人教A版數(shù)學選修1－1課件第三章導數(shù)及其應用3.3.1

第三章導數(shù)及其應用3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)2互動探究學案3課時作業(yè)學案1自主預習學案自主預習學案“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點(大約是在距地面高度25m到30m處)時爆裂，煙花沖出后的運動線路是呈拋物線形的，為了達到釋放煙花的最佳效果，煙花設(shè)計者按照有關(guān)的數(shù)據(jù)設(shè)定引線的長度，如果讓你來設(shè)計，應當如何進行呢？1．函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：增

減

快

陡峭

慢

平緩

C2．函數(shù)y＝x3＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為

(

)A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)[解析]

∵y′＝3x2＋1>0恒成立，∴函數(shù)y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故選D．D3．(2016·浙江舟山高二月考)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的

(

)A．f(x)在(－3,1)上單調(diào)遞增B．f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減C．f(x)在(2,4)上單調(diào)遞減D．f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增[解析]

由f(x)的增減性與f′(x)的正負之間的關(guān)系進行判斷，當x∈(2,4)時，f′(x)<0，故f(x)在(2,4)上單調(diào)遞減，其他判斷均錯，故選C．C4．函數(shù)y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是__________.[解析]

∵y′＝3ax2≤0恒成立，∴a≤0.當a＝0時，y＝－1不是減函數(shù)，∴a≠0.故a的取值范圍是(0，＋∞)．(0，＋∞)互動探究學案 (2016·貴州安順高二質(zhì)檢)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)；(2)f(x)＝x3－2x2＋x＋1.[思路分析]

由于函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)的符號有關(guān)，因此，可以通過分析導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．命題方向1?利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例1『規(guī)律方法』1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先考慮函數(shù)的定義域，寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要注意函數(shù)的不連續(xù)點和不可導點．2．利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f

′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f

′(x)>0和f

′(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．〔跟蹤練習1〕函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[解析]

∵f(x)＝(x－3)ex，∴f

′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f

′(x)>0得x>2，∴選D．D命題方向2?已知函數(shù)的單調(diào)性，確定參數(shù)的取值范圍典例2解法二：(轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題)f

′(x)＝x2－ax＋a－1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f

′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為2<x＋1<5，所以當a≥5時，f

′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因為f(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f

′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因為x＋1>7，所以a≤7時，f

′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．綜上知5≤a≤7.『規(guī)律方法』1.已知函數(shù)f(x)在某區(qū)間A上單調(diào)求參數(shù)的值或取值范圍時，一般轉(zhuǎn)化為在區(qū)間A上f

′(x)≥0(f(x)單調(diào)遞增時)或f

′(x)≤0(f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減時)恒成立求解，有時也用數(shù)形結(jié)合方法求解．2．y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導，f

′(x)≥0或f

′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)內(nèi)導數(shù)為0的點僅有有限個，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù)，例如：y＝x3在R上f

′(x)≥0，所以y＝x3在R上單調(diào)遞增．〔跟蹤練習2〕已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． (1)(2016·浙江嘉興高二質(zhì)檢)已知f′(x)是f(x)的導函數(shù)，若f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是

(

)命題方向3?函數(shù)與其導函數(shù)圖象間的關(guān)系典例3D(2)(2016·貴州貴陽高二月考)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f′(x)的圖象可能為(

)[思路分析]

(1)由導函數(shù)的圖象，應著重看它的區(qū)間上的正負，從而判斷原函數(shù)的增減，由導函數(shù)的變化的大小，判斷原函數(shù)增減的快慢．(2)已知原函數(shù)的圖象，應著重看它在哪些區(qū)間上遞增，哪些區(qū)間上遞減，以此判斷導函數(shù)的情形．D『規(guī)律方法』解決函數(shù)與其導函數(shù)的圖象關(guān)系問題時，要抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要重點考察其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)上升或下降，而對于導函數(shù)，則應考察其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、小于零，并考察這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．〔跟蹤練習3〕如果函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么導函數(shù)y＝f

′(x)的圖象可能是(

)A[解析]

本題有多種解法，如可以利用函數(shù)的單調(diào)性的圖象特征進行選擇．設(shè)y軸右側(cè)最高點的橫坐標為x1，由題圖可知，函數(shù)在(x1，＋∞)內(nèi)是減少的，∴f

′(x)<0，因此A符合題意．

已知x＞1，求證：x＞lnx.命題方向4?轉(zhuǎn)化思想的應用——構(gòu)造法證明不等式典例4『規(guī)律方法』構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，把證明不等式的問題轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的問題，實現(xiàn)了復雜問題簡單化．構(gòu)造法是用導數(shù)研究函數(shù)中常用到的基本方法．研究函數(shù)一定要注意函數(shù)的定義域典例5〔跟蹤練習5〕求函數(shù)y＝x－lnx的單調(diào)區(qū)間．當給定的函數(shù)有字母參數(shù)時，求單調(diào)區(qū)間一般需要分類討論，不同的化歸方法和運算順序往往使分類方法不同，應注意分類討論的準確性和全面性．一般來說，此類問題可歸結(jié)為解含參數(shù)的一元二次不等式，要注意對參數(shù)討論，其討論標準為：①對二次項系數(shù)進行大于零、小于零、等于零分類討論；②當二次項系數(shù)不為零時，再對判別式進行大于零、小于零、等于零分類討論；③當判別式大于零時，再對兩根的大小進行討論．另外，有時也根據(jù)f′(x)>0與f′(x)<0的解集與定義域交集形式的不同展開討論．含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性與