2023年下半年教師資格證考試《高中數(shù)學(xué)》題（考生回憶版）（題目及答案解析）

2023年下半年教師資格證考試《高中數(shù)學(xué)》題（考生回憶版）一、單項(xiàng)選擇題。本大題共8小題，每小題5分，共40分。1極限的值是（

）。A、-1B、0C、1D、22在平面直角坐標(biāo)系中，圓圍成的面積可以用定積分表示為（

）。A、B、C、D、3平面x=2與雙曲面的交線是（

）。A、兩條直線B、橢圓C、拋物線D、雙曲線4已知向量a=(1,2,1)，b=(t,3,0)，c=(2,t,1)線性相關(guān)，則t的取值是（

）。A、-3或-1B、-3或1C、-1或3D、1或35矩陣是可逆矩陣，E是二階單位矩陣，則下列敘述不正確的是（

）。A、行列式B、a=c=0C、向量與向量線性無(wú)關(guān)D、存在N，使得MN=E6若同一樣本空間中的隨機(jī)事件A，B滿足P(A)+P(B)=1.2，則下列敘述一定正確的是（

）。A、P(A)=P(B)=0.6B、A與B相互獨(dú)立C、D、A與B互不相容7貫穿普通高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一是（

）。A、三角函數(shù)B、幾何與代數(shù)C、頻率與概率D、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)8南北朝科學(xué)家祖暅在實(shí)踐基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這一原理也常常被稱(chēng)為祖暅原理，其中“冪”和“勢(shì)”的含義分別是（

）。A、乘方、高B、乘方、寬C、面積、高D、面積、寬二、簡(jiǎn)答題。本大題共5小題，每小題7分，共35分。9已知實(shí)系齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解。根據(jù)以上材料回答問(wèn)題：（1）求k的值。（3分）（2）求此時(shí)方程組的通解。（4分）10在空間直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)P(4,0,2)且與直線：垂直相交。根據(jù)以上材料回答問(wèn)題：（1）求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。（4分）（2）求直線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（3分）11某設(shè)備由甲、乙兩名工人同時(shí)操作，兩人的操作相互獨(dú)立，每名工人出現(xiàn)操作失誤的次數(shù)只能是0、1、2，對(duì)應(yīng)的概率分別是0.7、0.2、0.1，將兩名工人操作失誤的總數(shù)記為X，若X2，則該設(shè)備不能正常工作。根據(jù)以上材料回答問(wèn)題：（1）求該設(shè)備正常工作的概率。（3分）（2）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。（4分）12簡(jiǎn)單邏輯推理的含義及主要推理形式。13寫(xiě)出復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算法則，并簡(jiǎn)述復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義。三、解答題。本大題共1小題，共10分。14材料：已知導(dǎo)數(shù)，其中a和b是常數(shù)，并且，。根據(jù)以上材料回答問(wèn)題：（1）求常數(shù)a和b的值。（2）計(jì)算不定積分。四、論述題。本大題共1小題，共15分。15有學(xué)生向數(shù)學(xué)老師反映：遇到您講過(guò)的題我能做出來(lái)，但是沒(méi)講過(guò)的題我就不會(huì)做了，你認(rèn)為在教學(xué)中產(chǎn)生此問(wèn)題可能有哪些原因，并給出相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策。五、案例分析題。本大題共1題，共20分。（一）材料：案例：在“統(tǒng)計(jì)與概率”一節(jié)課中，老師利用計(jì)算機(jī)模塊拋擲一枚具有正反兩面的硬幣的實(shí)驗(yàn)。下圖是模擬拋擲硬幣“正面向上”事件發(fā)生的概率。請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合數(shù)據(jù)分析頻率變化的規(guī)律，并探究頻率與概率的關(guān)系。學(xué)生1：隨著拋擲次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越穩(wěn)定。學(xué)生2：試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率不一定穩(wěn)定，因?yàn)閳D中試驗(yàn)次數(shù)為577時(shí)的頻率比試驗(yàn)次數(shù)為721時(shí)的頻率更接近0.5。學(xué)生3：根據(jù)頻率變化趨勢(shì)，拋擲一枚硬幣，正面向上的概率一定是。16根據(jù)以上材料回答問(wèn)題：（1）針對(duì)學(xué)生1、2的回答，你怎么理解頻率的穩(wěn)定性？（12分）（2）學(xué)生3的回答是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由。（8分）六、教學(xué)設(shè)計(jì)題。本大題有1題，共30分。（二）材料：下面是人教版版本教材高中選擇性必修二“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的部分內(nèi)容。一般地，如何求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則的前n項(xiàng)和是：，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，**可寫(xiě)成：①，我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘①的兩邊，可得②，①②兩式的公式有很多相同的項(xiàng)，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項(xiàng)，可得即。因此，當(dāng)時(shí)，我們就得到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（1）。因?yàn)椋怨剑?）還可以寫(xiě)成（）（2）。例7：已知數(shù)列是等比數(shù)列。（1）若，，求；（2），，q<0，求；（3）若，，，求n；17根據(jù)上面的內(nèi)容，完成下列任務(wù)：（1）利用推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。（8分）（2）寫(xiě)出這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)過(guò)程（含引導(dǎo)學(xué)生探究的活動(dòng)和設(shè)計(jì)意圖）。（22分）2023年下半年教師資格證考試《高中數(shù)學(xué)》題（考生回憶版）（解析）1本題主要考查極限的相關(guān)知識(shí)。原式=。A項(xiàng)正確。B、C、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為A。2本題主要考查定積分的相關(guān)知識(shí)。由方程，可以轉(zhuǎn)化為，由對(duì)稱(chēng)性可知與分別表示上下半圓。因此面積可表示為。D項(xiàng)正確。A、B、C三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為D。3本題主要考查空間曲線與曲面的相關(guān)知識(shí)。聯(lián)立平面方程與曲面方程可得，因此平面與曲面的交線為雙曲線。D項(xiàng)正確。A、B、C三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為D。4本題主要考查向量的相關(guān)性的相關(guān)知識(shí)。由于題中所給向量線性相關(guān)，故而向量組所在行列式，解得t=-1或3。C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為C。5本題主要考查矩陣的相關(guān)知識(shí)。對(duì)于A選項(xiàng)，由于矩陣M為可逆矩陣，故而，A項(xiàng)表述正確，不選；B選項(xiàng)錯(cuò)誤，選擇。對(duì)于C選項(xiàng)，由于矩陣M為可逆矩陣，故而R(M)=2，因此向量與向量線性無(wú)關(guān)；C項(xiàng)表述正確，不選；對(duì)于D選項(xiàng)，由于M為可逆矩陣，故而一定存在N，使得MN=E。表述正確，排除。故正確答案為B。6本題主要考查隨機(jī)事件與概率的相關(guān)知識(shí)。P(A)+P(B)=1.2不代表P(A)=P(B)=0.6，故而A項(xiàng)錯(cuò)誤；A與B相互獨(dú)立則P(AB)=P(A)P(B)，故而B(niǎo)項(xiàng)錯(cuò)誤；由于P(A)+P(B)=1.2>1，因此，故而C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故正確答案為C。7本題主要考查課標(biāo)的相關(guān)知識(shí)。根據(jù)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》。高中數(shù)學(xué)課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程。數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容。B項(xiàng)正確。A、C、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為B。8本題主要考查數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)。祖暅在數(shù)學(xué)上做出了突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。這就是“祖原理”?！皠?shì)”即是高，“冪”是面積，祖暅原理用現(xiàn)代語(yǔ)言可以描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為C。9（1）由于齊次線性方程組有無(wú)窮多解，故而其系數(shù)行列式=0，解得k=-5；（2）代入k=-5，則方程組的系數(shù)矩陣為，故而對(duì)應(yīng)方程組為，取為自由變量，則，因此基礎(chǔ)解系，故而方程組的通解為。10（1）設(shè)兩直線交點(diǎn)為(x，y，z)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(4,0,2)，因此的方向向量為(x-4，y，z-2)，而由題意顯然的方向向量為（1,2,2）。因?yàn)槎叽怪?，故而二者方向向量的?shù)量積為0，即，整理得，與直線聯(lián)立，解之得，因此兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2,1）。（2）由（1）代入可得的方向向量為（-2,2,-1）；由于直線過(guò)點(diǎn)P(4,0,2)，因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。11（1）X的可能取值為0，1，2，3，4，其中當(dāng)X的取值為0，1的時(shí)候，該設(shè)備能正常工作。所以該設(shè)備能正常工作的概率為：；（2），；，則X的分布列為：。12含義：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。邏輯推理主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是從特殊到一般或從特殊到特殊的推理，推理形式主要有歸納、類(lèi)比；一類(lèi)是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)。13加法運(yùn)算：；減法運(yùn)算：；乘法運(yùn)算：；除法運(yùn)算：。復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加得到的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，相當(dāng)于兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的和，所以復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行。14（1）由題意可得：；；，；解之得b=1,

a=-1；（2）15學(xué)生對(duì)于老師講過(guò)的題就會(huì)做，遇到?jīng)]講過(guò)的題卻不會(huì)做了，在教學(xué)中遇到這種情況可能是因?yàn)椋旱谝?，學(xué)生沒(méi)有真正理解解題的原理。第二，學(xué)生忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，沒(méi)有建立模塊化的知識(shí)體系導(dǎo)致不會(huì)活學(xué)活用。第三，教師練習(xí)題目的選取不合適。為避免此種情況的發(fā)生，教師可以：第一，講解知識(shí)時(shí)要更注重啟發(fā)性，課標(biāo)指出高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。因此老師可以融合多種教學(xué)方法，設(shè)計(jì)一系列啟發(fā)性問(wèn)題，讓學(xué)生真正參與知識(shí)的形成過(guò)程中，真正理解解題的原理以及掌握方法。第二，在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)，要關(guān)注數(shù)學(xué)前后邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化，明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程。第三，教師可以根據(jù)課時(shí)和學(xué)情，分層選取不同難度、類(lèi)型以及綜合性的題目，幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握做題方法，做到舉一反三。16（1）結(jié)合學(xué)生1的回答說(shuō)明，在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，事件的頻率會(huì)呈現(xiàn)穩(wěn)定性，即頻率在一個(gè)“常數(shù)”附近擺動(dòng)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，擺動(dòng)的幅度會(huì)越來(lái)越小，即頻率具有穩(wěn)定性。結(jié)合學(xué)生2的回答說(shuō)明，頻率在穩(wěn)定后仍然存在一定的波動(dòng)，試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，波動(dòng)幅度較大，試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，波動(dòng)幅度較小。因此說(shuō)明，頻率是具有穩(wěn)定性的，但仍存在一定的波動(dòng)。（2）學(xué)生3的回答正確。頻率指的是進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，不確定事件A發(fā)生了m次，則稱(chēng)一是事件A發(fā)生的頻率。概率是描述事件A發(fā)生的可能性的大小。大量試驗(yàn)表明，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率，具有穩(wěn)定性。因此，我們可以用頻率來(lái)估計(jì)概率。本題中，由頻率變化趨勢(shì)可以看出，大量重復(fù)試驗(yàn)后，頻率穩(wěn)定在，因此可以確定概率一定為。所以同學(xué)3的回答正確。17（1）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，等號(hào)兩邊同時(shí)乘以2可得：；二者相減可得：，整理得（2）一、教學(xué)目標(biāo)：1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并理解其推導(dǎo)過(guò)程。2.通過(guò)獨(dú)立思考、小組討論推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過(guò)程，可以提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力。3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生能夠體會(huì)等比數(shù)列在生活中的應(yīng)用，同時(shí)激發(fā)求知欲，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、勤于動(dòng)腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。二、教學(xué)重點(diǎn)掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。三、教學(xué)過(guò)程：（1）故事導(dǎo)入：教師活動(dòng)：教師為學(xué)生講授故事：國(guó)際象棋起源于古印度，國(guó)王要獎(jiǎng)勵(lì)象棋的發(fā)明者。問(wèn)他想要什么，發(fā)明者說(shuō)：“在棋盤(pán)第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，以此類(lèi)推，后面每一格放的麥粒數(shù)都是前一格的2倍，直到第64格”，國(guó)王欣然同意了。同時(shí)請(qǐng)同學(xué)根據(jù)以上信息，判斷國(guó)王能否實(shí)現(xiàn)他的諾言。學(xué)生活動(dòng)：就教師的提問(wèn)展開(kāi)獨(dú)立思考或進(jìn)行討論。教師活動(dòng)：針對(duì)學(xué)生表現(xiàn)，順勢(shì)引出本節(jié)課的主題《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》。設(shè)計(jì)意圖：故事導(dǎo)入的方式具有趣味性，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到“課未始，興已濃”的狀態(tài)。（2）新課講授1.探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：教師活動(dòng)：教師用多媒體展示問(wèn)題：如何推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？同時(shí)將學(xué)生分為前后桌4人一小組，進(jìn)行討論。限時(shí)5分鐘，期間教師進(jìn)行巡視指導(dǎo)，必要時(shí)作出指導(dǎo)。學(xué)生活動(dòng)：積極主動(dòng)地進(jìn)行討論，并給出作答如下：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則的前n項(xiàng)和是：，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，**可寫(xiě)成：①我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘①的兩邊，可得②，①②兩式的公式有很多相同的項(xiàng)，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項(xiàng)，可得即。因此，當(dāng)時(shí)，我們就得到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（1）。2.等比數(shù)列公式的推論教師活動(dòng)：教師充分肯定了學(xué)生的作答，并再次拋出問(wèn)題：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能否推出前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，限時(shí)3分鐘。然后請(qǐng)學(xué)生代表作答。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生積極主動(dòng)地參與課堂，并給出作答如下：因?yàn)椋怨剑?）還可以寫(xiě)成（）（2）。3.總結(jié)梳理教師活動(dòng)：教師為學(xué)生梳理等比數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間關(guān)系，并注明注意對(duì)與兩種情況均需做不同考慮。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)置問(wèn)題，層層提問(wèn)，利用提問(wèn)法和引導(dǎo)法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題的思考并進(jìn)一步的討論，體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)性作用。（3）鞏固練習(xí)教師通過(guò)多媒體展示有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)和不同類(lèi)型、不同層次的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考并作答，或者找學(xué)生代表在黑板上進(jìn)行板演，完成后教師針對(duì)結(jié)果給予評(píng)價(jià)并總結(jié)。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置不同層次的練習(xí)題，不僅能使學(xué)生新學(xué)的知識(shí)得到及時(shí)鞏固，也能使學(xué)生的思維能力得到有效提高，使其更好地學(xué)以致用，找學(xué)生代表在