∪D是互斥事件,但不是對立事件D.A與B∪C∪D是互斥事件,也是對立事件(2)(多選)(2023廣東德琳學(xué)校月考)從裝有2個白球和3個紅球的袋子中任取2個球,則(

)A.“都是紅球”與“都是白球”是互斥事件B.“至少有1個紅球”與“都是白球”是對立事件C.“恰有1個白球”與“恰有1個紅球”是互斥事件D.“至少有1個紅球”與“至少有1個白球”是互斥事件答案

(1)D

(2)AB

解析

(1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一個必然事件,故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件.故選D.(2)“都是紅球”與“都是白球”不能同時發(fā)生,是互斥事件,A正確;“至少有1個紅球”與“都是白球”不能同時發(fā)生,且必有一個發(fā)生,是對立事件,B正確;“恰有1個白球”與“恰有1個紅球”能夠同時發(fā)生(如1紅1白),不是互斥事件,C錯誤;“至少有1個紅球”與“至少有1個白球”能夠同時發(fā)生(如1紅1白),不是互斥事件,D錯誤.故選AB.方法總結(jié)判斷互斥事件、對立事件的兩種方法

對點(diǎn)訓(xùn)練1

(1)(多選)一個口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個,一次任意取出2個小球,則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有(

)A.2個小球不全為紅球B.2個小球恰有1個紅球C.2個小球至少有1個紅球D.2個小球都為綠球(2)(多選)(2023江蘇盱眙中學(xué)模擬)下列結(jié)論正確的是(

)A.若A,B互為對立事件,P(A)=1,則P(B)=0B.若事件A,B,C兩兩互斥,則事件A與B∪C互斥C.若事件A與B對立,則P(A∪B)=1D.若事件A與B互斥,則它們的對立事件也互斥答案

(1)BD

(2)ABC

解析

(1)口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個,一次任意取出2個小球,則樣本空間Ω={(紅,紅),(綠,綠),(藍(lán),藍(lán)),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(藍(lán),綠)},共6種情況.則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有2個小球恰有1個紅球和2個小球都為綠球,故B,D正確;而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅色是對立事件,故A錯誤;2個小球至少有1個紅球包括2個紅色、1個紅色1個藍(lán)色、1個紅色1個綠色,故C錯誤.故選BD.(2)若A,B互為對立事件,P(A)=1,則A為必然事件,故B為不可能事件,則P(B)=0,故A正確;若事件A,B,C兩兩互斥,即A,B,C不能同時發(fā)生,則A與B∪C也不可能同時發(fā)生,故B正確;若事件A與B對立,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故C正確;若事件A與B互斥但不對立,則它們的對立事件不互斥,例如:從裝有2個紅球和2個白球的袋子中任取兩個球,記事件A:一個紅色,一個白色;事件B:兩個都是紅色;事件C:兩個都是白色,顯然事件A與B互斥考向2.隨機(jī)事件的頻率與概率典例突破例2.某險種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值.解

(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為

=0.55,故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為

=0.3,故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得

保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a(元).因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值為1.192

5a.方法總結(jié)計算簡單隨機(jī)事件的頻率或概率的解題步驟

對點(diǎn)訓(xùn)練2某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解

(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25

℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25

℃的頻率為

=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25

℃,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20

℃,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20

℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20

℃的頻率為

=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8.考向3.互斥事件與對立事件的概率典例突破例3.經(jīng)統(tǒng)計,在某銀行一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?解

記“0人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.方法總結(jié)求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法

對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)人類通常有O,A,B,AB四種血型,某一血型的人能給哪些血型的人輸血,是有嚴(yán)格規(guī)定的,輸血法則可歸結(jié)為4條:①X→X;②O→X;X→AB;④不滿足上述3條法則的任何關(guān)系式都是錯誤的(其中X代表O,A,B,AB中某種血型,箭頭左邊表示供血者,右邊表示受血者).已知我國O,A,B,AB四種血型的人數(shù)所占比例分別為41%,28%,24%,7%,在臨床上,按照規(guī)則,若受血者為A型血,則一位供血者不能為這位受血者正確輸血的概率為(

)A.0.27 B.0.31

C.0.42

D.0.69(2)(2023福建廈門二模)廈門山海健康步道全長約23千米,起于郵輪碼頭,終于觀音山夢幻沙灘,沿線串聯(lián)筼筜湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”.市民甲計劃從“八山三水”這11個景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個游覽,則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率為(

)解析

(1)當(dāng)受血者為A型血時,供血者可以為A型或O型,即B,AB兩種血型不能為供血者,我國O,A,B,AB四種血型的人數(shù)所占比例分別為41%,28%,24%,7%,所以一位供血者不能為這位受血者正確輸血的概率為P=24%+7%=31%=0.31.故選B.(2)從11個景點(diǎn)隨機(jī)選取相鄰的3個游覽,共有9種情況,選取景點(diǎn)中有“水”的對立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個相鄰的,共有4種情況,則其概率P=,從11個景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個游覽,則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率P=1-.故選C.考點(diǎn)二古典概型典例突破例4.(1)從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(

)(2)(2023全國甲,文4)某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為(

)答案

(1)D

(2)D

(2)由題意,設(shè)高一年級2名學(xué)生為A,B,高二年級2名學(xué)生為C,D,從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種,這2名學(xué)生來自不同年級的組合有AC,AD,BC,BD,共4種,故所求的概率P=.方法總結(jié)古典概型中樣本點(diǎn)個數(shù)的探求方法

對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2023全國乙,文9)某學(xué)校舉辦作文比賽,共設(shè)6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為(

)(2)從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個,則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為

.

解析(1)甲、乙兩位同學(xué)各隨機(jī)抽取一個主題,共有6×6=36種結(jié)果,而甲、乙兩位同學(xué)抽到同一個主題的結(jié)果有6種,所以甲、乙兩位同學(xué)抽到不同考點(diǎn)三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用典例突破例5.某市圍繞“貫徹新發(fā)展理念,建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題,開展了形式多樣、內(nèi)容豐富的活動,進(jìn)一步增強(qiáng)全民保護(hù)水資源,防治水污染,節(jié)約用水的意識.為了解活動開展成效,某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況,隨機(jī)抽取了300名業(yè)主進(jìn)行節(jié)約用水調(diào)查評分,將得到的分?jǐn)?shù)分成6組:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值,并估計這300名業(yè)主評分的中位數(shù);(2)若先用分層隨機(jī)抽樣的方法從評分在[90,95)和[95,100]的業(yè)主中抽取5人,然后再從抽出的這5位業(yè)主中任意選取2人作進(jìn)一步訪談,求這2人中至少有1人的評分在[95,100]的概率.解(1)由題意得,(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1,解得a=0.040.又第一組的頻率為0.025×5=0.125,第二組的頻率為0.035×5=0.175,第三組的頻率為0.200,前三組的頻率之和為0.125+0.175+0.200=0.500,故這300名業(yè)主評分的中位數(shù)為85.(2)由頻率分布直方圖,知評分在[90,95)的人數(shù)與評分在[95,100]的人數(shù)的比值為3∶2,采用分層隨機(jī)抽樣法抽取5人,評分在[90,95)的有3人,評分在[95,100]的有2人.設(shè)評分在[90,95)的3人分別為A1,A2,A3,評分在[95,100]的