光學(xué)答案及解析

...wd......wd......wd...1.證：設(shè)兩個(gè)均勻介質(zhì)的分界面是平面，它們的折射率為和。光線通過(guò)第一介質(zhì)中指定的A點(diǎn)后到達(dá)同一介質(zhì)中指定的B點(diǎn)。為了確定實(shí)際光線的路徑，通過(guò)A,B兩點(diǎn)作平面垂直于界面，是他們的交線，那么實(shí)際光線在界面上的反射點(diǎn)C就可由費(fèi)馬原理來(lái)確定〔如右圖〕。反正法：如果有一點(diǎn)位于線外，那么對(duì)應(yīng)于，必可在線上找到它的垂足.由于>,>,故光譜總是大于光程而非極小值，這就違背了費(fèi)馬原理，故入射面和反射面在同一平面內(nèi)得證。在圖中建設(shè)坐oxy標(biāo)系，那么指定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為〔〕和〔〕，未知點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔〕。C點(diǎn)在之間是，光程必小于C點(diǎn)在以外的相應(yīng)光程，即，于是光程ACB為：根據(jù)費(fèi)馬原理，它應(yīng)取極小值，即：，取的是極值，符合費(fèi)馬原理。故問(wèn)題得證。2.(1)證：如以以下圖，有位于主光軸上的一個(gè)物點(diǎn)S發(fā)出的光束經(jīng)薄透鏡折射后成一個(gè)明亮的實(shí)象點(diǎn)。由于球面AC是由S點(diǎn)發(fā)出的光波的一個(gè)波面，而球面DB是會(huì)聚于的球面波的一個(gè)波面，固而,.又光程，而光程。根據(jù)費(fèi)馬原理，它們都應(yīng)該取極值或恒定值，這些連續(xù)分布的實(shí)際光線，在近軸條件下其光程都取極大值或極小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它們的光程卻相等。由于實(shí)際的光線有許多條。我們是從中去兩條來(lái)討論，故從物點(diǎn)發(fā)出并會(huì)聚到像點(diǎn)的所有光線的光程都相等得證。除此之外，另有兩圖如此，并與今后常用到：3.解：由的結(jié)果得：

=

=10〔cm〕4.解：由結(jié)果知：〔1〕,〔2〕

(3)而又5.證：6.解：7.解：〔1〕〔2〕8.解：s/F/f/-sAxs/F/f/-sAx9.證：由圖可知，假設(shè)使凹透鏡向物體移動(dòng)的距離亦可得到同樣的結(jié)果。10.解：P′11.解：〔1〕由經(jīng)導(dǎo)知：按題意，物離物方主點(diǎn)H的距離為，于是由〔2〕12.解：〔1〕仍在原處〔球心〕，物像重合〔2〕13.解：〔1〕〔2〕14解：〔1〕〔2〕〔3〕光路圖如右：15解：〔1〕〔2〕〔3〕16.解：〔1〕透鏡在空氣中和在水中的焦距分別為：〔2〕透鏡置于水中的焦距為：17.解：18.解：〔1〕〔2〕19.解：透鏡中心和透鏡焦點(diǎn)的位置如以以下圖：20.解：21.解：該透鏡是由A,B；兩局部膠合而成的〔如以以下圖〕，這兩局部的主軸都不在光源的中心軸線上，A局部的主軸在系統(tǒng)中心線下方0.5cm處，B局部的主軸那么在系統(tǒng)中心線上方0.5cm處。由于點(diǎn)光源經(jīng)凹透鏡B的成像位置即可〔為便于討論，圖〔a〕〔b〕〔c〕是逐漸放大圖像〕式中分別為點(diǎn)光源P及其像點(diǎn)離開(kāi)透鏡B主軸的距離，虛線在透鏡B的主軸下方1cm處，也就是在題中光學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱軸下方0.5的地方同理，點(diǎn)光源P通過(guò)透鏡A所成的像，在光學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱軸上方0.5的處，距離透鏡A的光心為10cm，其光路圖S畫法同上。值得注意的是和構(gòu)成了相干光源22.證：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面〔涂銀面〕反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像而三次的放大率由分別得又對(duì)于平面鏡成像來(lái)說(shuō)有：可見(jiàn)，當(dāng)光從凸外表如射時(shí)，該透鏡的成像和平面鏡成像的結(jié)果一致，故該透鏡作用相當(dāng)于一個(gè)平面鏡證畢。23.解：依題意所給數(shù)據(jù)均標(biāo)于圖中由于直角棱鏡的折射率n=1.5，其臨界角，故，物體再斜面上將發(fā)生全反射，并將再棱鏡左側(cè)的透鏡軸上成虛像。有考慮到像似深度，此時(shí)可將直角棱鏡等價(jià)于厚度為h=6cm的平行平板，由于的結(jié)果可得棱鏡所成像的位置為：故等效物距為：對(duì)凹透鏡來(lái)說(shuō)：對(duì)凸透鏡而言，即在凹透鏡左側(cè)10cm形成倒立的虛像，其大小為24.解：其光路圖如下：25.解：26.解：27.解：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面〔涂銀面〕反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像即最后成像于第一界面左方4cm處28.解：依題意作草圖如下：第一次成像：第二次成像：求兩次象的大小之比：可見(jiàn)：假設(shè)，那么d無(wú)解，即得不到對(duì)實(shí)物能成實(shí)像的透鏡位置假設(shè)，那么d＝0，即透鏡在E中央，只有一個(gè)成像位置，假設(shè)，那么可有兩個(gè)成像位置。故，欲使透鏡成像，物和屏的距離l不能小于透鏡焦距的4倍但要滿足題中成兩次清晰的像，那么必須有證畢。注：當(dāng)時(shí)，有d＝0，那么。即只有能成一個(gè)像的位置。29.解：其光路頭分別如下：30.解：31.解：其草圖繪制如下32.解：〔1〕〔2〕33.解：34.解：其光路圖如下：35.解：〔1〕由折射定律：nsinα=sinβ所以α=sin-1(sinφ/n)又臨界角αc=sin-1〔1/n〕即α<αc故是局部反射。〔2〕由圖知：α=〔φ-α〕+θ，即θ=2α-φ，而δ=π-2θ,所以δ=π-4α+2φ.〔3〕因?yàn)閐δ/dφ=-4dα/dφ+2=0，即：dα/dφ=1/2,而：α=sin-1〔sinφ/n〕,dsin-1x/dx=1/(1-x)1/2.即：dα/dφ=cosφ/n(1-sin2φ/n2)1/2=1/2,1-sin2φ/n2=4cos2φ/n21=sin2φ/n2+cos2φ/n2+/n2=1+3cos2φ.所以cos2φ=〔n2-1〕/3.或：φ=cos-1〔n2-1/3〕1/2.αφδ36.因?yàn)閚//s/-n/s=(n/-n)/r.1因?yàn)閚/=1.5,n=1,s1=r1=4(cm)所以1.5/s1/-1/4=(1.5-1)/4,1.5/s/1=1/4+0.5/4=3/8.所以s1/=8×1.5/3=4(cm).即在球心處。因?yàn)閚/=1,n=1,s2=s/+(9-8)/2=4.5cm..所以1/s2/-1/s/1=0,s2/=s2=4.5cm.即像仍在球心處。〔3〕1因?yàn)閚/=1.33,1.5,r=1.5mm,s=1mm.所以1.33/s/1-1.5/1=(1.33-1.5)/1.5.33/s/1=1.5+1.33/1.5–1=1.39.所以s/1=1.33/1.39=0.96(mm)又s2=50-(1.5-0.96)=49.46(mm).故1/s2/-1.33/49.46=1-1.33/50s2=0.0203s2/=49.26〔mm〕所以d〔內(nèi)〕=2r(內(nèi))=2×(50-49.26)=1.48≈1.5〔mm〕2由n/=1n=1.33r=50mms=48.5〔mm〕所以1/s1/-1.33/48.5=1.33./501/s1/=1.33/48.5+1/50-1.33/50=0.0208所以s/≈48.1〔mm〕d〔外〕=2r/(外)=2×(50-48.1)≈4〔mm〕(2)1∵n/=1.5n=1.0r1=4cms1=4-0.15=3.85cm∴1.5/s1/-1/3.85=(1.5-1.0)/41.5/s1/=1/3.85=0.5/4≈0.385∴s1/=1.5/0.385≈3.896(cm)又∵n/=1.0n=1.5cms2=3.896+0.5=4.396(cm)∴1/s2/-1.5/4.396=(1-1.5)/4.51/s2/=1.5/4.396-0.5/4.5≈0.23∴s/2≈4.348(cm)d=2×(4.5-4.348)≈0.304(cm)≈3mm37.〔1〕證：∵物像具有等光程性，即：sl1ps1=Δso1o2s2s1Δsl2s2=Δso1o2s2Δsl1p=Δsl1ps1-Δps1=Δsl1ps1-ps1Δsl2s2p=Δsl2s2+Δs2p==ps2而Δso1o2s2s1-Δso1o2s2=s1s2=L=Δsl1ps1-Δsl2s2∴ζ=Δsl1p-Δsl2s2p=〔Δsl1ps1-ps1〕-〔+ps2〕=(Δsl1ps1-Δsl2s2)-ps1-ps2=L-(ps1+ps2)故有ζ=L-(s1p+s2p)得證。〔2〕當(dāng)ζ=jλ時(shí)為干預(yù)相長(zhǎng)，是亮紋。ζ=〔2j=1〕λ/2時(shí)相消，是暗紋。且條紋僅出現(xiàn)在光軸的上方〔s1s2p〕的區(qū)域內(nèi)。故在〔s1s2p〕區(qū)域內(nèi)放置的垂直于垂線的光屏上可看到亮暗相間的半圓形干預(yù)條紋?！病咂书_(kāi)后的透鏡為半圓形〕∵n/=1.0n=1.5r=1.5mms=1mm∴1/s/-1.5/1=(1-1.5)/1.51/s/=1.5-1/3≈1.167.s/≈0.857d(內(nèi))=2×(1.5-0.857)≈1.268(mm)38.∵d<<ad<<b,該玻璃板可視為薄透鏡，且是近軸光線。圓板中心處的折射率為n〔0〕，半徑為r處的折射率為n〔r〕，那么由物像之間的等光程性知：n1L+n2L/=n1a而：n1=n2=1L=〔a2+r2〕1/2L/=(b2+r2)1/2即：〔a2+r2〕1/2+n(r)d+(b2+r2)1/2=a+b+n(0)d∴n(r)d=n(0)d+a+b-〔a2+r2〕1/2-(b2+r2)1/2故n(r)=n(0)+{a+b-〔a2+r2〕1/2-(b2+r2)1/2}/d討論：假設(shè)為平行光照射時(shí)，且折射后會(huì)聚于焦點(diǎn)F,那么有`n(r)d+(f/+r2)1/2=n(0)d+.即：n(r)=n(0)+{f/-(f/+r2)1/2}/d.當(dāng)d<<f/時(shí)，有：n(r)n(0)-r2/2df/.圖示：lrl/ABAbdFf39．〔1〕∵n//s1/-n/s1=(n/-n)/r1n/=1.5,n=1.0,s1=-40cm,r1=-20cm∴1.5/s1/=1/(-40)+(1.5-1.0)/(-20)=-1/20,s1/=-20×1.5=-30(cm).(2)∵1/s2/+1/s2=2/r2,s2=s1/=-30cm,r2=-15cm∴1/s2/=2/r2-1/s2=2/(-15)–1/(-30)=-1/10,s2/=-10(cm).(3)∵n//s3/-n/s3=(n/-n)/r1s3=s2/=-10cmr1=-20cmn/=1.0n=1.5.∴1/s3/=(1.0-1.5)/(-20)+1.5/(-10)=-1/8(4)∵β=β1β2β3,β=y//y=ns//n/s.β1=ns1//n/s1=1/2β2=ns2//(-n/s2)=-s2//s2=-1/3β3=ns3//n/s3=6/5.∴β=1/2×(-1/3)×6/5=-1/5=-0.2.故最后像在透鏡左方8cm處，為一大小是原物的0.2倍倒立縮小實(shí)像。圖示：40.證：∵O1P1=-s1,O2P2=s2,P1A1=L1A2P2=L2,A1M=A2N=h,O1O2L1={[(-s1)+O1M]2+h2}1/2L2={[S2+O2N]2+h2}1/2.在近軸條件下，O1M<<R1O2N<<-R2即:O1M≈h2O2N≈h2/2(-R2).∴ΔP1A1A2P2=n1L1+n[d-O1M=n1{[(-s1)+O1M]2+h2}1/2+n[d-O1M-O2N]+n2{[s2+O2N]2+h2=n1{[-s1+h2/2R1]2+h2}1/2+n[d-h2/2R1-h2/2(-R2)]+n2{[s2+h2/2(-R2)]2+h2}1/2當(dāng)A1點(diǎn)在透鏡上移動(dòng)時(shí)，R1和R2是常量，h是常量，根據(jù)費(fèi)馬原理，對(duì)h求導(dǎo)，并令其等于0，即dΔP1A1A2Pn1{[-s1+h2/2R1]h/R1+h}/L10–nh/R1–nh/(-R2)+n2{[s2+h2/2(-R2)]h/(-R2)+h}/L2=0.∵在近軸條件下，h<<R1,h<<(-R2),L1≈-s1,L2≈s2,并略去h2項(xiàng)，得：h[n2/s2-n1/s1-(n-n1/R1+n2-n/R2)]=0,即：n2/s2–n1/s1=(n-n1)/R1+(n2-n)/R2=φ.又∵f1=lim|s2-∞=-n1/φ,f2=lim|s1--∞=n2/φ∴f1/s1+f2/s2=1得證。垂點(diǎn)MA1A2垂點(diǎn)Nn1n2L1hhL2P1mP2O1O2R2R1-S1S2〔2〕此人看不清1m以內(nèi)的物體，說(shuō)明其近點(diǎn)在角膜前1m出，是遠(yuǎn)視眼，應(yīng)戴正光焦度的遠(yuǎn)視鏡鏡。要看清25cm處的物體，即要將近點(diǎn)矯正到角膜前0.25m〔即25cm〕處，應(yīng)按〔即-100cm〕和s=-0.25m〔即-25cm〕去選擇光焦度.即眼鏡的光焦度為+3.0〔D〕〔屈光度〕，在醫(yī)學(xué)上認(rèn)為這副眼鏡為300度的遠(yuǎn)視眼鏡〔〕。另：要看清遠(yuǎn)處的物體，那么：6.解：最后觀察到的象在無(wú)窮遠(yuǎn)出，即.經(jīng)由物鏡成象必定在目鏡的焦平面上。7．證：∵開(kāi)氏和伽氏望遠(yuǎn)鏡的物鏡都是會(huì)聚透鏡，其橫向放大率都小于1，在物鏡和目鏡的口徑相差不太懸殊的情況下經(jīng)過(guò)物鏡邊緣的光線，并不能完全經(jīng)過(guò)目鏡，在整個(gè)光具組里，真正起限制光束作用光圈的是〔會(huì)聚透鏡〕物鏡的邊緣。∴望遠(yuǎn)鏡的物鏡為有效光圈〔從下面的圖中可以清楚地看出。8．解：∵有效光闌是在整個(gè)光具組的最前面，∴入射光瞳和它重合，其大小就是物鏡的口徑，位置就是物鏡所在處。而有效光闌對(duì)于后面的光具組所成的象即為出射光瞳即對(duì)成的象為出射光瞳。9.解：∵是該望遠(yuǎn)鏡的有效光闌和入射光瞳，它被、所成的象為出射光瞳。∴把對(duì)、相繼成象，由物象公式便可得出出射光瞳的位置。or將10.解：〔1〕∵光闌放在了透鏡后，∴透鏡束就是入射光瞳和出射光瞳，對(duì)主軸上P點(diǎn)的位置均為12cm，其大小為6cm.假設(shè)為凹透鏡，那么=-3.53cm11.解:∴作光路圖如由：12.解：設(shè)桌的邊緣的照度為E，or設(shè)B出發(fā)光