高中數(shù)學暑假初高銜接講義 .函數(shù)的奇偶性

遍歷山河，人間值得。第第頁練習主題函數(shù)的奇偶性觀察函數(shù)f(x)=x2和f(x)=(x≠0)的圖象，我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f(x)=x2的圖象關(guān)于y軸對稱，而函數(shù)f(x)=的圖象關(guān)于原點對稱.對于函數(shù)f(x)=x2，當自變量取一對相反數(shù)時，它們的函數(shù)值相等.例如：f(-2)=4=f(2)，f(-1)=1=f(1)，實際上，對于函數(shù)f(x)=x2定義域R內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=x2=f(x).這時我們稱函數(shù)f(x)=x2為偶函數(shù).對于函數(shù)f(x)=(x≠0)，當自變量取一對相反數(shù)時，它們的函數(shù)值也互為相反數(shù).例如：f(-2)==-f(2)，f(-1)=1=-f(1)，實際上，對于函數(shù)f(x)=定義域{x∣x∈R，x≠0}內(nèi)任意一個x，都有f(-x)==-f(x).這時我們稱函數(shù)f(x)=(x≠0)為奇函數(shù).奇函數(shù)的的圖像特征（幾何意義）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，那么這個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖像特征（幾何意義）如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，那么這個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).例1、判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)：（1）f(x)=x2-1；（2）f(x)=2x；（3）f(x)=；對應練習：1、函數(shù)f(x)=0(x∈R)是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2、（多選）下列說法中正確的是（）A.圖象關(guān)于坐標原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)B.圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)C.奇函數(shù)的圖象一定過坐標原點D.偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交3、如圖，表示具有奇偶性的函數(shù)圖象是（）A.B.C.D.4、函數(shù)f(x)=x2+的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)5、下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）A.f(x)=x2-2xB.f(x)=2x+1C.f(x)=x3+xD.f(x)=x3+1例2、（1）若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域為[a-1，2a]，則a=，b=.（2）若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù)，則a=.（3）已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù)，則a+b=.對應練習：1、若函數(shù)y=（3x+1）（x-a）為偶函數(shù)，則a的值為.2、已知函數(shù)f(x)=+a（a∈R）為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是．3、f（x）=ax2+bx-4a是偶函數(shù)，其定義域為[a-1，-2a]，則a=，b=.奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖像特征，我們不難得出以下結(jié)論：（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”.如若f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則f(x)在（-∞，0）上也是減函數(shù)；若f(x)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則f(x)在（-∞，0）上增減函數(shù)；（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲担〉米钪档臅r候，自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的期間數(shù)十年該取得的最值互為相反數(shù)，取得最值時，自變量也互為相反數(shù).奇、偶函數(shù)的圖象問題例3、（1）奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象如圖所示，則f(2)與f(4)的大小關(guān)系為.（2）已知f(x)是定義在[-2，0）∪（0，2]上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)的圖像如圖所示，那么f(x)的值域是.對應練習：1、已知f（x）為奇函數(shù)，其局部圖象如圖所示，那么（）A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)＞-2D.f(2)＜-22、已知y=f(x)是偶函數(shù)，y=g(x)是奇函數(shù)，它們的定義域都是[-3，3]，且它們在區(qū)間[0，3]的圖像如圖所示，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是.例4、（1）已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)的解析式；（2）已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，且當x＜0時，f(x)=x（x-1），求當x＞0時f(x)的解析式.對應練習：1、設(shè)函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)=x2-2x-3，求函數(shù)f(x)在R上的解析式．2、設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)=x3+x+1，求函數(shù)f(x)在R上的解析式．鞏固練習：1、下列四個函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A.y=2xB.y=C.y=x2-2xD.y=∣x∣2、函數(shù)f(x)=的圖像關(guān)于（）A．y軸對稱B．直線y=-x對稱C．坐標原點對稱D．直線y=x對稱3、函數(shù)f(x)=（）A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4、函數(shù)y=x∣x∣+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．不具有奇偶函數(shù)D．與p有關(guān)5、已知f(x)為奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)=x-2，則f()的值為（）A.B.C.D.6、已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù)，則實數(shù)a=（）A.-1B.1C.0

D.-27、已知定義在[m-5，1-2m]上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=x2-2x，則f（m）=A.-8B.8C.-24

D.248、已知奇函數(shù)f（x）在x≥0時的圖像如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集為（）A.（-2，-1）∪（1，2）B.（-2，-1）C.（-1，0）∪（1，2）

D.（-1，0）9、已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)=x3+2x2-1，則當x＜0時，f(x)=.10、已知函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數(shù)，則m的值是．11、若函數(shù)f（x）=（k-2）x2+（k-1）x+3是偶函數(shù)，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是.12、已知函數(shù)f（x）=，若f（a）=1，則f（-a）=.13、已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=x2+x-2，則f(x)=，g(x)=.14、已知函數(shù)