2024年高考數(shù)學(xué)（人教B版）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第10章10.7二項(xiàng)分布超幾何分布與正態(tài)分布

§10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布考試要求1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.借助正態(tài)曲線(xiàn)了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下________n次伯努利試驗(yàn)，約定這n次試驗(yàn)是____________的，此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(2)二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝__________(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0由于表中的第二行中的概率值恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作____________．(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝______，D(X)＝________.②若X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________.2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝__________________，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中，n，N，M∈N＋，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．3．正態(tài)分布(1)定義一般地，如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線(xiàn)與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的________，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ與σ的____________．(2)正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)①曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)________對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)在________處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線(xiàn)無(wú)限接近x軸．(3)3σ原則P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________，P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________，P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝______，D(X)＝________.常用結(jié)論1．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理．2．超幾何分布有時(shí)也記為X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．()(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．()(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．()(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“矮胖”．()教材改編題1．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為eq\f(2,3)，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)2．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是()A．32B．16C．8D．203．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝1)＝________.題型一二項(xiàng)分布例1(1)(2023·?？谀M)某班50名學(xué)生通過(guò)直播軟件上網(wǎng)課，為了方便師生互動(dòng)，直播屏幕分為1個(gè)大窗口和5個(gè)小窗口，大窗口始終顯示老師講課的畫(huà)面，5個(gè)小窗口顯示5名不同學(xué)生的畫(huà)面．小窗口每5分鐘切換一次，即再次從全班隨機(jī)選擇5名學(xué)生的畫(huà)面顯示，且每次切換相互獨(dú)立．若一節(jié)課40分鐘，則該班甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時(shí)間的均值是()A．10分鐘 B．5分鐘C．4分鐘 D．2分鐘聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·衡陽(yáng)模擬)某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為eq\f(2,3)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬(wàn)元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬(wàn)元．項(xiàng)目沒(méi)有成功，則沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì)，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)．①大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位：萬(wàn)元)，若X≤30的概率為eq\f(7,9).求P0的大??；②若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問(wèn)：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華二項(xiàng)分布問(wèn)題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生．(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知隨機(jī)變量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝eq\f(2,3)，則P(X≥2)等于()A.eq\f(20,27)B.eq\f(2,3)C.eq\f(16,27)D.eq\f(13,27)(2)某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開(kāi)展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占40%，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有30%.現(xiàn)從所有問(wèn)卷中隨機(jī)抽取4份問(wèn)卷進(jìn)行回訪(fǎng)(視頻率為概率)．①求抽取到的問(wèn)卷中至少有2份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；②記抽取到的問(wèn)卷中調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的問(wèn)卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二超幾何分布例22022年12月4日，神舟十四號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，航天員順利出艙，神舟十四號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿(mǎn)完成．為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)成就，發(fā)揚(yáng)并傳承中國(guó)航天精神，某校高一年級(jí)組織2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽(滿(mǎn)分：100分)并進(jìn)行記錄，根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)用頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)從得分在[60,90]的學(xué)生中利用分層抽樣的方法選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識(shí)演講活動(dòng)，求選出的3人中競(jìng)賽得分不低于70分的人數(shù)X的分布列及均值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的分布列．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．跟蹤訓(xùn)練2為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價(jià)矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期，月度滾動(dòng)使用．第一階梯：年用電量在2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價(jià)0.5653元/度；第二階梯：年用電量在2161度到4200度內(nèi)(含4200度)，超出2160度的電量執(zhí)行第二檔電價(jià)0.6153元/度；第三階梯：年用電量在4200度以上，超出4200度的電量執(zhí)行第三檔電價(jià)0.8653元/度．某市的電力部門(mén)從本市的用戶(hù)中隨機(jī)抽取10戶(hù)，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下：用戶(hù)編號(hào)12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600(1)計(jì)算表中編號(hào)為10的用戶(hù)該年應(yīng)交的電費(fèi)；(2)現(xiàn)要在這10戶(hù)中任意選取4戶(hù)，對(duì)其用電情況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求取到第二階梯的戶(hù)數(shù)的分布列．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三正態(tài)分布例3(1)(多選)(2023·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個(gè)工廠(chǎng)生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車(chē)零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)曲線(xiàn)如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．甲工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠(chǎng)生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性(2)(2022·合肥模擬)某市高三年級(jí)共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)谓品恼龖B(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿(mǎn)分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，據(jù)此可以估計(jì)，這次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0到90分之間的學(xué)生人數(shù)約為()A．2800 B．4200C．5600 D．7000聽(tīng)課記錄：__________________