安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.752．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.若對(duì)任意正整數(shù)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．如圖所示，在ΔABC，已知∠A:∠B=1:2，角C的平分線CD把三角形面積分為3:2兩部分，則cosAA．13 B．12 C．34．在中，，則此三角形解的情況是()A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解5．在面積為S的平行四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則三角形PBD的面積大于的概率為（）A． B． C． D．6．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率為,則第八個(gè)單音的頻率為()A． B． C． D．8．莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則，的值分別為A． B．C． D．9．設(shè)且，的最小值為()A．10 B．9 C．8 D．10．設(shè)，則A．-1 B．1 C．ln2 D．-ln2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．12．公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則的值為___________13．已知，則____________.14．在中，，是邊上一點(diǎn)，且滿足，若，則_________.15．和的等差中項(xiàng)為__________．16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，函數(shù)，，（1）證明：是奇函數(shù)；（2）如果方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的值.18．已知向量，（1）若，求；（2）若，求.19．已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引的兩條切線、，切點(diǎn)分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點(diǎn).20．如圖幾何體中，底面為正方形，平面，，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录鶕?jù)互斥事件的和即可求解.【詳解】因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录?，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.2、C【解析】

先利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是可求出，再利用參變量分離法得到，利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最小項(xiàng)的值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，得，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，.，由，得，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，其最小項(xiàng)為，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)，其關(guān)系式為，其次考查了數(shù)列不等式與參數(shù)的取值范圍問題，一般利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化問題，屬于中等題．3、C【解析】

由兩個(gè)三角形的面積比，得到邊ACCB=32，利用正弦定理【詳解】∵角C的平分線CD，∴∠ACD=∠BCD∵S∴設(shè)AC=3x,CB=2x，∵∠A:∠B=1:2，設(shè)∠A=α,∠B=2α，在ΔABC中，利用正弦定理2xsin解得：cosα=【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式、正弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用.4、B【解析】由題意知，，，，∴，如圖：∵，∴此三角形的解的情況有2種，故選B．5、A【解析】

轉(zhuǎn)化條件求出滿足要求的P點(diǎn)的范圍，求出面積比即可得解.【詳解】如圖，設(shè)P到BD距離為h，A到BD距離為H，則，，滿足條件的點(diǎn)在和中，所求概率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

對(duì)分兩種情況討論分析得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，綜合得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求得第八個(gè)單音的頻率.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知第八個(gè)單音的頻率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)眾數(shù)的概念可確定；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法可構(gòu)造方程求得.【詳解】甲組數(shù)據(jù)眾數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）的最小值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是能夠靈活利用“”，配湊出符合基本不等式的形式.10、C【解析】

先把化為，再根據(jù)公式和求解.【詳解】故選C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算，注意觀察題目之間的聯(lián)系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、15【解析】分析：運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出的值.詳解：數(shù)列為等比數(shù)列，故答案為15.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生對(duì)基本概念的掌握能力與計(jì)算能力.12、2【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)與基本量法求解即可.【詳解】由題,因?yàn)?又等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),故.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性與各項(xiàng)之間的關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，然后分子分母同時(shí)除以求解．【詳解】，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．14、【解析】

記,則,則可求出,設(shè),,得,,故結(jié)合余弦定理可得,解得的值,即可求,進(jìn)而求的值.【詳解】根據(jù)題意,不妨設(shè),,則,因,所以,設(shè),由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)和的等差中項(xiàng)為，利用等差中項(xiàng)公式可得出的值.【詳解】設(shè)和的等差中項(xiàng)為，由等差中項(xiàng)公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的求解，解題時(shí)要充分利用等差中項(xiàng)公式來求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

本題考查的是數(shù)列求和，關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列，求和時(shí)先考慮比較特殊的前兩項(xiàng)，剩余7項(xiàng)按照等差數(shù)列求和即可．【詳解】令，則所求式子為的前9項(xiàng)和．其中，，從第三項(xiàng)起，是一個(gè)以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)列求和，關(guān)鍵在于把所求式子轉(zhuǎn)換成為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，另外，帶有絕對(duì)值的數(shù)列在求和時(shí)要注意里面的特殊項(xiàng)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（1）1【解析】

（1）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義即可得證（1）由題意可得有且只有兩個(gè)相等的實(shí)根，可得判別式為0，解方程可得所求值．【詳解】（1）證明：由函數(shù)，，可得定義域?yàn)?，且，可得為奇函?shù)；（1）方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即為，即△，解得舍去），則的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和二次方程有解的條件，考查方程思想和定義法，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）3；（2）或【解析】

（1）由，得，又由，即可得到本題答案；（2）由，得，即，由此即可得到本題答案.【詳解】解：（1）由，得，即，（2）由，得，即，又，解得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量與三角函數(shù)求值的綜合問題，齊次式法求值是解決此類問題的常用方法.19、（1）（2）①②證明見解析【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)最小時(shí)，即可求得面積的最小值；②設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點(diǎn)共圓，可得圓心坐標(biāo)及半徑，進(jìn)而求得的方程，根據(jù)兩個(gè)圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進(jìn)而求得過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因?yàn)閳A心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因?yàn)?、是的兩條切線，所以，，故又因?yàn)?，根?jù)平面幾何知識(shí)，要使最小，只要最小即可.易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，.此時(shí).②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?、、、四點(diǎn)共圓.其圓心為線段的中點(diǎn)，，設(shè)所在的圓為，所以的方程為：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)槭呛偷墓蚕?，所以，兩式相減得，故方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，圓中三角形面積問題的應(yīng)用，直線過定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，屬于難題．20、（1）見解析（2）【解析】

（1）由，，結(jié)合面面平行判定定理可證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定定理可證得平面，從而可知所求角為，在中利用正弦求得結(jié)果.【詳解】（1）四邊形為正方形又平面平面又，平面平面平面，平面平面平面平面（2）連接交于點(diǎn)，連接平面，平面又四邊形為正方形平面，平面即為與平面所成角且又即與平面所成角為：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明、直線與平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定與性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；求解直線與平面所成角的關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系將所求角放入直角三角形中來進(jìn)行求解.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由遞推公式，再遞推一步，得，兩式相減化簡(jiǎn)得，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而可以求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性