高考數(shù)學(xué)五年真題(2019-2023)分項(xiàng)匯編06 立體幾何（解答題）（老師用）

五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編

冷題05克體瓜何(解答鑒J

高存?送瓶分衍

立體幾何在理科數(shù)解答題中一般出現(xiàn)在20題左右的位置。主要考查空間幾何體對(duì)應(yīng)的空間角問(wèn)題，考查二

面角的頻率比較大。

備存真卷精折

1.(2023?全國(guó)?新課標(biāo)回卷)如圖，在正四棱柱ABC。-A4G。中，48=2,441=4.點(diǎn)4,用了2,3分另1」在

棱A4j,BB、,CCj;DD、上,AA,=1,BB、=DD、=2,CC2=3.

⑴證明:B2c2〃4。21

(2)點(diǎn)P在棱B片上，當(dāng)二面角尸-AC2為150。時(shí)，求與P.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)1

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

(2)設(shè)尸(0,2,2)(04X44),利用向量法求二面角，建立方程求出力即可得解.

【詳解】(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C2CB,cq所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

1

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

/.B2c2=(0,-2,l),43=(0,-2,l),

:.BCI)，

又B2c2,不在同一條直線上，

?，-52c2〃4。2?

(2)設(shè)尸(0,2,4)(04444),

則4以=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-2),D2C2=(-2,0,1),

設(shè)平面P&G的法向量〃=O,y,z),

n?4c2=一2%-2y+2z=0

n,PC?——2y+(3—X)z=0

令z=2,得y=3-=1,

YI—(%—1,3—%,2),

設(shè)平面4G。2的法向量機(jī)=(a,b,c),

m-AC=-2a-2b+2c=0

則29,

m?D2c2=-2a+c=0

令a=\,得b=1,c=2,

m=2),

/6==Icosl50°|=—,

76j4+(2-l)2+(3-2)22

化簡(jiǎn)可得，萬(wàn)―44+3=0,

解得％=1或X=3,

?..尸(0,2,1)或尸(。,2,3),

2P=1.

2

2.(20203全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷)如圖,三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,ZADB=ZADC=60,

E為BC的中點(diǎn)、.

⑴證明：BCYDA；

(2)點(diǎn)/滿足所=￡>A，求二面角AB-尸的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

【分析】(1)根據(jù)題意易證3C，平面ADE,從而證得3C_L/M；

(2)由題可證/石，平面BCD,所以以點(diǎn)E為原點(diǎn)，所在直線分別為無(wú),y,z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，再求出平面歹的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【詳解】(1)連接因?yàn)镋為中點(diǎn)，DB=DC,所以O(shè)EL3C①，

因?yàn)閆M=D3=DC,ZADB=ZADC=60,所以ACD與均為等邊三角形，

：.AC^AB,從而A￡_L2C②，由①②，AEDE=E,AE,OEu平面ADE,

所以，3c1平面而4Du平面ADE,所以3C_LZM.

(2)不妨設(shè)ZM=r>3=￡>C=2,BD±CD,:.BC=2yfi,DE=AE=近.

+=4=92,...我工小，又，BC=E,OE,8Cu平面BCDAEJ_平面BCD.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，匹,E8,EA所在直線分別為羽y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)。(在0,0),A(0,0,A/2),8(0,A/2,0),￡(0,0,0),

設(shè)平面與平面AB尸的一個(gè)法向量分別為勺=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

二面角O-AB-/平面角為區(qū)而A3=(0,應(yīng),-戊)，

3

因?yàn)樗?。4=卜0,0,a),所以尸卜虛,0,垃)，即有A尸=卜0,0,0卜

—s/2xj+A/^Z]=0

取為=1,所以4=(1,1,1)；

y/2y1-0Z]=0

y/2y2->/2Z2=0

，取%=1,所以%=(0,1,1),

—\[2X2=0

2_V6從而sin。=Jl-g

所以,

島a一3

所以二面角。-鉆-尸的正弦值為9.

3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2也,PB=PC=?

BP,AP,8c的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=y[5DO,點(diǎn)/在AC上，BF±AO.

(1)證明：防〃平面AD。；

⑵證明：平面ADO_L平面BEG

⑶求二面角Q-AO-C的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

⑶立.

2

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)法一：由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過(guò)點(diǎn)A作

PA=y/14

z軸1平面BAC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y,z),所以由＜尸2=而求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，再求

PC=46

出平面ADO與平面所卯的法向量々,乙，由勺,%=0即可證明；

(3)法一：由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求

4

出平面AD。與平面ACO的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【詳解】(1)連接OE,。/，T^AF=tAC,則8尸=BA+A尸=(1一。a4+/8C,AO=-BA+^BC,BFLAO,

-1215

貝ljBF-AO=[(1-Z)BA+tBC](-BA+-BC)=(r-l)BA+-tBC2=4Q—1)+4f=0,

解得f=《，則尸為AC的中點(diǎn)，由RE。/分別為PB,尸A3cAe的中點(diǎn)，

2

于是DE//AB,DE=LABQF//AB,OF=LAB,即￡>E7/O尸,DE=OF,則四邊形ODEF為平行四邊形,

22

EF//DO,EF=DO,又砂0平面ADO,。。u平面AD。，

所以EF//平面450.

(2)法一：由(1)可知EF〃。/),則40=幾,。0="，^AD=y/5D0=—,

22

因止匕?！?gt;2+4。2=4。2=",則OD_LAO,有EPJ_AO,

2

又AO±BF,BFEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有AO_L平面班F,又AOu平面AQO,所以平面ADO_L平面3￡F.

法二：因?yàn)锳B13C,過(guò)點(diǎn)A作z軸上平面BAC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A(2,0,0,),B(0,0,0),C(0,2A/2,0),

3.15

2+4

/nD4DB^AB^DA2-T1

在△BD4中,

2DBABcc指V6

2x2x----

2

2

在△PBA中,PA=PB2+AB2—2PB-ABcosZPBA=6+4—2后x2x=14,

PA=V14(x-2)2+y2+z2=14

設(shè)尸(x,y,z),所以由尸2=而可得：，x2+y2+z2=6

PC=7622

x2+(y-2V2)+z=6

可得：x=—1,y=^2,z=A/3,所以尸卜

5

則”」，￥，■，所以山，去￥]，*1，"明

AO=(-2,y/2,0),AD=r5顯3]

「5亍名

設(shè)平面AD。的法向量為4=(占,M，zJ,

-2再+ypZy1-0

n,?AO=0

則，得一B+心y+鳥(niǎo)-0

々AD=0I212%21

令國(guó)=1,則%=及,Z]=右，所以%=,

、

BE=,BF=(1,72,0)

、萬(wàn)萬(wàn)

57

設(shè)平面BEF的法向量為n2=(x2,y2,z2),

1工垃工6_n

電?BE=0~X2+丁為+萬(wàn)22=0

則一,得；

n2?BF=0

x2+0y2=0

令玉=2,則％=-血0=0,所以％=(2,-四,0),

%.小=2x1+x(-+0=0,

所以平面AZ)O_L平面BEF；

(3)法一：過(guò)點(diǎn)。作0〃//3/交AC于點(diǎn)H,設(shè)ADBE=G,

由AO_L3產(chǎn)，得加_LAO,S.FH=-AH,

3

又由(2)知，ODLAO,則為二面角D-AO-C的平面角,

因?yàn)镈,E分別為用,尸4的中點(diǎn)，因此G為,B4B的重心，

1113

即有。G=§AO,GE=35石，XFH=-AH,即有OH=]G/，

6

315

44+--------

4+6-P*解得PA=&?，同理得5￡=如,

cosZABD=——上

。。瓜2x2x^6

2x2x—2

2

久丫(后、2

于是5石2+石尸=3尸2=3,即有BE_L￡F,則GU=-x^-+—=-,

3223

\J\J

從而G歹二叵3岳岳

,DH=—x----=----

3232

在MOH中，。H《BF瀉,OD丹,DH二華,

63_15__________

于是cos/r>O〃=aJ4,sin/OO“=變］=顯，

2X￡32O2J2

22

所以二面角。-AO-C的正弦值為YZ.

2

法二：平面ADO的法向量為％=（1,應(yīng),g）

平面ACO的法向量為%=（0,0,1）,

A/3V2

所以cos(%,%)=占?■

J1+2+3—2，

因?yàn)椋?,%）目0,可，所以sin,,生'l—cos2(%,%)=,

故二面角。-AO-C的正弦值為變.

2

4.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）如圖，在三棱柱ABC-A耳G中,，底面ABC,ZACB=90°,A4,=2,A

到平面8CG4的距離為1.

7

c,

Bi

A

（1）證明：AtC=AC-

⑵已知AA,與BB｛的距離為2,求4片與平面BCC’Bi所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵*

【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面BCG瓦，再由勾股定理求出。為

中點(diǎn)，即可得證；

（2）利用直角三角形求出A片的長(zhǎng)及點(diǎn)A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【詳解】（1）如圖，

4C_L底面ABC,BCu面ABC,

AC1BC,又3C_LAC,ACACu平面ACGA,AtCr>AC=C,

:.BCL^^ACCiAi,又BCu平面2CC內(nèi)，

平面ACC,A，平面BCQBi,

過(guò)4作AOLCG交C0于O,又平面ACCaC平面BCGByCG,AOu平面ACGA，

.?.A0，平面BCq耳

A到平面BCG4的距離為i,，4。=1,

在RtzXACG中，AC，4G，CC]=A4,=2,

設(shè)CO=x,則Cfi=2-x,

△AOC,^AO￡,Z\ACG為直角三角形，且CC]=2,

8

co2+AO2=AC2?A02+oci=GA2>Ac2+AG2=Gc2>

.?/+/+1+（2-尤）2=4,解得x=l,

AC=4。=AC=''/2,

/.A。=AC

（2）.AC=/liC1,BC±AiC,BC±AC,

/.RtAACB^RtA^CB

BA=5A,

過(guò)B作BDJ.AA，交AA于。，則。為AA中點(diǎn)，

由直線Ad與8片距離為2,所以瓦>=2

4。=1,BD=2,:.AlB=AB=45,

在RtZXABC，BC=>JAB2-AC2=A/3>

延長(zhǎng)AC,使AC=CW,連接CM,

由CMZ/^CM=AG知四邊形\CMCX為平行四邊形，

/.CtM//C{MA.^Pif]ABC,又AMu平面ABC,

GM1AM

則在RtZkAGV中，AM=2AC,CXM=\C,AC】="（2AC）2+?,

22

在Rt^AB?中，AC,=7（2AC）+AC,BlC1=BC=y/3,

：.AB,=J（2,）?+（夜）?+（若>=V13,

又A到平面BCG4距離也為1,

所以與平面BCG與所成角的正弦值為」=巫.

屈13

5.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四面體A8CD中，AD，CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E為AC的中

點(diǎn).

(1)證明：平面6￡r)_L平面ACD；

(2)設(shè)鉆=&)=2,41。8=60。，點(diǎn)尸在5。上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求C尸與平面迎所成的角的正弦

9

值.

【答案】⑴證明過(guò)程見(jiàn)解析

⑵b與平面的所成的角的正弦值為半

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△的二△CBD,得至=結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，

結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到招工小，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)?）=8,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在AABD和ACBD中，因?yàn)锳D=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABL總△CBD,所以AB=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACLBE；

又因?yàn)镺KIEu平面3皮>,DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面BED_L平面ACD.

（2）連接￡■尸，由（1）知，ACmBED,因?yàn)椤闒u平面BED,

所以ACLEF,所以SOFC=：AC?跖，

當(dāng)所，應(yīng)）時(shí)，EF最小，即尸C的面積最小.

因?yàn)椤鰽BD=△CBD,所以CB=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=6

因?yàn)锳DLCD,所以。E=g&C=l,

在中，DE2+BE2=BD2,所以BEDE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為”=（x,y,z）,

n?AD=-x+z=0

則取>=石，則〃=（3,g,3）,

n?AB=-x+y/3y=0

又因?yàn)镃（T0,0）,月0，￥q,所以CP=1,^,-

I”kJ

設(shè)CF與平面4如所成的角的正弦值為0[o<0<^

10

所以sin。=|cos^n,CF'=4f,

所以CP與平面ABD所成的角的正弦值為拽.

6.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）在四棱錐尸-ABCD中，尸底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/3.

⑴證明：BD±PA；

⑵求尸。與平面R4B所成的角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

（2）冬

【分析】（1）作245于E,CFJ.AB于F,利用勾股定理證明23D,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得

PDVBD,從而可得3D工平面PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】（1）證明：在四邊形ABCD中，作OESAB于E,CFLAB于F,

因?yàn)镃D〃AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以4￡=8尸=’，

2

11

故￡>￡=#，BD7DE，+BE。=6,

所以=452,

所以AD2BD,

因?yàn)镻D_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDLBD,

又PDcAD^D,

所以BD2平面PAD,

又因?yàn)镽4u平面PAD,

所以31)1.24；

（2）解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=6,

則A（1,0,0）,3（0,百，可，尸（0,0,/）,

則4尸=卜1,0,退），82=（0,—也,力），。尸=（0,0,/）,

設(shè)平面上45的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=—x+\/3z=0/廠\

則有｛廠廣，可取，7=后1,1,

n-BP=-V3y+V3z=0'

/n-DP#>

則…P"眄丁

所以P￡>與平面R4B所成角的正弦值為亭.

12

7.(2022?全國(guó)?新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，直三棱柱ABC-的體積為4,4BC的面積為2忘.

⑴求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AAX=AB,平面A3CL平面4880,求二面角A—3D—C的正弦值.

【答案】⑴及

⑵正

2

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得8。1平面ABBIA，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-44C中，設(shè)點(diǎn)A到平面A3C的距離為九

1114

則匕-ABC=—SABC,人=---0=匕—ABC=~^ABC,=ABC-ARC二一，

A?1|DC3/i|DC3/1|AoC3/IDC13AoC/1|D]C?3

解得h-V2，

所以點(diǎn)A到平面\BC的距離為6；

(2)取43的中點(diǎn)B連接如圖，因?yàn)镸=A5,所以

13

又平面AtBC±平面ABB^,平面A,BCc平面ABB^=\B,

且Mu平面ABBW，所以平面ABC,

在直三棱柱ABC-AB|G中，BBX1平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AEJ_BC,BBt1BC,

又u平面且相交，所以3C/平面ABB4,

所以兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由(1)得AE=&，所以A^B—2^2,所以3c=2,

則A(0,2,0),A(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點(diǎn)。(1,1,1),

則30=0,1,1),胡=(0,2,0),3。=(2,0,0),

m-BD=%+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量加=(x,y,z),則

m-BA=2y=0

可取，〃=(1,0,-1),

n-BD=a+b+c=0

設(shè)平面8DC的一個(gè)法向量〃=(a,6,c),則

n-BC=2a=0

可取〃=(0,1,_1),

m,n11

則cos(m,n

ml-l^lV2x^22

所以二面角A-BD-C的正弦值為Jl-gj=?.

8.(2022全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，P。是三棱錐尸-A5C的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點(diǎn).

14

p

（1）證明：OE//平面PAC；

（2）若/ABO=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE-8的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

【分析】（1）連接80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接Q4、PD,根據(jù)三角形全等得到04=03,再根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)得到AO=DO,即可得到。為BZ）的中點(diǎn)從而得到。即可得證；

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：連接80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,

因?yàn)镻0是三棱錐尸—ABC的高，所以P01平面ABC,A。,3。u平面ABC,

所以PO_LAO、PO^BO,

又PA=PB,所以APOA=APOB,即。4=03,所以NQ4S=NO3A,

又AB/AC,即/3AC=90。，所以NQ4B+NQ4￡）=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以NOD4=NQW

所以A0=00,即AO=DO=O3,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又平面PAC,PDu平面PAC,

所以0E〃平面PAC

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作上〃。尸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以。4=,爐—尸。？=4,

又NOS4=/OBC=30。，所以3￡>=2OA=8,則AD=4,AB=473,

所以AC=12,所以。（2百,2,0）,2（4石,0,0）,網(wǎng)26,2,3）,C（0,12,0）,

15

所以

則AE=（36,1［）,AB=（4A/3,0,0）,AC=（0,12,0）,

-3

/、n-AE=3A/3X+y+—z=0

設(shè)平面的法向量為〃=（%,y,z）,貝"2,令z=2,則產(chǎn)一3,x=0,所以

n-AB=4y/3x=0

n=（O,-3,2）；

、n>r,.em-AE=3y/3a+b+—c=O

設(shè)平面AEC的法向重為根=（〃,b,c）,貝!b2,

m-AC=12b=0

令a=6,貝!Jc=-6,b=0,所以用=（百,0,-6）；

n-m__124百

所以cos（凡加

InllmlV13x^/§9IT

4百

設(shè)二面角C-AE-B的大小為e，則|cosq=k（）s（n,m

~L3~

9.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD==1,M

為3c的中點(diǎn)，且尸

16

R

（2）求二面角A-RVf-5的正弦值.

【答案】（1）0;（2）畫

14

【分析】（1）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2a,

由已知條件得出尸940=0,求出。的值，即可得出8C的長(zhǎng)；

（2）求出平面24"、尸期的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】（1）［方法一］:空間坐標(biāo)系+空間向量法

a），平面A3CD,四邊形A5CD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、DP所在直線分別為尤、

y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

設(shè)BC=2a,則。（0,0,0）、*0,0,1）、3（2°,1,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

則P3=（2a,l,-1）,AM=（-a,1,0）,

PB1AM,則PHAM=—2/+l=o，解得a=變，故BC=2a=6；

2

17

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)8D.因?yàn)槭?，底面ABCD,且AMu底面ABCD,所以尸D2AM.

又因?yàn)镻BPD=P,所以71M上平面尸

又BDu平面尸5D,所以40_1_皮）.

從而ZADB+ZDAM=90°.

因?yàn)镹MAB+NZM〃=90。，所以NM4B=NADB.

十曰ADBA

所以..AD3S_B4〃,于是——二——

ABBM

所以;8c2=1.所以2c=0.

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)3D交AM于點(diǎn)N.

由［方法二］知

18

ANDA7

在矩形ABCD中，有4DANS&BMN,所以一=—=2,^AN=-AM.

MNBM3

令BC=2t(t>0),因?yàn)镸為8C的中點(diǎn)，則=￡)3=54產(chǎn)+1，AM=4干+1.

由5即=：。4?48=；。3-河，得/=口4產(chǎn)+1彳〃+1,解得*=；,所以BC=2/=0.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

設(shè)平面上4M的法向量為m=(%,%,zj,貝乎AP=(-72,0,1),

fV2

J7i,AA/=------x,+y.=0/—//-\

由《21''取匕=&，可得根=(、叵,1,2),

m-AP=-0尤］+Z］=0

V2)

設(shè)平面的法向量為〃=(%,%，22)，BM=-小。

2)

n?BM=------x,=0

由<2取%=1,可得〃=(0,1,1),

n?BP--垃4-%+z2=0

/\m-n33^14

cos(m,n)=-j-r-r=—1=—T==--------,

所以,sin(加,〃)=Jl-cos』(利,〃)=---

因此，二面角A-尸河-3的正弦值為畫.

14

［方法二］:構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD-4BGA，聯(lián)結(jié)4耳,A/交點(diǎn)記為“，由于A用"LAB,AB,1BC,所以AH,

平面A8CQ.過(guò)，作2M的垂線，垂足記為G.

19

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可知,

故NAG/Z為二面角的平面角.

易證四邊形ABC2是邊長(zhǎng)為近的正方形，聯(lián)結(jié)A"，HM.

=—

S.D1HM~DiM-HG,S、nHM=SJE方形ABCD,-24AH一SHBMSMCD,）

由等積法解得印5=巫.

10

在RjAHG中，AH=—,HG=^^~,由勾股定理求得AG=且.

2105

所以，sinZAGH=—=^,即二面角A—PM—B的正弦值為畫.

AG1414

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)

合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面

積方法求得.

（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，

為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

10.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面田為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱44上的點(diǎn).BF1A,Bt

20

（2）當(dāng)耳。為何值時(shí)，面與面OEE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）^0=1

【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間

向量證明線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答

案；

【詳解】（1）［方法一］：幾何法

因?yàn)樗?/p>

又因?yàn)锳3，8與，2廠cB耳=3,所以AS/平面8CG片.又因?yàn)锳B=BC=2,構(gòu)造正方體ABCG-A瓦GG,

如圖所示，

過(guò)E作的平行線分別與AG,3c交于其中點(diǎn)M,N,連接/N,

因?yàn)镋,尸分別為AC和CG的中點(diǎn)，所以N是8c的中點(diǎn)，

易證RtBCF=RtB、BN,則NCBF=NBB1N.

又因?yàn)镹BBN+NBiNB=90。,所以NCBF+/B］NB=90°,BFLB^.

又因?yàn)樗云矫鍭MN%

又因?yàn)镋Du平面4必由1,所以BFLDE.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

21

因?yàn)槿庵鵄BC-44G是直三棱柱，二BBI±底面ABC,昭1AB

ABJ/AB,BFLA.B},.-.BF1AB,又cBP=B,二AB上平面BCC4.所以與兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

.-.B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,（0,0,2）,4（2,0,2）,Q（0,2,2）,E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由題設(shè)D（a,0,2）（0<a<2）.

因?yàn)榘?=（0,2,1）,DE=（l-a,l,-2）,

所以BF.DE=0x（l-a）+2xl+lx（-2）=0,所以Bb'DE.

［方法三］:因?yàn)锽FLA4，44//AB,所以附，AB,故旦=0,BFAB=0,所以

BFED=BF（EB+BB1+B1D）=BF-BQ+BF.（EB+BB）=BFEB+BFBB}

=BF^-^BA-^BC^+BF-BB,=-^BFBA-^BFBC+BFBB}=~BF-BC+BF-BBt

1］21

=-||BF|-|BC|COSZFBC+|BF|■|BB11cosZFBBt=-/X有x2x店+胃x2x存=0,所以3尸_L￡D.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面￡＞戶片的法向量為〃z=(x,y,z),

因?yàn)轷?（-M,l）,DE=（l—a,L-2）,

fm-EF-0x+y+z=0

所叱MH即［（1一加—ZS

令z=2—a,則根=（3,l+a,2-4）

因?yàn)槠矫鍮CG4的法向量為胡二（2,0,0）,

設(shè)平面Be3】與平面DEF的二面角的平面角為9,

|m-BA|63

貝I］cos0\=-J一?一L=-----/,==/―；—=

|m|-BA2xy/2a2-2a+14y/2a2-2a+14

127

當(dāng)〃=5時(shí)，2a2一2q+4取最小值為不，

22

3瓜

此時(shí)cos0取最大值為(27-3.

=與，此時(shí)=

所以（sin。）.=

\/min

［方法二］:幾何法

如圖所示，延長(zhǎng)E廠交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)DS交4G于點(diǎn)T,則平面DEE：平面幽C］C=b.

作1FT,垂足為“，因?yàn)椤?,平面84CC，聯(lián)結(jié)則ZDH3］為平面與平面所成二

面角的平面角.

設(shè)4。=/,te[0,2],B（T=s,過(guò)C]作C[GI/AR交DS于點(diǎn)G.

C[S1C,G,i

由京丁而得GG=g（2T）.

BQBJ—l—3t

又而一石，W|（2-0一2-s,所以s=------

z+1

B】HB、TB】H_ss

又彳=7F'即丁=,+（2—）2所以4"=

所以DH=JB"/尸=']+；?+79產(chǎn)?產(chǎn)

2t2-2t+5+t

1

_t=9—

則sin〃碼=器一J9產(chǎn)+產(chǎn)（『9+1，

h+5MJ+2

所以，當(dāng)/時(shí)，(sinZDHB.).=—.

2、1/min3

［方法三］:投影法

如圖，聯(lián)結(jié)尸4,尸N,

23

s

JDEF在平面BBGC的投影為JNF,記面BB?C與面DEE所成的二面角的平面角為凡則cos6=.

JnFF

設(shè)4D=《0W”2),在RtogF中，DF=[BQ。+男尸2=JR+5.

在RtECF中，EF=7EC2+FC1過(guò)。作用N的平行線交EN于點(diǎn)。.

在Rt/XOEQ中，DE=JQD?+EQ2=J'5+(17了.

DF2+EF2-DE2J3f2+15(/+1)2/一2/+14

在，DEF中，由余弦定理得cosNDFE=

2DF-EF3r+5

11Q

SDFE=-DFEFsinZDFE=--2/+14,S=-,

,2產(chǎn)-2f+142(r-r+7))

當(dāng)/=（，即用￡>=：,而與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為#.

【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐

標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行

證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.

第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；

方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面B4GC與面DEE所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容

易找到；方法三：利用面5E在面22。。上的投影三角形的面積與面積之比即為面B4GC與面

DEE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開(kāi)闊

學(xué)生的思維.

11.（2021?全國(guó)?新課標(biāo)團(tuán)卷）如圖，在三棱錐A-5CD中，平面平面BCD,AB=AD,。為的中

點(diǎn).

24

（1）證明：OAVCD-,

（2）若，OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱上，/汨=2E4,且二面角E-3C-D的大小為45。，

求三棱錐A-BCD的體積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）魚(yú).

6

【分析】（D由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

⑵方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.

【詳解】（1）因?yàn)?。是BD中點(diǎn)，所以Q4_LBD,

因?yàn)镺Au平面ABD,平面ASD_L平面BCD,

且平面ABDc平面3co=班＞,所以O(shè)AL平面BCD.

因?yàn)镃Du平面BCD,所以Q4_LCD.

（2）［方法一］:通性通法一坐標(biāo)法

如圖所示，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，為z軸，QD為y軸，垂直。。且過(guò)。的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)

系。一到z,

設(shè)A=（x,y,z）為平面E3C的法向量,

25

則由嚴(yán)"二°可求得平面EBC的一個(gè)法向量為n=(-.

EC-n=Qm

又平面BCD的一個(gè)法向量為04=(0,0,加)，

所以cos0A)=-----］2=,解得m=l.

又點(diǎn)C到平面板＞的距離為逝，所以%=VCAB=-X-X2X1X—=—'

2/i—tBSCC.LDJL—ABLDJCCC/

J22o

所以三棱錐A-BCD的體積為魚(yú).

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

如圖所示，作EG，3D,垂足為點(diǎn)G.

作GFL3C,垂足為點(diǎn)尸，連結(jié)E尸，則。4〃EG.

因?yàn)镼4_L平面BCD,所以EG_L平面BCD,

,EbG為二面角E-BC-D的平面角.

因?yàn)镹EFG=45。，所以EG=FG.

由已知得03=00=1,故。B=OC=1.

又NOBC=/OC3=30。，所以BC=行.

24222

因?yàn)镚D=—,GB=—,FG=—CD=—,EG=—,OA=