曲靖市重點(diǎn)中學(xué)2022年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.集合A={-2,-1,1},3={4,6,8},M={x\x^a+b,b^B,x^B}，則集合M的真子集的個(gè)數(shù)是

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.7個(gè)

2.如圖，在四邊形ABC。中，AB=1,BC=3,ZABC=120°,ZACD=90°,ACDA=6Q°,則5。的長(zhǎng)度

為（）

B.273

c.373D.迪

3

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題：“今有鱉臊（加々〃曲），下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣；高七尺.問(wèn)積

幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為（）

4

A.90"平方尺B.180不平方尺

C.360萬(wàn)平方尺D.135&U萬(wàn)平方尺

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積等于（)cm3

B,且lua,mu/3,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若。///?,貝!J"nB.若貝（J/Lm

C.若則。，分D.若。_!_/?,則7〃J_a

6.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)

學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太

陽(yáng)光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表:

黃赤交角23。4r23°57'24°13,24。28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

7.已知某口袋中有3個(gè)白球和。個(gè)黑球（aeN*），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是

白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是之若EJ=3,則。J=

)

13

A.-B.1C.-D.2

22

8.音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他

證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如asin/zx的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是

基本音，其余的為泛音.由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下

列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sinl8000(V構(gòu)成樂(lè)音的是()

A.y-0.02sin360000?B.y=0.03sin180000/C.y=0.02sin181800/

D.y=0.05sin540000?

9.已知點(diǎn)居為雙曲線C:1-匕=1(。〉0)的右焦點(diǎn)，直線>=區(qū)與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，若=—,則

a43

的面積為()

AF2B

A.242B.2gC.4A/2D.4若

10.集合A=>2,xe,3={耳公_2x—3>o},則AB=()

A.B.(3,”C.(2,+s)D.(2,3)

11.計(jì)算log?fsin:cos等于()

3322

A.B.-C.——D.-

2233

12.已知函數(shù)/(x)=x+a2,g(x)=lnx-4a-2r,若存在實(shí)數(shù)%,使/(Xo)-g(xo)=5成立，則正數(shù)。的取

值范圍為()

A.(0,1]B.(04]C.[L+oo)D.(0,ln2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.近年來(lái)，新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場(chǎng)上影響力不斷增大.動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新

能源汽車的核心技術(shù)，它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動(dòng)

力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新

能源汽車已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為.

21,,_

14.已知％>0,V>0,且一+—=1,若x+2y>nr+2〃z恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

%y

15.已知圓C：f+v+gx+ay—5=0經(jīng)過(guò)拋物線E：必=4丁的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長(zhǎng)是

16.若直線近-丫-左+2=。與直線x+6一2左一3=0交于點(diǎn)p,則O尸長(zhǎng)度的最大值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

11

x=—+—COStt,

42

17.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C的參數(shù)方程是，是參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸的正

V31.

y=-----1—sina

42

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)在曲線C上取一點(diǎn)"，直線繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?，交曲線C于點(diǎn)N,求|OM|?|ON|的最大值.

18.(12分)如圖，在四面體ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若/C4D=30。，二面角C—A6—。為60，求異面直線AD與8C所成角的余弦值.

19.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)，高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保

護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理

科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再?gòu)倪@10人的興趣小組中抽出4

人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.

(1)設(shè)事件A為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有“，求事件A發(fā)

生的概率；

(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(12分)如圖，設(shè)A是由〃X”個(gè)實(shí)數(shù)組成的"行”列的數(shù)表，其中劭①六1,2,3,…，〃)表示位于第i行第，

列的實(shí)數(shù)，且劭e{1,-1}.記5(",〃)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于Ae(九，n),記方⑷為A的第i行各數(shù)之積,

nn

Cj⑷為A的第j列各數(shù)之積.令/(A)=ZMA)+(A)

i=lJ=1

anan???Clin

?21anam

????????????

???

Clnlan2Clnn

(I)請(qǐng)寫出一個(gè)AeS(4,4),使得/(A)=0；

(II)是否存在AeS(9,9),使得(4)=0?說(shuō)明理由；

(DI)給定正整數(shù)”，對(duì)于所有的AeS(〃，n),求44)的取值集合.

21.(12分)4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開(kāi)展了一系列的讀書教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，

采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生

參加問(wèn)卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

小組甲乙丙丁

人數(shù)12969

(1)從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來(lái)自同一個(gè)小組的概率；

(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

、C[x=cos0

22.(10分)在直角坐標(biāo)系/中，已知直線/的直角坐標(biāo)方程為y=33x，曲線G的參數(shù)方程為，,八(。為

-31y=l+sin。

TT

參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為夕=4sin(e+§).

(1)求曲線G和直線/的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線/與曲線G、G相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)A，3,若A,8的極徑分別為8,p2,求，-夕21的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由題意，結(jié)合集合A,3,求得集合"，得到集合〃中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，集合A={—2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

則"={x|x=a+b^fceA,/?eB,xeB}=14,6},

所以集合M的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合再由真子集個(gè)數(shù)

的公式2〃-1作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

2.D

【解析】

設(shè)NAC5=a,在AABC中，由余弦定理得4^=10-6cosl20。=13，從而求得CD,再由由正弦定理得

ABAC

——=--------，求得sin。，然后在ABCD中，用余弦定理求解.

sin。sin120

【詳解】

設(shè)NAC5=a,在AABC中，由余弦定理得AC?二3一6cosl20。=13，

則AC=Ji3，從而

由正弦定理得坐-=A。，即sina=q^,

sin<7sin120°2J13

-J2

從而cos/BCD=cos（90°+a）=-sina=——，

'）2V13

1349

在AflCD中，由余弦定理得：BD~=9+—+2x3%

3T

則如半

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外

接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).

【詳解】

由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐P-ABC,。為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此

三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以。為PC的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為R,則

R2=QP。=^(AB2+BC2+PA2)=^(42+52+72)-y，所以外接球的表面積S=4萬(wàn)普=4萬(wàn)義?=90萬(wàn)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半

徑，屬于中檔題.

4.D

【解析】

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，

/\?//

/.卜、y

/Sf.?,/

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：

1

V=V三棱柱+V半圓柱=」^x2x2xl+—(6+1.57：)cm.

一22

故答案為6+1.5九.

點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.

5.C

【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,若?！ǚ郑瑒t/，根可能為平行或異面直線，4錯(cuò)誤；

對(duì)于3,若則/，機(jī)可能為平行、相交或異面直線，3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若I工0,且/ua,由面面垂直的判定定理可知。，，，C正確；

對(duì)于。，若。，尸，只有當(dāng)加垂直于名，的交線時(shí)才有機(jī)，。，。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.

6.D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤

交角，即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】

解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為a,春秋分日光與垂直線夾角為￡,

則e-尸即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角,

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:

.16,016—9.4,,

貝nUtana=—=1.6,tanB=----------=0.66,

1010

,八、tan?-tanB1.6-0.66八

tan(a-/3)=----------------=----------------?0.457.

1+tana?tan(3l+1.6x0.66

0.455<0.457<0.461,

估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，運(yùn)用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

7.B

【解析】

由題意4=2或4,則—3甘+(4—3)2]=1,故選B.

8.C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得力=班(〃eN*),利用/=l=*可得用=加%("eN*),即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波，

由/=工=/,可知若力=*(〃eN*),則必有助=n①,(”eN*),

T2"

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.

9.D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接A耳,8耳，由對(duì)稱性可知四邊形公耳3鳥是平行四邊形，

2

設(shè)|M=、|傷|=2，4c=+^-2t[r2cosy,求出帆的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接A耳,8月，

由對(duì)稱性可知四邊形A耳5工是平行四邊形，

7T

所以S,AFiF2=SAF2B,ZF1AF2=—.

設(shè)1"口,座$2,則4c,上+zfc嗚-勺

又|?-目=2。.故,馬=4/72=16,

所以sAF用=3八弓sing=46.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

10.A

【解析】

計(jì)算6=(—1)_(3,轉(zhuǎn))，再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】

B=-2x-3>oj=(-00,-l)o(3,+oo),A=2,xe,故AB=(3,-H?).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.

11.A

【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

V21

\f271-23

原式=log2xcos2TI--=log——xcos=log-------X—=1嗚22=--

2l3223222

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)及滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形。2。+4e2-與=10%+5-王0,構(gòu)造函數(shù)/z(%)=hx+5—%,并由

導(dǎo)函數(shù)求得〃(%)的最大值；由基本不等式可求得a.2%+4a?2』的最小值，結(jié)合存在性問(wèn)題的求法，即可求得正數(shù)。

的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)/(%)=%+。,2工，g(x)=lnx—4a.2』,

由題意得了(Xo)_g(x())=A0+a-2%-lnx0+4?-2-^-5,

即a,2A()+4〃?2"=IILXQ+5—,

令/i(x)=lnx+5—x,

hix)=——1=-~,

xx

???/z(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+8)上單調(diào)遞減，

???秋)吟=%⑴=4，而。.2%+4a.2,22a也為42%=4a-

當(dāng)且僅當(dāng)2%=4-2/，即當(dāng)面=1時(shí)，等號(hào)成立，

?*.4?<4,

0<a<1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13.—

17

【解析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件5,即求條件概率:

P(B\A),由條件概率公式即得解.

【詳解】

記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件比

即求條件概率：P⑻潸號(hào)

7

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題考查了條件概率的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(-4,2)

【解析】

試題分析：因?yàn)閤+2y=(x+2y)(Z+』)=4+公+224+2、也義二=8當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，所以

xyxyyxy

m2+2m<8=>—4<m<2

考點(diǎn)：基本不等式求最值

15.476

【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出。的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出弦心距，利

用勾股定理可以求出弦長(zhǎng)的一半，進(jìn)而求出弦長(zhǎng).

【詳解】

拋物線E：必=4'的準(zhǔn)線為y=-l,焦點(diǎn)為(0,1),把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得。=4,所以圓心的坐標(biāo)為

(-4,-2),半徑為5,則圓心到準(zhǔn)線的距離為1,

所以弦長(zhǎng)=2A/52-12=4A/6-

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長(zhǎng)公式.

16.272+1

【解析】

根據(jù)題意可知，直線y-左+2=0與直線%+6—2左—3=0分另U過(guò)定點(diǎn)，且這兩條直線互相垂直，由此可知，其交

點(diǎn)P在以A5為直徑的圓上，結(jié)合圖形求出線段OP的最大值即可.

【詳解】

由題可知,直線/左+2=0可化為左(x_l)+2_y=0,

所以其過(guò)定點(diǎn)4(1,2),

直線%+份一2左一3=0可化為》一3+左(丁一2)=0,

所以其過(guò)定點(diǎn)5(3,2)，且滿足左?1+(―1)?攵=0,

所以直線區(qū)一,一左+2=。與直線為+外一2左一3=0互相垂直，

其交點(diǎn)P在以A6為直徑的圓上，作圖如下:

結(jié)合圖形可知，線段0尸的最大值為+

因?yàn)镃為線段AB的中點(diǎn)，

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C（2,2）,

所以線段OP的最大值為2夜+1.

故答案為：2拒+1

【點(diǎn)睛】

本題考查過(guò)交點(diǎn)的直線系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定

義得到交點(diǎn)尸在以A6為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)p=sin(0+：j(2)最大值為"I

【解析】

（1）利用sin2o+cos2（z=l消去參數(shù)々，求得曲線C的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得|OM|?|ON|的表達(dá)式，并利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)最值的求

法，求得|OM|?|ON|的最大值.

【詳解】

11

x=—+—coscr,

4/消去a得曲線c的普通方程為x2+y2—Lx—@y=o.

(1)由＜

V31.22-

y=——+—sma,

42

所以C的極坐標(biāo)方程為叱當(dāng)inO+；c°s。，

即p=sin[o+/J.

(2)不妨設(shè)Af(pi，6),N[?，"。]，夕1〉°，夕2〉0，6e[0,2萬(wàn))，

則

IOM|?|ON|=pg=sin^0+-sin+^+y=sin^+^cos0=曰sin61+；cos61-cos，

=^-sin20+—cos20+—=7sin(2，+/1+：

4442I4

JT3

當(dāng)。=。時(shí)，|OM|?|ON|取得最大值，最大值為一.

64

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)系下線段長(zhǎng)度的乘積的最值的求法，

考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵立

6

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)P，連接ED,F8,得DBLAC,/RLBC,可得石4=EB=PC,

可證DFA^ADFB,可得DFLFB,進(jìn)而D-，平面ABC,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)E,G,〃分別為邊A瓦的中點(diǎn)，連DE,EF,GF,FH,HG,可得GN/MD,GH//BC,EF//BC,

可得NFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AO與所成的角，BC1AB,可得石A3,NDEF為二面角C—AB—D

的平面角，即NDEb=60，設(shè)AD=a,求解MGH,即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點(diǎn)色連接ED,EB,

由ZM=DC,則

ABLBC,則以=用=尸。，

JT

故DFA^DFB,NDFB=NDFA=一,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC_L平面ACD

（2）解法一:設(shè)G,H分別為邊8,8。的中點(diǎn)，

則/G/MD.GH/ABC,

ZFGH（或補(bǔ)角）是異面直線AQ與所成的角.

設(shè)E為邊的中點(diǎn)，則ER/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由（1）有。尸，平面A8C,，。尸，A3,

EFDF=F,AB，平面DEF,;.DE，AB.,

所以NDEF為二面角C—AB—D的平面角，.?./￡＞跳'=60，

設(shè)。4=。。=。3=4,則￡）歹=4￡>./010=0

2

在RtADEF中,￡F=---=—a

236

從而GH=LBC=EF=?a

26

在HfVBD尸中，F(xiàn)H=-BD=-

22

又BG=LAD=@,

22

從而在.FGH中,因FG=FH,

%HA

cosZFGH=2——=—

FG6

因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為立

6

H

解法二:過(guò)點(diǎn)尸作械，AC交AB于點(diǎn)M,

由(1)易知尸。,尸。,刊0兩兩垂直，

以P為原點(diǎn)，射線引％尸。,尸。分別為x軸,

y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系歹-孫z.

不妨設(shè)4)=2,由Cr>=AD,NC4D=30°,

易知點(diǎn)A,C,。的坐標(biāo)分別為A(0,—g,0),C(0,G,0),￡>(0,0,1)

則A￡>=(O,A1)

顯然向量上=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C—AB—。為60。，

設(shè)凡0),則療+〃2=3,AB=(根,”+6,0)

設(shè)平面ABD的法向量為n=(%,y,z),

fAD-n=0[6>+z=0

則〈/r\

AB-n=Qrwc+(〃+13)y=0

令y=i,貝!!〃=-----,1,-A/3

m

由上式整理得9n2+2島—21=0,

解之得〃=-君(舍)或〃=迪

9

J4c7百),.°/±延地]

:.B士---,----,U

99199J

2

ADCB

cos<AD,CB>|=§N

AD^CB06

2x-----

3

因此，異面直線AO與8C所成角的余弦值為

6

【點(diǎn)睛】

本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空

間角對(duì)應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

4

19.(1)—;(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可(2)由超

幾何分布求解即可

【詳解】

(1)因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人，該年級(jí)分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，

文科男生1人，女生3人.

所以小二△4

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

C4-C°1

P（X=0）=

*~6,

P（X=1）=cc

4~2,

Hco

C7C3_3_

P（X=2）=

4-,

Hcoio

c；?c；1

P（X=3）=

4-,

Hco30

X的分布列為

X0123

]_j_31

P

62To30

EX=0x-+lx-+2x—+3x-

6210305

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題

20.(I)答案見(jiàn)解析；(II)不存在,理由見(jiàn)解析；(皿){2(n-2k)\k=0,l,2,...,n}

【解析】

(I)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意；

(II)用反證法證明：假設(shè)存在，得出矛盾，從而證明結(jié)論；

(III)通過(guò)分析正確得出/(A)的表達(dá)式，以及從Ao如何得到4,A2……，以此類推可得到4.

【詳解】

(I)答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.

-1-1-1-1

1111

1111

1111

(II)不存在AeS(9,9),使得/(A)=0,證明如下：

假如存在AeS(9,9),使得/⑷=0.

因?yàn)槌緼)e{l,—1},Cj(A)e{—=l,2,3,...,9),

所以4(A),r2(A),4(A),q(A),c2(A),c1,(A)這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.

令A(yù)f=ZJ(A)-^(A)...^(A)-C1(A)-C2(A)...C9(A).

一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而"=(—1)9=—1①，

另一方面，彳(A)/(A)…弓(⑷表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為機(jī))；

。1(4＞。2(4)...。9(4)也表示機(jī)，從而M=m2=1@，

①，②相矛盾，從而不存在AeS(9,9),使得/(A)=0.

cm)記這“2個(gè)實(shí)數(shù)之積為

一方面,從“行”的角度看,有刀=/A)尖(A)…G(A)；

另一方面，從“列”的角度看，有p=q(A>C2(A)…c”(A)；

從而有彳(A)?&(A)...rn(A)=q(A)-c2(A)...c?(A)③，

注意到虱A)e{1,-1},c/A)e{1,-1](1<Z<n,l<j<n),

下面考慮式A),1A),下A),q(A),C2(A),%(A)中-1的個(gè)數(shù)，

由③知，上述In個(gè)實(shí)數(shù)中，-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為2kg<k<n),則1的個(gè)數(shù)為2n-2k,

所以/(A)=(-1)x2左+1x(2"-2左)=2(〃一2左)，

對(duì)數(shù)表A)-aij=l(?,J=l,2,3,...,n),顯然/(4)=2〃.

將數(shù)表4中的勺由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A，顯然/(A)=2"-4,

將數(shù)表A中的。22由1變?yōu)?1，得到數(shù)表4,顯然/(&)=2〃—8,

依此類推，將數(shù)表Ai中的。麻由1變?yōu)橐?,得到數(shù)表4,

即數(shù)表4滿足：0n=。22=-=%-=T("kW”)，其余%?=1，

所以/(A)=4(A)=...=rk(A)=-1,q(A)=02(A)=...=q(A)=-1,

所以/(&)=2[(—l)x左+(〃一左)]=2〃-4左，

由化的任意性知，/(A)的取值集合為{2(〃—2幻|左=0,1,2,…，川.

【點(diǎn)睛】

本題為數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用題，考查數(shù)學(xué)分析與思考能力及推理求解能力，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)引入的概念與