高中數(shù)學(xué)人教A版必修二第二章《 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》學(xué)案

【三維設(shè)計(jì)】2015高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版必修22．1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2．1.1平面平面[提出問題]寧?kù)o的湖面、海面；生活中的課桌面、黑板面；一望無(wú)垠的草原給你什么樣的感覺？問題1：生活中的平面有大小之分嗎？提示：有．問題2：幾何中的“平面”是怎樣的？提示：從物體中抽象出來(lái)的，絕對(duì)平，無(wú)大小之分．[導(dǎo)入新知]1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．幾何里的平面是無(wú)限延展的．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．如圖①.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來(lái)．如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑難]幾何里的平面有以下幾個(gè)特點(diǎn)(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒有邊界的；平面的基本性質(zhì)[提出問題]問題1：若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系？提示：在桌面上．問題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車？提示：撐腳和自行車的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上．問題3：兩張紙面相交有幾條直線？提示：一條．[導(dǎo)入新知]平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號(hào)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l[化解疑難]從集合角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示；(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示；(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化[例1]根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.[解](1)點(diǎn)P∈直線AB；(2)點(diǎn)C?直線AB；(3)點(diǎn)M∈平面AC；(4)點(diǎn)A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.[類題通法]三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．[活學(xué)活用]1．根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.解：(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖(1)；(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖(2)；(3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖(3)．點(diǎn)、線共面問題[例2]證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．[解]已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．證法1：(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．證法2：(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1、l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2、l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．[類題通法]證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”．[活學(xué)活用]2．下列說法正確的是()①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面④兩條平行線確定一個(gè)平面A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：選C不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．圓上三個(gè)點(diǎn)不會(huì)在同一條直線上，故可確定一個(gè)平面，∴①不正確，②正確．當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面，③不正確．根據(jù)平行線的定義知，兩條平行直線可確定一個(gè)平面，故④正確.共線問題[例3]已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．[證明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．[類題通法]點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．[活學(xué)活用]3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1證明：如下圖所示，連接A1B，CD1.顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1?平面A1BCD1.同理BD1?平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C?平面A1BCD1∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線．eq\a\vs4\al(,,2.證明三線共點(diǎn)問題)[典例]如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．[解題流程]欲證EF、GH、BD交于一點(diǎn)，可先證兩條線交于一點(diǎn)，再證此點(diǎn)在第三條直線上.由DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3可得GE∥FH且GE≠FH，即EFHG是梯形，由此得到GH與EF交于一點(diǎn)．證明E、F、H、G四點(diǎn)共面→EFHG為梯形→GH和EF交于一點(diǎn)O→證O∈平面ABD→O∈平面BCD→平面ABD∩平面BCD＝BD→O∈BD→得出結(jié)論.[規(guī)范解答]因?yàn)镋，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，所以GE∥AC.又因?yàn)镈F∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，從而FH∥GE.∴GE≠FH.(4分)故E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．又因?yàn)镚E＝eq\f(1,2)AC，F(xiàn)H＝eq\f(2,5)AC，所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形，設(shè)GH和EF交于一點(diǎn)O.(6分)因?yàn)镺在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O(shè)在這兩平面的交線上，而這兩個(gè)平面的交線是BD，(9分)且交線只有這一條，所以點(diǎn)O在直線BD上．(10分)這就證明了GH和EF的交點(diǎn)也在BD上，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)．(12分)[名師批注]如何證明四點(diǎn)共面？,根據(jù)公理2的推論可知，本題可利用HF∥GE即可確定E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面.為什么GH和EF交于一點(diǎn)？,因?yàn)镋，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面，且GE綊eq\f(1,2)AC，HF綊eq\f(2,5)AC，所以GE∥HF且GE≠HF，即EFHG為梯形，梯形兩腰延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn).怎樣確定第三條直線也過交點(diǎn)？只要證明交點(diǎn)在第三條直線上，這條直線恰好是分別過GH和EF的兩個(gè)平面的交線.[活學(xué)活用]如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上．證明：∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF?平面ABD，GH?平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴點(diǎn)P在直線BD上．[隨堂即時(shí)演練]1．若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作()A．Q∈b∈β B．Q∈b?βC．Q?b?β D．Q?b∈β解析：選B∵點(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上，∴Q∈b.又∵直線b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β.2．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對(duì)解析：選C若三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，則兩平面可能相交；若這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，則這兩個(gè)平面重合．3．下列對(duì)平面的描述語(yǔ)句：①平靜的太平洋面就是一個(gè)平面；②8個(gè)平面重疊起來(lái)比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚；③四邊形確定一個(gè)平面；④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合，它當(dāng)然是一個(gè)無(wú)限集．其中正確的是________．解析：序號(hào)正誤原因分析①×太平洋面只是給我們以平面的形象，而平面是抽象的，且無(wú)限延展的②×平面是無(wú)大小、無(wú)厚薄之分的③×如三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)相連的四邊形不能確定一個(gè)平面④√平面是空間中點(diǎn)的集合，是無(wú)限集答案：④4．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C5．將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言．(1)a?α，b∩α＝A，A?a.(2)α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”，正確的是()A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l?α解析：選B注意點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面之間的關(guān)系是元素與集合間的關(guān)系，直線與平面之間的關(guān)系是集合與集合間的關(guān)系．2．(2012·福州高一檢測(cè))下列說法正確的是()A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．四邊形是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面解析：選DA錯(cuò)誤，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．B錯(cuò)誤，一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．C錯(cuò)誤，四邊形不一定是平面圖形．D正確，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面．3．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．1或3解析：選D若三條直線兩兩相交共有三個(gè)交點(diǎn)，則確定1個(gè)平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)時(shí)，可能確定3個(gè)平面．4．下列推斷中，錯(cuò)誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合解析：選CA即為直線l上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)；B即為兩平面的公共點(diǎn)在公共直線上；D為不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故D也對(duì)．5．在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上解析：選A點(diǎn)M一定在平面ABC與平面CDA的交線AC上．二、填空題6．(2012·福州高一檢測(cè))線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是________．解析：因?yàn)榫€段AB在平面α內(nèi)，所以A∈α，B∈α.由公理1知直線AB?平面α.答案：直線AB?平面α7．把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上．(1)A?α，a?α________.(2)α∩β＝a，P?α且P?β________.(3)a?α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.解析：(1)圖C符合A?α，a?α(2)圖D符合α∩β＝a，P?α且P?β(3)圖A符合a?α，a∩α＝A(4)圖B符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，B∈α，點(diǎn)C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，設(shè)過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的平面為平面γ，則β∩γ＝________.解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)C∈β，且點(diǎn)C∈γ，所以C∈β∩γ.因?yàn)辄c(diǎn)R∈AB，所以點(diǎn)R∈γ，又R∈β，所以R∈β∩γ，從而β∩γ＝CR.答案：CR三、解答題9．求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面．證明：如圖所示，因?yàn)閍∥b，由公理2可知直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α.因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α.又因?yàn)锳∈l，B∈l，所以由公理1可知l?α.因?yàn)閎∥c，所以由公理2可知直線b與c確定一個(gè)平面β，同理可知l?β.因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l，且l∩b＝B，而由公理2的推論2知：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，所以平面α與平面β重合，所以直線a，b，c和l共面．10．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線．證明：如圖．(1)連接B1D1.∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E(2)正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ.故P，Q，R三點(diǎn)共線．2．1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間兩直線的位置關(guān)系[提出問題]立交橋是伴隨高速公路應(yīng)運(yùn)而生的．城市的立交橋不僅大大方便了交通，而且成為城市建設(shè)的美麗風(fēng)景．為了車流暢通，并安全地通過交叉路口，1928年，美國(guó)首先在新澤西州的兩條道路交叉處修建了第一座苜蓿葉形公路交叉橋.1930年，芝加哥建起了一座立體交叉橋.1931年至1935年，瑞典陸續(xù)在一些城市修建起立體交叉橋．從此，城市交通開始從平地走向立體．問題1：在同一平面內(nèi)，兩直線有怎樣的位置關(guān)系？提示：平行或相交．問題2：若把立交橋抽象成一直線，它們是否在同一平面內(nèi)？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行．問題3：觀察一下，教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側(cè)所在直線，是否也具有類似特征？提示：是．[導(dǎo)入新知]1．異面直線(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法2．空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)[化解疑難]1．對(duì)于異面直線的定義的理解異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．注意異面直線定義中“任何”兩字，它指空間中的所有平面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過a、b兩條直線．例如，如圖所示的長(zhǎng)方體中，棱AB和B1C1所在的直線既不平行又不相交，找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過這兩條棱所在的直線，故AB與B1C2．空間兩條直線的位置關(guān)系①若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度來(lái)看，可分為兩類：直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線，,無(wú)公共點(diǎn)——\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線，,異面直線.))))②若從是否共面的角度看，也可分兩類：直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線，,平行直線，)),不共面直線：異面直線.))平行公理及等角定理[提出問題]1．同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行．空間中是否有類似規(guī)律？提示：有．觀察下圖中的∠AOB與∠A′O′B′.問題2：這兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位置關(guān)系？提示：分別對(duì)應(yīng)平行．問題3：測(cè)量一下，這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何？提示：相等．[導(dǎo)入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性．(2)符號(hào)表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.2．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)異面直線所成的角θ的取值范圍：0°＜θ≤90°.(3)當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.[化解疑難]對(duì)平行公理與等角定理的理解公理4表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩直線平行的一種證明方法．等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是公理4的直接應(yīng)用，并且當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ)．兩直線位置關(guān)系的判定[例1]如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C②直線A1B與直線B1C③直線D1D與直線D1C④直線AB與直線B1C[解析]直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1[答案]①平行②異面③相交④異面[類題通法]1．判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷．2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．[活學(xué)活用]1．(2012·臺(tái)州高一檢測(cè))如圖，AA1是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與AA1異面的棱的條數(shù)是()A．6 B．4C．5 D．8解析：選B與AA1異面的棱有BC，B1C1，CD，C1D12．若a，b，c是空間三條直線，a∥b，a與c相交，則b與c的位置關(guān)系是________．解析：在正方體ABCD－A′B′C′D′中，設(shè)直線D′C′為直線b，直線A′B′為直線a，滿足a∥b，與a相交的直線c可以是直線B′C′，也可以是直線BB′.顯然直線B′C′與b相交，BB′與b異面，故b與c的位置關(guān)系是異面或相交．答案：異面或相交平行公理及等角定理的應(yīng)用[例2]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形BB1M(2)求證：∠BMC＝∠B1M1[證明](1)在正方形ADD1A1中，M、M1分別為AD、A1D1∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四邊形BB1M(2)法一：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∴∠BMC＝∠B1M1法二：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C∴∠BMC＝∠B1M1[類題通法]1．證明兩條直線平行的方法：(1)平行線定義(2)三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等(3)公理42．空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，當(dāng)兩個(gè)角的兩邊方向都相同時(shí)或都相反時(shí)，兩個(gè)角相等，否則兩個(gè)角互補(bǔ)，因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，只說明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的．[活學(xué)活用]3．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.證明：(1)如題圖，在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD.同理FG∥BD，則EH∥GH.故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.兩異面直線所成的角[例3]如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分別是BD1和AD中點(diǎn)，求異面直線CD1，[解]取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG，∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，且G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1，EF所成的角為90°.[類題通法]求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；(2)證：證明作出的角就是要求的角；(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二證三計(jì)算”來(lái)概括．同時(shí)注意異面直線所成角范圍是(0°，90°]．[活學(xué)活用]4．已知ABCD－A1B1C1D1是正方體，求異面直線A1C1與B解：如圖所示，連接A1D和C1D，∵B1C∥A1D∴∠DA1C1即為異面直線A1C1與B∵A1D，A1C1，C1D∴A1D＝A1C1＝C1D∴△A1C1D為等邊三角形．即∠C1A1∴異面直線A1C1與B1eq\a\vs4\al(,,2.探究空間中四邊形的形狀問題)[典例]如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．[證明]連接BD.因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD.同理，F(xiàn)G∥BD，且FG＝eq\f(1,2)BD.因此EH∥FG.又EH＝FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形．[多維探究]1．矩形的判斷本例中若加上條件“AC⊥BD”，則四邊形EFGH是什么形狀？證明：由例題可知EH∥BD，同理EF∥AC，又BD⊥AC，因此EH⊥EF，所以四邊形EFGH為矩形．2．菱形的判斷本例中，若加上條件“AC＝BD”，則四邊形EFGH是什么形狀？證明：由例題知EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD，同理EF∥AC，且EF＝eq\f(1,2)AC.又AC＝BD，所以EH＝EF.又EFGH為平行四邊形，所以EFGH為菱形．3．正方形的判斷本例中，若加上條件“AC⊥BD，且AC＝BD”，則四邊形EFGH是什么形狀？證明：由探究1與2可知，EFGH為正方形．4．梯形的判斷若本例中，E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CF∶FB＝CG∶GD＝1∶2，那么四邊形EFGH是什么形狀？證明：由題意可知EH是△ABD的中位線，則EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.又eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝eq\f(1,2)，∴FG∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(FC,BC)＝eq\f(1,3)，∴FG＝eq\f(1,3)BD，∴FG∥EH且FG≠EH，∴四邊形EFGH是梯形．[方法感悟]根據(jù)三角形的中位線、公理4證明兩條直線平行是常用的方法．公理4表明了平行線的傳遞性，它可以作為判斷兩條直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出空間兩直線平行的一種證明方法．[隨堂即時(shí)演練]1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面解析：選D若兩直線不平行，則直線可能相交，也可能異面．2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì)解析：選B∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.3．已知正方體ABCD－EFGH，則AH與FG所成的角是________．解析：∵FG∥EH，∴∠AHE＝45°，即為AH與FG所成的角．答案：45°4．正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是________．解析：直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．答案：相交5.如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角．解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG.∵E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交解析：選B假設(shè)a與b是異面直線，而c∥a，則c顯然與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)．因此c與b可能相交或異面．2.如圖所示，在三棱錐S—MNP中，E、F、G、H分別是棱SN、SP、MN、MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A∵E、F分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.3．(2012·福州高一檢測(cè))如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在正方體中，AB與CD的位置關(guān)系為()A．相交 B．平行C．異面而且垂直 D．異面但不垂直解析：選D將展開圖還原為正方體，如圖所示．AB與CD所成的角為60°，故選D.4．下列命題中①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．正確的結(jié)論有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選B對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)；對(duì)于②，正確；對(duì)于③，不正確，舉反例：如右圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角既不一定相等，也不一定互補(bǔ)；對(duì)于④，由公理4可知正確．故②④正確，所以正確的結(jié)論有2個(gè)．5．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則()A．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面解析：選B逐個(gè)分析，過點(diǎn)P與l，m都平行的直線不存在；過點(diǎn)P與l，m都垂直的直線只有一條；過點(diǎn)P與l，m都相交的直線1條或0條；過點(diǎn)P與l，m都異面的直線有無(wú)數(shù)條．二、填空題6．(2012·連云港高一檢測(cè))空間中有一個(gè)角∠A的兩邊和另一個(gè)角∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝________.解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與A1B1解析：設(shè)棱長(zhǎng)為1，因?yàn)锳1B1∥C1D，所以∠AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝eq\r(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(3,2)，cos∠AED1＝eq\f(D1E,AE)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是________．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答題9.如圖所示，E、F分別是長(zhǎng)方體A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．證明：設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ、QC1.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C∴EQ綊B1C1∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C兩邊的中點(diǎn)，∴QD綊C1∴四邊形QDFC1為平行四邊形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四邊形B1EDF為平行四邊形．10．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角．解：如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB；PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．所以∠PMN(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角．因?yàn)橹本€AB與CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN①，(1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即AB與MN所成的角為60°.(2)若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°.綜上可知：AB與MN所成角為60°或30°.2．1.3&2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系空間中直線與平面的位置關(guān)系[提出問題]應(yīng)縣木塔，在山西應(yīng)縣城佛宮寺內(nèi)，遼清寧二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外觀五層，夾有暗層四級(jí)，實(shí)為九層，總高67.31米，底層直徑30.27米，是國(guó)內(nèi)外現(xiàn)存最古老最高大的木結(jié)構(gòu)塔式建筑．塔建在4米高的兩層石砌臺(tái)基上，內(nèi)外兩槽立柱，構(gòu)成雙層套筒式結(jié)構(gòu)，柱頭間有欄額和普柏枋，柱腳間有地伏等水平構(gòu)件，內(nèi)外槽之間有梁枋相連接，使雙層套筒緊密結(jié)合．暗層中用大量斜撐，結(jié)構(gòu)上起圈梁作用，加強(qiáng)木塔結(jié)構(gòu)的整體性．問題1：立柱和地面是什么位置關(guān)系？提示：相交．問題2：柱腳間有地伏等水平構(gòu)件看成直線，它和地面有什么關(guān)系？提示：在平面內(nèi)．問題3：直線和平面還有其他關(guān)系嗎？提示：平行．[導(dǎo)入新知]直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示[化解疑難]1．利用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也可以理解直線與平面的位置關(guān)系．(1)當(dāng)直線與平面無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面平行．(2)當(dāng)直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面相交．(3)當(dāng)直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，它們就有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線在平面內(nèi)．2．直線在平面外包括兩種情形：a∥α與a∩α＝A.空間中平面與平面的位置關(guān)系[提出問題]觀察拿在手中的兩本書，我們可以想象兩本書為兩個(gè)平面．問題1：兩本書所在的平面可以平行嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？提示：可以，無(wú)公共點(diǎn)．問題2：兩本書所在的平面可以相交嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？提示：可以，有無(wú)數(shù)個(gè)．[導(dǎo)入新知]兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩平面相交α∩β＝l有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)[化解疑難]1．判斷面面位置關(guān)系時(shí)，要利用好長(zhǎng)方體(或正方體)這一模型．2．畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行．直線與平面的位置關(guān)系[例1]下列說法：①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；③若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．其中說法正確的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[解析]對(duì)于①，直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α或a與α相交，∴a和α不一定平行，∴①說法錯(cuò)誤．對(duì)于②，∵直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無(wú)公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α.∴②說法錯(cuò)誤．對(duì)于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行．∴③說法正確．[答案]B[類題通法]空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏．另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷．[活學(xué)活用]1．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是()①如果兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條直線也和這個(gè)平面相交；②一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面都平行；③經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線，有一個(gè)平面與另一條直線平行；④兩條相交直線，其中一條與一個(gè)平面平行，則另一條一定與這個(gè)平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：選C①正確；②錯(cuò)誤，如圖1所示，l1∥m，而m?α，l1?α；③正確，如圖2所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1線A1C1與直線BD異面，A1C1?平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正確；平面與平面的位置關(guān)系[例2](1)平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，問α∥β是否正確，為什么？(2)平面α內(nèi)的所有直線與平面β都平行，問α∥β是否正確，為什么？[解](1)不正確．如圖所示，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有無(wú)數(shù)條：a1，a2，…，an，…，它們是一組平行線，這時(shí)a1，a2，…，an，…與平面β都平行(因?yàn)閍1，a2，…，an，…與平面β無(wú)交點(diǎn))，但此時(shí)α與β不平行，α∩β＝l.(2)正確．平面α內(nèi)所有直線與平面β平行，則平面α與平面β無(wú)交點(diǎn)，符合平面與平面平行的定義．[類題通法]兩個(gè)平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)區(qū)分：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理3可知，這兩個(gè)平面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線；如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)平面互相平行．這樣我們可以得出兩個(gè)平面的位置關(guān)系：①平行——沒有公共點(diǎn)；②相交——有且只有一條公共直線．若平面α與β平行，記作α∥β；若平面α與β相交，且交線為l，記作α∩β＝l.[活學(xué)活用]2．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面．與其中一個(gè)側(cè)面相交的面共有________個(gè)．解析：六棱柱的兩個(gè)底面互相平行，每個(gè)側(cè)面與其直接相對(duì)的側(cè)面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共有8個(gè)面圍成，在其余的7個(gè)面中，與某個(gè)側(cè)面平行的面有1個(gè)，其余6個(gè)面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系．答案：463．如圖所示，平面ABC與三棱柱ABC－A1B1C1解：∵平面ABC與平面A1B1C1無(wú)公共點(diǎn)，∴平面ABC與平面A1B1C∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB∴平面ABC與平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1Beq\a\vs4\al(,,3.有關(guān)截面圖形的形狀問題)[典例]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，判斷過A，Q，B1[解題流程]eq\x(欲判斷過A，Q，B1三點(diǎn)的截面圖形的形狀，需分析Q點(diǎn)的位置.)eq\x(點(diǎn)Q是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，首先討論Q位置.)eq\x(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(點(diǎn)Q與D1重合,點(diǎn)Q與D重合,點(diǎn)Q不與D，D1重合))→分別判斷→得出結(jié)論.)[規(guī)范解答]由點(diǎn)Q在線段DD1上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí)，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖甲．(4分)甲[名師批注]因?yàn)镼是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)Q與D1重合時(shí)，D1B1，AB1，AD1均為正方形的對(duì)角線，即D1B1＝AB1＝AD1，所以，△AB1D1為正三角形.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，截面圖形為矩形AB1C1D乙[名師批注]點(diǎn)Q在DD1上，兩個(gè)端點(diǎn)是特殊位置，所以Q與D重合時(shí)，由DC1∥AB1知，截面是矩形AB1C1D當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D，D1重合時(shí)，截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖丙．(12分)丙[名師批注]當(dāng)Q在DD1兩點(diǎn)之間時(shí)，延長(zhǎng)AQ交A1D1延長(zhǎng)線于O點(diǎn)，連接B1O交C1D1于R點(diǎn)，則AB1RQ為截面圖形.[活學(xué)活用]如圖所示，G是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC(1)過點(diǎn)G及AC；(2)過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.解：(1)畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．(2)畫法：連接EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②[隨堂即時(shí)演練]1．M∈l，N∈l，N?α，M∈α，則有()A．l∥α B．l?αC．l與α相交 D．以上都有可能解析：選C由符號(hào)語(yǔ)言知，直線l上有一點(diǎn)在平面α內(nèi)，另一點(diǎn)在α外，故l與α相交．2.如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表示為()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l?αD．α∥β，l?α解析：選D顯然圖中α∥β，且l?α.3．平面α∥平面β，直線a?α，則a與β的位置關(guān)系是________．答案：平行4．(2012·臨沂高一檢測(cè))經(jīng)過平面外兩點(diǎn)可作該平面的平行平面的個(gè)數(shù)是________．解析：若平面外兩點(diǎn)所在直線與該平面相交，則過這兩個(gè)點(diǎn)不存在平面與已知平面平行；若平面外兩點(diǎn)所在直線與該平面平行，則過這兩個(gè)點(diǎn)存在唯一的平面與已知平面平行．答案：0或15．三個(gè)平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直線c?β，c∥b.(1)判斷c與α的位置關(guān)系，并說明理由；(2)判斷c與a的位置關(guān)系，并說明理由．解：(1)c∥α.因?yàn)棣痢桅拢驭僚cβ沒有公共點(diǎn)，又c?β，所以c與α無(wú)公共點(diǎn)，則c∥α.(2)c∥a.因?yàn)棣痢桅?，所以α與β沒有公共點(diǎn)，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，則a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b沒有公共點(diǎn)．由于a、b都在平面γ內(nèi)，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定解析：選C如下圖所示：由圖可知，兩個(gè)平面平行或相交．2．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為()A．平行 B．相交C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)解析：選D由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，所以與另一個(gè)平面平行．由此可知，本題中這條直線可能在平面內(nèi)．否則此直線與另一個(gè)平面平行(因?yàn)槿粢粭l直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交，則必然與另一個(gè)平面相交)．3．(2011·浙江高考)若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交解析：選B若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因l?α，故l∥α，這與題意矛盾．4．若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的所有直線均與a異面B．α內(nèi)不存在與a平行的直線C．α內(nèi)直線均與a相交D．直線a與平面α有公共點(diǎn)解析：選D由于直線a不平行于平面α，則a在α內(nèi)或a與α相交，故A錯(cuò)；當(dāng)a?α?xí)r，在平面α內(nèi)存在與a平行的直線，故B錯(cuò)；因?yàn)棣羶?nèi)的直線也可能與a平行或異面，故C錯(cuò)；由線面平行的定義知D正確．5．給出下列幾個(gè)說法：①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；④過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面平行．其中正確說法的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B(1)當(dāng)點(diǎn)在已知直線上時(shí)，不存在過該點(diǎn)的直線與已知直線平行，故(1)錯(cuò)；(2)由于垂直包括相交垂直和異面垂直，因而過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條，故(2)錯(cuò)；(3)過棱柱的上底面內(nèi)的一點(diǎn)任意作一條直線都與棱柱的下底面平行，所以過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的直線有無(wú)數(shù)條，故(3)錯(cuò)；(4)過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的平面有且只有一個(gè)，故(4)對(duì)．二、填空題6．下列命題：①兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________．解析：對(duì)于①，兩個(gè)平面相交，則有一條交線，也有無(wú)數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，借助于正方體ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D答案：①②7．與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有________個(gè)．解析：A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)在平面α的異側(cè)，如果一邊3個(gè)，另一邊1個(gè)，適合題意的平面有4個(gè)；如果每邊2個(gè)，適合題意的平面有3個(gè)，共7個(gè)．答案：78．下列命題正確的有________．①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)；②若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線；④如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面；⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則直線a∥b.解析：對(duì)②，直線l也可能與平面相交；對(duì)③，直線l與平面內(nèi)不過交點(diǎn)的直線是異面直線，而與過交點(diǎn)的直線相交；對(duì)④，另一條直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行；對(duì)⑥，兩平行平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面．故①⑤正確．答案：①⑤三、解答題9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？(1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系；(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系；(3)AM所在的直線與平面CDD1C1(4)CN所在的直線與平面CDD1C1解：(1)AM所在的直線與平面ABCD相交；(2)CN所在的直線與平面ABCD相交；(3)AM所在的直線與平面CDD1C1(4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交．10.如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．解：平面ABC與β的交線與l相交．證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α，∴AB與l一定相交，設(shè)AB∩l＝P，則P∈AB，P∈l.又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，且P，C是不同的兩點(diǎn)，∴直線PC就是平面ABC與β的交線．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC與β的交線與l相交．2．2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2．2.1&2.2.2直線與平面、平面與平面平行的判定直線與平面平行的判定[提出問題]門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只要門扇不被關(guān)閉，不論轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置，它能活動(dòng)的豎直一邊所在直線都與固定的豎直邊所在平面(墻面)存在不變的位置關(guān)系．問題1：上述問題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？提示：平行．問題2：若判斷直線與平面平行，由上述問題你能得出一種方法嗎？提示：可以，只需在面內(nèi)找一條與面外直線平行的直線即可．問題3：若一直線與平面內(nèi)的直線平行，一定有直線與平面平行嗎？提示：不一定，要強(qiáng)調(diào)線在面外．[導(dǎo)入新知]表示定理圖形文字符號(hào)直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)一直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α[化解疑難]1．用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b.2．該定理的作用：證明線面平行．3．應(yīng)用時(shí)，只需在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可.平面與平面平行的判定[提出問題]如何判斷桌子的桌面是否水平？工人師傅將水平儀放在桌子上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的(注：當(dāng)水平儀的氣泡居中時(shí)，水平儀所在的直線就是水平線)，否則桌面就不是水平的，這是為什么呢？問題1：上述問題中給出了判斷兩面平行的一種怎樣的方法？提示：在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交線，分別平行于另一個(gè)平面即可．問題2：若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示：不一定，也可能相交．問題3：若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示：不一定，也可能相交．[導(dǎo)入新知]表示位置圖形文字符號(hào)平面與平面平行的判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?α∥β[化解疑難]1．平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．直線與平面平行的判定[例1]已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ(如圖)．求證：PQ∥平面CBE.[證明]作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.[類題通法]利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等．[活學(xué)活用]1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．證明：EF∥平面PAD.證明：在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.面面平行的判定[例2]如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A求證：(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[證明](1)連接B1D1，∵E、F分別是邊B1C1、C1D1∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四點(diǎn)共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.連接MF.∵M(jìn)、F分別是A1B1、C1D1的中點(diǎn)，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.[類題通法]兩個(gè)平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法．解答問題時(shí)一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行．[活學(xué)活用]2.如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.證明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.線線平行與面面平行的綜合問題[例3]如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．證明：直線MN∥平面OCD.[證明]如圖，取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME∥AB.又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又∵M(jìn)E?平面OCD，CD?平面OCD，∴ME∥平面OCD.又∵NE∥OC，且NE?平面OCD，OC?平面OCD，∴NE∥平面OCD.又∵M(jìn)E∩NE＝E，且ME，NE?平面MNE，∴平面MNE∥平面OCD.∵M(jìn)N?平面MNE，∴MN∥平面OCD.[類題通法]解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略(1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．(2)eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up7(判定),\s\do5())eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up7(判定),\s\do5())eq\x(面面平行)所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．[活學(xué)活用]3.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)．求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1.∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD，∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.eq\a\vs4\al(,,4.探索點(diǎn)的位置問題)[典例]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?[解題流程]eq\x(當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO)eq\x(P是DD1的中點(diǎn)，Q是CC1上的點(diǎn))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(過P、A、B三點(diǎn)的平面PABQ交CC1于Q,平面ADD1∥平面BCC1，,平面PABQ∩平面ADD1＝AP，,平面PABQ∩平面BCC1＝BQ，))?AP∥BQ,PO是△DD1B的中位線?PO∥D1B))?平面PAO∥平面D1BQ，Q是CC1的中點(diǎn)是明顯的．[規(guī)范解答]當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.2分∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為D1D的中點(diǎn)，∴PQ∥DC.(3分)又DC∥AB，∴PQ∥AB且PQ＝AB，∴四邊形ABQP為平行四邊形，∴QB∥PA.(5分)又PA?平面PAO，QB?平面PAO，∴BQ∥平面PAO.③(7分)連接BD，則O∈BD，又O為DB的中點(diǎn)，P為D1D的中點(diǎn)，∴PO∥D1B.(8分)PO?平面PAO，D1B?平面PAO，∴D1B∥平面PAO.(10分)又D1B∩BQ＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.(12分)[名師批注]觀察圖形特點(diǎn)，只需在CC1上取中點(diǎn)Q，恰好有AP∥BQ.[活學(xué)活用]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足________時(shí)，有MN∥平面B1BDD1.解析：取B1C1中點(diǎn)P，易證平面FHNP∥平面B1BDD故只要M∈FH，即可保證MN∥平面B1BDD1.答案：M∈FH[隨堂即時(shí)演練]1．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對(duì)解析：選C可借助于長(zhǎng)方體判斷兩平面對(duì)應(yīng)平行或相交．2．能保證直線a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b解析：選D由線面平行的判定定理可知，D正確．3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過A，C，E解析：如右圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O.在正方體中容易得到點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BD1.又∵OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行4．下列命題真命題序號(hào)為________①若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；②若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；③若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；④若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．解析：①錯(cuò)，應(yīng)為一平面內(nèi)兩相交直線與另一平面平行；②當(dāng)兩平面相交時(shí)，一面內(nèi)也有無(wú)數(shù)條直線均與另一平面平行，②也不對(duì)；③中任意直線都與另一平面平行，也有兩相交直線與另一平面平行，故③為真；④為兩平面平行的判定定理，故④也為真．答案：③④5.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面相交．EF∥AC，AB＝eq\r(2)，EF＝1.求證：AF∥平面BDE.證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)G，因?yàn)镋F∥AC，且EF＝1，易得AG＝eq\f(1,2)AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因?yàn)锳F?平面BDE，EG?平面BDE，所以AF∥平面BDE.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．(2012·河南湯陰一中高一檢測(cè))已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是()A．b?平面α B．b∥α或b?αC．b∥平面α D．b與平面α相交，或b∥平面α解析：選Db與α相交，可確定的一個(gè)平面β，若β與α平行，則b∥α；若β與α不平行，則b與α相交．2．下列說法正確的是()A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，而a∥αC．若直線a∥b，b?α，則a∥αD．若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線解析：選D選項(xiàng)A中，直線l?α?xí)r也可以滿足條件，但l不平行于α；直線在平面外包括直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況，所以排除選項(xiàng)B；選項(xiàng)C中缺少直線a不在平面α內(nèi)這一條件；選項(xiàng)D正確．3．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選D如圖正方體四個(gè)側(cè)面AA′B′B，BB′C′C，CC′D′D，DD′A′A都與EF平行．4．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A．m∥l，l∥α?m∥αB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β解析：選DA中，m可能在α內(nèi)，也可能與α平行；B中，α與β可能相交，也可能平行；C中，α與β可能相交，也可能平行；D中，l∩m＝M，且l，m分別與平面β平行，依據(jù)面面平行的判定定理可知α∥β.5．點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則空間四面體的六條棱中與平面EFGH平行的條數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C如圖，由線面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.二、填空題6．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出六個(gè)命題：①a∥c，b∥c?a∥b;②a∥γ，b∥γ?a∥b；③c∥α，c∥β?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；⑤c∥α，a∥c?a∥α.⑥a∥γ，α∥γ?a∥α.正確命題是________(填序號(hào))．解析：直線平行或平面平行能傳遞，故①④正確，②中，可能a與b異面或相交；③中α與β可能相交；⑤中可能a?α；⑥中，可能a?α，故正確命題是①④.答案：①④7．下列說法正確的個(gè)數(shù)是________．(1)若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α；(2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行；(3)兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．解析：直線l與平面α相交時(shí)，直線l上也有兩個(gè)點(diǎn)到平面α的距離相等，故(1)不正確；若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線可能平行也可能異面，故(2)不正確；(3)中，兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行不正確，因?yàn)榇酥本€也可以在這個(gè)平面內(nèi)．答案：08.如圖所示，在四面體ABCD中，M、N分別是△ACD、△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．解析：連接AM并延長(zhǎng)，交CD于E，連接BN，并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD三、解答題9.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)，設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1證明：如圖，取A1B1的中點(diǎn)為F1.連接FF1，C1F1由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連接A1D，F(xiàn)1C，由于A1F1綊D1C1所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1D∥F1C又EE1∥A1D，得EE1∥F1C而EE1?平面FCC1，F(xiàn)1C?平面FCC1故EE1∥平面FCC1.10．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D求證：平面AMN∥平面EFDB.證明：連接MF，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，且四邊形A1B1C1D1∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD，∴MF綊AD，∴四邊形AMFD是平行四邊形，∴AM綊DF.∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理，AN∥平面EFDB.又AM?平面AMN，AN?平面AMN且AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.2．2.3&2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì)[提出問題]將一本書打開，扣在桌面上，使書脊所在的直線與桌面平行，觀察過書脊的每頁(yè)紙和桌面的交線與書脊的位置．問題1：上述問題中，書脊與每頁(yè)紙和桌面的交線有何位置關(guān)系？提示：平行．問題2：每頁(yè)紙與桌面的交線之間有何關(guān)系？提示：平行．問題3：書脊所在的直線與桌面上任何直線都平行嗎？提示：不一定．平行或異面．[導(dǎo)入新知]線面平行的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．(2)圖形語(yǔ)言：(3)符號(hào)語(yǔ)言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b(4)作用：線面平行?線線平行．[化解疑難]對(duì)線面平行性質(zhì)定理的理解(1)如果直線a∥平面α，在平面α內(nèi)，除了與直線a平行的直線外，其余的任一直線都與a是異面直線．(2)線面平行的性質(zhì)定理的條件有三：①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α、β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.三個(gè)條件缺一不可．(3)線面平行的性質(zhì)定理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想，線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行.面面平行的性質(zhì)[提出問題]20XX年在上海舉行的世界博覽會(huì)給全世界的游客留下了深刻的印象，作為東道主的中國(guó)國(guó)家館被永久保留，成為上海市的又一標(biāo)志性建筑．中國(guó)國(guó)家館表達(dá)了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化的精神與氣質(zhì)，展館共分三層，這三層給人以平行平面的感覺．問題1：展館的每?jī)蓪铀诘钠矫嫫叫?，那么上層面上任一直線狀物體與下面地面有何位置關(guān)系？提示：平行．問題2：上層面上任何一直線狀物體與下層面上任何一直線狀物體有何位置關(guān)系？提示：平行或異面．問題3：上下兩層所在的平面與側(cè)墻所在平面分別相交，它們的交線是什么位置關(guān)系？提示：平行．[導(dǎo)入新知]面面平行的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．(2)圖形語(yǔ)言：(3)符號(hào)語(yǔ)言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b(4)作用：面面平行?線線平行．[化解疑難]對(duì)面面平行性質(zhì)定理的理解(1)面面平行的性質(zhì)定理的條件有三個(gè)：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三個(gè)條件缺一不可．(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面平行得線線平行，其應(yīng)用過程是構(gòu)造與兩個(gè)平行平面都相交的一個(gè)平面，由其結(jié)論可知定理可用來(lái)證明線線平行．(3)面面平行的性質(zhì)定理的推證過程應(yīng)用了平行線的定義．線面平行的性質(zhì)及應(yīng)用[例1]如圖所示，已知三棱錐A—BCD被一平面所截，截面為?EFGH，求證：CD∥平面EFGH.[證明]∵EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH.又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.[類題通法]運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過程應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．[活學(xué)活用]1．求證：如果一條線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.證明：如圖，過a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.過a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又b?β且c?β，∴b∥β.又平面α過b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.面面平行的性質(zhì)及應(yīng)用[例2]如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于B，A和D，C，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．求證：MN∥平面α.[證明]過A作AE∥CD交平面α于點(diǎn)E，取AE的中點(diǎn)P，連接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD確定平面AEDC.則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC.∵α∥β，∴AC∥DE.又∵P，N分別為AE，CD的中點(diǎn)，∴PN∥DE.∵PN?α，DE?α，∴PN∥α.又∵M(jìn)，P