《6.1 平面向量的概念》考點講解復習與同步訓練

《6.1平面向量的概念》考點講解【思維導圖】【常見考法】考法一向量與數(shù)量的區(qū)別【例1】下列各量中是向量的是（）A．時間 B．速度 C．面積 D．長度【一隅三反】1．下列量不是向量的是（）A．力 B．速度 C．質(zhì)量 D．加速度2．給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.下列說法正確的是()A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量3．下列說法正確的是（）A．數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關D．向量的模可以比較大小考法二向量的幾何表示【例2】某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．（1）作出向量，，；（2）求的模．【一隅三反】1.如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形組成，方格中有定點A，點C為小正方形的頂點，且，畫出所有的向量.2．在如圖所示的坐標紙（規(guī)定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1）,點A在點O正南方向；（2）,點B在點O北偏西方向；（3）,點C在點O南偏西方向.3．如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方.（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；（2）求向量的模.考法三相等向量與共線向量【例3】如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.（1）圖中與共線的向量有________；（2）圖中與相等的向量有________；（3）圖中與模相等的向量有_________________；（4）圖中與是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）與相等嗎？【一隅三反】1．如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的等邊三角形，設的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則（1）與向量相等的向量有______；（2）與向量共線，且模相等的向量有______；（3）與向量共線，且模相等的向量有________.2．在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），判斷是否存在下列關系的向量：（1）是共線向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.3．如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.（1）與的長度相等、方向相反的向量有哪些？（2）與共線的向量有哪些？（3）請一一列出與，，.相等的向量．考法四平面向量概念的區(qū)分【例4】下列關于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【一隅三反】1．下列命題中，正確的個數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若，滿足且與同向，則；④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；⑤若∥∥，則∥．A．0個 B．1個C．2個 D．3個2．下列說法不正確的是（）A．平行向量也叫共線向量B．兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合C．若為非零向量，則是一個與同向的單位向量D．兩個有共同起點且模相等的向量，其終點必相同2．下列命題中正確的個數(shù)為（）①兩個有共同始點且相等的向量，其終點可能不同；②若非零向量與共線，則、、、四點共線；③若非零向量與共線，則；④四邊形是平行四邊形，則必有；⑤，則、方向相同或相反.A．個 B．個 C．個 D．個《6.1平面向量的概念（精講）》考點講解答案解析考法一向量與數(shù)量的區(qū)別【例1】下列各量中是向量的是（）A．時間 B．速度 C．面積 D．長度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；時間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故選：．【一隅三反】1．下列量不是向量的是（）A．力 B．速度 C．質(zhì)量 D．加速度【答案】C【解析】質(zhì)量只有大小，沒有方向，不是向量.故選C2．給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.下列說法正確的是()A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【答案】D【解析】【解析】由物理知識可知，密度，路程，質(zhì)量，功只有大小，沒有方向，因此是數(shù)量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故選：D3．下列說法正確的是（）A．數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關D．向量的?？梢员容^大小【答案】D【解析】向量不能比較大小，向量的模能比較大小，顯然D正確.考法二向量的幾何表示【例2】某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．（1）作出向量，，；（2）求的模．【答案】（1）見解析；（2）米【解析】（1）作出向量，，；如圖所示：（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝(米)，所以|米.【一隅三反】1.如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形組成，方格中有定點A，點C為小正方形的頂點，且，畫出所有的向量.【答案】見解析【解析】∵，∴C點落在以A為圓心，以為半徑的圓上，又∵點C為小正方形的頂點，根據(jù)該條件不難找出滿足條件的點C，解析所有的向量，如圖所示：2．在如圖所示的坐標紙（規(guī)定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1）,點A在點O正南方向；（2）,點B在點O北偏西方向；（3）,點C在點O南偏西方向.【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析【解析】如圖.3．如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方.（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；（2）求向量的模.【答案】（1）作圖見解析（2）【解析】（1）如圖，即為所求.（2）如圖，作向量，由題意可知，四邊形是平行四邊形，∴.考法三相等向量與共線向量【例3】如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.（1）圖中與共線的向量有________；（2）圖中與相等的向量有________；（3）圖中與模相等的向量有_________________；（4）圖中與是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）與相等嗎？【答案】（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等【解析】根據(jù)題意得，（1）圖中與共線的向量為、、；（2）與相等的向量有；（3）圖中與模相等的向量有，，，；（4）相等；（5）與不相等；故答案為：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等【一隅三反】1．如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的等邊三角形，設的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則（1）與向量相等的向量有______；（2）與向量共線，且模相等的向量有______；（3）與向量共線，且模相等的向量有________.【答案】【解析】（1）與向量相等的向量有；（2）與向量共線，且模相等的向量有；（3）與向量共線，且模相等的向量有.故答案為：；；2．在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），判斷是否存在下列關系的向量：（1）是共線向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.【答案】和，和和，和【解析】（1），，故和，和是共線向量.（2）和，和是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.故答案為：（1）和，和；（2）和，和；（3）.3．如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.（1）與的長度相等、方向相反的向量有哪些？（2）與共線的向量有哪些？（3）請一一列出與，，.相等的向量．【答案】（1），，，.（2），，，，，，，，.（3）與相等的向量有，，；與相等的向量有，，；與相等的向量有，，.【解析】（1）因為正六邊形中各線段長度都相等，且方向相反的有：，，，.（2）由共線向量定理得：，，，，，，，，.與共線.（3）由相等向量的定義得：與相等的向量有，，；與相等的向量有，，；與相等的向量有，，.考法四平面向量概念的區(qū)分【例4】下列關于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【答案】D【解析】零向量與它的相反向量相等，故（1）錯誤；當向量為零向量時，其方向是任意的，不能說與的方向相同或相反，故（2）錯誤；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正確；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比較大小，故（4）錯誤.故選：D.【一隅三反】1．下列命題中，正確的個數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若，滿足且與同向，則；④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；⑤若∥∥，則∥．A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【解析】解：對于①，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，故①錯誤；對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤；對于④，向量是可以自由平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；對于⑤，時，若，則與不一定平行．綜上，以上正確的命題個數(shù)是0．故選：A．2．下列說法不正確的是（）A．平行向量也叫共線向量B．兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合C．若為非零向量，則是一個與同向的單位向量D．兩個有共同起點且模相等的向量，其終點必相同【答案】D【解析】由于任一組平行向量都可以平移到一條直線上，則平行向量也叫共線向量，A正確；兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合，由共線向量的定義可知，B正確；的模長為，，則是一個與同向的單位向量，C正確；從同一點出發(fā)的兩個相反向量，有共同的起點且模長相等，但終點不同，D錯誤；故選：D2．下列命題中正確的個數(shù)為（）①兩個有共同始點且相等的向量，其終點可能不同；②若非零向量與共線，則、、、四點共線；③若非零向量與共線，則；④四邊形是平行四邊形，則必有；⑤，則、方向相同或相反.A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【解析】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果兩個相等向量起點相同，則由定義知終點必相同，命題①是假命題；②共線向量是基線平行或重合的向量，若非零向量與共線且直線與平行時，、、、四點不共線，命題②是假命題；③若非零向量與共線，則存在非零實數(shù)，使得，命題③是假命題；④四邊形是平行四邊形，則，由相等向量的定義可知，命題④是真命題；⑤若為非零向量，，則、方向無法確定，命題⑤是假命題.故選：B.《6.1平面向量的概念》同步練習【題組一向量與數(shù)量的區(qū)別】1．給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是()A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量2．下列量不是向量的是（）A．力 B．速度 C．質(zhì)量 D．加速度3．下列說法中，正確的個數(shù)是()①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④向量與b不共線，則與b都是非零向量．A．1 B．2 C．3 D．44．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．給出下列結(jié)論：①數(shù)軸上相等的向量，它們的坐標相等；反之，若數(shù)軸上兩個向量的坐標相等，則這兩個向量相等；②對于任何一個實數(shù)，數(shù)軸上存在一個確定的點與之對應；③數(shù)軸上向量的坐標是一個實數(shù)，實數(shù)的絕對值為線段AB的長度，若起點指向終點的方向與數(shù)軸同方向，則這個實數(shù)取正數(shù)，反之取負數(shù)；④數(shù)軸上起點和終點重合的向量是零向量，它的方向不確定，它的坐標是0.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【題組二向量的幾何表示】1．如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且.（1）畫出所有的向量；（2）求的最大值與最小值．2．一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向行進1米，逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，繼續(xù)按直線向前行進1米，再逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，按直線向前行進1米，按此方法繼續(xù)操作下去.（1）按1∶100比例作圖說明當α=45°時，操作幾次時賽車的位移為零；（2）按此法操作使賽車能回到出發(fā)點，α應滿足什么條件？3．一名模型賽車手遙控一輛賽車，稱先前進1m，然后原地逆時針轉(zhuǎn)動角為一次操作.（1）當時，至少需要幾次操作，賽車才可以回到出發(fā)點？按照適當?shù)谋壤鲌D加以說明.（2）如果，且按此操作，賽車能夠回到出發(fā)點，那么應該滿足什么條件？4．在圖中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實際距離（精確到）.【題組三相等向量與共線向量】1．如圖所示，在等腰梯形中，，對角線交于點，過點作，交于點，交BC于點N，則在以，，為起點和終點的向量中，相等向量有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，與共線的向量有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3（多選）若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A．共線 B．相等C．模相等，方向相反 D．模相等4．如圖，設是邊長為1的正六邊形的中心，寫出圖中與向量相等的向量______.（寫出兩個即可）5．如圖所示，和是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設的邊長為，圖中列出了長度均為的若干個向量則：（1）與向量相等的向量有_______；（2）與向量共線，且模相等的向量有________；（3）與向量共線，且模相等的向量有________.6．如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；7．已知O是正方形ABCD對角線的交點，在以O，A，B，C，D這5點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，寫出：（1）與相等的向量；（2）與長度相等的向量；（3）與共線的向量.8．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，四邊形BCGF是平行四邊形，試分別寫出與共線及相等的向量.9．如圖所示，O為正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，在圖中所標出的向量中，（1）分別寫出與，相等的向量；（2）寫出與共線的向量；（3）寫出與模相等的向量.10．如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點.(1)寫出圖中所示向量與向量長度相等的向量；(2)寫出圖中所示向量與向量相等的向量；(3)分別寫出圖中所示向量與向量，共線的向量.11．如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分別是、上的點，且，，.（1）求證：；（2）求.12．如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.【題組四平面向量的概念區(qū)分】1．下列關于向量的描述正確的是()A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓2．下列說法中，正確的個數(shù)是（）①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④向量與不共線，則與都是非零向量（）A． B． C． D．3．下列說法正確的個數(shù)為（）①零向量沒有方向；②向量的模一定是正數(shù)；③與非零向量共線的單位向量不唯一A．0 B．1 C．2 D．34．下列說法中,正確的有()①如果非零向量與共線,那么的方向必與之一的方向相同;②在中,必有;③若,則A,B,C為的三個頂點;④若均為非零向量,則與一定相等A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．下列命題中正確的個數(shù)是()①向量就是有向線段②零向量是沒有方向的向量③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正實數(shù)A．0 B．1 C．2 D．36．下列說法正確的是（）A．零向量是沒有方向的向量 B．零向量的長度為0C．任意兩個單位向量的方向相同 D．同向的兩個向量可以比較大小7．下列說法正確的是（）A．向量與是共線向量，則A，B，C，D必在同一直線上B．向量與平行，則與的方向相同或相反C．向量與向量是平行向量D．單位向量都相等8．下列命題中正確的個數(shù)有（）①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同．A．0 B．1 C．2 D．39．設為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則上述命題中，假命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．以下說法正確的是（）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B．零向量沒有方向C．共線向量又叫平行向量D．若和都是單位向量，則11．下列關于向量的結(jié)論：（1）若，則或；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則．其中正確的序號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）12．有下列說法：①若兩個向量不相等，則它們一定不共線；②若四邊形是平行四邊形，則；③若，，則；④若，則且．其中正確說法的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．313．（多選）在下列結(jié)論中，正確的有（）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合 B．平行向量又稱為共線向量C．兩個相等向量的模相等 D．兩個相反向量的模相等14．（多選）設為單位向量，下列命題是假命題的為（）A．若為平面內(nèi)的某個向量，則B．若與平行，則C．若與平行且，則D．若為單位向量，則15．對下列命題：（1）若向量與同向，且，則；（2）若向量，則與的長度相等且方向相同或相反；（3）對于任意向量，若與的方向相同，則；（4）由于方向不確定，故不與任意向量平行；（5）向量與平行，則向量與方向相同或相反．其中正確的命題的個數(shù)為________16．給出下列四個條件:（1）；（2）；（3）與方向相反；（4）或其中能使成立的條件是________.(填序號)17．判斷下列結(jié)論是否正確（正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”），并說明理由.（1）若與都是單位向量，則.（）（2）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量.（）（3）直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量.（）（4）若與是平行向量，則.（）（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合.（）（6）海拔、溫度、角度都不是向量.（）《6.1平面向量的概念》同步練習答案解析【題組一向量與數(shù)量的區(qū)別】1．給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是()A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【答案】D【解析】由物理知識可得：密度，溫度，質(zhì)量，功只有大小，沒有方向，因此是數(shù)量；而速度、位移既有大小又由方向，因此是向量．選D．2．下列量不是向量的是（）A．力 B．速度 C．質(zhì)量 D．加速度【答案】C【解析】【解析】質(zhì)量只有大小，沒有方向，不是向量.故選C3．下列說法中，正確的個數(shù)是()①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④向量與b不共線，則與b都是非零向量．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，時間沒有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①錯誤；對于②，零向量的模為0，故②錯誤；③正確，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④顯然正確．故選B.4．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】向量是既有大小又有方向的量，故②③④⑤是向量.質(zhì)量和路程都只有大小，沒有方向，故不是向量.所以是向量的有4個.5．給出下列結(jié)論：①數(shù)軸上相等的向量，它們的坐標相等；反之，若數(shù)軸上兩個向量的坐標相等，則這兩個向量相等；②對于任何一個實數(shù)，數(shù)軸上存在一個確定的點與之對應；③數(shù)軸上向量的坐標是一個實數(shù)，實數(shù)的絕對值為線段AB的長度，若起點指向終點的方向與數(shù)軸同方向，則這個實數(shù)取正數(shù)，反之取負數(shù)；④數(shù)軸上起點和終點重合的向量是零向量，它的方向不確定，它的坐標是0.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①向量相等，則它們的坐標相等，坐標相等，則向量相等，①正確；②實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關系，即有一個實數(shù)就有一個點跟它對應，有一個點也就有一個實數(shù)與它對應，②正確；③數(shù)軸用一個實數(shù)來表示向量，正負決定其方向，絕對值決定其長度，③正確；④數(shù)軸上零向量其起點和終點重合，方向不確定，大小為0，其坐標也為0，④正確.故選：D.【題組二向量的幾何表示】1．如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且.（1）畫出所有的向量；（2）求的最大值與最小值．【答案】(1)見解析；(2)最大值為，最小值為.【解析】(1)畫出所有的向量，如圖所示：(2)由(1)所畫的圖知，①當點C位于點C1或C2時，||取得最小值=；②當點C位于點C5或C6時，||取得最大值=；所以||的最大值為，最小值為．2．一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向行進1米，逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，繼續(xù)按直線向前行進1米，再逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，按直線向前行進1米，按此方法繼續(xù)操作下去.（1）按1∶100比例作圖說明當α=45°時，操作幾次時賽車的位移為零；（2）按此法操作使賽車能回到出發(fā)點，α應滿足什么條件？【答案】見解析.【解析】（1）如圖所示，操作8次后，賽車的位移為零；（2）要使賽車能回到出發(fā)點，只需賽車的位移為零．按（1）的方式作圖，則所作圖形是內(nèi)角為的正多邊形，由多邊形的內(nèi)角和定理可得，解得，且．故α應滿足的條件為，且．3．一名模型賽車手遙控一輛賽車，稱先前進1m，然后原地逆時針轉(zhuǎn)動角為一次操作.（1）當時，至少需要幾次操作，賽車才可以回到出發(fā)點？按照適當?shù)谋壤鲌D加以說明.（2）如果，且按此操作，賽車能夠回到出發(fā)點，那么應該滿足什么條件？【答案】（1）8次，說明見解析；（2）【解析】（1）因為屬于至少需要8次操作，賽車可以回到出發(fā)點，如圖所示.（2），要使賽車回到出發(fā)點，則賽車走過的是一個正多邊形路徑，考慮外角和為，故每次轉(zhuǎn)動的角度應該是除以一個正整數(shù)所得的商，即.4．在圖中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實際距離（精確到）.【答案】A地至B，C兩地的位移分別用表示；A地至B，C兩地的實際距離分別為.【解析】A地至B，C兩地的位移分別用表示，圖上A，B兩點距離、A，C點距離分別為：，所以A地至B實際距離為：，A地至C地的實際距離為：.【題組三相等向量與共線向量】1．如圖所示，在等腰梯形中，，對角線交于點，過點作，交于點，交BC于點N，則在以，，為起點和終點的向量中，相等向量有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】B【解析】由題，故相等向量有兩對故選：B2．如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，與共線的向量有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】在向量，，，，，，，，，，中與共線的向量有：向量，，．故選C．3（多選）若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A．共線 B．相等C．模相等，方向相反 D．模相等【答案】ACD【解析】∵四邊形ABCD是矩形，,所以共線，模相等,故A、D正確;∵矩形的對角線相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正確;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正確.4．如圖，設是邊長為1的正六邊形的中心，寫出圖中與向量相等的向量______.（寫出兩個即可）【答案】，，【解析】解：由題可得：與相等的向量是：，，；故答案為：，，.5．如圖所示，和是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設的邊長為，圖中列出了長度均為的若干個向量則：（1）與向量相等的向量有_______；（2）與向量共線，且模相等的向量有________；（3）與向量共線，且模相等的向量有________.【答案】，，，，，，，，，【解析】（1）與向量相等的向量是，；（2）與向量共線且模相等的向量是，，，，，（3）與向量共線且模相等的向量，，，，故答案為：（1），；（2），，，，；（3），，，，.6．如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；【答案】（1）5；（2）2.【解析】由題可知，每個小方格都是單位正方形，每個小正方形的對角線的長度為且都與平行，則，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量，則與相等的向量共有5個，如圖1；（2）與方向相同且模為的向量共有2個，如圖2.7．已知O是正方形ABCD對角線的交點，在以O，A，B，C，D這5點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，寫出：（1）與相等的向量；（2）與長度相等的向量；（3）與共線的向量.【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）【解析】畫出圖形，如圖所示．（1）易知BCAD，BC＝AD，所以與相等的向量為.（2）由O是正方形ABCD對角線的交點知OB＝OD＝OA＝OC，所以與長度相等的向量為，，，，，，.（3）與共線的向量為，，.8．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，四邊形BCGF是平行四邊形，試分別寫出與共線及相等的向量.【答案】（1）與共線的向量：，，，，，，，，，，.（2）與相等的向量：，，.【解析】（1）與共線的向量：，，，，，，，，，，.（2）與相等的向量：，，.9．如圖所示，O為正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，在圖中所標出的向量中，（1）分別寫出與，相等的向量；（2）寫出與共線的向量；（3）寫出與模相等的向量.【答案】（1），；（2）與共線的向量有，，；（3）與模相等的向量有，，，，，，.【解析】（1），.（2）與共線的向量有，，.（3）與模相等的向量有，，，，，，.10．如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點.(1)寫出圖中所示向量與向量長度相等的向量；(2)寫出圖中所示向量與向量相等的向量；(3)分別寫出圖中所示向量與向量，共線的向量.【答案】(1)，，，，，，，.(2)，.(3)與共線的向量是，，；與共線的向量是，，.【解析】(1)與長度相等的向量是，，，，，，，．(2)與相等的向量是，．(3)與共線的向量是，，；與共線的向量是，，．11．如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分別是、上的點，且，，.（1）求證：；（2）求.【答案】（1）見解析；（2）【解析】(1)由題意知，在中，，，，所以，是直角三角形，因為點為半圓上一點，所以所以，故(2)因為，所以，，即，解得，即。12．如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.【答案】見解析【解析】因為，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以且.又與的方向相同，所以.同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.因為，，所以，又與的方向相同，所以【題組四平面向量的概念區(qū)分】1．下列關于向量的描述正確的是()A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓【答案】D【解析】對于選項A：向量包括長度和方向，單位向量的長度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項A錯誤；對于選項B：因為，由知，不一定成立，故選項B錯誤；對于選項C：任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，故選項C錯誤；對于選項D：因為所有單位向量的模為，且共起點，所以所有單位向量的終點在半徑為的圓周上，故選項D正確；故選：D.2．下列說法中，正確的個數(shù)是（）①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④向量與不共線，則與都是非零向量（）A． B． C． D．【答案】B【解析】①時間沒有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①錯誤；②零向量的模為零，故②錯；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正確；④零向量與任意向量都共線，因此若向量與不共線，則與都是非零向量，即④正確.故選：B.3．下列說法正確的個數(shù)為（）①零向量沒有方向；②向量的模一定是正數(shù)；③與非零向量共線的單位向量不唯一A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】零向量的方向是任意的，故①錯；向量的模是非負數(shù)，故②錯；與非零向量共線的單位向量不唯一，分別是，故③正確.故選：B.4．下列說法中,正確的有()①如果非零向量與共線,那么的方向必與之一的方向相同;②在中,必有;③若,則A,B,C為的三個頂點;④若均為非零向量,則與一定相等A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】①當時,結(jié)論不成立;②，所以結(jié)論正確;③當A,B,C三點共線時,也可以有,此時不能構(gòu)成三角形，結(jié)論不成立;④只有同向時結(jié)論才成立.故選：B5．下列命題中正確的個數(shù)是()①向量就是有向線段②零向量是沒有方向的向量③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正實數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來，故①錯；零向量有方向，其方向是任意的，故②錯，③正確；零向量的模等于0，故④錯.故選：B.6．下列說法正確的是（）A．零向量是沒有方向的向量 B．零向量的長度為0C．任意兩個單位向量的方向相同 D．同向的兩個向量可以比較大小【答案】B【解析】零向量的長度為0，方向是任意的，故A錯誤，B正確；任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故C錯誤；不管是同向的向量還是不同向的向量，都不能比較大小，故D錯誤.故選：B7．下列說法正確的是（）A．向量與是共線向量，則A，B，C，D必在同一直線上B．向量與平行，則與的方向相同或相反C．向量與向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】C【解析】A項考查的是有向線段共線與向量共線的區(qū)別.事實上，有向線段共線要求線段必須在同一直線上，而向量共線時，表示向量的有向線段可以在平行直線上，不一定在同一直線上，故A項錯誤.由于零向量與任一向量平行，因此，若，中有一個為零向量時，其方向是不確定的.故B項錯誤.由于向量與向量方向相反，所以二者是平行向量，故C項正確.單位向量的長度都相等，方向任意，而向量相等不僅需要長度相等，還要求方向相同.故D項錯誤.故選：C8．下列命題中正確的個數(shù)有（）①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對于①，若向向量與是共線向量，則，或A,，，在同條直線上，故①錯誤；對于②，因為單位向量的模相等，但是它們的方向不一定相同，所以單位向量不一定相等，故②錯誤；對于③，相等向量的定義是方向相同模相等的向量為相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因為零向量的方向是不確定的，可以是任意方向，所以相等，故③錯誤；對于④，比如共線的向量與(A,B,C在一條直線上)起點不同，則終點相同，故④錯誤.故選：．9．設為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則上述命題中，假命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，與的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題，若與平行，則與的方向相同或相反，反向時，故②③也是假命題，綜上所述，假命題的個數(shù)是3，故選D。10．以下說法正確的是（）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B．零向量沒有方向C．共線向量又叫平行向量D．若和都是單位向量，則【答案】C【解析】只要兩個向量的方向相同，模長相等，這兩個向量就是相等向量，故A錯誤，零向量是沒有方向的向量，B錯誤；共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正確；若，都是單位向量，兩向量的方向不定，D錯誤；故選：C.11．下列關于向量的結(jié)論：（1）若，則或；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則．其中正確的序號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【答案】D【解析】（1）若，由于的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正確.（2）由零向量與任何向量平行，當向量與平行時，不能得出與的方向相同或相反，故（2）不正確.（3）由向量的相等的定義，起點不同，但方