2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：相似三角形（解析版）

知識必備12相似三角形

易錯點：在研究三角形相似時，如果沒有明確對應(yīng)關(guān)系時，就一定要分類討論，否則解答不完整.

一、解答題

1.（2024上?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，^5=10cm,3c=20cm,點尸從點4開始沿邊

向2點以2cm/s的速度移動，點0從點3開始沿3C邊向點。以4cm/s的速度移動，如果點尸，。分別從4,3同

時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△尸80與AABC相似.

【答案】經(jīng)過2.5秒或1秒鐘，“5。與"8C相似.

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，設(shè)經(jīng)過，秒鐘時，△尸骸與“3C相似，得到"=2/cm,BQ=4tcm,

8P=（10-2t）cm,討論對應(yīng)邊的不同，分別利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過f秒鐘，“8。與相似.

由題意得AP=2Zcm,BQ=4，cm,

「/3=10cm,BC=20cm,

SP=（10-2Z）cm,QC=（20-4/）cm,

?.?△必。與相似，

當(dāng)BP與對應(yīng)時，有"=箓，即"清=之，解得?=2.5,

ADnCiu/u

當(dāng)BP與8c對應(yīng)時，有黑=警，即”薩=9,解得‘=1，

綜上所述，經(jīng)過2.5秒或1秒鐘，APB。與相似.

2.（2023上?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期末）四邊形/BCD中，點E在邊N8上，連結(jié)。瓦CE.

（2）如圖2,若四邊形/8CD為矩形，AB=5,BC=2,且V4DE與￡、B、C為頂點的三角形相似，求NE的長.

【答案】（1）見解析

(2)/E=2.5或1或4

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識.

(1)由點￡在邊Z2上，且—=/-DEC=50。，得ZADE=130°-ZAED,NBEC=130°-NAED,所以ZADE=ZBEC,

又因為乙4=4,所以根據(jù)“有兩個角分別相等的兩個三角形相似唧可證明A/EOSABCE；

(2)分兩種情況：△ADE5BEC或AADE-BCE,設(shè)N￡=x,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程求出x

的值即可.

【詳解】⑴證明：?.?點E在邊48上，且乙4=/。￡。=50。，

ZADE=180°-50°-ZAED=130°-ZAED,ABEC=180°-50°-AAED=130°-Z.AED,

ZADE=ABEC,

■：NA=NB,

△ADEMBEC；

(2)如圖2、如圖3,

設(shè)/E=x,

AB=5,AD=BC=2,

當(dāng)BEC時，

ADAE

2x

解得再=1,x2=4；

△4QE—ABCE時,

AD_AE

：'~BC~'BEy

2x

解得x=2.5,

綜上，/￡=2.5或1或4.

3.(2024上?陜西寶雞?九年級寶雞市新建路中學(xué)校考期末)如圖，在AABC中，05=90°,AB=6cm,5C=8cm,

點P從點A開始沿邊向點5以lcm/s的速度運動，點。從點3沿邊8C向點C以2cm/s的速度運動.若點P、點。

同時出發(fā)，當(dāng)某點到終點時，另一點立即停止運動.運動時間為：s.

Q)BP=cm,BQ=cm；(用含f的代數(shù)式表示)

⑵請計算當(dāng)點尸運動多少秒時，以B、P、。為頂點的三角形與“BC相似.

【答案】(1)(6-?)；2t

1Q

(2)2.4秒或打?秒

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，

(1)根據(jù)路程=速度x時間以及線段的和差，即可列出代數(shù)式；

(2)分兩種情況，APBQsAABC或AaBPMABC,分別得到關(guān)于f的方程，求出，的值，即可解決問題；

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：?.?點?從點A開始沿N8邊向點8以lcm/s的速度運動，點。從點8沿邊8c向點C以2cm/s的速

度運動，AB=6cm,BC=8cm,

BP=AB-AP=(6-t)(cm),80=2*cm),

故答案為：(6-。；2t；

(2)設(shè)點P運動f秒時，以B、P、。為頂點的三角形與“8C相似，

?.?點尸從點A開始沿43邊向點B以lcm/s的速度運動，點。從點B沿邊3c向點C以2cm/s的速度運動，點尸、點0

同時出發(fā)，當(dāng)某點到終點時，另一點立即停止運動，^5=6cm,3c=8cm,

.?.點P運動到終點所需時間為：6+1=6⑸，

點。運動到終點所需時間為：8+2=4(s),

的取值范圍是：0<?<4,

4B=4B=90°,

.?.可分兩種情況：

當(dāng)XPBQs/\ABC時，

PBQB

6~t2t

t=2.4；

當(dāng)時，

QBPB

2t_6-t

一I丁，

18

?t=—

一ir

1Q

，當(dāng)點尸運動2.4秒或五秒時，以B、P、。為頂點的三角形與小3C相似.

4.(湖南省常德市初中教學(xué)聯(lián)盟校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)綜合與實踐

如圖，在Rt448C中，ZC=90°,/B=10,8c=6,點P以每秒2個單位長度的速度從點/出發(fā)，沿48方向向終

點8勻速運動，同時點。以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿C4方向向終點N勻速運動，連接P。.設(shè)運

動的時間為f秒.

⑵當(dāng)”3秒時，求△/尸。的面積.

⑶如圖2,連接B0,當(dāng)V2P。為直角三角形時，求所有滿足條件/的值.

【答案】(1)87

(2)9

【分析】本題考查了勾股定理解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，熟知相關(guān)知識并根據(jù)題意添加適當(dāng)

輔助線構(gòu)造直角三角形運用勾股定理或相似三角形是解題關(guān)鍵，第(3)步要注意分類討論.

(1)根據(jù)勾股定理求出/C=8,根據(jù)題意即可表示出/。=8-八

(2)作尸EL/C,根據(jù)題意得到“尸=6,"。=5,證明ZUBC,求出PE=3.6,根據(jù)三角形面積公式即

可求出4g=9；

(3)先表示出4P=2/,CQ=t,AQ=^-t,即=10-,分N8P。=90。和乙8。尸=90。兩種情況，分別根據(jù)

勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：在中，由勾股定理可得=一8丑=8,

由題意可得：CQ=t,則/Q=/C_CQ=8

(2)解：如圖，PELAC,

40=87=5,

?「PEIAC,

/PEA=/C=90。,

?「ZA=ZA,

/./\APE^^ABC,

APPE

一~AB~^C"

即9=空,

106

解得?￡=3.6,

SM>2=:/QXPE=；X5X3.6=9；

(3)解：由題意可得：AP=2t,CQ=t,AQ=8-t,BP=W-2t,

①如圖2,當(dāng)ZBPQ=90°時，根據(jù)勾股定理得BQ2=BC2+CQ2,BQ2=BP2+PQ2=BP2+AQ2-AP2,

BP2+AQ2-AP2=BC2+CQ2,

.?.(10-2?)2+(8-Z)2-(2/)2=62+?2

解得：，若，符合題意；

B

②如圖3,當(dāng)/2。尸=90。時，作PE1/C垂足為￡,

由(1)得AAPEsA4BC,

APPEAE

~AB~^C~7C

口口2tPEAE

即一=——=——

1068

,PE=g,AE=^tf

QE=AQ-AE=8-—t

?「PELAC,

ZC=/BQP=AQEP=90°,

ZCBQ+ABQC=ABQC+ZPQE=90°,

.../CBQ=/PQE,

.MBCQ^JQEP,

.BCCQ

'~QE~~PE'

6_t

即a13「可,

55

4

解得。=］，12=°（不合題意，舍去）.

圖3

一.比例的性質(zhì)（共2小題）

1.（2023?金昌）若巴=3,貝）

2b

32

A.6B.-C.1D.-

23

【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積即可得出答案.

【解答】解：二q=3,

2b

ab=6.

故選：A.

【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵.

2.（2023?甘孜州）若土=2,則上上=1.

7y

［分析］根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：'.--=2,

7

X—VX

/.—=——1=2—1=1.

yy

故答案為：i.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

二.黃金分割（共1小題）

3.（2023?廣東）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻.優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答.

【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻.優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù),

故選：A.

【點評】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計量的選擇，熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

三.平行線分線段成比例（共3小題）

4.（2023?吉林）如圖，在ZU8C中，點。在邊48上，過點。作OE//8C,交AC于點、E.若/。=2,BD=3,

則修的值是（）

B-I

【分析】由小〃仁利用平行線分線段成比例，可得出芫二竟，再代入32,BD=3,4BMD+BD,

即可求出結(jié)論.

【解答】解：...DE/A8C,

.AEADAD2_2

"AC~AB~AD+BD~2+3^5'

故選：A.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的

對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：

畫法圖形

（1）以/為端點畫一條射線；

（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段

AC,CD、DE,連接BE;

（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段

AAnB

AB于點、N.M、N就是線段的三等

分點.

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.兩條平行線之間的距離處處相等

C.垂直于同一條直線的兩條直線平行

D.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.

［解答1解：,：CM//DN//BE,

AC:CD:DE=AM:MN:NB,

'：AC=CD=DE,

:.AM=MN=NB,

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，

故選：D.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，尺規(guī)作圖，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?北京）如圖，直線4D,8C交于點O,ABHEFIICD,若/O=2,OF=\,FD=2,則些的值為

【分析】根據(jù)題意求出/尸，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可.

【解答】解：7/0=2,OF=1,

AF=AO+OF=2+1=3,

'：ABIIEF/ICD,

BEAF3

"EC~FD~2'

故答案為：

2

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

四.相似圖形（共1小題）

7.（2023?泰州）兩個相似圖形的周長比為3:2,則面積比為_9:4_.

【分析】由兩個相似圖形，其周長之比為3:2,根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相

似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案.

【解答】解：:兩個相似圖形，其周長之比為3:2,

其相似比為3:2,

，其面積比為9:4.

故答案為：9:4.

【點評】此題考查了相似圖形的性質(zhì).此題比較簡單，注意熟記定理是關(guān)鍵.

五.相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）

8.（2023?威海）如圖，四邊形是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使N邊落在DC邊上，點N

落在點X處，折痕為使C8邊落在CD邊上，點8落在點G處，折痕為CF.若矩形HEFG與原矩形N8CD相

C.V2+1D.#>+1

【分析】設(shè)〃G=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得乙4=N4DH=90。，AD=BC=1,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：

Z.A=Z.AHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,從而可得四邊形/小汨是正方形，然后利用正方形的性質(zhì)可得

AD=HE=\,最后利用相似多邊形的性質(zhì)，進行計算即可解答.

【解答】解：設(shè)HG=x,

:四邊形/BCD是矩形，

N4=AADH=90°,AD=BC=\,

由折疊得：N4=NAHE=9。°,AD=DH=\,BC=CG=1,

四邊形4M汨是矩形，

'：AD=DH,

.-.四邊形4DHE是正方形，

:.AD=HE=\,

二矩形HEFG與原矩形ABCD相似,

.GHHE

\4D~1X：'

X_1

..廠1+X+1，

解得：x=V2-l^x=-V2-l,

經(jīng)檢驗：尤=亞-1或工=-亞-1都是原方程的根,

：GH>0,

:.GH=42-1,

DC=2+x=V2+1,

故選：C.

【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解一元二次方程-公式法，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），正方形

的判定與性質(zhì)熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

六.相似三角形的性質(zhì)（共2小題）

9.（2023?重慶）如圖，已知ZU8cs△EOC,AC:EC=2:3,若48的長度為6,則￡>￡的長度為（）

A.4B.9C.12D.13.5

［分析］根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求解.

【解答】解：,AC:EC=2;3.

ABACBC2

“茄一正一而一3'

,當(dāng)A8=6時，DE=9.

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，找到對應(yīng)的邊成比例是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1:4,則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可.

【解答】解：...兩個相似三角形周長的比為1:4,

這兩個三角形對應(yīng)邊的比為1:4,

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

七.相似三角形的判定（共1小題）

11.（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.有一張矩形紙片

如圖所示，點N在邊4D上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為8N,點/對應(yīng)的點記為點“，若點”恰好落在邊上，則

圖中與一定相似的三角形是HMCB.

DMC

【分析】利用矩形的性質(zhì)得到乙D=NC=90°,然后利用折疊的性質(zhì)推導(dǎo)出乙B73=N/=90°,進而得到

ZDNM=ACMB,由此推斷出RNDMSRMCB.

【解答】解：...四邊形/BCD是矩形，

.-.NA=ND=NC=90°,

ZDNM+Z.DMN=90°,由折疊的性質(zhì)可知，ZBMN=24=90°,

ZDMN+ACMB=90°,

4DNM=ACMB,

:.ANDM—^MCB,

故答案為：AMCB.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及翻折變換（折疊問題），熟練掌握相似三角形的判定

方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

八.相似三角形的判定與性質(zhì)（共7小題）

12.（2023?雅安）如圖，在口4BCD中，歹是/。上一點，CF交BD于點E,C尸的延長線交A4的延長線于點G,

EF=l,EC=3,貝I]GF的長為（）

A.4B.6C.8D.10

[分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出ADIIBC,ABI/CD,AD=BC,于是推出ADEF^/^BEC,/iDFC^MFG,

先求出DF與BC的比值，繼而得出DF與AF的比值，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出GF的長.

【解答】解：...四邊形/BCD是平行四邊形，

AD//BC,AB11CD,AD=BC,

'：AD!/BC,

kDEFskBEC,

DFEF

~BC~~EC

.EF=1,EC=3,

DF1

?.?—-―，

BC3

即空」，

AD3

.DF_1

??一，

AF2

,：AB//CD,

XDFCsKAFG,

DFCF

,^F~'GF'

t：EF=1,EC=3,

C尸=4,

14

?.?一_，

2GF

/.GF=8,

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?哈爾濱）如圖，AC,5。相交于點。，ABHDC,M是45的中點，MN//AC,交BD于點、N,

若DO:OB=1:2,4C=12,則MN的長為（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】由ABHDC易得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得—=-于是

OA2

AC=OA+OC=OA+-OA=12,求出04=8,易得;W為A4Q8的中位線，貝=

22

【解答】解：..ZB//QC,

RCDOs/\ABO,

.OPOC

…~OB~~OA'

...00:05=1:2,

OC1

?.?一-，

0A2

...OC=-OA,

2

'：AC=OA+OC=12,

:.OA+-OA=n,

2

/.CM=8,

■：MNHAC,又是/B的中點,

:.MN為"OB的中位線，

MN=—OA=—x8=4.

22

故選：B.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記“8”字模型相似三角形，以及三角形

中位線定理是解題關(guān)鍵.

AP7

14.（2023?樂山）如圖，在平行四邊形中，E是線段45上一點，連結(jié)/C、DE交于點、F.若——=—,則

EB3

c

^LAEF

（分析】通過證明UEFSRCDF,可得理=空=2,即可求解.

CDDF5

【解答】解：...四邊形/BCD是平行四邊形，

/.AB//CD,AB=CD,

..AE_2

,筋一]，

.?.設(shè)4￡=2a,貝lj5E=3a,

AB=CD=5a,

二AB"CD,

/.MEFsXCDF,

.AE_EF_2

'cF-5'

cS

.°MDF_2_

S[\AEF2

故答案為：

2

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

15.（2023?江西X周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）.“偃

矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度.如圖，點/,B,。在同一水平線上，N/8C和NNQP均

為直角，/尸與8c相交于點。.測得/8=40CTM,BD=20cm,AQ=12m,貝!］樹1W1/。=6m.

［分析］根據(jù)題意可知：AABCSAAQP,從而可以得到理=絲，然后代入數(shù)據(jù)計算，即可得到尸。的長.

【解答】解：由題意可得,

BC/1PQ,AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

MBD^MQP,

AB_AQ

'BD~QP

即竺二工,

20QP

解得。尸=6,

「?樹高尸。二6冽，

故答案為：6

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

16.(2023?邵陽)如圖，CA］.AD,ED\.AD，點5是線段4。上的一點，且C51BE.已知48=8,AC=6,DE=4.

(1)證明：MBC^^DEB.

(2)求線段的長.

【分析】(1)利用同角的余角相等得NC=ZDBE,可證明結(jié)論;

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】(1)證明：1，EDLAD,CB1BE,

ZA=ACBE=AD=90°,

NC+NCB4=90。,ZCBA+ADBE=90°,

/.ZC=Z.DBE,

:.LABCs^DEB;

(2)解：,:KABCs^DEB,

.AC_AB

"^D~~DE"

.6_8

??一，

BD4

BD=3.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，利用同角的余角相等得zc=NDBE是解決問題的關(guān)鍵.

17.（2023?眉山）如圖，口/8。中，點E是4D的中點，連結(jié)CE并延長交A4的延長線于點尸.

（1）求證：AF=AB;

（2）點G是線段/尸上一點，滿足NFCG=NFCD,CG交4D于點X,若/G=2,FG=6,求G”的長.

【分析】（1）先根據(jù)AAS證明kCDE-AFAE,得CE=EF,再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得結(jié)論；

（2）先根據(jù)（1）可得：AB=AF=8,由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可得CG=GF=6，證明，

列比例式可得GH的長.

【解答】（1）證明：:四邊形是平行四邊形，

AD/IBC,CDIIAB,

ND=AFAD,ZDCE=ZF,

是/。的中點，

DE=AE,

\ACDE^AFAE(AAS),

?.CE=EF,

：AEIIBC,

FAFE1

,ABCE'

?.AF=AB；

(2)解：,.ZG=2,FG=6,

\AF=FG+AG=6+2=S,

\AB=AF=S,

..四邊形ABCD是平行四邊形，

\CD=AB=S,

：乙DCE=ZF,ZFCG=Z.FCD,

?.ZF=Z.FCG,

?.CG=FG=6,

：CD//AF,

NDCH^KAGH,

CDCH86-GH

---=----,即0n一=--------

AGGH2GH

:.GH=\.2.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，掌握三角形全

等和相似的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵.

18.(2023?蘇州)如圖，ZU8C是。。的內(nèi)接三角形，48是。。的直徑，AC=y[5,，點尸在N3上,

連接C尸并延長，交。。于點。，連接3。，作BE1CD,垂足為￡.

(1)求證：ADBEsMBC;

進而可以證明結(jié)論;

(2)過點。作CGI4?,垂足為G,證明AD3ES418C,得膽=匹，代入值即可解決問題.

ABAC

【解答】(1)證明：7NB為直徑,

ZACB=90°,

'：BE1CD,

ABED=90°,

BC所對的圓周角為N8DE和ABAC,

ZBDE=ABAC,

XDBE—KABC;

(2)解：如圖，過點C作CG1/8,垂足為G,

,/Z^CB=90°,AC=?,BC=275,

AB=y/AC2+BC2=5,

：CG1AB,

:.AG=ACcosA=小又去=\,

\'AF=2,

：.FG=AG=\,

/.AC=FC,

ACAF=ACFA=ZBFD=ABDF,

..BD=BF=AB-AF=5-2=3,

'：^BE^KABC,

BD_DE

"IF一就‘

3DE

A5=VT5

:.ED=—.

5

【點評】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識點，解決本題的關(guān)鍵是

得到ADBE^AABC.

九.相似三角形的應(yīng)用（共2小題）

19.（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保

持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲的眼睛離地面高度為16〃，

同時量得小菲與鏡子的水平距離為2機，鏡子與旗桿的水平距離為10加，則旗桿高度為（）

卜、、___________________

A.64mB.8mC.9.6mD.12.5m

【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，MBCsAEDC,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可.

【解答】解：如圖：

,：AB1BD,DE1BD,

/ABC=4EDC=90°,

?：4ACB=4DCE,

/^ABCSREDC,

.ABBC

'~DE~~CD"

即生=2,

DE10

DE=8(m),

【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成

比例即可解答.

20.（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個卡鉗（1。=3。,若=詈=；）測量某個零件的內(nèi)孔直徑/3,量得CD長度為6c加，

則AB等于18cm.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得的長.

【解答】解：/-=—=-,/COD=/AOB,

OBOA3

/.XCODsKAOB,

/.AB:CD=3,

."CD=6cm,

/.AB=6x3=18（c加）,

故答案為：18.

【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，求出AB的值是解答本題的關(guān)鍵.

一十.位似變換（共5小題）

21.（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4（2,2）,8（4,1）,以原點。為位似中心，相似比為2,把AONB

放大，則點N的對應(yīng)點4的坐標(biāo)是（）

A.(1,1)B.(4,4)或(8,2)

C.(4,4)D.(4,4)或(-4,-4)

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案.

【解答】解：7以原點O為位似中心，相似比為2,把AOAB放大，點A的坐標(biāo)為(2,2),

.?.點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為(2x2,2x2)或(2x(-2),2x(-2)),即(4,4)或(-4,-4),

故選：D.

【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為左，那么位

似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于6或-上

22.(2023?遂寧)在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點MBC、

成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為()

C.(0,1)D.(1,0)

【分析】根據(jù)位似中心的定義作答.

AABC與ADEF的對應(yīng)頂點的連線相交于點(-1,0),則位似中心的坐標(biāo)為(-1,0).

故選：A.

【點評】本題主要考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“位似中心”的確定方法.

23.(2023?煙臺)如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點尸為位似中心作正方

形尸444,正方形尸444,…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形尸444的頂點坐

4(-2,-1),則頂點4。。的坐標(biāo)為()

C.(32,35)D.(32,0)

【分析】根據(jù)位似變換的概念、點的坐標(biāo)的變化情況找出點的橫縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：由題意可知：點4(-2,1),點4(-1,2),點4(0,3),

■/I=3x0+1,4=3xl+l,7=3x2+l,....,100=3x33+1,-2=0-2,-1=1-2,0=2-2,1=0+1,2=1+1,

3=2+1,

頂點4。。的坐標(biāo)為(33-2,33+1),即(31,34),

故選：A.

【點評】本題考查的是位似變換、點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，根據(jù)點的坐標(biāo)的變化情況正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

24.(2023?阜新)如圖,LABC和&DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2:3,則RABC和XDEF的

【分析】先利用位似的性質(zhì)得到根3。6")所,相似比為2:3,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：.「AABC與△￡＞訪是以點。為位似中心的位似圖形，位似比為2:3,

:ZBC—ADEF,相似比為2:3,

LABC與NDEF的面積之比為22:=4:9.

故答案為：4:9.

【點評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方

是解題的關(guān)鍵.

25.(2023?盤錦)如圖,ZU8O的頂點坐標(biāo)是/(2,6),5(3,1),0(0,0),以點。為位似中心，將AAB。縮小為原

17?

來的“得到△NEO,則點4的坐標(biāo)為_(§-2)或

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案.

【解答】解：:以原點。為位似中心，把縮小為原來的;，可以得到點/的坐標(biāo)為(2,6),

，點的坐標(biāo)是(2x§,6x或(2x,6x(—§)),即(§,2)或(一§,—2).

故答案為：§,2)或(-1,-2).

【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為左，

那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于左或-上

一十一.相似形綜合題(共1小題)

26.(2023?福建)如圖1,在中，ABAC=90°,AB=AC,。是48邊上不與/,3重合的一個定點.AOiBC

于點O,交CD于點E.。