高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練四十五 9.6 利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練四十五利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)直線l的方向向量為(1,-1,1),平面α的一個(gè)法向量為(-1,1,-1),則直線l與平面α的位置關(guān)系是 ()A.l?α B.l∥αC.l⊥α D.不確定【解析】選C.因?yàn)橹本€l的方向向量為(1,-1,1),平面α的一個(gè)法向量為(-1,1,-1),顯然它們共線,所以直線l與平面α的位置關(guān)系是垂直即l⊥α.2.已知平面α,β的法向量分別為μ=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),則 ()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上都不正確【解析】選C.因?yàn)椤佟?所以μ與v不是共線向量,又因?yàn)棣獭=-2×3+3×(-1)+(-5)×4=-29≠0,所以μ與v不垂直,所以平面α與平面β相交但不垂直.3.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,點(diǎn)M在EF上且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()A.(1,1,1) B.C. D.【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上,設(shè)ME=x,所以M,因?yàn)锳,D,E(0,0,1),B(0,,0),所以=(,0,-1),=(0,,-1),=.設(shè)平面BDE的法向量n=(a,b,c),由得a=b=c.故可取一個(gè)法向量n=.因?yàn)閚·=0,所以x=1,所以M.4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為 ()A.,-,4 B.,-,4C.,-2,4 D.4,,-15【解析】選B.因?yàn)椤?所以·=0,所以3+5-2z=0,解得z=4.又因?yàn)锽P⊥平面ABC,所以⊥,⊥,所以,解得x=,y=-,所以x=,y=-,z=4.5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則·的值為 ()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2【解析】選C.如圖,設(shè)=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量兩兩夾角為60°.=(a+b),=c,所以·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)平面α與向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β與向量b=(-2,4,-8)垂直,則平面α與β位置關(guān)系是________.

【解析】因?yàn)?a=b,所以a∥b.因?yàn)槠矫姒僚c向量a垂直,所以平面α與向量b也垂直.而平面β與向量b垂直,所以α∥β.答案:平行7.如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為________.

【解析】如圖,建立空間坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),設(shè)M(0,m,2)(0≤m≤2),則=(2,1,0),=(1,-m,-2),cosθ=,令t=2-m(0≤t≤2),cosθ=×≤×=.答案:8.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為________.

【解析】不妨設(shè)CA=CC1=2CB=2,則A(2,0,0),B1(0,2,1),B(0,0,1),C1(0,2,0),所以=(-2,2,1),=(0,2,-1),所以直線BC1與直線AB1夾角θ的余弦值是cosθ===,所以直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在多面體A1B1D1DCBA中,四邊形AA1B1B,ADD1,ABCD均為正方形,E為B1D1的中點(diǎn),過A1,D,E的平面交CD1于F.(1)證明:EF∥B1C.(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.【解析】(1)因?yàn)锳1D∥B1C,A1D?平面A1DE,B1C?平面A1DE,所以B1C∥平面A1DE,又B1C?平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.(2)設(shè)正方形邊長為1,以A為原點(diǎn),分別以,,為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E是B1D1的中點(diǎn),所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0.5,0.5,1).設(shè)平面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),又=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1⊥,n1⊥得:,令s1=t1=1,則n1=(-1,1,1),設(shè)平面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),又=(1,0,0),=(0,1,-1),同理可得:n2=(0,1,1),所以結(jié)合圖形可得二面角E-A1D-B1的余弦值為==.10.(2018·黃岡模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥CD.(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論.(3)求DB與平面DEF所成角的正弦值.【解析】以DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),設(shè)DA=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,P(0,0,a).(1)因?yàn)椤?·(0,a,0)=0,所以EF⊥CD.(2)點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)時(shí),滿足題意,理由如下:設(shè)G(x,0,z),則G∈平面PAD,=,·=·(a,0,0)=a=0,所以x=,·=·(0,-a,a)=az=0,所以z=0,所以G點(diǎn)坐標(biāo)為,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn).(3)設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z).由得,即,取x=1,則y=-2,z=1,得n=(1,-2,1).cos<,n>===,因?yàn)镈B與平面DEF所成角的正弦值sinα=|cos<,n>|所以,DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為.(20分鐘40分)1.(5分)如圖,點(diǎn)C在圓錐PO的底面圓O上,AB是直徑,AB=8,∠BAC=30°,圓錐的母線與底面成的角為60°,則點(diǎn)A到平面PBC的距離為 ()A. B.2C. D.【解析】選C.如圖,過點(diǎn)O作AB的垂線Ox,以O(shè)x,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4).設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則m·=0,m·=0,所以2x+2y=0,-4y+4z=0,所以y=z=-x,所以取m=(-1,,1),因?yàn)?(0,4,4),所以d===,所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為.2.(5分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD∥BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1.在線段PD上存在一點(diǎn)M,使得CM⊥PA,則PM的長為 ()A. B.3 C. D.【解析】選C.因?yàn)樵谔菪蜛BCD中,AD∥BC,AD⊥AB,所以BC⊥AB.因?yàn)镻B⊥平面ABCD,所以PB⊥AB,PB⊥BC,如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).設(shè)=λ=(3λ,3λ,-3λ),所以=+=(-1+3λ,3λ,3-3λ),所以·=-9λ+3(3-3λ)=0,解得λ=,所以存在點(diǎn)M,且PM=PD=.3.(5分)給出下列命題:①直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=,則l與m垂直;②直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥α;③平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥β;④平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1.其中真命題是________.(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)

【解析】對(duì)于①,因?yàn)閍=(1,-1,2),b=(2,1,-),所以a·b=1×2-1×1+2×=0,所以a⊥b,所以直線l與m垂直,①正確;對(duì)于②,a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),所以a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,所以a⊥n,所以l∥α或l?α,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,因?yàn)閚1=(0,1,3),n2=(1,0,2),所以n1與n2不共線,所以α∥β不成立,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,所以,即,則u+t=1,④正確.綜上,真命題的序號(hào)是①④.答案:①④4.(12分)如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),PA=AB=1,BC=2.求證: (1)EF∥平面PAB.(2)平面PAD⊥平面PDC.【證明】(1)以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E,F,=,=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).因?yàn)?-,所以∥,即EF∥AB,又AB?平面PAB,EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)因?yàn)椤?(0,0,1)·(1,0,0)=0,·=(0,2,0)·(1,0,0)=0,所以⊥,⊥,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A,所以DC⊥平面PAD.因?yàn)镈C?平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.5.(13分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1. (1)求證:面PAC⊥面PCD.(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE∥面PAB?若存在,請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥面ABCD,PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°,所以AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又因?yàn)镻A⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥面PAC,CD?平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.(2)分別