2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編：數(shù)列（解析版）

專題08數(shù)列

題型01等差數(shù)列

1.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是S“，且％=5,則岳5=.

【答案】75

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即得.

【詳解】等差數(shù)列｛2｝中，as=5,則5]5=""迎=15%=75.

故答案為：75

2.（2024下?廣東?梅州市一模）在3與15之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3

個(gè)數(shù)之和為（）

A.21B.24C.27D.30

【答案】C

【解析】

【詳解】令插入的3個(gè)數(shù)依次為%,%，%，即3,。]，4，%，15成等差數(shù)列，

因止匕24=3+15,解得%=9,

所以插入的3個(gè)數(shù)之和為4+%+%=3%=27.

故選：C

3.（2024下?廣東?廣州市二中模擬）已知等差數(shù)列5｝的前n項(xiàng)和為Sn,ci4+ai2=34,S19=399,則

數(shù)列｛冊(cè)｝的公差是（）

A.2B.3C.-5D.5

第1頁(yè)共28頁(yè)

【答案】A

【詳解】解：S19=19（。1+的9）_19-2?io=19。1（）=399,

22

則Qio=21,又應(yīng)+ai2=2a8=34,則他二17,

所以數(shù)列公差為d=：（aio—。8）=gx（21—17）=2,

故選：A.

4.（2024下?廣東?梅州市一模）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列.已知％=4=4,b2=a2+l,

b3=2a3-4.

（1）求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛%｝和抄"｝的項(xiàng)從小到大依次排列（相等項(xiàng)計(jì)兩項(xiàng)）得到新數(shù)列｛q｝,求｛%｝的前50

項(xiàng)的和.

【答案】15.%=3"+1,4=2用16.3266

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式建立方程組，解之即可求解；

（2）推出數(shù)列｛g｝的前50項(xiàng)中含有數(shù)列｛〃｝的前6項(xiàng)且含有數(shù)列｛%｝的前44項(xiàng)，結(jié)合分組求和

法計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“，等比數(shù)列的公比為g,

［如=%+d+l4夕=d+5d=

即《北解得4

則1加2=2（%+21）—4

W=41+4q=

所以%,=%+（〃-1W=3〃+1也=如"-'=2"+'.

【小問2詳解】

當(dāng)數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)中含有數(shù)列｛〃｝的前5項(xiàng)時(shí),

令3〃+1=25"=64,得"=21,則第26項(xiàng)為64,

當(dāng)數(shù)列｛&｝的前50項(xiàng)中含有數(shù)列也,｝的前6項(xiàng)時(shí),

第2頁(yè)共28頁(yè)

令3"+1<2"|=128,得3<——，則第48項(xiàng)為128；

3

所以數(shù)列｛g｝的前50項(xiàng)中含有數(shù)列也,｝的前6項(xiàng)且含有數(shù)列｛%｝的前44項(xiàng)，

故數(shù)列｛g｝的前50項(xiàng)和為

c…“44（44-1）X4（1-2s）

S50=[44X4H---------------x3]H—j---=3266.

s

5.（2024下?廣東?茂名市一模）設(shè)5”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知4,“，、是首項(xiàng)為:、公

+-

差為！的等差數(shù)列.

3

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2n—\\an6W—1

（2）令b“=\~北為數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)積，證明：-----.

S"；=15

2

【答案】（1）an=n

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得S“，由S”與％的關(guān)系即可得%；

（2）由S“與4可得乙,即可得北，由（2〃+1）（〃+1）26,可得7；<6"T,借助等比數(shù)列求和公

式計(jì)算即可得證.

【小問1詳解】

C1

由,"是首項(xiàng)為:、公差為一的等差數(shù)列，

51lz.nI

故;^=5+§（〃T）=§+%，

當(dāng)心時(shí)，SJ2〃T）（〃T）,

n—1/

O

第3頁(yè)共28頁(yè)

++n（2M-1）（M-1）

故S”一83T=a.

66

〃（2〃2+3〃+1-2〃2+3?-1

=n~

6

3x2

當(dāng)”=1時(shí)，G=S]==1,符合上式,

6

故%=/

【小問2詳解】

?（2?+1）（/7+1）

由=n,S—

n6

6（2n-1）M26（2〃

故4=

S"++（2n+1）（?+1）,

^T-bb5:6（2-1）6（4-1）x26⑵1）"

、"12…"（2+1）（1+1）（4+1）（2+1）"■（2n+l）（n+l）

6n（2-l）6"

由（2〃+1）（〃+1）之3義2=6,

t^T?<—=6n-',

6

則￡[<*6"T

Z=1Z=11-65

6.（2024下?廣東?深圳市一模）設(shè)S"為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知的=4,S4=20,且S,為

n

等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列;

（2）若數(shù)列也｝滿足A=6,且臥=,設(shè)7；為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，集合Mh%eN*[,

1

0nan+2I）

求”（用列舉法表示）.

【答案】（1）證明見解析

（2）M=｛6,8,9,10,11｝

第4頁(yè)共28頁(yè)

【解析】

[分析](1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意可得E+3d=5、E+2d=4,解得$=2/=1,

結(jié)合a?=S,,_Ri求得%=2〃(〃eN*),即可證明；

(2)由⑴可得芋=一二，根據(jù)累乘法可得〃=二?八=12('—27meN*),結(jié)合裂

項(xiàng)相消求和法計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則邑=1+34,即岳+3d=5,①

[n)41

因?yàn)?%+電=H+4,所以由=:+得E+2d=4.②

由①、②解得S]=2,d=l,所以&="+1,即S“=〃(〃+l),

n

當(dāng)時(shí)，an=S“—S,T+=,

當(dāng)〃=1時(shí)，%=4=2,上式也成立，所以%=2〃(〃wN],

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

【小問2詳解】

由(1)可知&旦=馬-2nn

b”?！?22n+4〃+2

7bb1n-1n-2112

當(dāng)〃22時(shí)，句=廣.冷------x-------x…x—x6=--------,

%bn-247/+1n-----------3n\n+\j

12

因?yàn)?=6滿足上式，所以“12(--—H€N-

n77+I

1-111=12x[l--

++…+=12--

3rl23n77+I\〃+1〃+1

1o

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，??=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

第5頁(yè)共28頁(yè)

題型02等比數(shù)列

1.（2024下廣東?江門一模）已知｛4｝是等比數(shù)列，a3a5=8%，且電，4是方程Y-34x+加=0

兩根，則7"=（）

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】在｛%｝是等比數(shù)列，a3a5=a；,a2a6=#，又。3%=8。4，所以。4二8,

又出，4是方程——34x+m=0兩根，

所以加=a2a6==64.

故選：C

2.（2024下廣東?廣州市一模）記S“為等比數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，若則*（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】a3a5=2。2a4，則a：=2a4a2，，的=2%，，/=2

i-q

3.（2024下?廣東?佛山禪城一模）己知數(shù)列｛%｝滿足%=1,%+i=，"〃/田花，且

[3a,”〃為偶數(shù)

b”=a2n+l~~ain-\'

（1）證明低｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè),“=廣=7,且數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為北，證明：當(dāng)〃時(shí)，

盤+1一3

工—3〕<3T-n<ln--—1.

2（3"T）3"-1

第6頁(yè)共28頁(yè)

〃為奇數(shù)

an+1,

【解析】(1)證明：因?yàn)?=1,%+1,3%,〃為偶數(shù)

所以"〃+1>，所以出n+1一。2"-1〉°,

因?yàn)?+1=4"+3-a2”+1_3a2”+23a2"_3（。21+1+1）-3（"2”-I+1）=3（。2"+1）=3

aa

'b"2n+l~2n-\°2?+11°2"-l°2"+l一°2"-l。2"+11°2"-l

所以也｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)A=5,公比q=3,所以a=5?3"T.

b-55?3"T5_3"T]1

（2）由（1）可得%=要——,先證明左邊：即證明—3<3T—n,

2+1—553—5-3”—1H

當(dāng)〃>2時(shí)，c

n3n-l3"33"

/n、

1-

n3In

所以T〉1_1+1_1+???+L_1

33133233"3T3Ir

3

11

所以37；—n>——3，

213"-i

再證明右邊：3T-?<ln■

3^-113"-3_11-舌112

因?yàn)間=J」

3,!-l-33）7-1-333"33"+1

n、

2

1-

]__2_]__2_12n3一In11

所以T<++-??+''J

3一手-5一評(píng)丁丁F

3F31--

3

113"

即；〃<二—下面證明

37〃—3〃1,-3L“—i<ln3^”―1―1

1313〃一1（1

即證--<In-,即證—<一In------=—In1

3"3"-l3〃3〃I3"

12

設(shè)1一三=/，",則于"=1-/,設(shè)=+/,te.

3"14

第7頁(yè)共28頁(yè)

因?yàn)?'(/)=：—1=Y〉O,所以函數(shù)/(/)=hu+l—/在/eg,l]上單調(diào)遞增，

[2

則/(。</(1)=0,即1一/<一1皿，feJ,1,

1/1、1V

所以，7<Tn[l一鏟J,所以31—〃<1—KlnF^T.

1、3"

綜上，一一y—3<31—〃<ln^——1.

2U)"3"-1

4.(2024下?廣東?梅州市一模)已知數(shù)列｛%｝和｛4｝,其中"=2。",〃eN*，數(shù)列也+4｝的

前〃項(xiàng)和為S“.

(1)若a“=2n,求S“；

(2)若也,｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，S”=3n,求數(shù)列｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式.

4

【答案】(1)5?=n2+?+j(4n-l)

(2)an=\,bn=2

【解析】

【分析】(1)先判定數(shù)列｛4｝和｛4｝分別為等差和等比數(shù)列，進(jìn)而分別得到其通項(xiàng)公式，從而利用

分組求和的方法得到數(shù)列｛an+bn｝的前〃項(xiàng)和Sn.

(2)利用數(shù)列｛%+￡｝的前〃項(xiàng)和S),=3〃列出方程組，解之即可求得為、d、[、q,進(jìn)而求得

數(shù)列｛4｝和｛〃｝的通項(xiàng)公式.

【小問1詳解】

解：當(dāng)〃之2時(shí)，an-an_x=In-2(ji-1)=2,從而｛4“｝是等差數(shù)列，an=In,

b2%

7^=—=2-=4,所以血,｝是等比數(shù)列,

b〃-T2n

又A=2%=2?=4,則bn=4X4"T=4",

”(2+2〃)?4x(l-4"),4

所以S,,==n2+n+j-(4"-1).

21-4

第8頁(yè)共28頁(yè)

【小問2詳解】

解：｛〃｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為4，公比為以

由bn=2%,可得%=log2bn,則an+l-an=log2bn+i-log2bn=log2q,（定值）

則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為4,公差為d,

由數(shù)列｛%+bn｝的前n項(xiàng)和Sn=3n,

+4=3

ad+如2_如=0

可得方程組《1}+2"如2=3'整理得｛

a.d+如3_如2_Q

ax+3d+如°=3

解得：lhq（q—I#=0,?.,/?］。0,鄉(xiāng)。0,^=1且d=0,

由%+2%=3,可得q=1,則4=2,

則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=1；數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a=2.

題型03數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（2024下?廣東?東莞模擬）在數(shù)列｛4｝中，?1=3,且%+i=3%+4〃—6（〃eN*）,則｛2｝的

通項(xiàng)公式為.

【答案】％=3"—2（〃—1）

【解析】

[詳解】因?yàn)閍“+i=3%+4〃一6（〃eN*）,設(shè)an+x+X（M+1）+j=3（%+xn+y）,其中無(wú)、yeR,

整理可得an+1=3an+2xn+2y-x,

2x-4x=2

所以，/，解得4c，所以，%+1+2（〃+1）-2=3（%+2〃—2）,

2y-x=-6[y=-2

且q+2x1-2=%=3,所以，數(shù)列｛%+2〃-2｝是首項(xiàng)為3,公比也為3的等比數(shù)列，

所以，氏+2〃—2=3X3"T=3〃，解得%=3"—2（〃—1）.

故答案為：an=3"-2（?-1）.

2.（2024下?廣東?佛山禪城一模）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之積為北，滿足a“+27；=l（〃eN*），則

第9頁(yè)共28頁(yè)

。2024—()

1011101140474048

A.-------B.-------C.-------D.-------

1012101340494049

【答案】A

3.（2024下?廣東惠州?模擬）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之積為1,滿足％,+27；=1（〃eN*）,則a2024=（

1011101140474048

A.------B.------C.------D.------

1012101340494049

【答案】C

【詳解】

因?yàn)閍,+27；=1(”eN*),

所以1+2(=1,即％+2%=1,所以“「I,

梟2]=1(〃22,"eN*)

所以I-,

11*

-----=2(〃>2,neN)

所以北工般—1

｛1｝_L=_L=3

所以數(shù)列（是首項(xiàng)為1％,公差為2的等差數(shù)列,

—=3+2(?-1)=2?+1

所以《

1

,__024_2x2024+1_4°47

?=!一~~一砌

即“2〃+1,所以2x2023+1

故選：C.

4.（2024下?廣東?茂名市一模）數(shù)列｛4｝滿足％=8,%+i=/1（〃eN*），4

若數(shù)列｛〃｝是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是（）

B.一”2]D.

A.

I7

【答案】D

【解析】

第10頁(yè)共28頁(yè)

1na+111

【詳解】由題意，氏+1，兩邊取倒數(shù)可化為———二一+〃，所以—.-=1,

nan+1aa

n+l%n

」=2,11,1一1)

----------=〃—1,由累加法可得,—=1+2H----!■("-］)=因?yàn)?/p>

%a2an%2

2

1YI(?-1)1(2H-1)

%=8,所以一=-------1----------

a”28

所以〃=---%,因?yàn)閿?shù)列也｝是遞減數(shù)列，故〃<〃_1,即

+2+2整理可得

8

+8

.-4n2+20n-17因?yàn)閚>2neN所以

2>--------------------

7

,+°0.

8

題型04數(shù)列前n項(xiàng)和

S+9

1.（2024下廣東?廣州市一模）已知數(shù)列｛%,｝的前“項(xiàng)和=〃2+〃,當(dāng)草一取最小值時(shí),

an

n=

【答案】3

［解析］〃=1時(shí)，q=E=2,〃22時(shí)，an=Sn-Sn_1=2n,

S“+9/72+?+9191、7

〃=1時(shí)也成立，；.4=2〃,n+—+—>—，

InIn2n22

當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時(shí)取"="

2.（2024下，廣東■梅州市一模）3+33+333+…+333…3=

^13

10,,+1n10

【答案】

27327

第11頁(yè)共28頁(yè)

【解析】

3+33+333+…+333…3

/、

=—9+99+999+—F999…9

3〃個(gè)91-)-------------

=|[(10-1)+(102

-1)+---F

【詳解】iFiofi-io")

----------------n

31-10

10,,+1-10

-n

319

10"+1n10

27327

10"+1n10

故答案為:

27327

a?+2,n=2k-\

3.（2024下?廣東?深圳市一模）已知數(shù)列｛%｝滿足%=%=1，4+2n(左eN*),

-an,n=2k

若S"為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則&0=（)

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

【解析】

a+2.n=2k-\

【詳解】數(shù)列｛%｝中，q=%=l，%+2n(hN*),

-an,n=2k

當(dāng)〃=2A-l#eN*時(shí)，a,.-%=2,即數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公差為

2,

25x24

貝

ijq+%+a5H---Fa49=25xId-----——x2=625,

當(dāng)〃=2上左eN*時(shí)，吐=-1,即數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為-1,

an

25

elx[l-(-l)]1

貝!

Ia2+a4+a6+---+a50=-j——=I,

第12頁(yè)共28頁(yè)

所以S50=（q+4+Q5H-------F%9）+（。2+%+。6+。50）=626.

故選：C

4.（2024下?廣東?番禺）已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",且4,電,％成等比數(shù)

列，出?%二%?

（1）求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S”.

111121

（2）若〃》2,-----7+——-+—―7+---+-―7^-,求滿足條件的〃的集合.

>-1—1o4-1-14U

【答案】（1）%=2〃—l；S“=〃2

（2）｛2,3,4）

【解析】

【分析】（1）由三項(xiàng)成等比列式，應(yīng)用基本量運(yùn)算，結(jié)合通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式求解即可；

（2）裂項(xiàng)求和后解不等式即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因?yàn)?,。2，。5成等比，所以的2=，即得為（1+4d）=（4]+d）~

化簡(jiǎn)得2a/=/,又因?yàn)閐wO,所以2%=d.

因?yàn)槌?4，所以（％+d）（%+2d）=4+7d,即得_4=0

解得%=0或者%=1

當(dāng)q=0時(shí)，d=24=0不合題意舍；

,「7cCiC1〃（①+凡）?

當(dāng)q=1時(shí)，d=2%=2,貝i]a“=2〃一l,S“=———12=_----------------L=n-

22

【小問2詳解】

IIIfII、

因?yàn)?-----------------------

1-I21〃-1n+1）

第13頁(yè)共28頁(yè)

1111

-----------1-------------1-------------1-,,?+

5-15-15-1

當(dāng)〃22時(shí),2m3m4

1/3112111Q

由題得7彳工一,化簡(jiǎn)得一+——>—,

212n〃+140n77+120

即9/—31”—20<0,（9，+5乂"—4）?0

解得〃K4,又因?yàn)椤ā?,所以2<〃W4（〃eN*）,

所以〃e｛2,3,4｝

5.（2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模）已知數(shù)列｛%｝中,

?i=1^i+7a2+7a3+"-+-^=4+i-l（〃eN*）.

23n'，

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵令4=2"%,記北為也｝的前〃項(xiàng)和，證明：〃之3時(shí)，北<〃（2用—4）.

【答案】（1）a”=n

（2）證明見解析

【解析】

a〃+1

【分析】（1）利用遞推關(guān)系，把〃換成〃+1,得到兩式相減，得到*n+]L=-再累乘后可得到

%+2"+2

通項(xiàng);

（2）用錯(cuò)位相減法求出7；,再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【小問1詳解】

L,位111,

因?yàn)椋—%■1—%"I----1—a=〃“+1—1,

23nn

…1111

所以/+--+清+而八-%+2-1

1/n/〃+1

作差可得后八一"W變形為%=（"+1""+2—（〃+1）小即二=云，即

aaa_2372+1a,2

23n+l,化簡(jiǎn)為一~

。3a4an+234〃+2氏+2〃+2

第14頁(yè)共28頁(yè)

因?yàn)?=1,%+—。2=。2-1=。2=2，所以%+2=〃+2,

%+1n+1a?n

因?yàn)?-------------------------二-----------二〃，

4+2〃+2an+2〃+2

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=n.

【小問2詳解】

因?yàn)椤?2"%=加2",

所以7；=1?2+2?22+…小2”,27；=1.22+2"+…〃2+1,

叫

作差可得々=2+2、…+2"一〃2心「2(1—2一爪"’

所以［=("—1)2向+2,

7；—〃(2'申—4)=(〃—1)2,,+1+2-n(2,,+1-4)=-2),+1+4n+2,

設(shè)/(x)=—2x2*+4x+2,xN3,則/'(x)=—2x2,ln2+4在給定區(qū)間上遞減，又

/,(3)=-16xln2+4<0

4

故/(x)在［3,+8)是減函數(shù)，/(x)max=/(3)=-2+4X3+2=-2<0,

所以當(dāng)〃之3時(shí)，7；<?(2"+1-4).

6.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為%,。=1,a2=4,Sn+1+4Sn_i=5Sn(n>2).

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)令%=言注，求數(shù)列出?｝的前幾項(xiàng)和7.

°n°n+ln

n-1

⑴an=4

3

⑵〃=1-E

【詳解】(1)由5n+i+4Sn_i=5S“(n>2)得,Sn+i-Sn=4(Sn-Sn_1)(n>2),HRan+1=4an(n>2),

X"a1—1,a2—4,an+1=4an(nGN*),

即數(shù)列｛%J是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，

.,.瑪=1x4n-1=4n-1；

(2)由(1)知，Sn=Sn+1=1=’

第15頁(yè)共28頁(yè)

廝+1=4"=9X4"_L______

則"nn+1rln+17

5n5n+i1-4律1—4計(jì)1(4-l)(4-l)14-14-l?

1-41-4

=1-

...7九=%+人2+…+辦九=3X--2-7+TTT-ITT+-+TTT-4計(jì)ii)4n+iV

??.數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7n=1-焉

4—1

7.(2024下■廣東廣州■聯(lián)考)已知數(shù)列｛0“｝中，<7[=1,?[+—a+—a+??-+—a?=a?-1(weN).

223377+1

(1)求數(shù)列｛0"｝的通項(xiàng)公式；

(2)令b“=2”a”,記北為抄“｝的前"項(xiàng)和，證明：〃23時(shí)，(<〃(2角-4).

【答案】⑴4="(2)證明見解析

111

a>+-a2+-a.+-+-a?=alM-1

【詳解】(1)因?yàn)?/p>

1111I

aa1

%+彳電+”3+…+一凡+---~n\=n2-

所以23n?+1++

1__%_〃+1

作差可得Tn%=--%,變形為%=(〃+1”“+2-(〃+1)%即〃+2,即

%%%：.23n+1a2_2

%。4??+234"+2,化簡(jiǎn)為%+2”+2,

=a-1a=2

%22=〃+2

因?yàn)?所以%+2

%+1〃〃

+19%=n

因?yàn)椤?+2〃+2an+2n+2

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=〃.

(2)因?yàn)椤?2"。"=人2’

所以7；=>2+2.22+…"2"27；=1-22+2-23+---?-2"+1

2(1-2")

作差可得一1=2+22+---+2"-H-2"+1-w.2,,+1

1-2

所以小(〃-1)2*2,

<-“(2用-4)=("-1)2向+2-〃(2向-4)=-2*4〃+2

設(shè)/(x)=-2x2*+4x+2,xN3,則/1(x)=-2x2nn2+4在給定區(qū)間上遞減，又

第16頁(yè)共28頁(yè)

/,（3）=-16xln2+4<0

4

故〃x）在［3,+°°）是減函數(shù)，/（x）max=/（3）=-2+4X3+2=-2<0；

所以當(dāng)時(shí)，北<"（2向-4）.

8.（2024下?廣東東莞?聯(lián)考）記S“是等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且滿足

a2—5,54=24,b2=ax—l9b5=S3+l.

⑴求數(shù)列｛為｝和也｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)數(shù)列｛g｝滿足q=1,(C"+')S"=(3〃-2)加(〃eN*),

(i)求｛%｝的前2〃+1項(xiàng)的和耳+1；

2/7+1

(ii)求Z(%%+，)-

k=l

［答案］⑴4=2"+1,bn=2"''

Q2?+12〃+l?2〃+1

(產(chǎn)F小…)=(4〃+/+蕭

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛"J的公差為"，等比數(shù)列｛"｝的公比為外

J〃］+d=5jq=3

由題知：1甸+6d=24,解得jd=2,

3

=3+(〃—1).2=2〃+1/.b2=a1—l=2,b5=S3+l=16=b2-q

所以4=2,可=1,:也=2"i；

bz=2"凡H+2)

(2)(i)2

(3?-2)-2"2"+22"

C-|-c---------------------

/.(c〃+。"+jn(n+2)=(3〃-2)2〃n"+l〃(幾+2)n+2n

則7L+i=Ci+Q+q…+°2〃7=q+?+q-&+%卜…+&〃+。2小)

222622"+2*n422”+22&+i

—Id--------1--------F???+----------=1----1------=------1

42642〃+22〃22〃+2n+1.

第17頁(yè)共28頁(yè)

2〃+12n+l2n+l

+

E（°也+,）=Z“也Ecka也=（2左+1）*T

（ii）yk=\k=\

2n+l

12w

E。也=岫+a2b2+。2〃+也〃+1=3x2°+5x2+???+（4t+3}2

則卜=1

2?+l

2±0也=3x21+5x22+---+（4n+3）^

則一

2n+\

也=3+2x212x22…+2x221'-（4M+3）-22）,+1

故i

2,,+12,1+1

=3+2-（4H+3）-2=-1-g"+l

2n+l2M+1-1

Z?A=（4?+1）22，，+1+1Z-i

故i，又in+\

2n+l22〃+l02〃+l

￡（a也+CJ=（4"+1）22叫1+-——1=kn+\忙+'+-—

故e"+1/1

題型06數(shù)列新穎題型

1.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在無(wú)窮數(shù)列｛%｝中，令［=%的…%，若V〃eN*，

1,?｛4｝,則稱｛4｝對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的.

（1）試判斷：任意一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列｛4｝對(duì)前〃項(xiàng)之積是否是封閉的？

（2）設(shè)｛%｝是無(wú)窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)4=2,公比為q.若｛4｝對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的，求出鄉(xiāng)的

兩個(gè)值；

（3）證明：對(duì)任意的無(wú)窮等比數(shù)列｛%｝,總存在兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列｛￡｝和｛%｝,使得

a“=〃?c”（〃eN*）,其中也｝和｛%｝對(duì)前〃項(xiàng)之積都是封閉的.

【答案】（1）不是（2）q=2或g

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）取數(shù)列］-g,-1,-^，-2,…卜結(jié)合題中定義驗(yàn)證可得出結(jié)論；

第18頁(yè)共28頁(yè)

nn

(2)由a“=a1,q"?=2q?eN),得丁=2q—5一,進(jìn)而令—2(加7=^\-n，討論①當(dāng)

m=("I"時(shí)和②當(dāng)m=("3+(2-〃)，分別求得Q；

22V7

f(、"-1

(3)設(shè)且，令b“=a；,c“=生,得見=4-c”(〃eN*),再利用定

JI%,

義證明也｝、｛%｝對(duì)前〃項(xiàng)之積都是封閉的.

【小問1詳解】

解：不是的，理由如下：

如等差數(shù)列｛一,一1,一：,-2,…1,T2=axa2=—^???1

所以不是任意一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的.

【小問2詳解】

解：｛%｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)4=2,公比/

所以%=a/q"T=2/i(〃eN*),

?(n—1)

1+2++(,,-1)

所以7；=axa2…a“=2^-=2%丁，

由已知得，對(duì)任意正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)加，使得北=%,成立，

即對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m,

(n-l)n

使得2nq~^~=2q'i成立，

即對(duì)任意正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)m,使得號(hào)MMT_嗯一〃成立，

q一乙

①當(dāng)冽=("+1)”21時(shí),得如業(yè)■—(加—1)=1—〃，所以4=2；

22V7

②當(dāng)相怨h+(2i)="21+4一時(shí),得色裂_(加_1)+?！?=0,

且“=?

綜上，q=2或］

【小問3詳解】

第19頁(yè)共28頁(yè)

解：對(duì)任意的無(wú)窮等比數(shù)列｛?｝,ajad-a；.幺，

c、〃-1

令d=4‘C"=里，則％=4?%（〃eN*）,

\a\）

下面證明：｛a｝是對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的.

因?yàn)?=a：，所以7="1+2+…+"="右—,

取正整數(shù)"="（"+1）得,Tn=bm,

2

所以也｝對(duì)前n項(xiàng)之積是封閉的，

同理證明：｛4｝也對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的，

所以對(duì)任意的無(wú)窮等比數(shù)列｛a,｝，總存在兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列｛4｝和｛cn｝,

使得%=6“?g（〃eN*）,其中也｝和｛cn｝對(duì)前〃項(xiàng)之積都是封閉的.

2.（2024下廣東?江門一模