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專題50圓錐曲線的最值【方法點(diǎn)撥】綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)、向量、基本不等式等求解圓錐曲線中的最值問(wèn)題.【典型題示例】例1已知,P為拋物線上任一點(diǎn),則的最小值為.【答案】【分析】直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)即可解決.【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)則當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí),取得最小值為.例2已知點(diǎn)M(0,4),點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng),則的最小值是(). B. C.4 D.6【答案】C【分析】因?yàn)?,故,再使用定義將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),使用基本不等式求解.【解析】因?yàn)?,故設(shè),則所以設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立所以的最小值是4.例3已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出點(diǎn)到圓心的距離的最小值,然后減去圓的半徑可得答案【解析】設(shè)點(diǎn),則,得,圓的圓心,半徑為,則,令,對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,所以最小值為,所以的最小值為,故選:D.例4已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)|PF||PA|的值最小時(shí),△PAFA.2?2 B.2 C.1 【答案】A【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為PQ,根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ.從而當(dāng)∠PAQ最小,即AP與拋物線相切時(shí),|PF||PA|的值最?。蟪鰭佄锞€過(guò)A點(diǎn)的切線方程得出P點(diǎn)坐標(biāo),代入面積公式得出面積.
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.
設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為|PQ|,則|PQ|=|PF|.
∴|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ.
∴當(dāng)PA與拋物線y2=4x相切時(shí),∠PAQ最小,即|PF||PA|取得最小值.
設(shè)過(guò)A點(diǎn)的直線y=kx+k與拋物線相切(k≠0),代入拋物線方程得k2x2+(2k2?4)x+k2=0,
∴Δ=(2k2?4)2?4k4=0,解得k=±1.例5已知A、B是圓C1:x2+y2=10上的動(dòng)點(diǎn),AB=42,P【答案】[28,52]【分析】本題的關(guān)鍵是將所求PA+3PB轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量,這里設(shè)PA+3PB=4PE(想一想,這里為什么將系數(shù)確定為4,而非其它數(shù)?其主要目的在于利用三點(diǎn)共線,使點(diǎn)E在線段AB上,這是遇到兩向量和、差的模的常用的策略,其目的仍是化繁為簡(jiǎn)、合二為一),從而由|PA+3PB|化簡(jiǎn)得4PE,進(jìn)一步可求得C1E=2,故E點(diǎn)的軌跡為圓,最終轉(zhuǎn)化成兩圓上的點(diǎn)間的距離問(wèn)題即可求解.
【解析】設(shè)PA+3PB=4PE,則14PA+34PB=PE,取AB中點(diǎn)為D,再取BD中點(diǎn)為E,
則由AB=42,得C1D=10?8=2,DE=2,
所以C1E=2,即E點(diǎn)的軌跡方程為【鞏固訓(xùn)練】1.面直角坐標(biāo)系中,設(shè)定點(diǎn),是函數(shù)()圖象上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)之間的最短距離為,則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為.2.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)B(?2,0),當(dāng)|AF||AB|取得最小值時(shí),則(????)A.AB的斜率為±23;B.|AF|=4
C.ΔABF外接圓的面積為8π;D.3.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2?y2b2=14.過(guò)拋物線y2
=?4x焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于
A
,B兩點(diǎn),與圓(
x??1)2
+?y2
=?r2
交于C,D兩點(diǎn),若有三條直線滿足【答案或提示】1.【答案】-1或【提示】設(shè)點(diǎn),轉(zhuǎn)化為函數(shù)解決.2.【答案】BCD【分析】由題意利用拋物線的定義可得|AF||AB|=|AC||AB|=sin∠ABC,當(dāng)|AF||AB|取得最小值時(shí),AB與拋物線相切,再聯(lián)立直線與拋物線方程,由此可得|AB|,|BF|,|AF|的值,即可分析各選項(xiàng).
【解析】由題意,過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,點(diǎn)B即為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),由拋物線的定義可得|AF||AB|=|AC|設(shè)AB的方程為y=k(x+2),則y消去y可得k2x2+(4k2?8)x+4k2=0,
則Δ=(4k2?8可得△ABF為等腰直角三角形,
|AB|=[2?(?2)]2+(4?0)2=42,|BF|=|AF|=4,
設(shè)△ABF外接圓的半徑為R,由直角三角形的性質(zhì)可知,R=2設(shè)△ABF內(nèi)切圓的半徑為r,則12解得r=1642+8=4?22,∴△ABF的內(nèi)切圓的面積為S=π×(4?22)2=(24?163.【答案】1,3【分析】由雙曲線的定義得PF2?PF1=2a,又PF22PF1的最小值為8,則PF22PF1=(PF1其中PF又設(shè)P(x,y)(x≤?a),則由第二定義,得PF1=?x?a2ce=?ex?a≥c?a.
要使(?)式中等號(hào)成立,則必須2a≥c?a,所以4.【答案】(2,+∞)【分析】求得拋物線的焦點(diǎn),討論直線l的斜率不存在,可得A,B,C,D,滿足題意;當(dāng)直線的斜率存在,設(shè)直線l方程y=k(x?1).A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程和拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義,討論當(dāng)四點(diǎn)順序?yàn)锳、C、D、B時(shí),當(dāng)四點(diǎn)順序?yàn)锳、C、B、D時(shí),考慮是否存在與直線x=1對(duì)稱的直線,即可得到所求范圍.
【解析】拋物線y2=4x焦點(diǎn)為(1,0),
(1)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),直線l:x=1與拋物線交于A(1,2)、B(1,?2),
與圓(x?1)2+y2=r2交于C(1,r),D(1,?r),滿足|AC|=|BD|.
(2)當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線l方程y=k
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