理論力學(xué)(周衍柏第三版)思考題習(xí)題答案2

第一章思考題解答

1.1答：平均速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某?時(shí)間間隔/f/+△/內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢

速度，其方向沿位移的方向即沿&對(duì)應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或

某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)軌跡的切線方向。在Affo

的極限情況，二者一致，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中二者也一致的。

1.2答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，徑向速度V，和橫向速度V。的大小、方向都改變，而明中的尸只反映

了V,本身大小的改變，4中的「占+「@只是本身大小的改變。事實(shí)上，橫向速度方

向的改變會(huì)引起徑向速度V,.大小大改變，一廠）就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速

度V,的方向改變也引起V。的大小改變，另一個(gè)即為反映這種改變的加速度分量，故

%=尸_,%=e+2r6,。這表示質(zhì)點(diǎn)的徑向與橫向運(yùn)動(dòng)在相互影響，它們一起才能

完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況

1.3答：內(nèi)稟方程中，。n是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于a恒位于密切

面內(nèi)，速度V總是沿軌跡的切線方向，而a“垂直于v指向曲線凹陷一方，故明總是沿助法

線方向。質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，%=0,乙wOz何與牛頓運(yùn)動(dòng)定律不矛盾。因質(zhì)點(diǎn)除受

作用力F，還受到被動(dòng)的約反作用力R，二者在副法線方向的分量成平衡力居+此=0，

故即=0符合牛頓運(yùn)動(dòng)率。有人會(huì)問(wèn)：約束反作用力靠誰(shuí)施加，當(dāng)然是與質(zhì)點(diǎn)接觸的周圍

其他物體由于受到質(zhì)點(diǎn)的作用而對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會(huì)問(wèn)：某時(shí)刻若

耳，與此大小不等，勺就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)受合力的方向與原來(lái)不同，

質(zhì)點(diǎn)的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來(lái)/所在的方位，又有了新的副法

線，在新的副法線上仍滿足耳,+凡=0即即=0。這反映了牛頓定律得瞬時(shí)性和矢量性，

也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變。

1.4答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中只有勺而無(wú)明,質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動(dòng)中只有%而無(wú)％;質(zhì)點(diǎn)作

變速運(yùn)動(dòng)時(shí)即有火又有凡。

1.5答：立即反應(yīng)位矢?■大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的速度矢量，

dt

而它只表示「大小的改變。如在極坐標(biāo)系中，包=卉+「@而如=戶。在直線運(yùn)動(dòng)中，規(guī)

dtdtdt

定了直線的正方向后，—=—o且包的正負(fù)可表示如的指向，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

dtdtdtdt

動(dòng)速度；在曲線運(yùn)動(dòng)中立力如，且@1也表示不了包的指向，二者完全不同。

dtdtdtdt

史表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而立只是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大小

dtdt

的改變。在直線運(yùn)動(dòng)中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度；在曲線運(yùn)

動(dòng)中，二者不同，變.=%+。而史=（。

dtT"dt「

1.6答：不論人是靜止投籃還是運(yùn)動(dòng)投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6

題1-6圖

圖所示，故人以速度v向球網(wǎng)前進(jìn)時(shí)應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投

出，（事實(shí)上要稍高一點(diǎn)，使球的運(yùn)動(dòng)有一定弧度，便于投籃）。

1.7答：火車中的人看雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是雨點(diǎn)的勻速下落運(yùn)動(dòng)及向右以加速度a的勻速水平直

線運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)如題1.7圖所示，

題1-7圖

2

o'x'y'是固定于車的坐標(biāo)系，雨點(diǎn)相對(duì)車的加速度a'=-a，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程I"=2at消

yr=vt

去/的軌跡

y，2工

a

如題圖，有人會(huì)問(wèn)：車上的人看雨點(diǎn)的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線

凹向的內(nèi)側(cè)，a'垂直于V'方向的分量a；在改變著V'的方向，該軌跡上凹。

1.8答：設(shè)人發(fā)覺(jué)干落水時(shí)一，船已上行上行時(shí)船的絕對(duì)速度匕卅-V水，則

)x2

船反向追趕竿的速度V蠟+V水，設(shè)從反船到追上竿共用時(shí)間/，則

(丫船+丫水)/=600+5’

又竿與水同速，則

V水(2+f)=600

①+③=②得

L9答：不一定一致，因?yàn)槭歉淖兾矬w運(yùn)動(dòng)速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的

方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運(yùn)動(dòng)中外力

與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運(yùn)動(dòng)二者的方向一致。

1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時(shí)，物體作直線運(yùn)動(dòng)。

在曲線運(yùn)動(dòng)中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運(yùn)動(dòng)，以后各時(shí)刻

既可沿初速度方向運(yùn)動(dòng)，也可沿力的方向運(yùn)動(dòng)，如以一定初速度上拋的物體，開(kāi)始時(shí)及上升

過(guò)程中初速度的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)下落過(guò)程中沿力的方向運(yùn)動(dòng)。

在曲線運(yùn)動(dòng)中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時(shí)刻速度沿初速度的反方向，但以

后既不會(huì)沿初速度的方向也不會(huì)沿外力的方向運(yùn)動(dòng)，外力不斷改變物體的運(yùn)動(dòng)方向，各時(shí)刻

的運(yùn)動(dòng)方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不

一致，重力的方向決定了軌道的形狀開(kāi)口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。

1.11答：質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意點(diǎn)的速度只和初末時(shí)刻的高度

差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點(diǎn)的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論

假如曲線不是光滑的，質(zhì)點(diǎn)還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初

末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形

狀有關(guān)。

1.12答：質(zhì)點(diǎn)被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

方向，故約束力不做功，動(dòng)能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動(dòng)能

定理或能量積分可求出質(zhì)點(diǎn)在某位置的速度，從而得出a?，有牛頓運(yùn)動(dòng)方程Fn+R?=ma?

便可求出R“，即為約束力

1.13答：動(dòng)量

p=mv=1?個(gè)3。+2?+百=4（*"吆）

動(dòng)能

T--mv2=—xlx^32+22V3'j=8（N-m）

1.14答：

jk

J=rxmV=123=（2V3-6）+（9-V3）j+（2-6>

326

故

Jo=7（2^3-6）2+^-A/3）2+（-4）2?8.67（口用

小一代不

1.15答：動(dòng)量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動(dòng)量矩守恒并不意

味著動(dòng)量也守恒。如質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩守恒是由于力過(guò)力心，力對(duì)力心的矩為

零，但這質(zhì)點(diǎn)受的力并不為零，故動(dòng)量不守恒，速度的大小和方向每時(shí)每刻都在改變。

1.16答：若尸=尸(廠),在球坐標(biāo)系中有

er，%

□匚3ddSF(r)ar(r)

▽xF=———=——e-----e=n0

dr60d(pd(pn60ia

F(r)00

由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場(chǎng)的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中

仍有VxF=0的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中

f=x\+yj+zk,F(r)=Fx(r)+Fy(z)j+Fz(r>

故

i

Ak

VF

X=—=VX.（r）"+）'j+水=VXVXF（r）-=VxFl

axdzrr

IF;(r

r

事實(shí)上據(jù)算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡(jiǎn)寫為

VxF=VxF（r）r=0

這表明有心力場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)記保守立場(chǎng)

1.17答平方反比力場(chǎng)中系統(tǒng)的勢(shì)能丫（r）=_￡竺，其勢(shì)能曲線如題圖1.17圖所示,

由T+y（r）=E知T=E-丫6）,因T>0,故有芯>V（r）。

若￡<0，其勢(shì)能曲線對(duì)應(yīng)于近日點(diǎn)r.和遠(yuǎn)日點(diǎn)r之間的一段。近日點(diǎn)處

E-vG）-T即為進(jìn)入軌道需要的初動(dòng)能若￡〉0則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)無(wú)界，對(duì)應(yīng)于雙曲線軌道的

運(yùn)動(dòng)；若七=（）位于有界和無(wú)界之間，對(duì)應(yīng)于拋物線軌道的運(yùn)動(dòng)；這兩種軌道的運(yùn)動(dòng)都沒(méi)有

近日點(diǎn)，即對(duì)大的r質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是無(wú)界的，當(dāng)r很大時(shí)0,還是選無(wú)限遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn)

的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運(yùn)動(dòng)比拋物軌道和橢圓軌道需要的進(jìn)入軌道需要的動(dòng)能要

大。事實(shí)及理論都證明，平方反比引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的軌道正是取決于進(jìn)入軌道時(shí)初動(dòng)能的大小

由

得

,k2

vJ>—j

r

k2

<一

即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中（,乙，73對(duì)應(yīng)于進(jìn)入軌道時(shí)的達(dá)到第一二三宇

宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故「有一極小值此，既相互作用的二質(zhì)點(diǎn)不可

能無(wú)限接近，對(duì)于人造衛(wèi)星的發(fā)射R,其為地球半徑。"=E-丫（廠）為地面上發(fā)射時(shí)所需的

初動(dòng)能，圖示心1,42,八3分別為使衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)達(dá)到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動(dòng)

能。一q）i=1,2,3.為進(jìn)入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。

1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于

赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的

慣性離心力與軌道平面的家教越大，運(yùn)動(dòng)中受的影響也越大，對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越

高。交角越大，對(duì)地球的直接探測(cè)面積越大，其科學(xué)使用價(jià)值越高。

1.19答：對(duì)庫(kù)侖引力場(chǎng)有,機(jī)產(chǎn)_4=旦其中/=召若丫2）生，則，E〉0,軌道是雙

2r4fr

曲線的一點(diǎn)，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷

方位內(nèi)側(cè)；若丫24竺，則EK。，軌道橢圓仿⑹或拋物線仿=0）,盧瑟福公式不適用，

r

仿照課本上的推證方法，在入射速度匕〉竺的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正,

r

負(fù)粒子的對(duì)撞試驗(yàn)可驗(yàn)證這一結(jié)論的近似正確性。

第一章習(xí)題解答

1.1由題可知示意圖如題1.1.1圖:

題1.1.1圖

設(shè)開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為七,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為

則有:

12

§=匕）4一]?！?/p>

2s=+?2）_]。（，1+，2）2

由以上兩式得

S1

vo=1。+323

再由此式得

Q_2S(，2T])

斗2(6十，2)

證明完畢.

1.2解由題可知，以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)如題1.2.1圖.

-------A<>-?--0-----------------?

題1.2.1圖

設(shè)A船經(jīng)過(guò)"小時(shí)向東經(jīng)過(guò)燈塔,則向北行駛的B船經(jīng)過(guò)(%+lg)小時(shí)經(jīng)過(guò)燈塔

任意時(shí)刻4船的坐標(biāo)

8船坐標(biāo)XB=0，

)'B=—[15,O+1；-15/

則A8船間距離的平方

22

d=(xA-xB)+(力

即

L/、-12

22

d=(15r0-15f)+15,+1；)-15f

=450f2-(9OOro+675>+225點(diǎn)+225bo+11]

/對(duì)時(shí)間,求導(dǎo)

誓900,-（900%+675）

AB船相距最近，即魚!）=0,所以

dt

3,

-o=7

即午后45分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離

M4『+(】5x：15x|jkm

§min

1.3解⑴如題1.3.2圖

由題分析可知，點(diǎn)c的坐標(biāo)為

.￥=廠COS°+QCOS〃

y=asinI//

又由于在AAOB中，有」—=用_（正弦定理）所以

sin〃sincp

.2asin”2y

sin(p-------—=

rr

聯(lián)立以上各式運(yùn)用

.221

sin(p+cos(p=I

由此可得

x-acosw_xJa2—o2

rr

得

22,22c2

4Ayx+a-y—2xyja-y

--Z--1-------------------------

得

3y2+x2+a2-r2=2x-^a2-y2

化簡(jiǎn)整理可得

2222222

4x(?-/)=(x+3y+?-r)

此即為C點(diǎn)的軌道方程.

(2)要求c點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)

..ra)cos(p.

x=-rcosincp--------sin'

2cos少

._rcocos(/)

y=^~

其中

(o-<p

又因?yàn)?/p>

rsin(p=2。sin"

對(duì)兩邊分別求導(dǎo)

故有

.rcocoscp

所以

/、2

.rcoCOS69.

-rcosincp---------siny/

(2cos獷)4

-———Jcos20+4sin°cos夕sin(0+“)

2cos沙

1.4解如題1.4.1圖所示,

L

AxAx_______B

o

第1.4題圖

OL繞O點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，c在43上滑動(dòng)，因此C點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分

量

22

v±=<yxOC=84d+x

C點(diǎn)速度

vi,2/）d~+x~

v=—―=v.asec6,=tat/sec0=co---------

cos。d

又因?yàn)間=o所以C點(diǎn)加速度

a=-=ftx/-2sec?sec-tan-<9=2d①2sec2。tan6=/+，）

dtd2

1.5解由題可知，變加速度表示為

a-cI-sin——

I2T）

由加速度的微分形式我們可知

dv

a--

dt

對(duì)等式兩邊同時(shí)積分

可得：

V=C7+VCCOSF+D（D為常數(shù)）

代入初始條件：/=0時(shí)，丫=0，故

D=-三c

又因?yàn)?/p>

ds

v=一

dt

所以

對(duì)等式兩邊同時(shí)積分，可得:

1.6解由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度

Vf/=々①

沿垂直于位矢速度

又因?yàn)?f=Ar9即

r=2r

v±=Ox-jU0即0=

r

T小，?)+*(取位矢方向八垂直位矢方向j)

所以

ddr..dz....6.

——(n)=——1+r——=ri+rd/

出、/出出

—(r=—0j+rj+rd—=r(^+r(^-r^2z

dtv7dtdtdt

故

a=（r-rO2\+（rO+2為）j

即沿位矢方向加速度

a-（r—r^2）

垂直位矢方向加速度

={rO+2r0]

對(duì)③求導(dǎo)

r=Ar=A2r

對(duì)④求導(dǎo)

d=一45+幺8=〃6（幺+/11

rryr）

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

1.7解由題可知

,x=rcos。①一②

y=rsin6

對(duì)①求導(dǎo)

x=rcos-rsin00③

對(duì)③求導(dǎo)

x=rcos0-2r0s\nO-rOsinO-rO2cos。④

對(duì)②求導(dǎo)

y=戶sin。+r6cos。⑤

對(duì)⑤求導(dǎo)

y=rsin0+2r0cos0-\-r6cos0-r02sind?

對(duì)于加速度〃，我們有如下關(guān)系見(jiàn)題L7.1圖

題1.7.1圖

即

x=arcos0+aosin^⑦—⑧

y=arsin0+aocos。

對(duì)⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦XCOS。，⑧xsin。

即得

Heos。=arcos0-aosincos⑨—⑩

ysin^=arsin8+%sincos

⑨+⑩得

ar=xcos^+ysin^（”）

把④⑥代入（ID得

2

ar-r-rd

同理可得

a0=r。+2亍。

1.8解以焦點(diǎn)歹為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)如題L8.1圖所示］

則〃點(diǎn)坐標(biāo)

x=rcosO

V

y=rsin0

對(duì)羽y兩式分別求導(dǎo)

x=rcosO-rOsind

y=rsin+rOcosO

故

v2=x2+y2=(rcos^-r^sin^)"+(戶sin。+rJcos'}=r2+r2a>2

如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為

1+ecos。

對(duì)r求導(dǎo)可得（利用又因?yàn)?/p>

11ecos?

所以

故有

222

,'vsin^+r6;

a2(l-e2)2

/(』2)2[1_/(l—e2)2+：22〃(le2)+廣。

V=￡Jr（2a一廠）

（其中/=（1一為橢圓的半短軸）

1.9證質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度表達(dá)式為

V=Vxi+VyJ

令為位矢與軸正向的夾角，所以

dvdv.didvdj

=——=-r-i+V——+--J+V—=

dtdtdrtdtvdt

所以

dv-dvdvdv、

=v^-vv8+v^v+vv6=v"+v-

*dtxyydtxyxdtydt

又因?yàn)樗俾时３譃槌?shù)，即

丫21+鏟＞=。,0為常數(shù)

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)

dvdv

2v,--+2v----v-=0

*dtyvdt

所以

a-v=0

即速度矢量與加速度矢量正交.

1.10解由題可知運(yùn)動(dòng)軌跡如題1.10.1圖所示,

題1.10』圖

則質(zhì)點(diǎn)切向加速度

dv

a.=—

1dt

2

法向加速度a=上，而且有關(guān)系式

"P

蟲=-2k《①

dtp

又因?yàn)?/p>

②

P(i+y咋

y2=2px

所以

③

y

-2

y“=_4④

y

聯(lián)立①②③④

p-

—=-2kv2—tL⑤

dtz

(周

又

dvdvdy.dv

--=---.--=y---

dtdydtdy

把y2=2pX兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

P

又因?yàn)?/p>

v2=x2+y2

所以

,2_V2

一科⑥

1+4

P-

把⑥代入⑤

2

(2dy(2

1+411+勺

IpJIy)

既可化為

dvdy

=2kp

vy-+p-

對(duì)等式兩邊積分

所以

v=ue-u

1.11解由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖1.11.1所示

v

題I」1.1圖

a=——=asina

nr

.dv

a,=——=acosa

Idt

兩式相比得

2

v--1------d-v-----------

rsincrcosadt

即

1.dv

-cotcult=—

rv

對(duì)等式兩邊分別積分

f1.rdv

—coladt--

rI,,v2

即

11t

—=-------cota

u%「

此即質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律.

1.12證由題L11可知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)系式

v

—=Sin6Z

r①②

dv

—=acosa

[dt

所以處=也.".=如①,聯(lián)立①②，有

dtdedtde

dvv2

——CD=---------coscr

dOrsina

又因?yàn)?/p>

v=cor

所以女…甌對(duì)等式兩邊分別積分，利用初始條件r=o時(shí)，0=0.

V

V=%e?F）8ta

1.13證（。）當(dāng)嗎=0,即空氣相對(duì)地面上靜止的，有v絕=v#j+v布?式中-絕

U>LJTil￡巳

質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止參考系的絕對(duì)速度，叫指向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參考系的速度，V牽指運(yùn)動(dòng)參

考系相對(duì)靜止參考系的速度.

可知飛機(jī)相對(duì)地面參考系速度：/=v，，即飛機(jī)在艦作勻速直線運(yùn)動(dòng).所以

飛機(jī)來(lái)回飛行的總時(shí)間

（匕）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)速度

匕=—+.

飛行時(shí)間

I

’1二丁二一

V+v0

當(dāng)飛機(jī)向西飛行時(shí)速度

V=V相+丫牽=/-%

飛行時(shí)間

故來(lái)回飛行時(shí)間

IIIv'l

f=々+t,=-------+--------=―:------7

v+v0v-v0v-v0

即

2/

t=---F=-"

1-'

VV

同理可證，當(dāng)空氣速度向西時(shí)，來(lái)回飛行時(shí)間

（C）假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題1.13.1圖

題1.13.1圖

v絕=%+"

所以來(lái)回飛行的總時(shí)間

21

21：

t-

同理可證空氣速度向南時(shí),來(lái)回飛行總時(shí)間仍為

t=1%

1.14解正方形如題1.14.i圖。

口

由題可知“=丫風(fēng)=28km/h設(shè)風(fēng)速4一§,y相100km/h，當(dāng)飛機(jī)

A—>8，匕=(100+2S)km/h=128km/h

22

B-^D,V2=7100-28hn/h=96km/h

CD,v3=(\0Q-28)km/h=72km/h

O-A,匕=71002-2S2km/h=96km/h

故飛機(jī)沿此邊長(zhǎng)6女加/人正方形飛行一周所需總時(shí)間

題IJ42圖二題1.14.3圖

1.15解船停止時(shí)，干濕分界線在蓬前3,由題畫出速度示意圖如題.15.1圖

題1.15.1圖

丫雨絕=u雨相+丫船

故

vat______________

sin(?+/?)sin(乃_2_￡_y)

又因?yàn)?+7=5，所以

_丫雨絕sin(a+夕)

v?

cosa

由圖可知

42

cosa=’>,一=—；=,cosa

“2+22V5

34

sinp=-,cos/?=—

丫雨絕=8〃z/s

所以

u雨絕(sinacos夕+sin/cosa)=8/

cosa

1.16解以一岸邊為x軸，垂直岸的方向?yàn)閥軸.建立如題1.16.1圖所示坐標(biāo)系

d-丫水

0x

題1.16.1圖

所以水流速度

外［o<y<|

V=<

-wy〈d

又因?yàn)楹恿髦行奶幩魉俣葹閏

d_

c=kx-=kx\d

2I

所以人生。當(dāng)03/時(shí)，釀=^y即

d)2水d)

dx_2c

IT7y①--②

7=id

得小與團(tuán)，兩邊積分

［dx=］苧dt

聯(lián)立②③，得

x=—y2fo<y<—④

udL2)

同理，當(dāng)dZyzl時(shí)，Vk嚀(d-y)即

-2

JJr=J§("i力)J.

二空y_￡Zi+0(O為一常數(shù))⑤

X

uud

由④知，當(dāng)y=4時(shí)，理代入⑤得

24u

_cd

D-----

2u

有

2ccy2cd(d

X=—->不""

uud2〃12)

所以船的軌跡

=-y2fo<y<—>|

Xud[2)

V

2cc2cd(d

XRRy

船在對(duì)岸的了；靠攏地點(diǎn)即/時(shí)有x=里.

2u

1.17解以A為極點(diǎn),岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.

/〃//////////////////

，―A4一二:,....一

/////0//////////////X

題1.17.1圖

船沿垂直于r的方向的速度為一C.sin^，船沿徑向r方向的速度為C?和Q沿徑向

的分量的合成，即

r--Cjsin(p

出①一②

—=C,cos-C

d2

②/①得—=--J---cot。d(p?對(duì)兩積分:

r(Gsin°

Inr=-Intan--Insin°+C

C,2

設(shè)￡1=&,鄉(xiāng)=見(jiàn)。為常數(shù)，即

C12

lnr=ln+C

2cost+1a

代入初始條件r=r。時(shí)，.設(shè)”=4,有C=lnr。—In里魯，得

22cosa。

k+\

sin1aCOS%

r=ro一.t-l

cos;*+lasm%

1.18解如題1.18.1圖

題1.1&I圖

質(zhì)點(diǎn)沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點(diǎn)下滑的加速度為。=geos。.設(shè)豎直線

°B=h，斜槽。A='易知的皿吟—，由正弦定理

即

八cosa①

cos?-a)

又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿光滑面CU下滑，即質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).

所以

s=—at2=—gcos0t~②

22

有①②

；geosBcos（，-2-hcosa=0

欲使質(zhì)點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)間最短，由產(chǎn)=一也當(dāng)一可知，只需求出

gC0S^C0S（^-6Z）

cos0cos（。-a）的極大值即可,令

y=cos^cos^-6z=cos^（cos0cos6^+sinsina）

y=cosacos26+—1sin26sina

2

把y對(duì)e求導(dǎo)

dv\1

—=2cos^（-sin9）?cosa+—cos20?2?sina

dO''2

極大值時(shí)空=0,故有

de

tan。=sin2。

由于是斜面的夾角，即ONaN5,。/%'

所以

1.19解質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降階段.取向上為正各力示意

圖如題1.19.1圖,

.V

▼

扁mg

上升時(shí)下降時(shí)

題1.19.1圖

則兩個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程為:

上升

my=-mg-mk2gy2①

下降：

-my=-mg+mk2gy2②

對(duì)上升階段：

%—gQ+k2V2)

dvdyvdv(.,\

------=——=-e\l+k2v2

dydtdy'7

即

vdv,

i+T2Tdy

對(duì)兩邊積分

pvdv*i

11,22=1gd)'

J，01+^V

所以

h=ln(l+k%)③

2A2g\07

即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.

對(duì)下降階段：

dvdyvdv,2

dyd「dy=i"2-

即

112,J,g，

h-----ln（l-Tv；）④

2k2g17

由③=④可得

Jl+zy

1.20解作子彈運(yùn)動(dòng)示意圖如題1.20.1圖所示.

題1.20.1圖

水平方向不受外力，作勻速直線運(yùn)動(dòng)有

Jcos/?=v0cosat①

豎直方向作上拋運(yùn)動(dòng)，有

2

ds\n/3-v0sinat-^gt②

由①得

t=d"③

v0cosa

代入化簡(jiǎn)可得

_2u：cosasin(a-⑶

cl=------------；------

gCOSp

因?yàn)樽訌椀倪\(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射時(shí)仰角a有關(guān)，即d是a的函數(shù)，所以要求d的最大

值.把d對(duì)a求導(dǎo)，求出極值點(diǎn).

?102

一-=--工一［-sinasin(a-⑶+cosacos(a-=0

dagcos^(3

即

sin2sin（a一4）=cosacos（a一夕）

cos（2a-/?）=0

所以a=^+2,代入4的表達(dá)式中可得：

42

2說(shuō)

maxgCOS2P

至W生

S4

此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離d的最大值

1.21解阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道

上沒(méi)點(diǎn)切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.

題1.21.1圖

軌道的切線方向上有:

，=-mkv-mgsin0①

m

軌道的法線方向上有:

2

m—=mgcos0②

r

由于角是在減小的，故

一”③