廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i2．（5分）已知向量，滿足＝（2，1），＝（1，y），且⊥，則|+2|＝（）A． B． C．5 D．43．（5分）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則k＝（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣24．（5分）已知cos2（+α）＝，則sin2α＝（）A． B．﹣ C． D．﹣5．（5分）在△ABC中，A＝105°，C＝45°，，則b＝（）A．1 B． C． D．26．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則＝（）A． B．1 C． D．7．（5分）如圖，△ABC是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若△ABE與△ACD的面積相等，則＝（）A． B． C． D．8．（5分）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么sin2θ的值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分。（多選）9．（6分）下列各式中值為的是（）A．2sin75°cos75° B．1﹣2sin2 C．sin45°cos15°﹣cos45°sin15° D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°（多選）10．（6分）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±i B．3+i＞2+i C．方程x2+2x+2＝0，（x∈C）的根是﹣1±i D．若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π（多選）11．（6分）在△ABC中，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A．若，則△ABC為銳角三角形 B．△ABC內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是△ABC的重心 C．若，則△ABC的形狀為等腰三角形 D．△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣1，2），則的值為．13．（5分）設(shè)向量＝（1，﹣2），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，則m＝．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，在方向上的投影是的的面積為，則a＝．四、解答題：共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知α∈（0，π），．（1）求tanα的值；（2）求的值．16．（15分）已知向量．（1）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角；（2）求的最大值．17．（15分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量＝（2a，），＝（c，sinC），且∥．（1）求角A；（2）若c＝2，且△ABC的面積為，求AC邊上的中線BM的大?。?8．（17分）已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)x的值．19．（17分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如圖，若△ABC外接圓半徑為，D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC的周長．參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i【分析】利用復(fù)數(shù)的虛部的意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部是﹣1．故選：C．【點(diǎn)評】熟練掌握復(fù)數(shù)的虛部的意義是解題的關(guān)鍵．2．（5分）已知向量，滿足＝（2，1），＝（1，y），且⊥，則|+2|＝（）A． B． C．5 D．4【分析】根據(jù)題意，由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得?＝2+y＝0，解可得y的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算可得向量（+2）的坐標(biāo)，由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，＝（2，1），＝（1，y），且⊥，則有?＝2+y＝0，解可得y＝﹣2，即＝（1，﹣2），則+2＝（4，﹣3），故|+2|＝＝5；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算和向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則k＝（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得出，然后根據(jù)平面向量基本定理即可求出k的值．【解答】解：∵與共線，且，∴存在λ，使，即，且不共線，∴根據(jù)平面向量基本定理，，解得k＝﹣4．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量和共線向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知cos2（+α）＝，則sin2α＝（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】利用降冪公式，化簡求值．【解答】解：因?yàn)閏os2（+α）＝＝＝，則sin2α＝﹣．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）在△ABC中，A＝105°，C＝45°，，則b＝（）A．1 B． C． D．2【分析】先求出B，然后結(jié)合正弦定理即可求解b．【解答】解：△ABC中，A＝105°，C＝45°，，則B＝30°，由正弦定理得，＝＝2，則b＝1．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則＝（）A． B．1 C． D．【分析】由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)作圖求出φ，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，從而得到的值．【解答】解：函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝．再結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（+）．將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝g（x）＝2sin的圖象，則＝2sin＝1，故選：B．【點(diǎn)評】考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式和函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．7．（5分）如圖，△ABC是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若△ABE與△ACD的面積相等，則＝（）A． B． C． D．【分析】△ABE與△ACD的面積相等，，進(jìn)而可得S△ABE＝S△BDE，E為AD的中點(diǎn)，運(yùn)算可求．【解答】解：∵D在線段BC上，且，∴，又△ABE與△ACD的面積相等，∴，∴S△ABE＝S△BDE，∴E為AD的中點(diǎn)，∴，＝＝（+）＝+，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量基本定理，考查向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么sin2θ的值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)直角三角形的邊長為a，a+1，a2+（a+1）2＝25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．【解答】解：設(shè)直角三角形的邊長為a，a+1，則a2+（a+1）2＝25，a＞0．解得a＝3．∴sinθ＝，cos．∴sin2θ＝＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分。（多選）9．（6分）下列各式中值為的是（）A．2sin75°cos75° B．1﹣2sin2 C．sin45°cos15°﹣cos45°sin15° D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對于A：2sin75°cos75°＝sin150，故A正確；對于B：1﹣2sin2＝，故B錯(cuò)誤；對于C：sin45°cos15°﹣cos45°sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝，故C正確；對于D：由于，整理得tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故D錯(cuò)誤；故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±i B．3+i＞2+i C．方程x2+2x+2＝0，（x∈C）的根是﹣1±i D．若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π【分析】對于A，結(jié)合特殊值法，即可求解；對于B，結(jié)合虛數(shù)不能比較大小，即可求解；對于C，直接求解方程，即可求解；對于D，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：對于A，令，滿足|z|＝1，但z＝±1或z＝±i不成立，故A錯(cuò)誤；對于B，虛數(shù)不能表大小，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)棣ぃ?2﹣2×4＝﹣4＜0，所以方程有兩個(gè)虛根，因?yàn)閤2+2x+2＝0，所以，所以x＝﹣1±i，所以C正確；對于D，設(shè)z＝a+bi，則|z|＝因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，所以D正確．故選：CD．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）在△ABC中，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A．若，則△ABC為銳角三角形 B．△ABC內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是△ABC的重心 C．若，則△ABC的形狀為等腰三角形 D．△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義，向量線性運(yùn)算，向量垂直性質(zhì)即可求解．【解答】解：對A，∵，∴A為銳角，但其余兩角不清楚，∴△ABC不一定為銳角三角形，∴A錯(cuò)誤；對B，∵，，∴G是△ABC的重心，∴B正確；對C，∵，∴根據(jù)向量加法平行四邊形法則得平行四邊形的對角線相等，∴該平行四邊形為矩形，∴△ABC的形狀為直角三角形，∴C錯(cuò)誤；對D，∵，∴，∴，∴，∴D正確．故選：BD．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積定義，向量線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣1，2），則的值為．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解sinα，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可．【解答】解：已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣1，2），則，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）設(shè)向量＝（1，﹣2），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，則m＝3．【分析】根據(jù)即可得出，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可求出m的值．【解答】解：∵，∴，解得m＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，在方向上的投影是的的面積為，則a＝．【分析】先利用正弦定理整理三角函數(shù)關(guān)系式求出A的值，再由在方向上的投影是的，以及三角形面積公式求得b，c的值，最后利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：整理（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，得：2bcosA＝sinAcosC+cosAsinC，解得：cosA＝，由于0＜A＜π，則A＝，因?yàn)樵诜较蛏系耐队笆堑?，即||cosA＝c＝||＝b，所以c＝b，因?yàn)椤鰽BC的面積為，即bcsinA＝b2?＝3，所以b＝3，則c＝4，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得a＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，涉及正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知α∈（0，π），．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）結(jié)合同角基本關(guān)系即可直接求解；（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，結(jié)合（1）即可求解．【解答】解：（1）由題意有α∈（0，π），＞0，所以，所以，又因?yàn)?，所以；?）＝＝＝＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（15分）已知向量．（1）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角；（2）求的最大值．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量模公式，以及三角函數(shù)的恒等變換公式，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)與的夾角為β，則，∵0≤β≤π，∴，即與的夾角為．（2）∵，∴，∴，＝，當(dāng)時(shí)，等號成立，∴的最大值為4．【點(diǎn)評】本題主要考查向量模公式，以及三角函數(shù)的恒等變換公式，屬于中檔題．17．（15分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量＝（2a，），＝（c，sinC），且∥．（1）求角A；（2）若c＝2，且△ABC的面積為，求AC邊上的中線BM的大?。痉治觥浚?）由∥，可得，然后利用正弦定理可得角A；（2）根據(jù)△ABC的面積為，可得，然后利用余弦定理可求出BM．【解答】解：（1）∵，，，∴，由正弦定理，得，∵sinC≠0，∴sinA＝∵A∈（0，），∴；（2）∵△ABC的面積為，∴，∵c＝2，，∴b＝3，在三角形ABM中，由余弦定理，得＝，∴．【點(diǎn)評】本題考查了向量平行，正余弦定理和三角形面積公式，考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．18．（17分）已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)x的值．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）求出時(shí)f（x）的值域，即可得出f（x）的最大、最小值及相應(yīng)的x．【解答】解：（1），＝，由，∈Z，得，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有．【點(diǎn)評】本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于中檔題．19．（17