2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪課時(shí)規(guī)范練49　破解基于問(wèn)題情境的數(shù)列問(wèn)題

課時(shí)規(guī)范練49破解基于問(wèn)題情境的數(shù)列問(wèn)題一、基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·安徽淮南模擬)如圖所示的數(shù)表為“森德拉姆篩”,其特點(diǎn)是表中的每行每列上的數(shù)都成等差數(shù)列,則第n行第n個(gè)數(shù)字是()2345…3579…471013…591317………………A.n2-1 B.(n+1)2+1C.n2+1 D.n22.(2024·海南?？谀M)某家庭農(nóng)場(chǎng)從2019年開(kāi)始逐年加大投入,加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益,已知2020年的收益為30萬(wàn)元,2022年的收益為50萬(wàn)元.照此規(guī)律,2020年至2027年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為()A.630萬(wàn)元 B.350萬(wàn)元 C.420萬(wàn)元 D.520萬(wàn)元3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題:“今有七人差等均錢,甲乙均七十七文,戊己庚均七十五文,問(wèn)乙丁各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人,所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列,甲、乙兩人共分到77文,戊、己、庚三人共分到75文,問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢?則下列說(shuō)法正確的是()A.乙分到37文,丁分到31文 B.乙分到40文,丁分到34文C.乙分到31文,丁分到37文 D.乙分到34文,丁分到40文4.(2022·新高考Ⅱ,3)中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處,更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖1是某古建筑物中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步的比分別為DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k圖1圖2A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.95.(2024·陜西安康模擬)中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題“今有馬行轉(zhuǎn)遲,次日減半,疾七日,行七百里”,意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700里路,則該馬第五天走的里程數(shù)約為()A.2.76 B.5.51 C.11.02 D.22.056.(2021·北京,6)《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出,中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗,通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)a1,a2,a3,a4,a5(單位:cm)成等差數(shù)列,對(duì)應(yīng)的寬為b1,b2,b3,b4,b5(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,則b3=()A.64 B.96 C.128 D.1607.(2024·廣東江門模擬)一支車隊(duì)有15輛車,某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù),第一輛車于14時(shí)出發(fā),以后每間隔10min發(fā)出一輛,假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車,并都在19時(shí)停下來(lái)休息.已知每輛車行駛的速度都是60km/h,則這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了km.

8.(2024·福建廈門雙十中學(xué)模擬)斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入,故又稱為“兔子數(shù)列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….斐波那契數(shù)列{an}滿足:a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),則1+a3+a5+a7+a9+…+a2022是斐波那契數(shù)列{an}中的第項(xiàng).

9.(2023·北京,14)我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史,戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位:銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列{an},該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列,后7項(xiàng)成等比數(shù)列,且a1=1,a5=12,a9=192,則a7=;數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和為.

二、綜合提升練10.(2024·安徽馬鞍山模擬)風(fēng)箏由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期,距今已2000多年.大型龍類風(fēng)箏放飛場(chǎng)面壯觀,氣勢(shì)磅礴,因而廣受喜愛(ài).某團(tuán)隊(duì)耗時(shí)4個(gè)多月做出一長(zhǎng)達(dá)200米、重約25千克,“龍身”共有180節(jié)“鱗片”的巨龍風(fēng)箏.在制作過(guò)程中,風(fēng)箏骨架可采用竹子制作,但竹子易斷,還有一種耐用的碳桿材質(zhì)也可做骨架,但它比竹質(zhì)的成本高.最終團(tuán)隊(duì)決定骨架材質(zhì)按圖中規(guī)律排列(即相鄰兩碳質(zhì)骨架之間的竹質(zhì)骨架個(gè)數(shù)成等差數(shù)列),則該“龍身”中竹質(zhì)骨架的個(gè)數(shù)為()A.161 B.162 C.163 D.16411.(2024·河南鄭州模擬)北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”,就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問(wèn)題.現(xiàn)有一貨物堆,從上向下查,第一層有1個(gè)貨物,第二層比第一層多2個(gè),第三層比第二層多3個(gè),以此類推,記第n層貨物的個(gè)數(shù)為an,則數(shù)列{2n+1aA.2×[1-(12024)2] B.2×[1-(1C.4×[1-(12023)2] D.4×[1-(112.(2024·四川成都診斷測(cè)試)“勾股樹(shù)”,也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹(shù),是根據(jù)勾股定理所畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形.如圖所示,以正方形ABCD的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形,如此繼續(xù),若共得到127個(gè)正方形,且AB=8,則這127個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為.

課時(shí)規(guī)范練49破解基于問(wèn)題情境的數(shù)列問(wèn)題1.C解析設(shè)第n行第n個(gè)數(shù)字是ann,由題意知第n行是首項(xiàng)為n+1,公差為n的等差數(shù)列,所以ann=(n+1)+(n-1)×n=n2+1.2.D解析依題意,該家庭農(nóng)場(chǎng)從2020年起每年收益依次成等差數(shù)列,設(shè)為{an},可得a1=30,a3=50,所以公差為d=a3-a12=10,所以2020年至2027年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為8×30+3.A解析依題意,設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為a-3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d,則a-3d+a-2d=77,a+d+4.D解析不妨設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1,則DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.由題意得DD1+CC1+BB1+∵k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,∴0.5+k3解得k3=0.9.故選D.5.D解析設(shè)該馬第n(n∈N*,n≤7)天行走的里程數(shù)為an,由題意可知,數(shù)列{an}是公比為q=12的等比數(shù)列,所以該馬七天所走的里程為a1(1-127故該馬第五天行走的里程數(shù)為a5=a1·124=6.C解析由題知2a3=a1+a5,所以a3=192.又因?yàn)閍3b3=a1b1,7.3450解析由題意知,第一輛車行程為(19-14)×60=300km,且從第二輛車開(kāi)始,每輛車都比前一輛少走1060×60=10這15輛車的行駛路程可以看作首項(xiàng)為300,公差為-10的等差數(shù)列,則15輛車的行駛路程之和S15=300×15+15×142×(-10)=38.2023解析由an+2=an+1+an(n∈N*)可得1+a3+a5+a7+a9+…+a2022=a2+a3+a5+a7+a9+…+a2022=a4+a5+a7+a9+…+a2022=a6+a7+a9+…+a2022=…=a2021+a2022=a2023.9.48384解析設(shè)前3項(xiàng)的公差為d,后7項(xiàng)公比為q>0,則q4=a9a5=19212=16,則a3=1+2d=a5q2,即1+2d=3,可得d=1,所以a3=3,a7=a3q4a1+a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+3×(110.B解析設(shè)有n個(gè)碳質(zhì)骨架,n∈N*,由已知可得n+1+2+3+…+(n-1)+n≥180,如果只有n-1個(gè)碳質(zhì)骨架,則骨架總數(shù)少于180,所以(n-1)+1+2+3+…+(n-1)<180,所以n2+3n≥360,且n2+n<362,又n∈N*,解得n=18,所以共有碳質(zhì)骨架18個(gè),故竹質(zhì)骨架有162個(gè).11.D解析由題意知a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,n≥2,n∈N*且a1=1,則由累加法可知,an-a1=2+3+…+n,所以an=1+2+…+n=n(n+1)Sn=4[1-122+122?132+…+1n2?1(n+1)2]=12.480+2242解析依題意可知,不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列,構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故令1+2+22+…+2n-1=127,即1-2n1-即有7種邊長(zhǎng)不同的正方形.又因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)按從大