人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點突破期末復(fù)習(xí)專題1.1 空間向量及其運算（七個重難點突破）（原卷版）

專題1.1空間向量及其運算知識點1空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長度或模空間向量的大小叫做空間向量的長度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模符號表示法若向量SKIPIF1<0的起點是A，終點是B，則SKIPIF1<0也可記作SKIPIF1<0，其模記為SKIPIF1<0或SKIPIF1<02.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為SKIPIF1<0單位向量1SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相反向量相反相等記為SKIPIF1<0共線向量相同或相反SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相等向量相同相等SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知識點2空間向量的線性運算1.空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量SKIPIF1<0的乘積SKIPIF1<0仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義SKIPIF1<0SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的方向相同SKIPIF1<0的長度是SKIPIF1<0的長度的SKIPIF1<0倍SKIPIF1<0SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的方向相反SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其方向是任意的3.空間向量的運算律交換律SKIPIF1<0結(jié)合律SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<0知識點3共線向量與共面向量1.直線SKIPIF1<0的方向向量定義：把與SKIPIF1<0平行的非零向量稱為直線SKIPIF1<0的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關(guān)系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要條件是存在實數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0共面向量定理：若兩個向量SKIPIF1<0不共線，則向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使SKIPIF1<0對空間任一點O，SKIPIF1<0空間中SKIPIF1<0四點共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對SKIPIF1<0，使得對空間中任意一點SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0重難點1空間向量的線性運算1．如圖，在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，化簡下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．2．如圖，點M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點，求證：SKIPIF1<0.3．在正六棱柱SKIPIF1<0中，化簡SKIPIF1<0，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果．

4．如圖.空間四邊形OABC中，SKIPIF1<0，點M在OA上，且滿足SKIPIF1<0，點N為BC的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖所示，在長方體ABCD一A1B1C1D1中，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證：SKIPIF1<0.

6．如圖，設(shè)A是SKIPIF1<0所在平面外的一點，G是SKIPIF1<0的重心.求證：SKIPIF1<0.7．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，M為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0重難點2共線問題8．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間中兩個不共線的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且A，B，D三點共線，則實數(shù)SKIPIF1<0_____；9．在正方體SKIPIF1<0中，點E，F(xiàn)分別是底面SKIPIF1<0和側(cè)面SKIPIF1<0的中心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．10．(多選)若空間中任意四點O，A，B，P滿足SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0，其中m+n=1，則結(jié)論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點共面 D．P，A，B三點共線11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同，且SKIPIF1<0，則λ的值為_____；（2）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相反，且SKIPIF1<0，則λ的值為_____.12．已知SKIPIF1<0是空間的一個基底，下列不能與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成空間的另一個基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知平面單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的正數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個，則SKIPIF1<0的取值范圍為_____.14．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，F(xiàn)在對角線A1C上，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.（2）求證：E，F(xiàn)，B三點共線.15．如圖，已知SKIPIF1<0為空間的9個點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.重難點3向量的共面問題16．已知空間SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)SKIPIF1<0為空間中任意一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<017．已知點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，并且對空間任一點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．18．已知SKIPIF1<0三點不共線，對于平面SKIPIF1<0外的任意一點SKIPIF1<0，判斷在下列各條件下的點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0是否共面．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．19．已知SKIPIF1<0為兩個不共線的非零向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0四點共面．20．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三個不共面的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點共面，則SKIPIF1<0的值為_____.21．下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．若{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知識點1空間向量的夾角如圖，已知兩個非零向量SKIPIF1<0，在空間任取一點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0，夾角的范圍：SKIPIF1<0，特別地，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，記作SKIPIF1<0知識點2空間向量的數(shù)量積運算1．空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的數(shù)量積，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即SKIPIF1<0.2．?dāng)?shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律SKIPIF1<0交換律SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<03．投影向量在空間，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量SKIPIF1<0共線的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0稱為向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．4．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為非零向量，則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0重難點4空間向量數(shù)量積的運算23．在正四面體SKIPIF1<0中，棱長為1，且D為棱SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0的值為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0_____.25．在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0=_____.26．給出下列命題：①空間中任意兩個單位向量必相等；②若空間向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③在向量的數(shù)量積運算中SKIPIF1<0；④對于非零向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中假命題的個數(shù)是_____．27．已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.其中正確的個數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角都是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，試求(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．30．在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____重難點5用數(shù)量積解決夾角問題31．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.32．（多選）如圖所示，平行六面體SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0是相交直線D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<033．已知向量SKIPIF1<0都是空間向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____.34．已知不共面的三個向量SKIPIF1<0都是單位向量，且夾角都是SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<035．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0中點．(1)求SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值．36．如圖，二面角SKIPIF1<0的棱上有兩個點A，B，線段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為_____．重難點6投影向量37．在標(biāo)準(zhǔn)正交基SKIPIF1<0下，已知向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為_____，在SKIPIF1<0上的投影之積為_____．38．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，則空間向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影為_____．39．如圖，在長方體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別求向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量．40．如圖，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量等于_____.41．在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量的模是_____．42．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)確定SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影向量，并求SKIPIF1<0；(2)確定SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量，并求SKIPIF1<0．重難點7用數(shù)量積求線段長度43．棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.44．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為（

）A．5 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<045．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0