直線與方程（難點(diǎn)）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)期中考試好題匯編（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題01直線與方程（難點(diǎn)）

經(jīng)典基礎(chǔ)題

一、單選題

1.（2020?洪洞縣新英學(xué)校（理））直線,經(jīng)過(guò)A（2,l）,兩點(diǎn)，那么直線’的傾斜角的取值范圍

為（）

0,—7tuA冗，兀

A.［。,P）B.

444

C」吟71

D.

_4_4

【答案】D

【分析】

根據(jù)直線過(guò)兩點(diǎn)，求出直線的斜率，再根據(jù)斜率求出傾斜角的取值范圍.

【解析】

解：直線/的斜率為左=&q=與==1-根2,因?yàn)椤癳R,所以左所以直線的傾斜角的取值范

玉_%22-1

圍是［吟］

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用兩點(diǎn)求直線的斜率以及傾斜角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?山西大附中（文））已知々>0,Z?>0,直線4：（。一1）%+'-1=0,l2：x+2Z?y+l=0,>^14,

則女2+；1的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.9

【答案】C

【分析】

由4，可求得a+2Z?=l,再由一+；=（—+7］（“+2Z?）=4+—+:，利用基本不等式求出最小值即可.

ab\abJab

【解析】

因?yàn)?]_L/2，所以（4一l）xl+lx2b=0,即a+2Z?=l,

因?yàn)閍>0,b>0,所以2+_L=(2+“g+26)=2+2+絲+色24+2)竺￡=8,當(dāng)且僅當(dāng)竺=f,即

ab\ab)ab\abab

a*時(shí)等號(hào)成立，

24

所以士2+；1的最小值為8.

ab

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

3.(2020?新疆昌吉回族自治州第二中學(xué)(理))已知P與。分別為函數(shù)2尤-y-6=0與函數(shù)y=d+i的圖象

上一點(diǎn)，則線段IPQI的最小值為

A.|B.乖C.D.6

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段IP。I的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.

【解析】

已知尸與。分別為函數(shù)2x-y-6=0與函數(shù)y=f+i的圖象上一點(diǎn)，

可知拋物線y=f+l存在某條切線與直線2x-y-6=0平行，貝|左=2,

設(shè)拋物線y=Y+1的切點(diǎn)為(飛芯+1),則由y'=2尤可得2%=2,

xQ=l,所以切點(diǎn)為(1,2),

則切點(diǎn)(1,2)到直線2x-y-6=0的距離為線段|PQ|的最小值，

則陽(yáng)小生于=用

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

4.(2020?永豐縣永豐中學(xué)高二期中(理))在下列四個(gè)命題中，正確的共有

①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率；

②直線的傾斜角的取值范圍是；

③若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a；

④若一條直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【分析】

根據(jù)傾斜角與斜率定義與關(guān)系進(jìn)行判斷選擇.

【解析】

由于和x軸垂直的直線的傾斜角為90。，而此直線沒有斜率，故①不正確；

直線的傾斜角的取值范圍是［0』80。），故②不正確；

若一條直線的斜率為tanc,則此直線的傾斜角為左xl80。，keZ,且0°</W180。，故③不正確;

若一條直線的傾斜角為則此直線的斜率不一定為tana,如當(dāng)。=90。時(shí)，tana不存在，故④不正確.

綜上可知，四種說(shuō)法全部不正確.選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查斜率與傾斜角關(guān)系，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.

5.（2019-浙江溫州市?高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，記4為點(diǎn)尸（35%$:1110）到直線〃a+>-2=。的距離,

當(dāng)a,機(jī)變化時(shí)，d的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

2

由點(diǎn)到直線的距離表示出d,利用輔助角公式和絕對(duì)值的三角不等式化簡(jiǎn)得d<l+，即可求出的

y/m2+1d

最大值.

【解析】

由題意，點(diǎn)P到直線〃a+>-2=0的距離為，，

貝ijd|mcoscif+sin?-2[=]而Fin(…)一斗<7^77+2心2

y/m2+1y/m2+1y/m2+1

其中，tm(p=mf

所以當(dāng)且僅當(dāng)sin（a+°）=-l,m=0時(shí)，d取得最大值,

即"max=3.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)、輔助角公式和絕對(duì)值的三角不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生

的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于中檔題.

6.（2019?浙江省柯橋中學(xué)高二期中）已知?jiǎng)又本€/：依+勿+。-2=0（。＞0,。＞0）恒過(guò)點(diǎn)尸（1,〃。且。（4,0）至|動(dòng)

12

直線/的最大距離為3,則丁+-的最小值為（）

2ac

99

A.-B.-C.1D.9

24

【答案】B

【分析】

由題意可得:可得a+Zwi+c-2=0.又2（4,0）到動(dòng)直線I的最大距離為3,可得7（4-l）2+m2=3,解得m=0,

從而得至Ua+c=2.再利用"乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解析】

動(dòng)直線/:辦+勿+。一2=0（〃＞0,。＞0）恒過(guò)點(diǎn)尸（1,相）,:.a+bm-}-c-2=0.

又。（4,0）到動(dòng)直線I的最大距離為3,

J（4-l）2+/-3,解得m=0.

:.a+c=2.

1211215c2a15以爭(zhēng)】，當(dāng)且僅當(dāng)然2〃4時(shí)取等號(hào).

貝lllN1］丁+—=彳(。+。)(丁+—)=彳(彳+丁+—+2.

2。c22ac222ac22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)

算能力，屬于中檔題.

7.（2019-江蘇徐州市?）直線/1：辰-，-2k+4=0與％軸交于點(diǎn)“，直線/2：》+仔-4k-2=0與，軸交于點(diǎn)汽，

線段的中點(diǎn)為夕，則點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y）滿足的方程為

A.(x+2y-5)(2%-y)=0B.x+2y-5=0

C.(2x+y+4)(2%+y)=0D.2%+y-4=0

【答案】B

【分析】

先求M,N坐標(biāo)，再得P點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入選項(xiàng)驗(yàn)證.

【解析】

4221

由題意得/（2—■-,0）,A^（0,4+—）,因此尸（1—7,2+7）,滿足x+2y—5=0,選B.

kkkk

【點(diǎn)睛】

本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及動(dòng)點(diǎn)軌跡，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

8.（2020?上海浦東新?華師大二附中高二月考）唐代詩(shī)人李頒的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)："白日登山望

烽火，黃昏飲馬傍交河"，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一一"將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從

山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)

所在的位置為3（-2,0）,若將軍從山腳下的點(diǎn)A，；,。1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+2y=3,則"將軍

飲馬”的最短總路程為（）

AV145rV135n16

333

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，求得點(diǎn)8（-2,0）關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)為C（0,4）,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，求得忸。長(zhǎng)，即

可求解.

【解析】

如圖所示，設(shè)點(diǎn)以-2,0）關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)為C（x「3）,

=-1

可得,解得％=。，％=4,即C(0,4)

—+2x&=3

22

則忸C|=，0-3+（4-0）2=警,即"將軍飲馬"的最短總路程為當(dāng)1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線方程的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中合理轉(zhuǎn)化，求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間

的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力.

9.（2020?浙江瑞安中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（A3）=max｛歸-尤』,回一%|｝為兩點(diǎn)

A（4yJ、B（x2,y2）的"切比雪夫距離"，又設(shè)點(diǎn)尸及/上任意一點(diǎn)。，稱"（P，。）的最小值為點(diǎn)P到直線/的“切

比雪夫距離”記作4（尸,/），給出下列四個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A8,C,都有d（C,A）+d（C,3）2d（A,3）；

②已知點(diǎn)P（3,1）和直線/:2x—y-1=。,則"（尸，Z）=|；

③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形；

其中真命題的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【分析】

①討論A,B,C三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②設(shè)點(diǎn)。是直線y=2%-1上一點(diǎn),且。（x,2x-l）,可得成20）=小｛|*一3|,|2-2刈｝,討論|x—3|,|2-2x|的

大小，可得距離d,再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

③根據(jù)“切比雪夫距離"的定義可判斷出命題的真假.

【解析】

①對(duì)任意三點(diǎn)A、8、C,若它們共線，設(shè)A（%，%）、B（X2,%）,C（%,%），如圖，結(jié)合三角形的相似

可得〃(C,A),d(C,B),d(AB)為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則d(C,A)+d(C,B)..磯A,8)；

若B,C或A,C對(duì)調(diào)，可得d(C,A)+d(C,B)..d(A,3)；

若A,B,C不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，如圖,

由矩形CMNK或矩形BMNK,d(C,A)+d(C,B)..d(A,B)；

則對(duì)任意的三點(diǎn)A,B,C,都有任意A)+點(diǎn)C,B)..d(A,B),故①正確；

②設(shè)點(diǎn)Q是直線y=2x-l上一點(diǎn)，且Q(X,2X-I),

可得d(p,2)="x{|x-3|,\2-2x\},

由|x-3]…|2-2幻，解得-1熟即有或P,Q)，x-3],

當(dāng)％5時(shí)，取得最小值4;；

33

由|x-3|<|2-2x|,解得或x<_l,即有d(P,Q)42x-2|,

4

d(P,。)的范圍是(耳,+8),無(wú)最值；

4

綜上可得，P,。兩點(diǎn)的〃切比雪夫距離〃的最小值為殷故②正確；

③由題，到原點(diǎn)。的"切比雪夫距離"的距離為1的點(diǎn)尸(x,y)滿足d(O,P)=max{|x|，M}=l,即J或

x<|y|,

I,顯然點(diǎn)尸的軌跡為正方形，故③正確；

[y=1，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

10.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知機(jī)eR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線〃a+y=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線

x-陽(yáng)-機(jī)+3=。交于點(diǎn)尸，貝!)|PA|+g|P周的取值范圍是()

A.(VW,2A/K)]B.(A/10,A/3()]

C.[A/10,V30)D.即,2啊

【答案】D

【分析】

動(dòng)直線如+y=0過(guò)定點(diǎn)A(。,。)，動(dòng)直線x-my-m+3=0過(guò)定點(diǎn)3(-3,-1),且此兩條直線垂直,因此點(diǎn)P

在以AB為直徑的圓上，|AB|=癡,設(shè)刖BP=3貝l||PA|=JHJsine,|PB|=Mcos6>,00[0,y],代入

1PA|+由陽(yáng)中利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【解析】

動(dòng)直線〃a+y=o過(guò)定點(diǎn)A(0,0),動(dòng)直線尤-〃沙一加+3=0

即x+3(y+1)=0過(guò)定點(diǎn)B(-3,-l),且此兩條直線垂直.

團(tuán)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，|48|=爐三=廂，，

設(shè)EMBP=e,則1PAi=Msine,1PBi=癡8$夕，00[O,y]

.?.|PA|+V3|PB|=ViOsin6?+730cos6?=2Vi()sin^+y^,

7171715萬(wàn)

團(tuán)?；豙0,—],00+yl2][y,—],

711

團(tuán)sin(0+一)回[不，1],

32

回2幅sin(0+1^l3[廂，2麗],

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線過(guò)定點(diǎn)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

11.(2021?全國(guó)高二課前預(yù)習(xí))已知直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)M一2，1，+力和點(diǎn)N，則

A.斜率為定值，但傾斜角不確定B.傾斜角為定值，但斜率不確定

C.斜率與傾斜角都不確定D.斜率為一1,傾斜角為135。

【答案】D

【分析】

先根據(jù)斜率公式求斜率，再根據(jù)斜率求傾斜角.

【解析】

由已知，直線的斜率一_4，所以直線的傾斜角為135。.選D.

k———

-2-2

【點(diǎn)睛】

本題考查兩點(diǎn)間斜率公式以及傾斜角與斜率關(guān)系，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12.(2021?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(P,Q)=以一X2I+|yi—y?|為兩點(diǎn)P(xi,yi),Q.(X2,

y2)之間的“折線距離在這個(gè)定義下，給出下列命題：

①到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)正方形；

②到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)圓；

③到M(-1,0),N(1,0)兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡方程是x=0；

④到M(-1,0),N(1,0)兩點(diǎn)的“折線距離”差的絕對(duì)值為1的點(diǎn)的集合是兩條平行線.

其中真命題有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

試題分析：點(diǎn)尸(X/)到原點(diǎn)的“折線距離"W+N=l,由數(shù)形結(jié)合可知點(diǎn)尸(x,y)的集合為邊長(zhǎng)為JI的

正方形，所以①正確，②不正確；

設(shè)點(diǎn)?(蒼y)到拉(-L0),N(L0)兩點(diǎn)的"折線距離"相等,即|x+l|+M=k-l|+|M，則有卜+1|=卜一1|,

兩邊平方并整理可得x=0,所以③正確；

設(shè)點(diǎn)尸(％y)到M(-LO),N(LO)兩點(diǎn)的"折線距離"差的絕對(duì)值為1.Ep|(|x+l|+|v|)-(|x-l|+|v|)|=l,

整理可得卜+1|一卜一1|=1,可解得x=±1,為兩條平行線，所以④正確.

綜上可得正確的有①③④共3個(gè)，故C正確.

考點(diǎn)：新概念.

二、多選題

13.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選)下列說(shuō)法中正確的是()

A.平面上任一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于羽y的二元一次方程—+By+C=0(A,8不同時(shí)為0)表示

B.當(dāng)C=0時(shí)，方程及+By+C=0(A8不同時(shí)為0)表示的直線過(guò)原點(diǎn)

C.當(dāng)A=0,3w0,Cw0時(shí)，方程Av+By+C=0表示的直線與x軸平行

D.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化

【答案】ABC

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)A,分aw90°和々=90。兩種情況，將直線方程化為關(guān)于羽丫的二元一次方程念+W+C=。(A,B

不同時(shí)為0),可知A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,將原點(diǎn)。(0,0)代入方程Ar+gy+C=0,可知8正確；

C

對(duì)于選項(xiàng)C,將方程及+By+C=o化為y=-有，可知C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)8=0時(shí)，方程A+3y+C=0不能化為斜截式，可知。錯(cuò)誤.

【解析】

對(duì)于選項(xiàng)A,在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角a,

當(dāng)aw90°時(shí)，直線的斜率％存在，其方程可寫成了=依+"

它可變形為依一丁+人=0，與Ar+3y+C=°比較，

可得A=￡3=—l,C=b,顯然A,3不同時(shí)為0,

當(dāng)&=90。時(shí)，直線方程為尤-西=。，與Ax+gy+C=0比較，

可得A=1,B=O,C=-X1,顯然A,8不同時(shí)為0,所以此說(shuō)法是正確的.

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)C=0時(shí)，方程Ax+8y+C=0(A,B不同時(shí)為0),

即樂+為=0,顯然有Ax0+3x0=0,即直線過(guò)原點(diǎn)。(0,0).故此說(shuō)法正確.

c

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)A=0,3H0,CN0時(shí)，方程Av+3y+C=0可化為y=-工，

B

它表示的直線與X軸平行，故此說(shuō)法正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)8=0時(shí)，方程4+3y+C=0不能化為斜截式，故此說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線方程一般式的概念，考查了直線方程的一般式與其它四種形式的互化，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2021?江蘇高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是直線3x-4y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)。（1,1）,則下列說(shuō)法正確的是

()

4

A.線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為

B.當(dāng)PQ最短時(shí)，直線PQ的方程是3x+4y-7=0

C.當(dāng)PQ最短時(shí)P的坐標(biāo)為

2

D.線段PQ的長(zhǎng)度可能是:

【答案】AC

【分析】

當(dāng)PQ垂直直線3x-4y+5=0時(shí)，PQ最短，即可判斷A、D,設(shè)出P坐標(biāo)，根據(jù)最短使PQ與直線垂直求解

P坐標(biāo)，即可判斷C,由兩點(diǎn)式求出直線方程，即可判斷B.

【解析】

解：當(dāng)PQ垂直直線3x-4y+5=。時(shí)，PQ最短,

|3-4+5|4

Q到直線的距離為故A正確;

存+425

4\24

故PQ的長(zhǎng)度范圍為不+8,故D錯(cuò)誤；

_DJJD

設(shè)P1m，2詈］,則1一即盧4,解得加=《，

I4）kpQ=------=一125

1-m3

故。為故C1E確；

y—1_x—1

此時(shí)直線PQ的方程是丁二二丁;，即4x+3y-7=0,故B錯(cuò)誤,

------1------1

故選：AC.

15.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）定義點(diǎn)「（為,%）到直線/：-+3y+C=0（42+JB、0）的有向距離為

d=Ay劭。:C.已知點(diǎn)片，8到直線［的有向距離分別是4,么，給出以下命題,其中是假命題的是()

VA'+B'.

A.若4-4=0,則直線《丹與直線/平行

B.若4+4=0,則直線耳心與直線/平行

C.若4+4=。，則直線46與直線/垂直

D.若4%<0,則直線4G與直線/相交

【答案】ABC

【分析】

由題意，利用4=%=0,此時(shí)4，4都在直線/上，可判斷A,B,C為假命題;

當(dāng)44<0時(shí)，片，尸2在直線的兩側(cè)，則直線6舄與直線/相交，可判斷D

【解析】

/\/\7A%]+By,+Cj+C

設(shè)點(diǎn)K，￡的坐標(biāo)分別為(”)，("2)，則4=JA2：B2，豆=.若4-%=0,貝

Ax1+By+CAX+By+C

即x22，所以

^+B-

+By[+C=71^2+By2+C.

若4=4=o,即A^+BM+C=42+B%+C=O,則片，6都在直線/上，此時(shí)直線勺鳥與直線/重合，故

選項(xiàng)A,B,C均為假命題.

當(dāng)44<0時(shí)，:，鳥在直線的兩側(cè)，則直線耳心與直線/相交，故選項(xiàng)D為真命題.

故選：ABC

16.(2021?全國(guó))平面上三條直線x-2y+l=0,x-l=0,x+6=0,若這三條直線將平面劃分為六個(gè)部分，

則實(shí)數(shù)k的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【分析】

三條直線》-2'+1=0/-1=0/+份=0將平面劃分為六個(gè)部分轉(zhuǎn)化為直線工+份=0與直線“2〉+1=0平行

或直線工+矽=。與直線％-1=0平行或者直線》+份=0經(jīng)過(guò)直線x-2y+l=0與直線X—1=。的交點(diǎn)(1,1),分

別根據(jù)三種情況可求得結(jié)果.

【解析】

因?yàn)槠矫嫔先龡l直線X-2y+l=0,x-l=0,x+@=0將平面劃分為六個(gè)部分，

所以直線工+0=。與直線x-2y+l=0平行或直線》+0=。與直線％—1=0平行或者直線彳+0=。經(jīng)過(guò)直線

x-2y+l=0與直線％—1=0的交點(diǎn)(1,1),

當(dāng)直線》+外=0與直線x-2y+l=0平行時(shí)，

7=4*7*解得左=-2,

1-21

當(dāng)直線工+分=0與直線尤―1=0平行時(shí)，可得左=0,

當(dāng)直線x+0=0經(jīng)過(guò)直線x-2y+l=0與直線x—1=0的交點(diǎn)(LD時(shí)，1+左=0,解得k=—1.

所以々=—2或％=0或%=—1.

故選：ABC

藜1優(yōu)選提升題

三、填空題

17.(2021?全國(guó)高二單元測(cè)試)已知直線y=2x是中NC的平分線所在的直線，若點(diǎn)A8的坐標(biāo)分別

是(<2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】(2,4)

【分析】

分別求出點(diǎn)A,8關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)，從而求出BC和AC所在直線方程,聯(lián)立直線方程即可求出點(diǎn)C的

坐標(biāo).

【解析】

^^x2=-l

設(shè)A(T,2)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y),貝”*十；，

?--2.一+工

I22

fX=4

解得"C，即對(duì)稱點(diǎn)為(4,-2).

[y=-2

回直線BC所在直線方程為y-l=F^x(x-3),化為一般式為3x+y-10=0.

同理可得點(diǎn)8(3,1)關(guān)于直線y=2尤的對(duì)稱點(diǎn)為(-1,3),

回直線AC所在直線方程為。-2=_]：：勺x(x+",化為一般式為x-3y+10=0.

f3x+y-10=0[x=2/、

由/mn-解得/即。(2,4).

[x-3y+10=0[y=4''

故答案為：（2,4）,

18.（2021?江蘇高二專題練習(xí)）已知在矩形A8C。中，A（T,4）,D（5,7）,其對(duì)角線的交點(diǎn)E在第一象限內(nèi)

且到y(tǒng)軸的距離為1,動(dòng)點(diǎn)尸（X，V）沿矩形的一邊BC運(yùn)動(dòng)，則上的取值范圍是.

X

【答案】1―0°'—§口+

【分析】

設(shè)E（l,a）,根據(jù)點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)可得C,再由ADLOC求出a,進(jìn)而可求出8,由］=人”，且滿足

kOPNkoc^kop<kOB即可得出.

【解析】

解：如圖所示，設(shè)E（l,a）.

lJ+.

???點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，，4：,則C（6,2a—4）.

a=-----

I2

■.ADYDC,AD-DC=（9,3）?（L2a-11）=9+3（2a-11）=0,解得。=4,/.C（6,4）.

??,?CD為矩形，.?.通=配，即（/+4,%—4）=（6—5,4-7）=（1,-3）,

fx?=—3

?,所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,1）,

1%=1

因?yàn)辄c(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，所以』=上位，

X

由題圖可知，k°pNk°c或kopWk°B,則'2=彳或'4.

x3x3

故答案為：［-00，_3U+

19.（2021?江蘇高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（T」），（2,2）,直線/：x+畋+機(jī)=。與線段PQ

的延長(zhǎng)線相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

9

【答案】-3<m<-j

【分析】

先求出PQ的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合思想，分情況討論出直線的幾種特殊情況，綜合即可得到答案.

【解析】

直線X+,沖+機(jī)=0過(guò)點(diǎn)

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線化為x=0,一定與PQ相交，所以加工0,

當(dāng)加片0時(shí)，k=--,考慮直線/的兩個(gè)極限位置.

tm

。）/經(jīng)過(guò)Q,即直線4,則8=彳弁1=9；

⑵/與直線PQ平行，即直線I貝心

因?yàn)橹本€/與PQ的延長(zhǎng)線相交，

1132

所以一＜——〈一，即一3＜根＜一一,

3m23

2

故答案為：—3＜m＜——.

20.（2021?全國(guó)）如圖，射線OA,OB分別與x軸正半軸成45。和30。角，過(guò)點(diǎn)尸（1,0）作直線A8分別交OA,

08于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)C恰好落在直線y=gx上時(shí)，則直線的方程是.

【答案】（3+V3）x-2y-3-V3=0

【分析】

先求出射線OA,的方程，喉耳,〃），可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)C在直線y=gx以及心°%

列方程組可得m的值，再求出心.，由點(diǎn)斜式可得直線方程.

【解析】

由題意可得kOA=tan45°=1,k0B=tan（1800-30。）=tan150°=,

所以直線OA的方程：y=x,直線03的方程：y=-2x,

-3

設(shè)A（m,機(jī)），網(wǎng)一所以A3的中點(diǎn)C絲彳包,與21

由點(diǎn)C在直線y尤上，且ARB三點(diǎn)共線得:

m+n1m-V3n

222

解得:,〃=e，所以

m-0_n-0

iti—1_—1

又尸（1,。）,所以=卜"=忑_、=―2—,

所以直線A3的方程是：、=言叵-1）,即（3+@x-2y-3-6=0,

故答案為：（3+石卜-2了-3-相=0.

21.（2021?江蘇高二課時(shí)練習(xí)）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,2⑹，且分另I］與直線八^x—y+l=。和小底-y—3=0相

交于A,3兩點(diǎn)，若|AB|=4,則直線/的方程為.

【答案】x=l或x-"y+5=0

【分析】

求出直線4和k之間的距離，由|AB|=4可得/與4的夾角為30。，分直線/的斜率存在和直不存在兩種情況,

利用直線間的夾角公式可得答案.

【解析】

直線l:y+1=0和/2：y—3=0之間的距離為d=卜|=2，

x

由A做于C,所以|4。=2,因?yàn)閨AB|=4,

所以/與乙的夾角為30。，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)為上,貝卜的直線方程為y-26=Mx-l）,

所以tan30。=|卜需解得上=程，則/的直線方程為x-gy+5=0；

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，則/的直線方程為x=l,

與直線小后-y+l=0和&：岳-〉-3=0的交點(diǎn)為卜,6+1）和（1,有-3）,

因?yàn)閮牲c(diǎn)間的距離為Jo+（l+3『=4=|A@,符合題意，

所以/的直線方程為工_石,+5=0或］=］.

故答案為：x-"y+5=0或尤=1.

22.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2,寬為1,邊AB、

AD分別在x軸、丁軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段。C上，若折痕所在

直線的斜率為上,則折痕所在的直線方程為.

【答案】2kx-2y+k2+l=0（-2<k<0）

【分析】

因?yàn)檎郫B的過(guò)程中，點(diǎn)A落在線段DC上，特別的如果折疊后AD重合，這時(shí)折痕所在的直線斜率為0,然

后根據(jù)A點(diǎn)和對(duì)折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于直線折痕對(duì)稱，即可求出折痕所在的直線的方程.

【解析】

當(dāng)左=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)和。點(diǎn)重合，折痕所在的直線的方程y=g,

當(dāng)上W0時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)A落在線段。C上的點(diǎn)為G（a,l）,（0<a<2）,

所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，由后”左=-1,即\%=一1,解得：

a

故折痕所在的直線的方程.

G（-左,1）（-2（人<0）,從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)為

折痕所在的直線方程為y-g=火[+3],

1

即y=kx+-+—（<-2<k<0）,

綜上所述：折痕所在的直線的方程為：2kx-2y-k2+l=0（-2<k<0）.

故答案為：2fct-2y-/+l=0（-2（左<0）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于線段對(duì)稱問題，考查了直線方程的求法，考查了兩直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔

題

23.（2021?江蘇高二月考）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微."事實(shí)上，很多代數(shù)問題

可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與，（尤”）2+0-勿2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x,y）與點(diǎn)

8（。力）之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，函數(shù)"》）=隨=,的值域?yàn)開____.

COSX+1V4_

【答案】即

【分析】

將函數(shù)/。）=陋ciny已+1的值域轉(zhuǎn)化為求直線斜率取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可求解.

COSX+1

【解析】

如圖所示：設(shè)單位圓。上的一點(diǎn)為尸（cosx,sinx）,點(diǎn)A（-L,—l）,3（1,0）,c[cosjsin￡|

則〃尤）=也二表示直線Bl的斜率，因?yàn)?/p>

COSX+1V4_

故當(dāng)尸與B重合時(shí)，的斜率為了（0）=；

當(dāng)尸與C重合時(shí)，上4的斜率最大值為=1

所以Ax）的值域?yàn)?:,1.

故答案為：[pl

22

24.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)元1、元2、%、為滿足：玉2+yJ=i,x2+y^=1,XyX2+yxy2=—,

則區(qū)分二1+其胃臼的最大值為

V2V2

【答案】V2+V3

【分析】

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),0A=(xi,yi),0B=(x2,y2),由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示,

|尤1+%-1||無(wú)2+%-1

可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1,的幾何意義為點(diǎn)A,B兩點(diǎn)到直線x+y-1=0

00

的距離山與ch之和，由兩平行線的距離可得所求最大值.

【解析】

設(shè)A(xi,yi),B(X2,yz),

OA=(xi,yi),OB=(X2,y2),

由xF+yaui,X22+y22=1；xix2+yiy2=,

可得A,B兩點(diǎn)在圓x2+y2=l上，

口一一1

且OA?08=lxlxcos0AOB=—,

即有13AoB=60°,

即三角形OAB為等邊三角形,

AB=1,

匠+習(xí)+邑的幾何意義為點(diǎn)A,B兩點(diǎn)

V2V2

到直線x+y-1=0的距離出與ch之和，

顯然A,B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=l平行,

可設(shè)AB：x+y+t=O,(t>0),

\t\

由圓心。到直線AB的距離d=[,

可得解得t=1,

V22

即有兩平行線的距離為1+*=3+6,

收2

即+民+/T.的最大值為母

故答案為血+g.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，以及圓的方程和運(yùn)用，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)到直線的

距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

四、解答題

25.(2020?江蘇省漣水中學(xué))已知直線。kx~y+l+2k=O(kSR).

(1)證明：直線/過(guò)定點(diǎn)；

(2)若直線/不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍;

(3)若直線/交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)4交y軸正半軸于點(diǎn)B,MOB的面積為S(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值,

并求此時(shí)直線/的方程.

【答案】(1)證明見解析；(2)k>0；(3)SmM=4,此時(shí)直線/的方程為x—2y+4=0.

【分析】

分析：(1)直線I的方程可化為y=k(x+2)+1,直線1過(guò)定點(diǎn)(-2,1)；(2)要使直線I不經(jīng)過(guò)第四象限,

則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負(fù)數(shù)，解出k的取值范圍;

(3)先求出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.

【解析】

⑴證明:直線/的方程可化為k(x+2)+(l—y)=0,

x+2=0,

令解得

所以無(wú)論k取何值，直線/總過(guò)定點(diǎn)(一2,1).

⑵直線方程可化為y=kx+l+2k,

當(dāng)上0時(shí)，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限,

k>0,

則有解得k>0；

l+2k>0,

當(dāng)k=0時(shí)，直線為y=l,符合題意.

綜上，k的取值范圍是k20.

⑶依題意得A(一片4,0),8(0,l+2k),且1k1

k1+2Q0,

解得k>o.所以

22k2k

=-[4Z:+-+4|>-x(2x2+4)=4,

21k)2

"="成立的條件是4/=；此時(shí)左=g,所以SmM=4,此時(shí)直線/的方程為x—2y+4=0.

K2

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意"拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中"正"（即

條件要求中字母為正數(shù)）、"定"（不等式的另一邊必須為定值）、"等"（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則

會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

26.（2020,浙江高二期中）已知兩條直線4：3x-y-2=O,:x+5y-22=。相交于點(diǎn)A.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）在6上取點(diǎn)。（7,3）,過(guò)點(diǎn)C作直線,交直線4于點(diǎn)B（8在A的下方），若AABC的面積為8,求直線/的

方程.

【答案】⑴（2,4）；（2）x-3y+2=0.

【分析】

（1）聯(lián)立直線4與4的方程，解方程組即可求解;

（2）設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為O,3t-2）,利用三角形面積可求出點(diǎn)3到直線'的距離d,再利用點(diǎn)到直線的距離公式

列方程可得f的值，由點(diǎn)3,C的坐標(biāo)即可得直線/的方程.

（1）將兩直線方程聯(lián)立得,

3x—y—2=0x=2

,解得

x+5y—22=0y=4

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）；

（2）由題意可知點(diǎn)3在直線4上，設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為3,-2）,

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，|AC|=J（7一2）?+（3一4）2=屈,

設(shè)點(diǎn)8到直線4的距離為d，

貝,l2:x+5y-22=0,

所以"端，

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：力+5（3展）一22|,即|16?2|二母,

V26126V26

所以/=1或，=3,

因?yàn)辄c(diǎn)3在A的下方，所以，=1,點(diǎn)3坐標(biāo)為（U）,

所以直線/的斜率為：左=3-若1=；1，

所以直線/的方程為>一1=；（》一1）即x-3y+2=0.

27.（2020?福建省南安市柳城中學(xué)高二月考）過(guò)點(diǎn)P（3,2）的直線/與x軸和y軸正半軸分別交于4B.

（1）若P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求/的方程；

（2）若|E4H最小時(shí),求/的方程;

（3）若AAOB的面積S最小時(shí)，求/的方程.

【答案】（1）2x+3y—12=0；（2）x+y-5=0：（3）2x+3_y—12=0.

【分析】

（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出A,8坐標(biāo)，直接寫出直線的截距式方程，再轉(zhuǎn)化為一般式方程；

（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，表示出A,2坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式先求解出|尸山」尸同，結(jié)合基本不等式

求解出4Hp用取最小值時(shí)斜率的取值，由此可求/的方程；

（3）設(shè)出直線的截距式方程，根據(jù)點(diǎn)尸（3,2）在直線上得到截距0,6滿足的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式可求必

的取值范圍，由此可求S取最小值時(shí)“力的值，則直線/的方程可求.

【解析】

⑴設(shè)A（a,0）,B（O,b）,

?.■尸（3,2）為AB的中點(diǎn),

.?.4（6,0）,8（0,4）,

二由截距式得/的方程為：g+V=l，即2x+3y-12=。；

64

（2）設(shè)所求直線的方程為y-2=耳彳-3）,由題意知k<0,

2

令I(lǐng)=0,可得y=2—3左，令y=0,可得％=3——,

k

即?3一號(hào),0）,3（0,2—3人），

=圖2+2?=拒』PB[=^32+（3k）2=49嚴(yán)+9，

=Jg+4）（9+9.2）=（2+36.2+g）>12，

當(dāng)且僅當(dāng)左2=1,即％=-1時(shí)取等號(hào)，I刑忖同取最小值為12,

即直線/的方程為x+y-5=o；

（3）由題意設(shè)直線的截距式方程為5=l（a,b>0）,

???直線過(guò)尸（3