教案材料數(shù)學(xué)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)與技能

了解二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的背景和轉(zhuǎn)化的條件，能初步用函數(shù)值的觀(guān)點(diǎn)看方程，掌握利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解的方法。

理解二次函數(shù)和一元二次方程、不等式的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，掌握轉(zhuǎn)化的條件和方法，初步了解函數(shù)與方程的思想與方法。

2．過(guò)程與方法

經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系．

3．情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)

通過(guò)觀(guān)察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)

1．了解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程根和拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的關(guān)系，

2．會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。

3．二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

三、教學(xué)建議（建議5課時(shí)）

1．注意恰當(dāng)設(shè)置問(wèn)題情景，讓學(xué)生感受二次函數(shù)的與方程的實(shí)際意義，引導(dǎo)學(xué)生自主探索得出二次函數(shù)與一元二次方程之間的區(qū)別與聯(lián)系。

2．注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的啟蒙以及學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)；

【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：

二次函數(shù)（）與一元二次方程（）之間的關(guān)系，利用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的實(shí)數(shù)根。2.難點(diǎn)：一元二次方程根的情況與二次函數(shù)圖像與x軸位置關(guān)系的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

三.具體內(nèi)容：1.如果拋物線(xiàn)與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一根。2.二次函數(shù)（）圖像與x軸的關(guān)系有3種：（1）沒(méi)有公共點(diǎn)：此時(shí)一元二次方程沒(méi)有實(shí)根，即；（2）有一個(gè)公共點(diǎn)：此時(shí)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即；（3）有二個(gè)公共點(diǎn)：此時(shí)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即3.利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的根一般是近似的。

【典型例題】[例1]已知函數(shù)，利用函數(shù)圖像求出的根。（精確到0.1）解：做出的圖像，如圖，它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約為，∴方程的實(shí)數(shù)根為

[例2]在體育測(cè)試時(shí)，初三的一名高個(gè)子男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是某個(gè)二次函數(shù)圖像的一部分（如圖所示）。如果這個(gè)男同學(xué)的出手處A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），鉛球路線(xiàn)的最高處B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，5）（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）該同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？（精確到0.01米，）解：（1）設(shè)所求函數(shù)的解析式為∵A在拋物線(xiàn)上

∴

∴∴（2）拋物線(xiàn)與x軸正半軸的交點(diǎn)C即為鉛球落地點(diǎn)此時(shí)y=0且x>0，即解得（米）

（不合題意，舍去）∴該同學(xué)把鉛球推出去約13.75米。

[例3]已知拋物線(xiàn)（m為常數(shù)）（1）求證：此拋物線(xiàn)與x軸一定有交點(diǎn)；（2）是否存在正數(shù)m，使已知拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的距離等于？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由。解：（1）∵

∴

∴拋物線(xiàn)與x軸一定有交點(diǎn)。（2）假設(shè)存在正數(shù)m，使已知拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)距離為設(shè)拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為解方程：得∴（∵）∴

∴

解得經(jīng)檢驗(yàn)都適合方程（*）但

∴∴存在正數(shù)，使拋物線(xiàn)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離等于

[例4]已知，做出函數(shù)的草圖，觀(guān)察圖像，當(dāng)x為何值時(shí)，，當(dāng)為何值時(shí)y=0，當(dāng)x為何值時(shí)y<0。解：∴圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，頂點(diǎn)為令得與y軸點(diǎn)為（0，1）解方程得，∴圖像與x軸交點(diǎn)為與∴草圖如圖由圖可知：當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，

[例5]已知實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)與在x軸上有相同的交點(diǎn)A。（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，（2）求p+q的值；（3）設(shè)m，n為正整數(shù)，并且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根p，q，求m，n的值。解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（），由題意得由（1）－（2）得

∴∵

∴

∴

∴點(diǎn)A（）（2）（3）∵p，q是方程的根，且∴把代入

∴由（1）得

∴∵為正整數(shù)

∴

∴m值為8，n的值為1，2，3

[例6]已知拋物線(xiàn)截直線(xiàn)所得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3，并且此拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，求拋物線(xiàn)的解析式。解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，它截直線(xiàn)所得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3，則把它向下平移5個(gè)單位所得的拋物線(xiàn)截x軸的線(xiàn)段長(zhǎng)也為3，所以與x軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為，故可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：化頂點(diǎn)式為：∵原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上∴的頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上∴∴

∴的解析式為∴或由此得原拋物線(xiàn)解析式為或

【模擬試題】一.填空題

1.若二次函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，且c為整數(shù)，則c的最小值為

。2.已知二次函數(shù)的部分圖像（如圖所示），頂點(diǎn)為，由圖像可知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為和

。3.若關(guān)于x的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)位置在x軸的

；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)位置在x軸的

。4.已知m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，拋物線(xiàn)的圖像過(guò)和兩點(diǎn)，則b=

，c

。5.如圖所示，A、B、C是二次函數(shù)的圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則

0，c

0，

0（填“>”、“<”或“=”）。6.如圖所示，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且OB=OC，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

。

二.解答題

7.已知函數(shù)（1）畫(huà)出函數(shù)圖像；（2）利用圖像回答方程的解是多少？x取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0？x取什么值時(shí)，函數(shù)值小于0？8.已知拋物線(xiàn)。（1）求證：此拋物線(xiàn)與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）若此拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求m的值。26.2用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程教學(xué)任務(wù)分析教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能了解一元二次方程的根的幾何意義，掌握用二次函數(shù)圖象求解一元二次方程的根．?dāng)?shù)學(xué)思考建立一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)圖象，體會(huì)數(shù)與形的完美結(jié)合．解決問(wèn)題1．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)一元二次方程解的實(shí)際意義，發(fā)展數(shù)學(xué)思維．2．求解過(guò)程中，學(xué)會(huì)合作、交流.情感態(tài)度1．通過(guò)對(duì)小球飛行問(wèn)題的分析，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情．2．在求解過(guò)程中，體會(huì)解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神．重點(diǎn)利用二次函數(shù)圖象解一元二次方程難點(diǎn)將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)教學(xué)流程安排活動(dòng)流程圖活動(dòng)內(nèi)容和目的活動(dòng)1問(wèn)題引入活動(dòng)2方程與函數(shù)活動(dòng)3鞏固、應(yīng)用活動(dòng)4小結(jié)、布置作業(yè)通過(guò)對(duì)小球飛行問(wèn)題的求解，激發(fā)學(xué)生對(duì)一元二次方程根的探索興趣．觀(guān)察、分析二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的情況，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題的能力．通過(guò)例題鞏固用函數(shù)圖象判斷方程根的情況，激發(fā)探索精神．回顧、反思、交流．布置課后作業(yè)，鞏固、發(fā)展提高．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題與情境師生行為[活動(dòng)1]問(wèn)題：如圖,以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí),球的飛行路線(xiàn)是一條拋物線(xiàn),如果不考慮空氣阻力,球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有關(guān)系：球的飛行高度能否達(dá)到15m?若能,需要多少時(shí)間?（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m出示問(wèn)題，學(xué)生分析理解．注意學(xué)生對(duì)高度、時(shí)間的理解．分析：h是t的二次函數(shù)；當(dāng)h取具體值時(shí)，得到關(guān)于t的一元二次方程；如何求解一元二次方程的根呢？（4）如何理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m（4）球從飛出到落地要用多少時(shí)間?y圖26.2－1yxyxy圖26.2－1－1[活動(dòng)2]問(wèn)題：下列二次函數(shù)的圖象與x軸有沒(méi)有公共點(diǎn)？若有,求出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？參見(jiàn)教材圖26.2－2．在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)關(guān)注：（1）學(xué)生對(duì)問(wèn)題從函數(shù)到方程的轉(zhuǎn)換；（2）學(xué)生對(duì)根的理解；（3）方程的解與函數(shù)中自變量的關(guān)系．解方程：略．在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)關(guān)注：（1）一元二次方程的解法；（2）函數(shù)圖象的應(yīng)用；（3）方程與函數(shù)的聯(lián)系．教師展示問(wèn)題，學(xué)生討論合作完成：分析：如何作出函數(shù)的圖象；利用圖象確定函數(shù)的值；由函數(shù)圖象，能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？圖象法求解：（1）函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－2，1，此時(shí)的函數(shù)值是0；（2）函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，此時(shí)的函數(shù)值為0；（3）函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．（注：此題的上述解法也可以脫離圖象，理解為代數(shù)法求解．）教師提出問(wèn)題，學(xué)生在獨(dú)立思考完成．[活動(dòng)3]例：利用函數(shù)圖象求方程的實(shí)數(shù)根（精確到0.1）xxy1O圖26.2－3練習(xí)：校運(yùn)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球，鉛球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為，則此運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)是多少？解：作的圖象（如下圖），它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是－0.7，2.7，所以方程的實(shí)數(shù)根為．在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)關(guān)注：（1）與方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)；（2）由圖象求得的根，因?yàn)榇嬖谡`差，一般是近似的；（3）學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象的應(yīng)用．分析：（1）在投擲的過(guò)程中，鉛球的初始高度是多少？（2）如何建立直角坐標(biāo)系？（3）如何計(jì)算成績(jī)？本次活動(dòng)中，教師應(yīng)關(guān)注：（1）直角坐標(biāo)系的建立；（2）計(jì)算成績(jī).[活動(dòng)4]小結(jié)作業(yè)：師生共同總結(jié)：（1）利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根．（數(shù)形結(jié)合）（2）由于作圖或觀(guān)察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般都是近似的．課后習(xí)題.26.2用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1．總結(jié)出二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，表述何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒(méi)有實(shí)根．2．會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。過(guò)程與方法經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系．情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)通過(guò)觀(guān)察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。難點(diǎn):二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）問(wèn)題的提出與解決問(wèn)題如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線(xiàn)將是一條拋物線(xiàn)。如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系h＝20t—5t2?？紤]以下問(wèn)題（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地要用多少時(shí)間？分析：由于球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2。所以可以將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程，如果方程有合乎實(shí)際的解，則說(shuō)明球的飛行高度可以達(dá)到問(wèn)題中h的值：否則，說(shuō)明球的飛行高度不能達(dá)到問(wèn)題中h的值。解：（1）解方程15＝20t—5t2。t2—4t＋3=0。t1＝1,t2＝3。當(dāng)球飛行1s和3s時(shí)，它的高度為15m。（2）解方程20＝20t－5t2。t2－4t＋4＝0。t1＝t2＝2。當(dāng)球飛行2s時(shí)，它的高度為20m。（3）解方程20.5＝20t－5t2。t2－4t＋4.1＝0。因?yàn)椋ǎ?）2－4×4.1<0。所以方程無(wú)解。球的飛行高度達(dá)不到20.5m。（4）解方程0＝20t－5t2。t2－4t＝0。t1＝0,t2＝4。當(dāng)球飛行0s和4s時(shí)，它的高度為0m，即0s時(shí)球從地面飛出。4s時(shí)球落回地面。播放課件：函數(shù)的圖像，畫(huà)出二次函數(shù)h=20t－5t2的圖象，觀(guān)察圖象，體會(huì)以上問(wèn)題的答案。從上面可以看出。二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切。由學(xué)生小組討論，總結(jié)出二次函數(shù)與一元二次方程的解有什么關(guān)系？例如：已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x的值為3。求自變量x的值?？梢越庖辉畏匠蹋瓁2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）。反過(guò)來(lái)，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函數(shù)y＝x2－4＋3的值為0，求自變量x的值。一般地，我們可以利用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c深入討論一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。（二）問(wèn)題的討論二次函數(shù)（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋0。的圖象如圖26.2－2所示。（1）以上二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？（2）當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？先畫(huà)出以上二次函數(shù)的圖象，由圖像學(xué)生展開(kāi)討論，在老師的引導(dǎo)下回答以上的問(wèn)題?？刹シ耪n件：函數(shù)的圖像，輸入a,b,c的值，劃出對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖像，觀(guān)察圖像，說(shuō)出函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的解?？梢钥闯觯海?）拋物線(xiàn)y＝x2＋x－2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是－2，1。當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1。（2）拋物線(xiàn)y＝x2－6x＋9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3。當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)的值是0。由此得出方程x2－6x＋9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3。（3）拋物線(xiàn)y＝x2－x＋1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，由此可知，方程x2－x＋1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根?？偨Y(jié)：一般地，如果二次函數(shù)y=的圖像與x軸相交，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程=0的根。（三）歸納一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可知，（1）如果拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝x0時(shí)，函數(shù)的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根。（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。由上面的結(jié)論，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀(guān)察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的。（四）例題例利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2＝0的實(shí)數(shù)根（精確到0.1）。解：作y＝x2－2x－2的圖象（圖26.2－3），它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)