新高考版2024年高考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題17數(shù)列解答題壓軸題學(xué)生版

專題17數(shù)列（解答題壓軸題）①數(shù)列求通項，求和1．（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)高二開學(xué)考試）數(shù)列對隨意且，均存在正整數(shù)，滿意，，．(1)求可能值；(2)若，成立，求數(shù)列的通項公式．2．（2024·上海·華師大二附中高三階段練習(xí)）已知無窮數(shù)列滿意，其中，對于數(shù)列中的一項，若包含的連續(xù)項滿意或者，則稱為包含的長度為的“單調(diào)片段”.(1)若，寫出全部包含的長度為3的“單調(diào)片段”；(2)若對隨意正整數(shù)，包含的“單調(diào)片段”長度的最大值都等于2，并且，求的通項公式；(3)若對隨意大于1的正整數(shù)，都存在包含的長度為的“單調(diào)片段”，求證：存在正整數(shù)，使得時，都有.3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意：，(1)求a2，a3；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；(3)求數(shù)列前20項中全部奇數(shù)項的和．4．（2024·北京四中高三開學(xué)考試）設(shè)滿意以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期盼數(shù)列”：①；②.(1)分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期盼數(shù)列”（不必說明理由）；(2)若等差數(shù)列是15階“期盼數(shù)列”，求的通項公式；(3)記階“期盼數(shù)列”的前項和為，證明：（i）；（ii）.5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿意：對隨意正整數(shù)n，有．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿意，當時，.(1)計算：，；(2)證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和滿意：，數(shù)列滿意，且．(1)求的值及數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求．8．（2024·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）已知數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項公式.9．（2024·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）已知為等差數(shù)列，為公比大于0的等比數(shù)列，且，，，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.10．（2024·上海·華師大二附中高一期末）記是公差不為的等差數(shù)列的前項和，已知，，數(shù)列滿意，且．(1)求的通項公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(3)求證：對于隨意正整數(shù)，．11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿意，數(shù)列的前項之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，若數(shù)列的前項和，證明：．12．（2024·天津·耀華中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為，，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，，，求；(3)設(shè)，其中.求的前2n項和.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2024·四川·雅安中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}是正項等差數(shù)列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿意2Sn+bn＝1．(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；(2)假如cn＝anbn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列各項都是正數(shù)，，對隨意n∈N*都有．數(shù)列滿意，（n∈N*）．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)數(shù)列滿意cn＝，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切n∈N*恒成立，求的取值范圍．3．（2024·上海市松江二中高一期末）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，是否存在正整數(shù)，使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出全部的有序數(shù)組；若不存在，說明理由.4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，其中．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿意，，求數(shù)列的前項和；(3)若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值．5．（2024·四川·樹德中學(xué)高一競賽）已知數(shù)列中，，．正項等比數(shù)列的公比，且滿意，．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列和的通項公式；(2)假如，求的前n項和為；(3)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．6．（2024·湖北·武漢市第一中學(xué)高二期中）設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，其中，且．(1)求常數(shù)的值，并寫出的通項公式；(2)記，數(shù)列的前n項和為，若對隨意的，，都有，求正整數(shù)的最小值．7．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿意，，為的前n項和.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和滿意對一切正奇數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿意.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.9．（2024·上海市試驗學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿意，其中.(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(2)求使不等式對隨意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值；(3)當時，求證：.10．（2024·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知實數(shù)列滿意：，點（在曲線上．(1)當且時，求實數(shù)列的通項公式；(2)在（1）的條件下，若表示不超過實數(shù)t的最大整數(shù)，令，是數(shù)列的前n項和，求的值；(3)當，時，若存在，且對恒成立，求證：．11．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列，滿意，且是，的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，，對隨意正整數(shù)，總有成立，試求實數(shù)的取值范圍．12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意：，，，且；等比數(shù)列滿意：，，，且．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若不等式對隨意都成立，求實數(shù)的取值范圍．13．（2024·湖北武漢·高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿意，數(shù)列的前項和為，且(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，若對隨意正整數(shù)，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.③數(shù)列與函數(shù)1．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知函數(shù)，．(1)證明：；(2)若存在直線，其與兩條曲線和共有四個不同的交點，設(shè)從左到右的四個交點的橫坐標分別為，，，，證明：．2．（2024·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）已知函數(shù)的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數(shù)圖像上全部點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像．(1)求函數(shù)與的解析式；(2)是否存在，使得、、依據(jù)某種依次成等差數(shù)列？若存在，懇求出該數(shù)列公差確定值的取值范圍；若不存在，請說明理由；(3)求實數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有個零點．3．（2024·江蘇·泰州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.4．（2024·福建泉州·高二期末）已知函數(shù)和．(1)求在處的切線方程；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列．5．（2024·四川·德陽五中高一階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)在的值域；(2)若，求的值；(3)令，已知函數(shù)在區(qū)間有零點，求實數(shù)k的取值范圍.6．（2024·全國·模擬預(yù)料）設(shè)函數(shù)，．(1)若對隨意，都有，求a的取值范圍；(2)設(shè)，．當時，推斷，，是否能構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由．7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當時，探討的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．8．（2024·山東省試驗中學(xué)模擬預(yù)料）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：．9．（2024·遼寧試驗中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前n項和滿意，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，其中．10．（2024·陜西·西安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)探討函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.11．（2024·遼寧·東北育才學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．(1)探討的單調(diào)性；(2)當時，證明：；(3)求證：對隨意的且，都有：…．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）12．（2024·全國·高二單元測試）已知二次函數(shù)同時滿意：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立．設(shè)數(shù)列的前項和．(1)求的表達式．(2)求數(shù)列的通項公式．(3)設(shè)，，的前項和為，若對隨意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．④數(shù)列與概率1．（2024·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）足球是一項大眾寵愛的運動.2024卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2024年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.(1)為了解寵愛足球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：寵愛足球運動不寵愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為寵愛足球運動與性別有關(guān)?(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記起先傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（干脆寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并推斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。?．（2024·湖北武漢·高二期末）最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且試驗成功的概率為，現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，則試驗結(jié)束；若試驗不成功，則接著試驗，且最多試驗次.記為試驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)．(1)寫出的分布列；(2)證明：．3．（2024·福建福建·高二期末）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，依據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地聽從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面對意向客戶推出“玩嬉戲，送大獎”活動，客戶可依據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動，若遙控車最終停在“成功大本營”（第19格），則可獲得購車實惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格），則沒有任何優(yōu)實惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是，遙控車起先在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到“成功大本營”或“微笑大本營”時，嬉戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求參與嬉戲一次的顧客獲得實惠券全額的期望值（精確到萬元）.4．（2024·遼寧試驗中學(xué)高二期中）近兩年因為疫情的緣由，同學(xué)們對于居家上網(wǎng)課的情景越來越熟識了．相較于在學(xué)校教室里線下課程而言，上網(wǎng)課因為少了課堂氛圍，難于與老師和同學(xué)互動，聽課學(xué)生很簡潔走神．為了提升同學(xué)們的聽課效率，授課老師可以選擇在授課過程中進行專注度監(jiān)測，即要求同學(xué)們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在細致聽課，否則就可以認為該同學(xué)目前走神了．經(jīng)過一個月對全體同學(xué)上課狀況的視察統(tǒng)計，平均每次專注度監(jiān)測有90%的同學(xué)能夠正常完成簽到．為了能夠進一步探討同學(xué)們上課的專注度狀況，我們做如下兩個約定：①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神狀況的概率均相等；②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分．請回答如下兩個問題：(1)若某班級共有50名學(xué)生，一節(jié)課老師會進行三次專注度監(jiān)測，那么全班同學(xué)在三次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？(2)計某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計得分恰為n分的概率為（比如：表示累計得分為1分的概率，表示累計得分為2的概率，），摸索求：（Ⅰ）的通項公式；（Ⅱ）的通項公式．5．（2024·全國·高二期末）2024年4月23日是第27個“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，學(xué)問讓生命翱翔”主題學(xué)問競賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對一題得2分，答錯得1分，不限制答題次數(shù).已知小明能正確回答每題的概率都為，且每次回答問題是相互獨立的，記小明得分的概率為，.(1)求，的值；(2)求.6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺的答題競賽包括三項活動，分別為“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內(nèi)參與“四人賽”活動，每局第一名積3分，其次、三名各積2分，第四名積1分，每局競賽相互獨立.在一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，每局競賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局競賽相互獨立.已知甲參與“四人賽”活動，每局競賽獲得第一名、其次名的概率均為，獲得第四名的概率為；甲參與“雙人對戰(zhàn)”活動，每局競賽獲勝的概率為.(1)記甲在一天中參與“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”兩項活動（兩項活動均只參與一局）的總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)“挑戰(zhàn)答題”競賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對的狀況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯時，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對5道題可以獲得5個積分.某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個“得積分進階”活動，從1階到階，規(guī)定每輪答題獲得5個積分進2階，沒有獲得積分進1階，依據(jù)獲得的階級賜予相應(yīng)的獎品，記乙每次獲得5個積分的概率互不影響，均為，記乙進到階的概率為，求.7．（2024·山東·青島高校附屬中學(xué)高二期中）某商場擬在周年店慶進行促銷活動，對一次性消費超過200元的顧客，特殊推出“玩嬉戲，送禮券”的活動，嬉戲規(guī)則如下：每輪嬉戲都拋擲一枚質(zhì)地勻整的骰子，若向上點數(shù)不超過4點，獲得1分，否則獲得2分，進行若干輪嬉戲，若累計得分為9分，則嬉戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為10分，則嬉戲結(jié)束，可得到紀念品一份，最多進行9輪嬉戲.(1)當進行完3輪嬉戲時，總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若累計得分為的概率為，初始分數(shù)為0分，記（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求活動參與者得到紀念品的概率.8．（2024·江蘇徐州·高二期中）為了便利出行，緩解交通壓力，疼惜環(huán)境，推動生態(tài)文明建設(shè)，市政府大力推行共享交通工具出行．某企業(yè)依據(jù)市場發(fā)展狀況推出共享單車和共享電動車兩種產(chǎn)品，市場調(diào)查發(fā)覺，由于兩種產(chǎn)品中共享電動車速度更快，故更受市民歡迎．一般運用共享電動車的概率為，運用共享單車的概率為，該企業(yè)為了促進市民消費，運用共享電動車一次記2分，運用共享單車一次記1分，每個市民各次運用