湖南省郴州市2022-2023學年高三年級上冊第一次教學質量監(jiān)測數(shù)學試卷含答案解析

湖南省郴州市高三上第一次教學質量監(jiān)測數(shù)學試題

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）

4-一吊B^\^2Q23X>-^-A

1

YA-人人A=<犬犬+5x-6<0>2023Ai?-、

1,已知集合l?J,1/u/nj,則ntl萬一（z）

A.（-3,-1）B.（-2,1）C.（-1,1）D.（-1,6）

2.已知復數(shù)z滿足葉包=1-i（i為虛數(shù)單位），彳是z共軌復數(shù)，則z4=（）

Z

A.5B.V5C.10D.V10

3

3.ABC中，。為5C中點,設向量A5二〃,AC=b^AE=-BC,則DE=（）

2

A.—2ci+bB.2a-bC.a-2bD.—a+2b

4.某種疾病的患病率為5%,通過驗血診斷該病的誤診率為2%,即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者

中有2%的人診斷為陰性隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結果為陽性的概率為（）

A.0.46B.0.046C.0.68D.0.068

5.設正項等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為S",若2s3=3。2+8。］,58=2邑+2,則%=（）

A4B.3C.2D.1

6.設函數(shù)個…巾％-看）?！?）,已知/'（x）在區(qū)間［0,句上有且僅有3個零點，下列結論正確的

是（）

777,

A.直線x=—是函數(shù)〃x）的圖象的一條對稱軸

6①

~1319、

B.①的取值范圍是—

_66）

C.7'（x）的圖象向右平移4個單位后所得圖象的函數(shù)是奇函數(shù)

D.7'（x）在區(qū)間（0,萬）上有且僅有2個極值點

22

7.耳，鳥是雙曲線C:二—齊=1（?！?〉0）的左、右焦點，過左焦點耳的直線/與雙曲線。的左、右兩支

分別交于A3兩點，若|陰：|%|#4點|=12:5:13,則雙曲線的離心率為（）

A.心B.2C.—D,

222

8.某村計劃修建一條橫斷面為等腰梯形（上底大于下底）的水渠，為了降低建造成本，必須盡量減少水與

渠壁的接觸面.已知水渠橫斷面面積設計為6平方米，水渠深2米，水渠壁的傾角為&0<&<叁，則當該

水渠的修建成本最低時a的值為（）

nn_7i5萬

A.—B.—C.-D.—

64312

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是菱形，且/DAB=60，側面PAD為正三角形，且平面

平面則下列說法正確的是（）

P

/1

/.............

I?\/

-------------------------4

A.在棱AD上存在點M,使A。，平面PM3

B.異面直線PA與。C所成的角的余弦值為工

C.直線PB與平面所成的角為45

D.平面PAC

10.已知無窮等差數(shù)列｛4｝的首項為1,它的前幾項和為S.,且SgVSg,S9>510,則（）

A.數(shù)列｛0“｝是單調遞減數(shù)列

B.

C.數(shù)列｛4｝公差的取值范圍是

D.當冏W16時，>0

11.已知拋物線好=4〉的焦點為EM（4,%）在拋物線上，延長ME交拋物線于點N,拋物線準線與y

軸交于點Q,則下列敘述正確的是（）

A.\MF\=6

B.點N的坐標為一1二

9

C.QMQN=-

D.在x軸上存在點R,使得ZMRF為鈍角

12.已知函數(shù)g(x)的定義域為A,g'(x)為g(x)的導函數(shù)，且/(x)+g'(x)-10=0,

/(x)-^(4-x)-10=0,若g(x)為偶函數(shù)，則下列一定成立的有()

A./(1)+/(3)=20B./(4)=10

C/(-1)=/(-3)D./(2022)=10

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若3sin9—cos(〃一e)=0,則sin2,一cos?，=.

14.已知[6—(〃eN*)展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，則其展開式中常數(shù)項是

15.如圖，已知1dABC的外接圓為圓0,為直徑，PA垂直圓0所在的平面，且PA=AB=1,過點A

作平面。，P3,分別交尸瓦PC于點舷,N,則三棱錐P-AAW的外接球的體積為.

x]

16.已知函數(shù)/'(x)=e\8(%)=111§+§,對任意相€區(qū)存在〃€(0,+00),使〃祇)=8(九)，則〃一加的

最小值為.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知數(shù)列｛%｝中，4=1,其前〃項和為S“，S〃+i=3S“+l.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

1〕3

(2)設〃=log34+「若數(shù)列一的前〃項和為北，求證：Tn<-.

[bnbn+2J4

Aqi”一小，八r.…eLCOSACOSCsmB

18.△/BC中，角力,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且滿足----+-----=--------

ac2sinC

(1)求Q;

(2)若40,BC于。，且求角力的最大值.

19.在圖（1）五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,ZCDE=150，將ADE沿AD

折起到一的位置，得到如下圖（2）所示的四棱錐S-A8C。，/為線段SC的中點，且8尸，平面SCO.

s

I*X

A__________________c/A

II???????????????c

￡<//J、、、\/

41°f

RI<|）M（2>

（1）求證：CDJ_平面SAD；

（2）若CD=2S￡）,求直線B廠與平面S3。所成角的正弦值.

20.2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日

閉幕.本次冬奧會極大地鼓舞了中國人民參與冰雪運動的熱情，某校短道速滑社團的隊員們紛紛加練，訓練

場內熱火朝天，為了給刻苦訓練的運動員們以激勵，社團決定開展“訓練贏吉祥物”活動，游戲規(guī)則如下：

有一張共10格的長方形格子圖，依次編號為第1格、第2格、第3格......第10格，游戲開始時“跳子”

在第1格，隊員每次完成訓練后拋擲一枚均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面，則“跳子”前進2格（從第左格到第k+2

格），若出現(xiàn)反面，則“跳子”前進1格（從第左格到第左+1格）（%為正整數(shù)），當“跳子”前進到第9格

或者第10格時，游戲結束.“跳子”落在第9格，則每位隊員可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在

第10格，則每位隊員可以得到一只“冰墩墩”玩偶.記“跳子”前進到第〃格?！毒?lt;10）的概率為2.

（1）求月；

（2）（i）證明數(shù)列｛月一月_1｝（2?〃?9）是等比數(shù)列；

（ii）求該社團參加一次這樣的游戲獲得“冰墩墩”玩偶的概率.

22/y

21.已知橢圓石:二+二=1（?！等恕?）的離心率為注，過坐標原點。的直線交橢圓E于P,A兩點，其

ab2

中尸在第一象限，過P作X軸的垂線，垂足為C,連接AC.當C為橢圓的右焦點時，△7MC的面積為行.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若8為AC延長線與橢圓E的交點，試問：NAPB是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，

說明理由.

x1

22.已知函數(shù)/（%）=e--xe%.

x

（1）求/（%）在［1,+8）上的最小值.

（2）設g（%）=/（%）+%鏟+%-In%-〃，若g（%）有兩個零點為馬,證明：玉々〈L

湖南省郴州市高三上第一次教學質量監(jiān)測數(shù)學試題

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.)

5=匕2023工〉^—

,?是人A=b|%2+5%一6<01

1.已知集合1?I2023，則”8=()

A.(-3,-1)B.(-2,1)C.(-1,1)D,(-1,6)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式和指數(shù)不等式可求得集合A3,由交集定義可得結果.

【詳解】由r+5%一6=(九+6)(九一1)<0得：-6<X<1,即A=(—6,1)；

由20231>------得：x>-1,即3=+co)；

2023''

/.A5=(-1,1).

故選：C.

2.已知復數(shù)z滿足匕包=1-i(i為虛數(shù)單位)，彳是z的共軌復數(shù)，則z?彳=()

Z

A.5B.V5C.10D.V10

【答案】A

【分析】由復數(shù)除法運算可求得z,根據(jù)共軌復數(shù)定義可得彳，由復數(shù)乘法運算可求得結果.

J+3il+3i_(l+3i)(l+i)-2+4i

【詳解】由----=1—i得：z=--=—l+2i.-.z=-l-2i，

ZTT(l-i)(l+i)2

.-.z-z=(-l+2i)-(-l-2i)=l+4=5.

故選：A.

-3

3.ABC中，D為BC中點,設向量45=〃，AC=b?AE=—BC,則￡)￡*=()

A.—2〃+bB.2a-bC.a—2bD.—〃+2b

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量線性運算直接求解即可.

AE

【詳解】

DE=AE-AD=jBC-1（AB+AC）=j（AC-AB）-1（AB+AC）=AC-2AB=-2?+Z>-

故選：A.

4.某種疾病的患病率為5%,通過驗血診斷該病的誤診率為2%,即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者

中有2%的人診斷為陰性隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結果為陽性的概率為（）

A.0.46B.0.046C.0.68D.0.068

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全概率公式可得結果.

【詳解】由題意得：

P=5%x（l-2%）+（l-5%）x2%=0.068,

故選：D.

5.設正項等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S”，若2邑=3g+8。1，3=287+2,則%=（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)第一個等量關系得到關于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二個等量關系得到關于

首項的方程，解方程得到首項，從而得到為的值?注意正項等比數(shù)列的公比大于。

【詳解】設正項等比數(shù)列｛/｝的公比為4（q>0）,

貝!I由2s3=3a2+8q得2q+la2+24=3%+84,

即6q+4—2%=0,即4（6+q—2q?）=0,

即6+q-2/=0,

3

解得92（4=—e舍去）.

由得即

Sg=2s7+24=57+2,="IT）+2，

11-q

將42代入得27a=%(「2，)+2,

11-2一

解得q=2,

貝!|a2=axq=4.

故選：A.

6.設函數(shù)〃x)=sin,x-看}?！?),已知在區(qū)間［0,句上有且僅有3個零點，下列結論正確的

是()

77T

A.直線％=——是函數(shù)“X)的圖象的一條對稱軸

6a)

-1319}

B.①的取值范圍是—

_66)

c.7(x)的圖象向右平移;J個單位后所得圖象的函數(shù)是奇函數(shù)

3a)

D.7(X)在區(qū)間(0,乃)上有且僅有2個極值點

【答案】B

【解析】

冗

【分析】利用代入檢驗的方式可確定A錯誤；根據(jù)零點個數(shù)可確定2〃-一<3］，由此可求得口的范

6

圍，知B正確；利用三角函數(shù)平移變換和余弦型函數(shù)的奇偶性可確定C錯誤；根據(jù)2萬7<3%可知

6

5TC

當一乃<乃?！?lt;3乃時，/(x)有3個極值點，知D錯誤.

26

7%TC77r7C

【詳解】對于A,當％=——時，CDX——=-------=71,

6a)666

.?.(肛0)是〃力圖象的一個對稱中心，A錯誤；

對于B,當X￡0,?時，COX――G—~,71CO——,

666

"(X)在［0,乃］上有且僅有3個零點，27r<7Ttt)-—<37r,解得：—<?<—,

666

［1319、

即外的取值范圍為—,B正確；

oo)

n71

對于C,向右平移白個單位后可得g(x)=/x---=--sinCDX--=--COSGX,

3co3G2

g(-x)=-cos(一妙)=-COSCDX-g(x),

??.g(x)為偶函數(shù)，c錯誤；

對于D,當％W(0,〃)時，O)X--e\---

6166

由B知：2TC<7i（o----<3"，

6

Sjr

:.當一兀<713一一<3乃時，/（X）有3個極值點，D錯誤.

26

故選：B.

22

7.4,且是雙曲線C:——￡=1（。〉6〉0）的左、右焦點，過左焦點耳的直線/與雙曲線C的左、右兩支

分別交于A3兩點，若|/叫：忸用：|A6|=12:5:13,則雙曲線的離心率為（）

A.@B.2C.@D.

222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)長度關系可得A3,5工，利用雙曲線定義可用a表示出忸制，忸閭，利用勾股定理可構造關

于。的齊次方程求得離心率.

【詳解】

設|AB|=⑵，則忸用=5f,|A用=13七

222

|AB|+|B^|=|AT^|,ABIBF2；

由雙曲線定義可知：|人用一|人用=13/-|4媚=2。，；.|4周=13/-2。，

:.\BF1\-\BF2\=\AF1\+\AB\-\BF2\=\AF1\+lt=2Qt-2a=2a,:.t=^a,

31?

忸耳|=|A耳|+|AB|=ci—3Q,|BF?|—,

|3「+照「=|和，二9儲+儲=公2,則6庫座=坐.

VaV42

故選：D.

8.某村計劃修建一條橫斷面為等腰梯形(上底大于下底)的水渠，為了降低建造成本，必須盡量減少水與

渠壁的接觸面.已知水渠橫斷面面積設計為6平方米，水渠深2米，水渠壁的傾角為則當該

水渠的修建成本最低時a的值為()

nn5兀

A.—B.—D.—

6412

【答案】C

【解析】

【分析】作出截面圖形，結合截面面積可利用a表示出5C,A3,則水渠修建成本最低時，

y=AD+AB+BC=暇一0°回+sfo<a<-^取得最小值，則可知當2~C°Sa取最小值時V最??；

sinaI2)sma

根據(jù)2-cosa的幾何意義可知當過(o,2)的直線與f+V=1(_1<X<0,0<y<1)相切時，泊也最小,

利用直線與圓相切位置關系的求法可求得切線斜率，由此可求得a.

【詳解】作出橫截面ABC。如下圖所示，其中A3〃CD,AD^BC,CELAE,NCBE=。，則CE=2,

D----------------------------7C

\/g!

ABE

224

BC=-------,BE=--------,:.CD-AB=2BE=--------,

sinatanatana

又梯形A6CD的面積S=AB+CD)?CE=AB+CD=6,

22

..C￡>=3+-------,AB=3----------,

tanatana

設y-AD+AB+BC,

則產(chǎn)上+3-」=2(2-cos*3[o<a<q；

sinatanasina12)

若y取最小值，則—^取得最小值；

sina

三篙表示點（0,2）與點（-sin/cos。）連線的斜率,

(-sintz,costz的軌跡為爐+丁=1(-1<%<0,0<y<l),

可作出圖象如下圖所示,

則當過（0,2）的直線與V+丁=1（_]<%<0,。<y<1）相切時，2就。取得最小值,

設切線方程為：y=Ax+2（左〉。），即區(qū)一y+2=。,

2

??.(。,。)到切線距離2=7^=1,解得：k=5

7k+1

即當4c°sa=也時,y取得最小值，此時石sina+cosa=2sin[a+()=2,

sina

7T7T

則1=—,即當a=—時，該水渠的修建成本最低.

33

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵是能夠將水渠的修建成本表示為關于a的函數(shù)的形式，將問題轉化

為函數(shù)最值的求解問題；對于------形式的函數(shù)最值，可根據(jù)幾何意義將問題轉化為點（。力）與

a-sma

（sina,cosa）連線的斜率的最值求解問題.

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，且NZM5=60，側面PA。為正三角形，且平面

24。，平面人58,則下列說法正確的是（）

/......今C

I/

-------------------

A.在棱AZ）上存在點M,使A。，平面PM3

B.異面直線PA與。C所成的角的余弦值為工

4

C,直線P8與平面PA。所成的角為45

D.平面PAC

【答案】ABC

【解析】

【分析】取A。中點M,由等腰三角形三線合一性質可證得AOLPM,ADLBM,由線面垂直的判定

可證得A正確；由AB〃CD可知所求角為NP4B,利用余弦定理可確定B正確；根據(jù)線面角的定義可知

所求角為,由長度關系可知C正確；假設D正確，可證得平面POM,得到平面POM〃平

面P4C,顯然不成立，可知D錯誤.

【詳解】對于A,取中點M,連接

四邊形ABCD為菱形，ZDAB=60，,A3。為等邊三角形，

又M為中點，BMLAD■,

24。為等邊三角形，AD,

又BMcPM=M,6河,尸M<=平面夕”8,..4。_1_平面P〃8,

???棱AD上存在點M,M為A。中點，使得平面A正確；

對于B,A5〃CD,.?.直線PA與CD所成角即為NPAB；

由A知：若M為A。中點，則PAfLAD,

又平面PAD±平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,PMu平面PAD,

..PM，平面ABCD,又BMu平面ABC。，..

設A￡>=2，則3M=PM=6，，PB=BM2+PM2=76，

…c…八PA2+AB2-PB"4+4-61

又PA=AB=2,.'.cosZPAB=----------------------

2PAAB-8-~4

即直線P4與CD所成角的余弦值為'，B正確；

4

對于C,由A知：若M為A。中點，則

又平面PAD，平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,BMu平面ABC。,

二，平面PAD,ZBPM即為直線PB與平面PAD所成角，

又PMLBM,PM=BM,：,ZBPM=45，

即直線PB與平面PAD所成角為45，C正確；

對于D,取A。中點M,連接AC交3。于點0,連接OROM,

假設5。1平面P4C,

。Pu平面PAC,.?.6￡），0P；

由B知：平面ABC。，8。u平面ABC。，..5。，PM,

PM\OP=P,PM,OPu平面PQM,二5。，平面POM,

???平面尸OM〃平面P4C,又平面POM1平面？AC=OP,

,假設錯誤，D錯誤.

故選：ABC.

10.已知無窮等差數(shù)列｛。“｝的首項為1,它的前幾項和為5"，且"〈品，S9〉RO,則（）

A.數(shù)列｛4｝是單調遞減數(shù)列

B.

C.數(shù)列儲“｝的公差的取值范圍是[-%-g]

D.當"W16時，>0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由。9〉0,%0<0可知d<0,得A正確；由一$6=5%〉?？芍狟錯誤;利用名〉0,%0<0,

結合等差數(shù)列通項公式可構造不等式組求得d的范圍，知C正確；由S"〉0可確定D正確.

【詳解】對于A,5g<59,Sg>Sl0,:.a9=Sg-S8>0,aw=SW-S9<Q,

；?公差d=%）-%<0，；?數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，A正確；

對于B,S”一§6=%+%+。9+%0+。11=5。9>°，?'?S”〉,B錯誤;

%=1+8d〉0

對于C,40=l+9d<0...—<d<—，C正確;

89

對于D,4+。17=2。9〉°，，$=17（“；卬7）〉0,

又q=l〉0,｛4｝為遞減數(shù)列，，當“W16時，>0,D正確.

故選：ACD.

11.已知拋物線好=4〉的焦點為E,M（4,%）在拋物線上，延長Mb交拋物線于點N,拋物線準線與》

軸交于點Q,則下列敘述正確的是（）

A.\MF\=6

B.點N的坐標為

9

C.QMQN=~

D.在x軸上存在點R,使得/為鈍角

【答案】BC

【解析】

【分析】由拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，將M代入拋物線方程可求得〃坐標，由拋物線焦半徑公

式可知A錯誤；將直線ME方程與拋物線方程聯(lián)立可求得N點坐標，知B正確；利用向量數(shù)量積的坐標運

算可知C正確；設R",O）,由向量數(shù)量積坐標運算可求得RM=（7-2『NO,知口錯誤.

【詳解】由拋物線方程知：焦點尸（0,1）,準線為y=-l；

對于A,M(4,%)在拋物線必=4y上，.I%=4,.?.|加盟=%+1=5,A錯誤；

4-133

對于B,kMF=——=—,，直線ME:y=—x+l,

MF4-044

y=-x+1X1fx=4/、

由J4得：J—工或j又M(4,4),r.N—《，B正確；

x2=4y[＞一7〔”')

對于c,.e(O,-l),:.QM=[4,5),=;.QM.QN=—4+m=《，C正確；

對于D,設R&0),則RE=(V,1),W=(4-?,4),

.?.RE-RA/=T(4—r)+4=〃—4t+4=Q—2)220,不能為鈍角，D錯誤.

故選：BC.

12.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域為A,g'(x)為g(x)的導函數(shù),且〃x)+g〈x)-10=0,

—g'(4—尤)—10=0,若g(x)為偶函數(shù)，則下列一定成立的有()

A./(1)+/(3)=20B.44)=10

C./(-1)=/(-3)D./(2022)=10

【答案】ABD

【解析】

【分析】由g(x)是偶函數(shù)得出g'(x)是奇函數(shù)，由已知兩條件推出&'(x)是以4為周期的函數(shù)，然后在已知式

中對自變量賦值求解.

【詳解】g(x)是偶函數(shù)，則g(—x)=g(x),兩邊求導得一g'(—x)=g'(x),

所以g'(x)是奇函數(shù)，故g'(0)=0.

由〃x)+g'(x)TO=O，〃x)—g'(4—x)T0=0,得/(幻一10=-8，(%)=8,4一處,

即g'(—x)=g'(—x+4),所以g'(x)是周期函數(shù)，且周期為4,g，(0)=g'(4)=0,

g'(2)=g'(2—4)=g'(—2)=—g'(2),所以g'(2)=0.

,

對選項A：令x=l得，/(l)+g'(l)—10=0,令x=3得，/(3)-1?(l)-10=0

故/(I)+/(3)=20,所以選項A正確.

,

對選項B：令X=4得，/(4)-1?(0)-10=0,故/(4)=10,所以B正確.

,,

對選項C：令x=—1得,/(-1)+<?(-1)-10=0,令％=—3得，/(-3)-)?(7)-10=0,即

/(-3)-^(-1)-10=0,

若〃T)=/(—3),則g'(—1)=—g'(—1),所以g'(—l)=0,但g'(—1)不一定為0,因此C錯;

對選項D：/(2022)+g'(2022)—10=0,由g'(x)是以4為周期得了(2022)+g'⑵-10=0,由g<2)=0

得“2022)=10,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若3sine—cos(〃一e)=0,則sin2。一cos?夕=.

3

【答案】—

2

【解析】

【分析】利用誘導公式和同角三角函數(shù)商數(shù)關系可求得tan。；利用二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關

系可將所求式子化為關于正余弦的齊次式，分子分母同除cosz。，代入tan夕的值即可.

【詳解】3sin-cos=3sin+cos0=0,tan0-——=——,

cos。3

_5

22

,sin2^cos^-2sincoscos_2tan^-l_3_3

~sin2+cos20tan20+1102

~9

3

故答案為：-二

14.已知Jx—上(neN*)展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，則其展開式中常數(shù)項是

【答案】一一##-10.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意得"=9,再利用其通項公式即可求得展開式中的常數(shù)項.

【詳解】解：因為(〃eN*)展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大,

所以C：=C：,解得"=9

展開式的通項為4+i=C"2

9-3r

由-----=0得，/=3,

2

所以常數(shù)項為第四項

-,21

故答案為：—

2

15.如圖，已知?ABC的外接圓為圓O,為直徑，PA垂直圓O所在的平面，且PA=AB=1,過點A

作平面。，尸3,分別交于點M,N,則三棱錐P—AAW的外接球的體積為.

7T

【答案】-

6

【解析】

【分析】由線面垂直性質可知M為尸2中點，由此可得三棱錐P—AAW的高PM；根據(jù)±AC,

可證得平面？AC,得到BCLAN,由線面垂直的判定和性質可證得AN,由此

可得一AAW外接圓半徑一=由此可得所求外接球半徑R=，代入球的體積公式

可求得結果.

【詳解】24,平面ABC,AB,BCu平面ABC,

PALAB,PA±BC；

PB,平面AAW,AM,ANu平面AAW,

PB±AM,PB±AN,

又PA=PB,M為尸8中點，

PM^-PB=-VPA2+AB2=—：

222

AB為圓。的直徑，

:.BC±AC,又PAAC=A,PA,ACu平面PAC,

.,.BC,平面A4C,又ANu平面P4C,

BC1AN,

PBBC=B,7^，^。匚平面融。，

.?.AN,平面PBC,

MNu平面尸BC,

:.ANLMN,

AMN的外接圓半徑廠=440=Lp3=Y2,

244

三棱錐P—4WN外接球半徑R==；,

4c41TT

■■二棱錐P—AMN外接球體積V=-7iR=—7ix—=—.

3386

TT

故答案為：—.

6

x]

16.已知函數(shù)“無)=e",g(x)=ln§+§,對任意meR,存在〃e(O,+8),使/則〃一加.的

最小值為.

【答案】3+ln3

【解析】

【分析】設/(冽)=g(〃)=心把〃-機表示成t的函數(shù)，利用導數(shù)求解

【詳解】設e"'=￡,(/〉0)則機=lnt

ri1i

由題知ln§+§=%，所以〃二3『《

所以〃一加二3J3—In/

」」1

設/z(%)=3e3-Int,h(x)=3e3--

t

易知“(x)=3e"g—；在(0,+s)上單調遞增,注意到=o

當/<0,A(/)單調遞減

當/e1g,+co],，?)〉0,h(t)單調遞增

所以“。)的最小值為/z[g]=3_lng=3+ln3

所以〃一m的最小值為3+In3

故答案為：3+ln3

【點睛】方法點睛：本題屬于典型的等高線問題，一般方法就是設/(m)=g(")=/,最后轉化為關于/的一

元函數(shù)求解.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知數(shù)列｛%｝中，6=1,其前"項和為S“，S?+1=3S?+1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

13

(2)設〃=log34+i，若數(shù)列一一的前"項和為北，求證：T<-.

也九+2J4

【答案】(1)%=3??；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)S“與凡關系可得出數(shù)列4是等比數(shù)列從而得到通項公式;

(2)將/帶入化簡得到"，利用裂項相消可以求得'J—的前〃項和，即可證明不等式.

"+2J

【小問1詳解】

由題意得S〃+1=33〃+1,Sn=35n-1+1(n>2),

兩式相減得Sn+l-Sn=3(S〃—S,T)"22),

an+l=3an,又％+%=3%+1,ax—\,a2=3,

.=3,

a{

一一3(〃￡N),

an

..?{4}是首項為1,公比為3的等比數(shù)歹U,

【小問2詳解】

由(1)可知Q”=3"T,則a.=3",

n

所以優(yōu)=log3an+l=log33=n,

1.11

bnbn+2n(n+2)n+2J'

,3

又〃wN*，「，<：.

4

18.4/8C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足翌日+9g=上皎_.

ac2sinC

(1)求Q；

(2)若4。，BC于D,且求角力的最大值.

TT

【答案】(1)2；(2)

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化及誘導公式變形可求得；

(2)根據(jù)三角形面積公式得到兒=2叵，由余弦定理結合基本不等式求得人c。-cosA)<2,再由三角

sinA

函數(shù)公式變形得到tanAW蟲，最后根據(jù)正切函數(shù)單調性求得角A的最大值.

23

【小問1詳解】

解：已知等式化為---------------=5-n2(ccosA+tzcosC)=ab,

=>2(sinCcosA+sinAcosC)=asinBn2sin(C+A)=asinB,結合三角形內角和性質,

=>2sinB=asinBna=2.

【小問2詳解】

解：由已知得二ABC的面積S=LbcsinA=LxaxAD=G

22

得到兒=上叵

sinA

又由余弦定理得2?=b~+c2-2bccosA>2bc-2bccosA=2bc(l-cosA^

2V3-2sin2^

7公八八2A/3(1-COSA)A

=^>bc(l-cosA)V2n-----------------V2n2,

)4A~且不€(°，兀)，

'sinA2sin—?cos-"

22

=—A<,—兀=>AA<—兀，

23263

71

即角/的最大值為一.

3

19.在圖（1）五邊形ABCDE中，ED=EA,AB!/CD,CD=2AB,ZCZ>E=150，將AOE沿AD

折起到.54。的位置，得到如下圖（2）所示的四棱錐S-ABC。，/為線段SC的中點，且B尸，平面SCO.

（1）求證：CDJ■平面SAD；

⑵若CD=2SD,求直線5廠與平面S皿所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵亞

7

【解析】

【分析XI）取SD中點N,結合三角形中位線性質可證得四邊形ABbN為平行四邊形，由此可得

知4V1平面SQ）,進而得到ANLCD,&LD為等邊三角形；根據(jù)角度關系可確定CD，，由線

面垂直的判定可證得結論；

(2)取AD,BC中點。G,根據(jù)面面垂直的判定與性質可證得S。，平面ABC。，則以。為坐標原點可

建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結果.

【小問1詳解】

取SD中點N,連接AN,FN,

N,F分別為SD,SC中點，.?.NF7/CD,NF=-CD；

2

又ABUCD,AB=-CD,:.NF//AB,NF=AB,

2

四邊形AB7W為平行四邊形，；.4V〃出"又5/，平面SCO,

.?.AN,平面SCO,又SD,CDu平面SCO,.?.AN_LS。，ANLCD,

N為SO中點，.?.SA=AD,又ED=EA,即SD=S4,

1sAD為等邊三角形，.?.NSZM=NED4=60，又NEDC=150，

:.ZADC=90，即ADLCD,又AN\AD=A,A7V,ADu平面S4￡),

CD一平面SAD.

【小問2詳解】

由(1)知：CD_L平面SAO,

CDu平面ABCD,.,?平面&⑦，平面ABCD,

取AD,3C中點O,G,連接SO,OG,

,△54。為等邊三角形，，30,4￡),又平面&⑦c平面ABC。=AD,

..SO,平面ABC。，

則以O為坐標原點，Q4,OG,OS正方向為x，％z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

/：…一+.....-￡>C

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