九年級數(shù)學(xué)上冊第13課 用函數(shù)觀點看一元二次方程

第13課用函數(shù)觀點看一元二次方程

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

（1）會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；

（2）會求拋物線與x軸交點的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；

（3）經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)y=G：2+法+c（awO）與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點去

看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題.

耿,知識精講

凄知識點01二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

求二次函數(shù)y=ax1+。n+。（存0）的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，就是令y=0,求以之+法+0=。中x的值的問

題.此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù),

它們的關(guān)系如下表：

一元二次方程

判別式

二次函數(shù)y=ax1+ZZX+C(Qw0)

ax2+Zzr+c=O(aHO)

△=從-4ac

圖象與X軸的交點坐標(biāo)根的情況

y

拋物線y=。小+bx+c（。wO）與x

a>0JX^^^X2X一元二次方程

軸交于a，o）,（入2，。）（％<z）兩ax2+bx+c=0（。N0）

有兩個不相等的實數(shù)根

△>02

卬.門-b±\Jb-4ac

點，且石2一0'-b±yJb2-4ac

a<02a

xX王2—八

Aix，2a

°l此時稱拋物線與X軸相交

a>0一元二次方程

拋物線y=雙？+陵與x

0KZ

ax2+ZZX+C=O（Q#O）

軸交切于2,o］這一點，此時稱

△=0有兩個相等的實數(shù)根

12aJ

b

a<0

拋物線與X軸相切玉=%2=一丁

0/V2a

一元二次方程

拋物線y=依2+bx+c（a工0）與x

a>0

△<0IV.ax2+bx+c=O（aHO）

軸無交點，此時稱拋物線與無軸相離

J在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱

O

y無實數(shù)根)

。＜0O

【注意】

二次函數(shù)圖象與X軸的交點的個數(shù)由4ac的值來確定的.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時,A=/—4ac>0,方程有兩個不相等的實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時,△="2-4ac=0,方程有兩個相等的實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時,△=〃_4或;<0,方程沒有實根.

算、知識點02拋物線與直線的交點問題

拋物線與X軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題.我們把它延伸到求拋物線

y-ax1+Zzx+c(a#))與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)y=履+乙(k/0)的交點問題.

拋物線,=奴2+云+(:(際0)與丫軸的交點是(0,C).

v=kx+b

拋物線丁=公：2+云+。(存0)與一次函數(shù)丫=日+仇出和)的交點個數(shù)由方程組廣，”的解的個

y=ax"+bx+c

數(shù)決定.

當(dāng)方程組有兩組不同的解時o兩函數(shù)圖象有兩個交點:；

當(dāng)方程組有兩組相同的解時Q兩函數(shù)圖象只有一個交點;

當(dāng)方程組無解時O兩函數(shù)圖象沒有交點.

總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題.

【注意】

求兩函數(shù)圖象交點的問題主要運用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程

組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點問題.

顰'知識點03利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程ax?+bx+c=0(aw0)的步驟：

1.作二次函數(shù)y=a?+法+c(a#0)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程依2+笈+。=0(。￥0)的根的取值范圍.即確定拋物線y=o?+法+儀。/0)與工

軸交點的橫坐標(biāo)的大致范圍;

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的

形式求出相應(yīng)的y值.

4.確定一元二次方程a?+bx+c=0（。牛0）的近似根.在（3）中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次

方ax2+bx+c=0（a力0）的近似根.

【注意】

求一元二次方程辦2+法+c=0（。/0）的近似解的方法（圖象法）：

（1）直接作出函數(shù)y=ax?+辰+c（a工0）的圖象，則圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程

ax2+bx+c-0（?70）的根；

⑵先將方程變?yōu)橐?+法=_。再在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線）,=0^+區(qū)和直線）=_c圖象交點的橫坐

標(biāo)就是方程的根；

brhrbr

（3）將方程化為丁+一%+一=0,移項后得爐=一一》一一，設(shè)>=》2和丁=——x一一，在同一坐標(biāo)系中畫

aaaaaa

bc

出拋物線y=x2和直線y=--x—-的圖象，圖象交點的橫坐標(biāo)即為方程ax2+bx+c=0（a工0）的根.

aa

登、知識點04拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式

當(dāng)△>（）時，設(shè)拋物線y=a/+Z?x+c與x軸的兩個交點為A（M,0）,B（x2,0）,則王、馬是一元二次方

程辦2+版+c=0的兩個根.由根與系數(shù)的關(guān)系得西+馬=一上，x,x2=-.

aa

與△>()).

即|倜=

\a\

聚、知識點05拋物線與不等式的關(guān)系

二次函數(shù)y=ar2+Zzx+c（a翔）與一元二次不等式cue+/?x+c>0（存0）及ax2+fex+c<0（存0）之間的關(guān)

系如下（X1<x2）：

a>0

判別式拋物線y=公2+/zx+c與不等式辦2+陵+。<0的解

不等式a?+版+c>o的解集

X軸的交點集

X<X］或X>xx<x<x

△>0k212

有兩個交點

△=0XWX］域XWW)無解

ObX\(X2)

有一個交點

△<0JJ全體實數(shù)無解

無交點

注：a<0的情況請同學(xué)們自己完成.

【注意】

拋物線y=o?+云+c在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式

ax2+Z?x+c>0的解集；

在尤軸下方的部分點的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式o^+bx+cvO的解集.

不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號.

但能力拓展

考法01二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點

【典例1】已知二次函數(shù)y=/+6x+c的圖象與x軸的一個交點為(-1,0),則它與x軸的另一個交點的坐

標(biāo)是()

A.(-3,0)B.(3,0)C.(-5,0)D.(5,0)

【答案】C

【詳解】?.?二次函數(shù)產(chǎn)/+6x+c(c為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(-1,0),

/.l-6+c=0.

/.c=5,

：.二次函數(shù)y=x2+6x+5.

令)=0,則r+6"5=0,

解得：X/=-l,X2=-5.

???拋物線與X軸的另一個交點的坐標(biāo)是(-5,0).

故選：C.

【即學(xué)即練】二次函數(shù)產(chǎn)加+公+c的部分圖像如圖所示，對稱軸方程為x=-l,圖像與x軸相交于點(1,

0),則方程c￡+fox+“=0的根為()

A.x,=1,x2=-3B.X|=-l,X2=3C.x,=1,x2=D.x,=-1,x2

【答案】C

【詳解】解：???二次函數(shù)＞=0^+加+。的對稱軸方程為x=-l,圖像與無軸相交于點(I,0),

另一個交點為(—3,0),

；?方程or2+fov+c=0的兩個根為1和一3,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得$,

1x(-3)=-

a

:,b=2a,c=-3a；

,?*ex2+bx+o=0,

.?.當(dāng)占=1,w=一(符合題意，

故選：C

【典例2】拋物線y=N—2x+3與y軸的交點坐標(biāo)是()

A.(0,2)B.(0,3)C.(2,0)D.(3,0)

【答案】B

【詳解】令戶0,則y=3,

該拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是(0,3).

故選B.

【即學(xué)即練】關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是（）

A.圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0,1）B.當(dāng)x<l時，y的值隨x值的增大而減小

C.圖象的頂點坐標(biāo)為（-1,-3）D.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)

【答案】C

【詳解】當(dāng)x=0時，>--1,故選項A錯誤；

Vy=2r+4x-l=2U+l）2-3,

該函數(shù)的對稱軸是直線x=-l,開口向上

當(dāng)x<-l時，y隨x的增大而減小，故選項B錯誤；

圖象的頂點坐標(biāo)為（-1,-3）,故選項C正確；

圖象的對稱軸是直線尤=-1在y軸的左側(cè)，故選項D錯誤.

故選C.

考法02利用圖象法求一元二次方程的解

【典例3】如圖，二次函數(shù)、=加+法+。的圖象與x軸的右交點A（5,0）,對稱軸是直線x=2,當(dāng)"2+法+c

>16。時，x的取值范圍是（）

A.x<-1或x>5B.-l<x<5x<-3或x>7

【答案】C

【詳解】解：；5=0￥2+版+C的對稱軸是直線匯=2,

h=-4a,

y=ax2-4or+c,

與x軸右交點為(5,0),

25a-20?+c=0,

c=-5a,

y=ax2-4ar-5a,

ax2-4ax-5a>16m

ax2-4ar-21。>0,

aVO,

J.x2-4x-21<0(兩邊同除以m不等號方向改變),

y=x2-4x-21,。=1,開口向上，

當(dāng)12-41-21=0時，

(x-7)(x+3)=0,

.\x/=7,X2=-3,

y=x2-4x-2\的圖像如圖，

Ax的取值范圍是-3<x<7,

故選：C.

【即學(xué)即練】如圖.拋物線y=or2+c與直線〃交于A(-1,p),B(3,q)兩點，則不等式加+以+(?

>〃的解集為()

A.x>-1B.x<3C.x<-3D.x>-1x<3

【答案】C

【詳解】解：:拋物線y=or2+c與直線y=〃優(yōu)+〃交于4(-1,p),B(3,q)兩點,

；?拋物線與直線y=-3+〃交于(1,〃)，(-3,q)兩點，

觀察函數(shù)圖象可知:當(dāng)xV-3或x>l時，拋物線y=aN+c在直線y=-〃的上方,

不等式cuc2+c>-mx+n的解集為x<-3或x>1,

即不等式ax2+mx+c>n的解集是x<-3或x>1.

故選：C.

【典例4】如圖,拋物線y=ax1+bx+c的對稱軸是x=1,與x軸的一個交點為（-3,0），則不等式公?+灰+°>0

的解集為.

【答案】-3<x<5

【詳解】解：根據(jù)圖示知，拋物線y=or2+6x+c圖象的對稱軸是x=l,與x軸的一個交點坐標(biāo)為（-3,0）,

根據(jù)拋物線的對稱性知，拋物線y="+bx+c圖象與x軸的兩個交點關(guān)于直線x=l對稱，即

拋物線丫=。/+匕x+c圖象與x軸的另一個交點與（-3,0）關(guān)于直線x=l對稱，

.??另一個交點的坐標(biāo)為（5,0）,

,/不等式ax2+bx+c>G,即y—ax2+bx+c>0,

拋物線y^aj^+bx+c的圖形在x軸上方，

/.不等式ax2+bx+c>0的解集是-3Vx<5.

故答案為-3<x<5.

【即學(xué)即練】如圖是二次函數(shù)丫=。小+公+。的部分圖象，由圖象可知不等式以2+法+°>0的解集是.

【答案】-l<x<5##5>x>-1

【詳解】解：由圖象可知二次函數(shù)的對稱軸是直線x=2,

與x軸一個交點坐標(biāo)（5,0）,

由函數(shù)的對稱性可得，與x軸另一個交點是（-1,0）,

ax2+bx+c>0的解集為-1<x<5,

故答案為：-l<r<5

考法03二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運用

【典例5］已知二次函數(shù)y=a/+fer+c（?^0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：（）

?abc>0；?b<4ac；?2c<3b；④。+b>根（Q〃2+b）（mwl）；

⑤若方程向2+法+d=1有四個根，則這四個根的和為2.

其中正確的結(jié)論有()

A.2個B.3個

【答案】A

【詳解】解：???圖象開口向下,

o<0,

?.?對稱軸kI,

.b

??~~=1,

2a

/.b=-2。,

bX),

???拋物線交于y軸正半軸，

.?.cX),

abc<0，bX)>4ac,

故①②錯誤；

??,根據(jù)圖象可知，當(dāng)了=一1時，y<0,

即4-6+CV0,

.,?2a-2b+2c<Q,

?二結(jié)合b=-2a,有-3Z?+2c<0,

2c<3b,

故③正確；

?.,x=l時，y=a+b+cf且此時y值達到最大,

又?.?x=時，有y=+人〃7+c,

a+b+c>an^+bm+c，

Aa+b>m{am+b)(mw1)成立,

故④正確.

根據(jù)版?+法+d=l有四個根，

可得加+"+c=1和ax2+bx+c=-\各有兩個根,

■,b

當(dāng)"?+灰+。=1時，有以?+力x+c—1=（J,此時看用+不）=--,

a

當(dāng)依2+bx+c=-l時，有奴2+灰+o+1=0,此時有七+工4=----，

a

2b

則有司+為+七+工4=-----，

a

??b1

.---=1,

2a

??.衛(wèi)=4,

a

即：|#+灰+4=］的四個根和為4,

故⑤錯誤.

綜上：③④正確，

故選：A.

【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)y=狽2+法+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-l,有以下結(jié)論：①

。從<0；②若r為任意實數(shù)，則有a-9③當(dāng)圖象經(jīng)過點（1,3）時，方程c為2+bx+c_3=0的兩根

為x、,巧（芭<芻），則斗+3七=0,其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1

【答案】D

【詳解】?.?拋物線開口向上,

；?a>0,

b

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-l,BPx=--=-1,

2a

b=2a>0,

V拋物線與y軸的交點在X軸下方，

c<0,

：.abc<0,所以①正確；

時，y有最小值，

a-b+c<ar+bt+c（f為任意實數(shù)），即a-初4a產(chǎn)+匕，所以②正確;

???圖象經(jīng)過點（1,3）時，代入解析式可得c=3-3a,

方程ax?+6x+c-3=0可化為ar2+2ar-3a=0,消a可得方程的兩根為％=-3,x,=1,

???拋物線的對稱軸為直線x=T,

二二次函數(shù)y=ar?+Z?x+c與直線》=3的另一,個交點為(-3,3),

%=-3,々=1代入可得％+3々=。，

所以③正確.

綜上所述，正確的個數(shù)是3.

故選D.

【典例6】已知拋物線>=底+法+。(a,b,c是常數(shù))，a+8+c=0.下列四個結(jié)論:

①拋物線與x軸一定有兩個不同的交點；

②若拋物線經(jīng)過點(一1，0),則方=0；

③若b—c,則方程ax2+bx-￥c—Q一定有根x=-2；

④點A(x/,yi),B(xi,y/)在拋物線上，若0<a<c,則當(dāng)x/>X2>l時，yi>y2.

其中正確的是(填寫序號).

【答案】②

［詳解］解：1,當(dāng)x=l時，a+b+c=0,

A=Z?2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0>

，拋物線與x軸一定有公共點，

且當(dāng)a加時，拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點.故①不正確；

當(dāng)拋物線過(-1,0)時，

a-b+c=0,

a+b+c=0,

兩式相減得，2b=0,

：.b=0,

故②正確，

當(dāng)b=c時，由a+b+c=Q得，

a+2c=0,

a-2c,

當(dāng)x=-2時，ax2+hx+c=-8c-2/2+c=-8c-2c+c=-9c0,

故③不正確，

V0<fl<c,

.,.->1,拋物線開口向上，

a

...拋物線對稱軸在點(1,1)右側(cè),

???對稱軸戶-2位置不確定，X|>x2>l跟對稱軸的位置關(guān)系不確定，

a

必和丫2的大小無法確定，故④不正確.

故答案為：②.

【即學(xué)即練】如圖，拋物線丫=加+法+《”0）的開口向下，對稱軸為x=-l,與x軸的一個交點在（一3,0）、

7

（-2,0）之間，其部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論：①從-4ac>0；②2a=b；③若點（-萬，X）、（一

3%）、（:5，丫3）是該拋物線上的點，則％<%<%；?a+b+c<0,其中正確結(jié)論為.

【答案】①②④

【詳解】①由函數(shù)圖像可知，拋物線與x軸有兩個不同的交點,

；?關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，

-4ac>0,

①正確；

②..?拋物線產(chǎn)（"加）的對稱軸為x=-1,

2a—b,

,②正確；

③??,拋物線的對稱軸為x=-1,點號，無）在拋物線上，

（-，八）?

43

??,-73<1-3與V3-'且拋物線對稱釉左邊圖像y值隨x的增大而增大,

242

.\yi<ys<y2.

*'"③錯誤；

④;當(dāng)x=-3時，yVO,且對稱軸為x=-l,

???當(dāng)x=l與x=-3的函數(shù)值相同，。+匕+。<0

???④正確；

故答案為①@④.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.拋物線y=-x?+2x-7與y軸的交點坐標(biāo)為（）

A.（7,0）B.（-7,0）C.（0,7）D.（0,-7）

【答案】D

【詳解】解：當(dāng)x=0時，y^-x2+2x-l=-~l,

：.拋物線y=-x2+2x-7與y軸的交點坐標(biāo)為（0,-7）,

故選：D.

2.已知拋物線丫=以2+法+<?（"0）的頂點為（2,4）,有以下結(jié)論：①當(dāng)〃>0時，h2—4ac>0；②當(dāng)“>0

時，ax2+bx+c>4；③若點（-2,根），（3,〃）在拋物線上，則/"<〃；④若關(guān)于x的一元二次方程渥+公

+c=0的一根為一1,則另一根為5.其中正確的是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【詳解】解：①當(dāng)a>0,頂點為（2,4）時，因為開口向上，與x軸沒有交點，

所以AV。，故①錯誤；

②當(dāng)〃>0時，因為頂點坐標(biāo)（2,4）,開口向上，y有最小值，最小值為4,則）24,

ax2+bx+c>4；故②正確；

③???拋物線的對稱軸為直線x=2,

...點（-2,W與（6,m）是對稱點，

當(dāng)。>0時，x>2時，y隨x的增大而增大，

當(dāng)a<0時，x>2時，y隨x的增大而減小，

而點（6,w）,（3,"）在拋物線上，所以“與"的大小不能確定，

故③錯誤；

④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根為-1,

由對稱性可得：另一根為5.

所以④正確；

其中正確的是：②④；

故選：D.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線？=/+加+。（"0）經(jīng)過點（-1,0）,對稱軸為直線x=l.若y<0,

則x的取值范圍是（）

A.x<\

C.-1<x<lD.x<-l或x>3

【答案】D

【詳解】解：：拋物線了=加+灰+。（。<0）經(jīng)過點（TO）,對稱軸為直線x=l,

拋物線與x軸的另一交點為（3,0）,

由圖象可知，y<0時，x的取值范圍是x<-i或x>3.

故選：D.

4.二次函數(shù)>=/+（〃+2）x+a的圖象與x軸交點的情況是（）

A.沒有公共點B.有一個公共點

C.有兩個公共點D.與。的值有關(guān)

【答案】C

【詳解】VA=（a+2）2-4xlxa=a2+4>0

，二次函數(shù)y=/+（。+2）x+a的圖象與x軸有兩個不同的公共點

故選：C

5.已知二次函數(shù)），=0+法+c的部分圖象如圖，則關(guān)于x的一元二次方程以2+汝+°=0的解為（）

A.xi一4,工2=2

C.xi=-4,X2—~2

【答案】A

【詳解】解：根據(jù)圖象知，拋物線）=五+法+。（a和）與x軸的一個交點是（2,0）,對稱軸是直線x=

設(shè)該拋物線與x軸的另一個交點是（x,0）.

則當(dāng)

解得，X=-4,

即該拋物線與x軸的另一個交點是（一4,0）.

所以關(guān)于X的一元二次方程。入2+法+<?=0（存0）的根為x/=-4,X2—2.

故選：A.

6.己知拋物線y=f-2x-1與x軸的一個交點為（相，0）,則代數(shù)式相2-2m+2021的值為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】C

【詳解】解：；拋物線y=/-2_r-1與x軸的一個交點為（"?，0）,

\m2-2m-1=0,

\m2-2m=1,

\w2-2/?+2021=1+2021=2022,

故選C

7.已知二次函數(shù)y=_2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程-.2x+m=0的解為

【答案】x/=-4,X2=2

【詳解】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)），=-x2-2x+〃?的部分圖象經(jīng)過點（-4,0）,所以該點適合方程y

=-x2-2x+m,代入，得

（-4）2+2x（-4）+m=0

解得，〃?=8①

把①代入-一元二次方程-/-2x+m=0,得

-x2-2x+8=0,②

解②，得

Xl=-4,X2—1

???關(guān)于X的一元二次方程--2x+m=0的解為x/=-4,X2=2

故答案為x/=-4,X2=2.

8.二次函數(shù)y=f+6x+c（。為常數(shù)）與不軸的一個交點為（-1,0）,則另一個交點為.

【答案】(-5,0)

【詳解】解：?,?拋物線的對稱軸為直線x=-§=-3,

2a

而拋物線與X軸的一個交點為(-1,0),

所以拋物線與x軸的另一個交點為(-5.0).

故答案為：(-5,0).

9.拋物線>=-/+(加一1口+山與y軸交于點(0,3).

(1)求，”的值及拋物線與無軸的交點坐標(biāo)；

(2)x取什么值時，拋物線在x軸下方？

(3)x取什么值時，V的值隨著x的增大而增大？

【答案】(1)m=3,(-1,0),(3,0)；(2)x<-l或x>3；(3)x<l.

【詳解】(1)將點(0,3)代入可=-f+代-1)工+力得：m=3

則二次函數(shù)的解析式為丫=-/+2》+3

令y=0得：-x2+2x+3=0

解得&=-l,x2=3

則拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-1,0),(3,0)；

(2)二次函數(shù)丫=-/+2》+3的開口向下

結(jié)合(1)可得：當(dāng)x<-l或x>3時，拋物線在x軸下方；

(3)二次函數(shù)丫=-苫2+2》+3的頂點式為丫=-(犬-1)2+4

二次函數(shù)的增減性為：當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小

則當(dāng)xVl時，>的值隨著x的增大而增大.

10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點4-1,0)和點8(3,0),且有最小值為_2.

(1)求這個函數(shù)的解析式、函數(shù)的開口方向、對稱軸；

(2)當(dāng)y>0時，X的取值范圍.

【答案】(1)y=^(x-l)--2,拋物線開口向上，對稱軸為：x=\；(2)x>3或x<-l.

【詳解】解：(1)???4-1,0)和點8(3,0)是拋物線與x軸的交點，

二函數(shù)的對稱軸為x=l,

又因為有最小值為-2.

二拋物線的頂點為(1,-2),則函數(shù)的表達式為：y=?(x-l)2-2.

把點A坐標(biāo)代入上式得0=a(-17)2-2,解得：a=

則函數(shù)的表達式為：y=g(x-l)2-2

?=^>0,拋物線的開口向上,

對稱軸為：x=l；

(2)由函數(shù)圖象可知：

當(dāng)y>o時，X的取值范圍為：x>3或X<-1.

題組B能力提升練

1.已知函數(shù)y=or2+云+C的圖象如圖，那么關(guān)于x的方程℃2+6x+c+2=0的根的情況是()

A.無實數(shù)根B.有兩個相等實數(shù)根

C.有兩個同號不等實數(shù)根D.有兩個異號實數(shù)根

【答案】C

【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：>=?2+法+。的圖象與y=-2有兩個交點，且交點的橫坐標(biāo)都在y軸右側(cè),

:.關(guān)于X的方程以2+for+C+2=0即G?+bx+c=-2有兩個同號不等實數(shù)根，

故選：C.

2.如表中列出的是二次函數(shù)>=。工2-\-bx+c中X與y的幾組對應(yīng)值:

X-2013

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是()A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，且都在y軸同側(cè)

C.當(dāng)尤>1時，y的值隨x值的增大而增大

D.方程“X?+(b+2)x+c--4的解為*=0,x2—1

【答案】D

【詳解】解：：拋物線經(jīng)過點(0,-4),(3,-4),

???拋物線的對稱軸為直線k13,

而x=l時，產(chǎn)-6<-4,

???拋物線的開口向上，與x軸有兩個交點，且在y軸兩側(cè)，所以A、B選項都不符合題意;

3

???拋物線的對稱軸為直線戶,,

???當(dāng)時、y的值隨x值的增大而增大，所以C選項不符合題意；

二點(0,-4),(1,-6)在拋物線上,也在直線產(chǎn)-2r4上，

即廣。3+版與直線產(chǎn)2-4的交點坐標(biāo)為(0,-4),(1,-6),

方程。]2+法+廣：?2片4的解為$=0,々=1，

即方程(。+2)x+c=-4的解為/=0,工2=1，所以D選項符合題意.

故選：D.

3.已知二次函數(shù)>=自2—7,1—7的圖象和x軸有交點，則攵的取值范圍是()

77

A.k>---且厚0B.k>---

44

77

C.Q—-且原0D.k>~-

44

【答案】C

【詳解】解：:二次函數(shù)y=&_7x-7的圖象和x軸有交點,

.肚wO

*|49+28)1>0，

7

???亞-丁且厚0.

4

故選：C.

4.若拋物線產(chǎn)f-4x-12與x軸交于點A,B,與)，軸交于點C,則△ABC的面積為()

A.24B.36C.48D.96

【答案】C

【詳解】解：令產(chǎn)0,則可得方程f-敘-12=0,

解得：4=6,x2=-2,

故它與x軸的兩個交點分別是：(-2,0),(6,0),

當(dāng)x=0時，y=-12,

故它與y軸的交點是：(0,-12),

該三角形的面積為gx[6-(-2)]xl2=48.

故選：C.

5.如圖，若二次函數(shù)丫=以2+法+以。#0）圖象的對稱軸為x=l,與y軸交于點C,與X軸交于點A、點

5（-1,0）,則①二次函數(shù)的最大值為a+8+c；②a-b-c<0；?ft2-4?c<0:④當(dāng)y>0時，-l<x<3；其

中正確的個數(shù)是（

【答案】C

【詳解】解：由圖可知：是拋物線的對稱軸，旦拋物線的開口向下，與y軸交點在），軸正半軸，

a<0,--=\,c>0,當(dāng)戶1時，y的最大值為產(chǎn)“+〃+<■,故①正確；

2a

/.h=—2。>0,

/.a-b-c<0^故②正確；

由圖象可知，函數(shù)圖像與X軸有兩個不同的交點，故4碇>0，故③錯誤；

由函數(shù)圖象可知當(dāng)y>o時，-1VXV3故④正確：

故選C.

6.二次函數(shù)丁=以2+版的圖像如圖，若一元二次方程〃/+區(qū)+m=0有實數(shù)根，則團的最大值為（）

A.-3B.-2

【答案】D

【詳解】解：由圖可知：二次函數(shù)廣加?的最小值是尸?3,

,一元二次方程c*+加+〃『0有實數(shù)根，

，一元二次方程ax2+bx=-m有實數(shù)根,

y=cuc2+bx與y=-m有交點,

解得：/脛3,

:?m的最大值是3,

故選：D.

7.已知拋物線y=x-x-5與x軸的一個交點為(90),則代數(shù)式2加2_2租+5=.

【答案】15

【詳解】解：把點(九0)代入二次函數(shù)解析式得：—5=0，則有機=5，

，2m2-2w+5=2(w2-/M)+5=15；

故答案為15.

8.如圖，過點0(1,3)的拋物線>=-9+%的頂點為A,與x軸交于8、C兩點，若點尸是y軸上一點，則

PC+PD的最小值為.

【答案】3夜

【詳解】解：連接P8,

對于拋物線y=-x2+k,

對稱軸是y軸，

：.PC=PB,

,當(dāng)。、P、B在同一直線上時，PC+PQ的值最小，最小值為3。的長,

,/拋物線y=-x2+k過點。(1,3),

二把kI,產(chǎn)3代入y=-1+A,解得：上4,

把)=0代入y=-x2+4,解得：x=2或x=-2,

所以點B的坐標(biāo)為(-2,0),

所以BD="(-2-1)2+32=3&,

故答案為：3&.

9.己知二次函數(shù)—(〃?+2)x+2〃?-1

(1)求證：不論〃，取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；

(2)若該函數(shù)的圖象與y軸交于點(0,3),求當(dāng)0Vx<5時，求y的取值范圍.

【答案】(1)見解析

(2)-l<y<8

【詳解】(1)解：令y=o,則/一(〃?+2)工+2加一1=0,

/.A=[一(6+2了]一4(2m-1)=m2+4/n+4—8m+4

=>一4機+8

=(加一2f+4之4

.\A>0

；方程總有兩個不相等的實數(shù)根，即拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)v函數(shù)的圖象與y軸交于點(0,3).

/.2/77-1=3,

/.tn=2,

,拋物線的解析式為：y=x2-4x+3,

,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

,拋物線的開口向上，當(dāng)x=2時，函數(shù)y的最小值為-1,

當(dāng)％=0時，y=3,

當(dāng)％=5時，y=25-20+3=8,

/.當(dāng)0<x<5時，y的取值范圍為：-l<y<8.

10.如圖，二次函數(shù)y=f-3x+c的圖象與X軸的一個交點為4(4,0),另一個交點為B,且與軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求ABC的面積；

(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點。，使△ABD與.ABC的面積相等？若存在，請求出。點的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

【答案】(l)y=V_3x_4

⑵10

⑶存在，上糾,4或三產(chǎn),41(3,—4)

【詳解】⑴解：?.,二次函數(shù)y=x-3x+c的圖象與x軸的一個交點為4(4,0),

工16—12+。=0,

解得c=-4,

即C（O,T）,

y=x2-3x-4；

⑵存在，.三產(chǎn),4或卜當(dāng),4）或（3,-4）,

理由如下，

由y=x?-3x-4,令y=°,

即/一3X一4=0，

解得玉=-1，七=4>

??.SABc=；A8xO4=gx（4+l）x4=10；

（3）設(shè)△A8D,邊AB上的高為人，

與a4?C的面積相等，

h=OA=4,

。是y=d-3x-4上的點，

則a=|%|,

.?.*2-3》一4=4或/一3工-4=4

解得王=土/,%=過乎或“=0，々=3.,

」3-屈八，、「3+a八八

??。［—刃或l~V-4J或（3,-4）.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.若4，々是方程f+3x+c=0（c為常數(shù)）兩個不相等的實數(shù)根，且滿足&<々<1,則C的取值范圍是

（）

99

A.c<-4B.c>-4C.-4<c<-D.c>-

44

【答案】C

【詳解】解：???"々是方程犬2+3x+c=0（。為常數(shù)）兩個不相等的實數(shù)根,

9

AA=9-4c>0,解得：c<-,

設(shè)y=Y+3x+c,

Vl>0,

???拋物線開口向上,

玉<々V1，

?，.當(dāng)戶1時，y>0,

Al+3+c>0,解得：0-4,

9

??.c的取值范圍是-4<c<r

故選：C

2.如圖，二次函數(shù)y=ox2+bx+c（。為常數(shù)，且。加）的圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=l,且2<cV

3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.abc>0

C.a2m2+ahm<a2+ab（加為任意實數(shù)）

3

【答案】D

【詳解】解：A.拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則"V0,而c>0,

故出?cVO,不正確，不符合題意;

B.函數(shù)的對稱軸為直線x=?§=l,則b=?2m

2a

..,從圖象看，當(dāng)x=-\時，y=a-b+c=3a+c=0,

故不正確，不符合題意；

C.'??當(dāng)1時，函數(shù)有最大值為y=a+b+c9

**?am2+bm+c<a+b+c（加為任意實數(shù)）,

cun2+bm4a+b，

V?<0,

a2m2+abm>a2+ab（加為任意實數(shù)）

故不正確，不符合題意；

D,?.?-2=1,故b=-2a,

2a

Vx=-1,y=0,故〃-0+c=0,

?\c=-3cb

V2<c<3,

.,.2<-3tz<3,

7

故正確，符合題意；

故選：D.

22

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)到二f+以+],y2=x+hx+2,y3=x+cx+3f其中。=2,b、c?都

是正實數(shù)，且滿足〃=〃c.設(shè)y/,”，”的圖象與X軸的交點個數(shù)分別為M/，M2,M3,則下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.若M/=l,M2=l,則M.?=2B.若M/=l,A/2=l,則M?=l

C.若M/=l,%=0,則M3=0或1或2D.若M/=l,M2=2,則%=2

【答案】B

【詳解】解：?,Z=2,

.\y/=x2+2r+l=（x+1）2,

???拋物線頂點坐標(biāo)為（-1,0）,

Mi=\t

VJ2=X2+/7X+2,

AA=Z>2-8,

當(dāng)何2=1時，b2-8=0,

〃=%?=8,

...c=4,

，y3=/+4x+3,

VA=42-4X3=4>0,

.?.M?=2,故A選項正確,B錯誤；

當(dāng)M2=0時，*-8V0,

h2=ac<S,

Ac<4,

AA=C2-4X3=C2-12,

或1或2,故C正確；

當(dāng)險=2時，/-8>0,

??Z?~=ac、>8,

/.c>4,

AA=C2-4X3=C2-12>0,

故D選項正確；

故選：B.

4.已知拋物線>=/+云+。與x軸的兩個交點之間的距離為6,對稱軸為％=3,則拋物線的頂點產(chǎn)關(guān)于龍軸

對稱的點P'的坐標(biāo)是（）

A.（3,9）B.（3,-9）C.（-3,9）D.（-3,-9）

【答案】A

【詳解】解：設(shè)拋物線y=N+6x+c與x