2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 題型五“常見數(shù)據(jù)小規(guī)律”拆解“規(guī)律探索題”(含答案)

2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型五“常見數(shù)據(jù)小規(guī)律”拆解“規(guī)律探索題”基礎(chǔ)小練(1)若一列正整數(shù)：1，2，3，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________，這n(n≥1)個(gè)數(shù)的和為________．(2)若一列數(shù)：1，3，5，7，9，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________，這n(n≥1)個(gè)數(shù)的和為________．(3)若一列數(shù)：2，4，6，8，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________，這n(n≥1)個(gè)數(shù)的和為________．(4)若一列數(shù)：－1，1，－1，1，－1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(5)若一列數(shù)：1，－1，1，－1，1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．能力提升(6)若一列數(shù)：1，4，9，16，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(7)若一列數(shù)：2，5，10，17，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(8)若一列數(shù)：0，3，8，15，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(9)若一列數(shù)：4，7，10，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(10)若一列數(shù)：2，6，12，20，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．類型一數(shù)式規(guī)律探索典例精講例1觀察以下等式：第1個(gè)等式：eq\f(2,1)－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)；第2個(gè)等式：eq\f(3,2)－eq\f(5,6)＝eq\f(2,3)；第3個(gè)等式：eq\f(4,3)－eq\f(7,12)＝eq\f(3,4)；第4個(gè)等式：eq\f(5,4)－eq\f(9,20)＝eq\f(4,5)；第5個(gè)等式：eq\f(6,5)－eq\f(11,30)＝eq\f(5,6)；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式______________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：______________________________________________________(用含n的等式表示)，并證明．【小數(shù)據(jù)分析】等式的結(jié)構(gòu)為：eq\f(B,A)－eq\f(D,C)＝eq\f(F,E)ABCDEF第1個(gè)等式122321第2個(gè)等式236532第3個(gè)等式3412743第4個(gè)等式4520954第5個(gè)等式56301165第n個(gè)等式nn＋1n(n＋1)2n＋1n＋1n【自主作答】安徽近年真題精選1.觀察以下等式：第1個(gè)等式：eq\f(2,1)＝eq\f(1,1)＋eq\f(1,1)，第2個(gè)等式：eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，第3個(gè)等式：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，第4個(gè)等式：eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，第5個(gè)等式：eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：____________________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________________(用含n的等式表示)，并證明．2.觀察以下等式：第1個(gè)等式：eq\f(1,1)＋eq\f(0,2)＋eq\f(1,1)×eq\f(0,2)＝1，第2個(gè)等式：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝1，第3個(gè)等式：eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,4)＝1，第4個(gè)等式：eq\f(1,4)＋eq\f(3,5)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝1，第5個(gè)等式：eq\f(1,5)＋eq\f(4,6)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,6)＝1，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：________________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________________(用含n的等式表示)，并證明．類型二圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探索典例精講例2很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計(jì)算：13＋23＋33＋…＋n3＝？【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：例2題圖【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出13＋23＋33＋…＋n3＝________＝________(用含n的代數(shù)式表示)；【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論，計(jì)算：23＋43＋63＋…＋(2n)3的結(jié)果為______________．【小數(shù)據(jù)分析】等式的結(jié)構(gòu)為：Aeq\o\al(3,1)＋Aeq\o\al(3,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋…＋Aeq\o\al(3,k)＝B2A1A2A3…AkB第1個(gè)等式1//…11第2個(gè)等式12/…21＋2第3個(gè)等式123…31＋2＋3第n個(gè)等式123…k1＋2＋3＋…＋k【自主作答】安徽近年真題精選1.(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：第1題圖①(2)觀察下圖，根據(jù)(1)中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．第1題圖②類型三圖形規(guī)律探索典例精講例3下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律組成的，請根據(jù)排列規(guī)律完成下列問題：例3題圖(1)填寫下表：圖形序號菱形個(gè)數(shù)(個(gè))①3②7③________④________…………(2)根據(jù)表中規(guī)律猜想圖)中菱形的個(gè)數(shù)：________(用含n的代數(shù)式表示)；(3)是否存在一個(gè)圖形恰好由111個(gè)菱形組成？若存在求出圖的序號；若不存在說明理由．【小數(shù)據(jù)分析】圖形序號上面菱形個(gè)數(shù)下面菱形個(gè)數(shù)菱形個(gè)數(shù)①1223②2237③32413④42521…………n2n＋1n2＋n＋1【自主作答】安徽近年真題精選1.我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對稱中心稱作如圖①所示基本圖的特征點(diǎn)，顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn)．將此基本圖不斷復(fù)制并平移，使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合，這樣得到圖②，圖③，……第1題圖①(1)觀察以上圖形并完成下表：圖形的名稱基本圖的個(gè)數(shù)特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)圖①17圖②212圖③317圖④4________………猜想：在圖)中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________(用n表示)；(2)如圖，將圖)放在直角坐標(biāo)系中，設(shè)其中第一個(gè)基本圖的對稱中心O1的坐標(biāo)為(x1，2)，則x1＝____；圖的對稱中心的橫坐標(biāo)為________．第1題圖②2.某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖①表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖②)；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊(如圖③)；以此類推．第2題圖【規(guī)律總結(jié)】(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加________塊；(2)若一條這樣的人行道一共有n(n為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為________(用含n的代數(shù)式表示)；【問題解決】(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？參考答案基礎(chǔ)小練(1)n；eq\f(n（n＋1）,2).(2)2n－1；n2.(3)2n；n2＋n.(4)(－1)n.(5)(－1)n＋1.(6)n2.(7)n2＋1.(8)n2－1.(9)3n＋1.(10)n(n＋1)類型一數(shù)式規(guī)律探索典例精講例1解：(1)eq\f(7,6)－eq\f(13,42)＝eq\f(6,7)；(2)eq\f(n＋1,n)－eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq\f(n,n＋1)，證明：∵左邊＝eq\f(n＋1,n)－eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq\f(（n＋1）2,n（n＋1）)－eq\f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq\f(（n＋1）2－（2n＋1）,n（n＋1）)＝eq\f(n2＋2n＋1－2n－1,n（n＋1）)＝eq\f(n2,n（n＋1）)＝eq\f(n,n＋1)＝右邊，∴等式成立．安徽近年真題精選1.解：(1)eq\f(2,11)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,66)；(4分)(2)eq\f(2,2n－1)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n（2n－1）).證明：∵右邊＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n（2n－1）)＝eq\f(2n－1＋1,n（2n－1）)＝eq\f(2,2n－1)＝左邊，∴等式成立．(8分)2.解：(1)eq\f(1,6)＋eq\f(5,7)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,7)＝1；(4分)(2)eq\f(1,n)＋eq\f(n－1,n＋1)＋eq\f(1,n)×eq\f(n－1,n＋1)＝1.證明：左邊＝eq\f(1,n)＋eq\f(n－1,n＋1)＋eq\f(1,n)×eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(n＋1＋n（n－1）＋n－1,n（n＋1）)＝eq\f(n（n＋1）,n（n＋1）)＝1，右邊＝1，∴左邊＝右邊，∴等式成立．(8分)類型二圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探索典例精講例2解：【規(guī)律探究】62；【解決問題】(1＋2＋3＋…＋n)2，eq\f(n2（n＋1）2,4)；【拓展應(yīng)用】2n2(n＋1)2或2n4＋4n3＋2n2.安徽近年真題精選1.解：(1)42；n2；(4分)【解法提示】觀察每一行的圖形變換，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小球有4行時(shí)，小球的總個(gè)數(shù)＝4×4＝42(個(gè))，∴第一個(gè)空填42；根據(jù)此規(guī)律可知，當(dāng)小球有n行時(shí)，小球的總數(shù)＝n·n＝n2(個(gè))，∴第二個(gè)空填n2.(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.(8分)【解法提示】在連續(xù)的奇數(shù)中，2n－1后邊的數(shù)是2n＋1，∴第一個(gè)空填“2n＋1”；由第(1)小題的結(jié)論可知，在等式的左邊的數(shù)中，“2n－1”前面的所有數(shù)之和等于n2，后面的所有的數(shù)之和也等于n2，∴總和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右邊填“2n2＋2n＋1”．類型三圖形規(guī)律探索典例精講例3解：(1)13，21；(2)n2＋n＋1(n為正整數(shù))；(3)存在，由題意得n2＋n＋1＝111，解得n1＝10，n2＝－11(舍去)，∴存在一個(gè)圖形恰好由111個(gè)菱形組成，序號為⑩.安徽近年真題精選1.(1)22，5n＋2；(4分)【解法提示】由題意可知，圖①中特征點(diǎn)有7個(gè)；圖②中特征點(diǎn)有12個(gè)，12＝7＋5×1；圖③中特征點(diǎn)有17個(gè)，17＝7＋5×2；∴圖④中特征點(diǎn)有7＋5×3＝22個(gè)；由以上猜想，在圖中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7＋5(n－1)＝5n＋2.(2)eq\r(3)，2013eq\r(3).(8分)【解法提示】如解圖，過點(diǎn)O1作O1M⊥y軸于點(diǎn)M，又∵正六邊形的中心角為60°，O1C＝O1B＝O1A＝2，∴∠BO1M＝30°，∴O1M＝O1B·cos∠BO1M＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴x1＝eq\r(3)；由題意可知，圖②的對稱中心的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×2)＝2eq\r(3)，圖③的對稱中心的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×3)＝3eq\r(3)，圖④的對稱中心的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×4)＝4eq\r(3)，∴圖的對稱中心的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)(2eq\r(3)×2013)＝2013eq\r(3).第1題解圖2.解：(1)