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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,故對應(yīng)的點為,在第三象限,故選:C2.已知雙曲線的方程為,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知,,所以,所以該雙曲線的離心率為.故選:C3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù),將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,去掉第一個數(shù)和最后一個數(shù)后,則下列統(tǒng)計量一定不變的是()A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.方差 D.極差〖答案〗B〖解析〗現(xiàn)有一組數(shù)據(jù),將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為,去掉第一個數(shù)和最后一個數(shù)后為.原平均數(shù)為,刪除后平均數(shù)為,不一定相等,故A不正確;根據(jù)中位數(shù)的定義可知,中位數(shù)不會發(fā)生改變,故B正確;因為最小的數(shù)據(jù)變大,最大的數(shù)據(jù)變小,其余數(shù)據(jù)不變,方差的意義是新數(shù)據(jù)與新平均值的波動情況,不能確定不變,故C不正確.原極差為,刪除后極差為,不一定相等,故D不正確.故選:B.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,則()A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗C〖解析〗記數(shù)列的公比為,由題知,則,所以.故選:C5.的展開式中的系數(shù)為()A. B.5 C. D.10〖答案〗A〖解析〗的展開式通項為,則的展開式中項為,所以的展開式中的系數(shù)為.故選:A6.已知拋物線的焦點為F,O為原點,直線與該拋物線交于M,N兩點,且,則()A.12 B.13 C.14 D.15〖答案〗B〖解析〗設(shè),將直線與拋物線聯(lián)立,消去有:,有,則,由于,因此,即,得到,因此,由于拋物線中,拋物線上點到焦點距離等于到準線的距離,因此.故選:B7.已知正數(shù)m,n滿足,則的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗因m,n為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因為,所以,在等式兩邊同時乘以,可得:,即,解得.當(dāng)且僅當(dāng)時,即當(dāng)時,取得最大值8.故選:D8.已知數(shù)列的前n項和為,且滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為,所以,,且,所以,記,則,所以,所以是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,,記的前n項和為,則.故選:A二、選擇題9.已知a,b,c為三條不同的直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則〖答案〗AC〖解析〗對于A,因為,所以,又,,所以,所以,A正確;對于B,當(dāng)時,直線不一定垂直于,B錯誤;對于C,由面面平行的判定定理可知,C正確;對于D,由面面垂直性質(zhì)定理可知,若直線時,直線不一定垂直于,D錯誤.故選:AC10.已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.函數(shù)的一個周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)為偶函數(shù),則的最小值為D.若,其中為銳角,則的值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A,因為,所以的最小值周期,所以是函數(shù)的一個周期,A正確;對于B,因為,所以,點不是函數(shù)的對稱中心,B錯誤;對于C,由題知,,若函數(shù)為偶函數(shù),則,得,因為,所以的最小值為,C正確;對于D,若,則,因為為銳角,,所以,所以,D正確.故選:ACD11.二進制是計算機技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制,二進制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù),它的基數(shù)為2,進位規(guī)則是“逢二進一”,借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”,由18世紀德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn).當(dāng)前的計算機系統(tǒng)使用的基本都是二進制系統(tǒng),數(shù)據(jù)在計算機中主要以補碼的形式存儲,我們用表示十進制數(shù)n在二進制下的數(shù)字各項之和(例如:,則十進制數(shù)5的二進制數(shù)為101,),則下列說法正確的是()A.十進制數(shù)25的二進制數(shù)為1101 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A,,A錯誤;對于B,因為,所以十進制數(shù)100的二進制數(shù)為1100100,所以,B正確;對于C,設(shè),則,則,所以,C正確;對于D,因為,所以,D正確.故選:BCD三、填空題12.圓與圓的公切線的方程為_______.〖答案〗〖解析〗圓的圓心為,半徑為1,圓的圓心為,半徑為6,因為,所以兩圓內(nèi)切,只有一條公切線,將圓化為一般式得:,,兩式相減得,即,所以圓的公切線的方程為.故〖答案〗為:13.已知向量,若,則在上的投影向量為__________.〖答案〗〖解析〗因為,所以,又,所以,解得,因為,所以在上的投影向量為.故〖答案〗為:14.甲、乙兩人進行乒乓球比賽,每局比賽11分制,若比分打到時,需要一人比另一人多得兩分,比賽才能結(jié)束.已知甲贏得每一分的概率為,在兩人的第一局比賽中,兩人達到了,此局比賽結(jié)束時,兩人的得分總和為n,則此時的概率__________.〖答案〗〖解析〗因為比賽結(jié)束時,兩人的得分總和為n,其中且兩人的得分的差的絕對值為,所以,且為偶數(shù),所以當(dāng),時,,當(dāng)時,,當(dāng),且偶數(shù)時,若甲贏得比賽,則最后兩局比賽甲勝,余下比賽中,第21球開始,奇數(shù)球與其之后的偶數(shù)球均為甲乙一勝一負,所以事件甲贏得比賽的概率為,同理乙贏得比賽的概率為,所以,時,的值也符合關(guān)系,所以,,,故〖答案〗為:.四、解答題15.已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)證明:.(1)解:的定義域為,因為,所以曲線在點處的切線斜率為,又,所以切線方程為,即.(2)證明:,令,則,因為,所以存在,使得,即,易知在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時,取得最小值:,由二次函數(shù)性質(zhì)可知,在上單調(diào)遞減,所以,即,所以.16.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點D為邊上一點,且滿足.(1)證明:;(2)若為內(nèi)角A的平分線,且,求.(1)證明:記的中點為,則,因為,所以,所以為的垂直平分線,所以.(2)解:記,因,所以,所以,,又為內(nèi)角A的平分線,所以,,在中,分別由余弦定理得:,聯(lián)立可得,在中,由余弦定理得,所以.17.如圖,在三棱錐中,是邊長為2的等邊三角形,且平面平面.(1)求三棱錐體積的最大值;(2)若,點E為線段上一點,當(dāng)二面角為時,求的值.解:(1)記BD的中點為O,連接OC,AO,因為為正三角形,所以,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因為,所以,記,則,三棱錐體積,當(dāng)時,三棱錐體積取得最大值.(2)記BC,CD的中點分別為F,H,連接OF,OH,則,又,所以,由(1)知平面,平面,所以,以O(shè)為原點,的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,因為,所以,則,,,設(shè),則,設(shè)為平面的法向量,則,取,則,易知,為平面的一個法向量,因為二面角為,所以,即,解得,所以.18.已知點分別為橢圓的左、右焦點,過的直線l(斜率不為0)交橢圓C于P,Q兩點,當(dāng)直線l的斜率不存在時,.(1)求橢圓C的離心率;(2)若點A,B分別為橢圓C的左、右頂點,且面積的最大值為,直線與直線相交于點M,求的取值范圍.解:(1)令,得,解得,所以,,即,整理得,解得(舍去)或.(2)易知,當(dāng)點在短軸端點時,的面積最大,所以,解得,所以,橢圓C的方程為.易知,直線的斜率不為0,設(shè)其方程分別為:,,聯(lián)立,解得,所以,由斜率公式可得,所以,,因,所以,,所以,,聯(lián)立得,,所以,不妨記,,則,所以,易知,,所以所以,即的取值范圍為.19.在某項投資過程中,本金為,進行了次投資后,資金為,每次投資的比例均為x(投入資金與該次投入前資金比值),投資利潤率為r(所得利潤與當(dāng)次投入資金的比值,盈利為正,虧損為負)的概率為P,在實際問題中會有多種盈利可能(設(shè)有n種可能),記利潤率為的概率為(其中),其中,由大數(shù)定律可知,當(dāng)N足夠大時,利潤率是的次數(shù)為.(1)假設(shè)第1次投資后的利潤率為,投資后的資金記為,求與的關(guān)系式;(2)當(dāng)N足夠大時,證明:(其中);(3)將該理論運用到非贏即輸?shù)挠螒蛑?,記贏
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