2024安徽中考數(shù)學二輪專題訓練 題型五“常見數(shù)據(jù)小規(guī)律”拆解“規(guī)律探索題”(含答案)

2024安徽中考數(shù)學二輪專題訓練題型五“常見數(shù)據(jù)小規(guī)律”拆解“規(guī)律探索題”基礎小練(1)若一列正整數(shù)：1，2，3，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________，這n(n≥1)個數(shù)的和為________．(2)若一列數(shù)：1，3，5，7，9，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________，這n(n≥1)個數(shù)的和為________．(3)若一列數(shù)：2，4，6，8，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________，這n(n≥1)個數(shù)的和為________．(4)若一列數(shù)：－1，1，－1，1，－1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(5)若一列數(shù)：1，－1，1，－1，1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．能力提升(6)若一列數(shù)：1，4，9，16，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(7)若一列數(shù)：2，5，10，17，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(8)若一列數(shù)：0，3，8，15，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(9)若一列數(shù)：4，7，10，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(10)若一列數(shù)：2，6，12，20，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．類型一數(shù)式規(guī)律探索典例精講例1觀察以下等式：第1個等式：eq\f(2,1)－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)；第2個等式：eq\f(3,2)－eq\f(5,6)＝eq\f(2,3)；第3個等式：eq\f(4,3)－eq\f(7,12)＝eq\f(3,4)；第4個等式：eq\f(5,4)－eq\f(9,20)＝eq\f(4,5)；第5個等式：eq\f(6,5)－eq\f(11,30)＝eq\f(5,6)；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式______________；(2)寫出你猜想的第n個等式：______________________________________________________(用含n的等式表示)，并證明．【小數(shù)據(jù)分析】等式的結構為：eq\f(B,A)－eq\f(D,C)＝eq\f(F,E)ABCDEF第1個等式122321第2個等式236532第3個等式3412743第4個等式4520954第5個等式56301165第n個等式nn＋1n(n＋1)2n＋1n＋1n【自主作答】安徽近年真題精選1.觀察以下等式：第1個等式：eq\f(2,1)＝eq\f(1,1)＋eq\f(1,1)，第2個等式：eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，第3個等式：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，第4個等式：eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，第5個等式：eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：____________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________________(用含n的等式表示)，并證明．2.觀察以下等式：第1個等式：eq\f(1,1)＋eq\f(0,2)＋eq\f(1,1)×eq\f(0,2)＝1，第2個等式：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝1，第3個等式：eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,4)＝1，第4個等式：eq\f(1,4)＋eq\f(3,5)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝1，第5個等式：eq\f(1,5)＋eq\f(4,6)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,6)＝1，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________________(用含n的等式表示)，并證明．類型二圖形與等式關系的規(guī)律探索典例精講例2很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：13＋23＋33＋…＋n3＝？【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：例2題圖【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出13＋23＋33＋…＋n3＝________＝________(用含n的代數(shù)式表示)；【拓展應用】根據(jù)以上結論，計算：23＋43＋63＋…＋(2n)3的結果為______________．【小數(shù)據(jù)分析】等式的結構為：Aeq\o\al(3,1)＋Aeq\o\al(3,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋…＋Aeq\o\al(3,k)＝B2A1A2A3…AkB第1個等式1//…11第2個等式12/…21＋2第3個等式123…31＋2＋3第n個等式123…k1＋2＋3＋…＋k【自主作答】安徽近年真題精選1.(1)觀察下列圖形與等式的關系，并填空：第1題圖①(2)觀察下圖，根據(jù)(1)中結論，計算圖中黑球的個數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．第1題圖②類型三圖形規(guī)律探索典例精講例3下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律組成的，請根據(jù)排列規(guī)律完成下列問題：例3題圖(1)填寫下表：圖形序號菱形個數(shù)(個)①3②7③________④________…………(2)根據(jù)表中規(guī)律猜想圖)中菱形的個數(shù)：________(用含n的代數(shù)式表示)；(3)是否存在一個圖形恰好由111個菱形組成？若存在求出圖的序號；若不存在說明理由．【小數(shù)據(jù)分析】圖形序號上面菱形個數(shù)下面菱形個數(shù)菱形個數(shù)①1223②2237③32413④42521…………n2n＋1n2＋n＋1【自主作答】安徽近年真題精選1.我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖①所示基本圖的特征點，顯然這樣的基本圖共有7個特征點．將此基本圖不斷復制并平移，使得相鄰兩個基本圖的一邊重合，這樣得到圖②，圖③，……第1題圖①(1)觀察以上圖形并完成下表：圖形的名稱基本圖的個數(shù)特征點的個數(shù)圖①17圖②212圖③317圖④4________………猜想：在圖)中，特征點的個數(shù)為________(用n表示)；(2)如圖，將圖)放在直角坐標系中，設其中第一個基本圖的對稱中心O1的坐標為(x1，2)，則x1＝____；圖的對稱中心的橫坐標為________．第1題圖②2.某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖①表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖②)；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊(如圖③)；以此類推．第2題圖【規(guī)律總結】(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加________塊；(2)若一條這樣的人行道一共有n(n為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為________(用含n的代數(shù)式表示)；【問題解決】(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？參考答案基礎小練(1)n；eq\f(n（n＋1）,2).(2)2n－1；n2.(3)2n；n2＋n.(4)(－1)n.(5)(－1)n＋1.(6)n2.(7)n2＋1.(8)n2－1.(9)3n＋1.(10)n(n＋1)類型一數(shù)式規(guī)律探索典例精講例1解：(1)eq\f(7,6)－eq\f(13,42)＝eq\f(6,7)；(2)eq\f(n＋1,n)－eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq\f(n,n＋1)，證明：∵左邊＝eq\f(n＋1,n)－eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq\f(（n＋1）2,n（n＋1）)－eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq\f(（n＋1）2－（2n＋1）,n（n＋1）)＝eq\f(n2＋2n＋1－2n－1,n（n＋1）)＝eq\f(n2,n（n＋1）)＝eq\f(n,n＋1)＝右邊，∴等式成立．安徽近年真題精選1.解：(1)eq\f(2,11)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,66)；(4分)(2)eq\f(2,2n－1)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n（2n－1）).證明：∵右邊＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n（2n－1）)＝eq\f(2n－1＋1,n（2n－1）)＝eq\f(2,2n－1)＝左邊，∴等式成立．(8分)2.解：(1)eq\f(1,6)＋eq\f(5,7)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,7)＝1；(4分)(2)eq\f(1,n)＋eq\f(n－1,n＋1)＋eq\f(1,n)×eq\f(n－1,n＋1)＝1.證明：左邊＝eq\f(1,n)＋eq\f(n－1,n＋1)＋eq\f(1,n)×eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(n＋1＋n（n－1）＋n－1,n（n＋1）)＝eq\f(n（n＋1）,n（n＋1）)＝1，右邊＝1，∴左邊＝右邊，∴等式成立．(8分)類型二圖形與等式關系的規(guī)律探索典例精講例2解：【規(guī)律探究】62；【解決問題】(1＋2＋3＋…＋n)2，eq\f(n2（n＋1）2,4)；【拓展應用】2n2(n＋1)2或2n4＋4n3＋2n2.安徽近年真題精選1.解：(1)42；n2；(4分)【解法提示】觀察每一行的圖形變換，可以發(fā)現(xiàn)，當小球有4行時，小球的總個數(shù)＝4×4＝42(個)，∴第一個空填42；根據(jù)此規(guī)律可知，當小球有n行時，小球的總數(shù)＝n·n＝n2(個)，∴第二個空填n2.(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.(8分)【解法提示】在連續(xù)的奇數(shù)中，2n－1后邊的數(shù)是2n＋1，∴第一個空填“2n＋1”；由第(1)小題的結論可知，在等式的左邊的數(shù)中，“2n－1”前面的所有數(shù)之和等于n2，后面的所有的數(shù)之和也等于n2，∴總和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右邊填“2n2＋2n＋1”．類型三圖形規(guī)律探索典例精講例3解：(1)13，21；(2)n2＋n＋1(n為正整數(shù))；(3)存在，由題意得n2＋n＋1＝111，解得n1＝10，n2＝－11(舍去)，∴存在一個圖形恰好由111個菱形組成，序號為⑩.安徽近年真題精選1.(1)22，5n＋2；(4分)【解法提示】由題意可知，圖①中特征點有7個；圖②中特征點有12個，12＝7＋5×1；圖③中特征點有17個，17＝7＋5×2；∴圖④中特征點有7＋5×3＝22個；由以上猜想，在圖中，特征點的個數(shù)為7＋5(n－1)＝5n＋2.(2)eq\r(3)，2013eq\r(3).(8分)【解法提示】如解圖，過點O1作O1M⊥y軸于點M，又∵正六邊形的中心角為60°，O1C＝O1B＝O1A＝2，∴∠BO1M＝30°，∴O1M＝O1B·cos∠BO1M＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴x1＝eq\r(3)；由題意可知，圖②的對稱中心的橫坐標為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×2)＝2eq\r(3)，圖③的對稱中心的橫坐標為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×3)＝3eq\r(3)，圖④的對稱中心的橫坐標為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×4)＝4eq\r(3)，∴圖的對稱中心的橫坐標為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×2013)＝2013eq\r(3).第1題解圖2.解：(1)