高中數(shù)學(xué)人教A版選修22課時跟蹤檢測（九）綜合法和分析法

課時跟蹤檢測（九）綜合法和分析法層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．若a＞b＞1，x＝a＋eq\f(1,a)，y＝b＋eq\f(1,b)，則x與y的大小關(guān)系是()A．x＞y B．x＜yC．x≥y D．x≤y解析：選A因為函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，又因為a＞b＞1，∴x＞y.2．已知a，b，x，y均為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，則eq\f(x,x＋a)與eq\f(y,y＋b)的大小關(guān)系為()A.eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b) B.eq\f(x,x＋a)≥eq\f(y,y＋b)C.eq\f(x,x＋a)＜eq\f(y,y＋b) D.eq\f(x,x＋a)≤eq\f(y,y＋b)解析：選A∵a，b均為正數(shù)，∴由eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)得0＜a＜b，又∵x＞y＞0，∴xb＞ay.∴xy＋xb＞xy＋ay.即x(y＋b)＞y(x＋a)．兩邊同除正數(shù)(y＋b)(x＋a)，得eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b)，故選A.3．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足什么條件()A．a(chǎn)2＜b2＋c2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2＞b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2解析：選C由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，得b2＋c2＜a2.4．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c解析：選C利用函數(shù)單調(diào)性．設(shè)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴0＜x＜e時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；x＞e時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．又a＝eq\f(ln4,4)，∴b＞a＞c.5．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)解析：選A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.6．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx取導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＝－lnx＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．解析：該證明過程符合綜合法的特點(diǎn)．答案：綜合法7．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，則正數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________．解析：∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴只要a≠b，就有aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a).答案：a≠b8．若不等式(－1)na＜2＋eq\f(－1n＋1,n)對任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)n為偶數(shù)時，a＜2－eq\f(1,n)，而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以a＜eq\f(3,2)，當(dāng)n為奇數(shù)時，a＞－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)＜－2，所以a≥－2.綜上可得，－2≤a＜eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))9．已知a＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1.(1)求證：0＜b＜1；(2)求證：eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b)).證明：(1)由a＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1可得eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＋1＞1，所以0＜b＜1.(2)因為a＞0,0＜b＜1，要證eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b))，只需證eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)＞1，即證1＋a－b－ab＞1，即證a－b－ab＞0，即eq\f(a－b,ab)＞1，又eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1，這是已知條件，所以原不等式得證．10．已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列．(2)求an.解：(1)證明：由條件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,an＋1)＝2.又n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，所以a2＝11，所以eq\f(a2＋1,a1＋1)＝eq\f(11＋1,5＋1)＝2，所以數(shù)列{an＋1}是以2為公比的等比數(shù)列．(2)因為a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，所以an＝3×2n－1.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．使不等式eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的條件是()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＞b且ab＜0 D．a(chǎn)＞b且ab＞0解析：選D要使eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，須使eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＜0，即eq\f(b－a,ab)＜0.若a＞b，則b－a＜0，ab＞0；若a＜b，則b－a＞0，ab＜0.2．對任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：選D因為α，β為銳角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cosα＞cos(α＋β)．又cosβ＞0，所以cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．3．若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)＜m2－3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：選B∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝2＋eq\f(y,4x)＋eq\f(4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(4x,y))＝4，等號在y＝4x，即x＝2，y＝8時成立，∴x＋eq\f(y,4)的最小值為4，要使不等式m2－3m＞x＋eq\f(y,4)有解，應(yīng)有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故選B.4．下列不等式不成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)(a＞0，b＞0)C.eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)D.eq\r(2)＋eq\r(10)＞2eq\r(6)解析：選D對A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；對B，∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(a＋b))2＝a＋b，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)；對C，要證eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)成立，只需證明eq\r(a)＋eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，兩邊平方得2a－3＋2eq\r(aa－3)＜2a－3＋2eq\r(a－2a－1)，即eq\r(aa－3)＜eq\r(a－2a－1)，兩邊平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因為0＜2顯然成立，所以原不等式成立；對于D，(eq\r(2)＋eq\r(10))2－(2eq\r(6))2＝12＋4eq\r(5)－24＝4(eq\r(5)－3)＜0，∴eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，故D錯誤．5．已知函數(shù)f(x)＝2x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系是________．解析：∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b為正實(shí)數(shù))，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)，且f(x)＝2x是增函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即C≤B≤A.答案：C≤B≤A6．如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿足________時，BD⊥A1C(寫上一個條件即可)．解析：要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1C.因為AA1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)7．在銳角三角形ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.證明：在銳角三角形ABC中，∵A＋B＞eq\f(π,2)，∴A＞eq\f(π,2)－B.∴0＜eq\f(π,2)－B＜A＜eq\f(π,2)，又∵在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)正弦函數(shù)y＝sinx是單調(diào)遞增函數(shù)，∴sinA＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，即sinA＞cosB．①同理sinB＞cosC，②sinC＞cosA．③由①＋②＋③，得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.8．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：(1)若ab＞cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要條件．證明：(1)因為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由題知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，因此eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，所以由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).②若eq\r(a)＋eq\r(b)＞