2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（廣東專用）專題03 三角形中的全等、相似和計(jì)算（教師版）

PAGE1PAGE專題03三角形中的全等、相似和計(jì)算通用的解題思路：1.三角形與全等之六大全等模型：（1）一線三等角模型（2）手拉手模型（3）半角模型（4）倍長(zhǎng)中線模型模型（5）平行線中等模型（6）雨傘等模型2.三角形與相似之四大相似模型：（1）A字模型（2）8字模型（3）手拉手模型（4）一線三等角模型1．（2022·廣東·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，用AAS證明．【詳解】證明：∵，∴為的角平分線，又∵點(diǎn)P在上，，，∴又∵（公共邊），∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【答案】證明見解析【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型一三角形與全等計(jì)算問(wèn)題1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，已知，平分，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查對(duì)全等三角形的判定，三角形的角平分線定義；根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)即可證出答案．【詳解】證明：平分，，在和中，．2．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在四邊形中，平分和．求證：，．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，由角平分線的定義得到，進(jìn)而利用證明，據(jù)此可證明，．【詳解】證明：∵平分和，∴，又∵，∴，∴，．3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，，，．求證：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用證明與全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出解答．【詳解】證明：，，即，在與中，，∴．4．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為的平分線．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）(2)在（1）的條件下，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作垂線，角平分線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判斷．正確的作垂線是解題的關(guān)鍵．（1）以D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交于M、N，以M、N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)G，連接，交于E，則是線段的垂直平分線，即為所求；（2）根據(jù)角平分線和垂直平分線的性質(zhì)得，，證，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，即為所求．（2）證明：為的平分線，為的垂線，，，，在和中，，，．5．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，與交于點(diǎn)，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，則的長(zhǎng)為_______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；（1）由直接證明即可；（2）證明，得，即可求解；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：在和中，，∴；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得：，∴的長(zhǎng)為．故答案為：．6．（2024·廣東潮州·一模）如圖所示，和都是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)根據(jù)，可以得到，又由是的中點(diǎn),所以，即可證得；由和可以得到，于是可求得，即可求得答案.【詳解】（1）解：證明：和都是等腰直角三角形，，．．又是的中點(diǎn)，．．．（2）解：，見答圖，

．，．，，．．在中，是的中點(diǎn)，．題型二三角形與相似計(jì)算問(wèn)題1．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）綜合運(yùn)用如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，垂足為，連接，且．

(1)求線段的長(zhǎng)．(2)以點(diǎn)為中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，使旋轉(zhuǎn)后得到的的邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，將沿向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)平移后的圖形與重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，推出是等邊三角形，進(jìn)而求出即可；（3）設(shè)與分別交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)，作，垂足為，設(shè)，則，根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合，求出，證明，推出，再根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：在中，，．（2）如圖1，，．

由旋轉(zhuǎn)過(guò)程知，是等邊三角形，，，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．（3）如圖2，設(shè)與分別交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)．

作，垂足為．設(shè)，則．由平移知，．∵，∴，∴．，，，．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，斜邊上的中線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)和平移，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)解析式，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確的作圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東廣州·一模）課本再現(xiàn)我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于．我們是通過(guò)度量或剪拼得出這一結(jié)論的，圖（1）、（2）分別是兩位同學(xué)拼合的圖形．定理證明（1）請(qǐng)你證明“三角形的內(nèi)角和是”．已知：（如圖（3））．求證：．深入探究（2）三角形的內(nèi)角和是，那么四邊形（如圖（4））的內(nèi)角和是多少度呢？請(qǐng)你證明你的結(jié)論．結(jié)論應(yīng)用（3）如圖（5），在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）四邊形的內(nèi)角和是，證明見解析；（3）【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得，，由平角的定義得出，從而得出，即可得證；（2）連接，由（1）可得：，，結(jié)合，，計(jì)算即可得出答案；（3）由勾股定理得出，證明，得出，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，則，，，，即；（2）四邊形的內(nèi)角和是，證明：如圖，連接，由（1）可得：，，，，，四邊形的內(nèi)角和是；（3）在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，即，解得：．3．（2024·廣東·一模）在中，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段，連接．(1)觀察證明如圖1，當(dāng)時(shí)①猜想與的數(shù)量關(guān)系為___________，并說(shuō)明理由．②直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是___________．(2)類比猜想如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值及直線與直線相交所成的小角的度數(shù)(3)解決問(wèn)題當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．【答案】(1)①，理由見解析；②；(2)；；(3)或．【分析】（）觀察猜想：由“”可證，可得，，即可求解；（）類比探究：通過(guò)證明，可得，，即可求解；（）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，證明即可解決問(wèn)題；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可證：解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，，是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，是等邊三角形，，，，，，，，，故答案為：；如圖中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，設(shè)交于點(diǎn)，在和中，，，，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是；故答案為：；（2）解：類比探究：如圖中，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，∴直線與直線相交所成的小角的度數(shù)為；（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，設(shè)，則，，；如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可證：，設(shè)，則，，，；綜上所述：的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題背景】（1）如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，面積為6，求證：．【拓展創(chuàng)新】（3）在中，，面積為，D為外一點(diǎn)，，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明即可；（2）過(guò)B作于E，證明，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)C作交延長(zhǎng)線于E，過(guò)D作于F，于G，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得到：；證明四邊形為矩形，進(jìn)而推出為等腰直角三角形，勾股定理得到，聯(lián)立兩個(gè)等式，求出的值即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）證明：過(guò)B作于E，如圖：∵，∴，∵的面積為6，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：過(guò)C