專題01?？嫉囊?guī)律探究問題-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題01?？嫉囊?guī)律探究問題題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練模型01數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題數(shù)式規(guī)律和圖形規(guī)律探究問題的特點是：問題的結(jié)論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境等，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.模型02平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問題由于問題背景的不同，這類題的解題策略是：由特例觀察、分析、歸納一般規(guī)律，然后利用規(guī)律解決問題.具體思維過程是“特殊---一般----特殊”.這類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求.模型01數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題考｜向｜預(yù)｜測數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點分析“怎樣變”，應(yīng)結(jié)合各式或圖形的序號進行前后對比分析.主要考查學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．答｜題｜技｜巧第一步：讀懂題意，標(biāo)序號；第二步：根據(jù)已有規(guī)律模仿或歸納推導(dǎo)隱藏規(guī)律，析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點分析“怎樣變”；第三步：猜想規(guī)律與“序號”之間的對應(yīng)關(guān)系，并用關(guān)于“序號”的式子表示出來；第四步：驗證所歸納的結(jié)論，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解答例1．（2023·湖南）觀察下列按順序排列的等式：，試猜想第n個等式（n為正整數(shù)）：an=．【答案】．【詳解】根據(jù)題意可知，∴．例2．（2023·安徽）（規(guī)律探究）如下圖，是由若干個邊長為1的小正三角形組成的圖形，第（2）個圖比第(1)個圖多一層，第（3）個圖比第（2）個圖多一層，依次類推.(1)第（9）個圖中陰影三角形的個數(shù)為；非陰影三角形的個數(shù)為．(2)第個圖形中，陰影部分的面積與非陰影部分的面積比是441∶43，求.(3)能否將某一個圖形中的所有小三角形重新拼接成一個菱形，如果能，請指出是第幾個圖形，如果不能說明理由.【詳解】（1）第（1）（2）（3）個圖中陰影部分小三角形的個數(shù)分別是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推測第（9）個圖中陰影部分小三角形的個數(shù)是(9+1)2=102=100（個），空白三角形的個數(shù)為2×（9＋2-1=21）;故答案為：100；21；（2）第n個圖形中陰影三角形與非陰影三角形的個數(shù)比是：=，解得，或（舍去）經(jīng)檢驗，符合要求，所以，；（3）設(shè)第（m）個圖形可重新拼成一個菱形，第（m）個圖形總的三角形個數(shù)為,

由于可以拼一個菱形，則是一含有60度角的菱形，即兩個等邊三角形構(gòu)成的菱形，每個等邊三角形中含小三角形數(shù)為x2,則有：解得，∴m不是正整數(shù)，∴不可能拼成一個菱形．例3．（2023·江西）規(guī)律探究與猜想：①方程的解為，；②方程的解為，；③方程的解為，；④方程的解為，；……(1)根據(jù)以上各方程及其解的特征，請解答下列問題：①方程的解為______．②第個方程為______，其解為______．(2)請用公式法解方程，驗證猜想結(jié)論的正確性．【詳解】（1）解：方程，解為，；方程，解為，；方程，解為，；①，解為；②第個方程為∴第個方程為，解為．（2）解：，∴．故結(jié)論正確．模型02平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題考｜向｜預(yù)｜測平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律（如點變的循環(huán)規(guī)律或點運動的循環(huán)規(guī)律，點的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）.主要考查對點的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運用數(shù)的運算.答｜題｜技｜巧第一步：觀察點或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點的坐標(biāo)；第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點變的循環(huán)規(guī)律或點運動的循環(huán)規(guī)律，點的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）第三步：周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關(guān)鍵點的橫縱坐標(biāo)相等；第四步：利用有理數(shù)的運算解題旋轉(zhuǎn)型例1．（2023·四川）如圖所示，矩形的頂點為坐標(biāo)原點，，對角線在第二象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時，點的對應(yīng)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：四邊形是矩形，，每秒旋轉(zhuǎn)，8次一個循環(huán)，，第2025秒時，點A的對應(yīng)點落在軸正半軸上，點的坐標(biāo)為．故選：B．平移型例2．（2023·杭州）如圖，直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，動點P按圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點（–1，0）運動到點（0，1），第2次運動到點（1，0），第3次運動到點（2，–2），……，按這樣的運動規(guī)律，動點P第2018次運動到點A．（2018，0） B．（2017，0） C．（2018，1） D．（2017，–2）【答案】B【詳解】解:∵2018÷4=504余2，∴第2014次運動為第505循環(huán)組的第2次運動，橫坐標(biāo)為504×4+2-1=2017，縱坐標(biāo)為0，∴點的坐標(biāo)為（2017，0）．故選B．翻滾型例3．（2023·安徽）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，都是等邊三角形，其邊長依次為，，，其中點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，按此規(guī)律排下去，則點的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)軸上方的點是的倍數(shù)，，點在軸上方，，，，，，點的坐標(biāo)為，同理可知，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為故選：C．1．（2023·山東）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，我們把第2行從左到右數(shù)第1個定為，我們把第4行從左到右數(shù)第3個定為，由圖我們可以知道：，按照圖中數(shù)據(jù)規(guī)律，的值為．【答案】91【詳解】解：如圖所示，按照圖中數(shù)據(jù)規(guī)律，，，∴，故答案為：912．（2023·河南）如圖，找出其變化的規(guī)律，則第1349個圖形中黑色正方形的數(shù)量是．【答案】2024個【詳解】解：根據(jù)題意，可得當(dāng)n為偶數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為個，當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為個，∴時，黑色正方形的個數(shù)為個．故答案為：2024個．3．（2023·陜西）如圖，第1個圖用了6枚棋子擺成；第2個圖用了9枚棋子擺成；第3個圖用了12枚棋子擺成，……；按圖中所示規(guī)律，第n個圖需要棋子枚．【答案】3（n+1）【詳解】根據(jù)題意有，第1個圖形棋子數(shù)為：3+3×1，第2個圖形棋子數(shù)為：3+3×2，第3個圖形棋子數(shù)為：3+3×3，……，第n個圖形棋子數(shù)為：，∴第n個圖需要棋子3（n+1）枚，故答案為：3（n+1）．4．（2023·云南）如圖圖形是同樣大小的小五角星按一定規(guī)律組成的，按此規(guī)律排列，則第n個圖形中小五角星的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：則第1個圖形中小五角星的個數(shù)為：；則第4個圖形中小五角星的個數(shù)為：；則第3個圖形中小五角星的個數(shù)為：；則第4個圖形中小五角星的個數(shù)為：；……；則第n個圖形中小五角星的個數(shù)為：，故選：A．5．（2023·廣東）正六邊形在數(shù)軸上的位置如圖，點A、F對應(yīng)的數(shù)分別為0和1，若正六邊形繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點E所對應(yīng)的數(shù)為2，則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2022次后，數(shù)軸上2022這個數(shù)所對應(yīng)的點是（）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】A【詳解】解：當(dāng)正六邊形在轉(zhuǎn)動第一周的過程中，F(xiàn)、E、D、C、B、A分別對應(yīng)的點為1、2、3、4、5、6，∴翻轉(zhuǎn)6次為一循環(huán)，∵，∴數(shù)軸上2022這個數(shù)所對應(yīng)的點是A點．故選：A．6．（2023·遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與兩坐標(biāo)軸交于、兩點，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續(xù)無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在直線l上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L次后點的對應(yīng)點坐標(biāo)是（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：∵直線l：與兩坐標(biāo)軸交于、兩點，∴，，∴，，，∴，∴，如圖，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，，過點作軸于點，則，

∵，∴，，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，點仍在點處，∴每經(jīng)過次翻轉(zhuǎn)，點向右平移個單位，向上平移個單位，∵，第次與第次翻轉(zhuǎn)后點處在同一個點，∴點經(jīng)過次翻轉(zhuǎn)后，向右平移了個單位，向上平移了個單位，∴等邊三角形翻滾次后點的對應(yīng)點坐標(biāo)是，故選：D．7．（2023·河南）如圖，矩形的頂點、分別在軸、軸上，其坐標(biāo)分別為、，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，過點作軸于點．矩形的頂點、分別在軸、軸上，其坐標(biāo)分別為、，，，，，，，，∴，，即，，，，，矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)次一個循環(huán)，，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為．故選：B．1．（2023·江西吉安·期末）規(guī)律探究題：如圖是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第2023個圖案用幾根火柴棒（

）A．8093 B．8095 C．8092 D．8091【答案】A【詳解】觀察圖形的變化可知：擺第1個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：5；擺第2個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：；擺第3個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：；…則擺第n個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：；故第2023個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：故選：A2．（23-24·河南新鄉(xiāng)·期末）漢字文化正在走進人們的日常消費生活．如圖所示圖形都是由同樣大小的圓點和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有個圓點，圖②中共有個圓點，圖③中共有個圓點，圖④中共有個圓點…依此規(guī)律則圖⑩中共有圓點的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意知，圖①中共有個圓點，圖②中共有個圓點，圖③中共有個圓點，圖④中共有個圓點，…∴圖⑩中共有圓點，故選：D．3．（23-24·湖北武漢·期末）已知點，記關(guān)于直線m（直線m上各點的橫坐標(biāo)都為0）的對稱點為，關(guān)于直線n（直線n上各點的縱坐標(biāo)都為1）的對稱點為，關(guān)于直線p（直線p上各點的橫坐標(biāo)都為）的對稱點為，關(guān)于直線q（直線q上各點的縱坐標(biāo)都為3）的對稱點為，關(guān)于直線m的對稱點為，關(guān)于直線n的對稱點為，……依此規(guī)律的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵直線m上各點的橫坐標(biāo)都為0，即直線m為y軸，∴，在第一象限，∵直線n上各點的縱坐標(biāo)都為1，即直線n為直線；∴，在第四象限，∵直線p上各點的橫坐標(biāo)都為，即直線p為直線，∴，在第三象限，∵直線q上各點的縱坐標(biāo)都為3，即直線q為直線，∴，在第二象限，∴，在第一象限，，在第四象限，在第三象限，∴每四個點坐標(biāo)所在象限為一個循環(huán)，∵，∴與在同一象限，∵，，∴可知，第三象限的點坐標(biāo)的特征為，∴，故選：B．4．（23·山東濟寧·期末）如圖，，過點作且，得；再過點，作，且，得；又過點作且，得依此法繼續(xù)作下去，得（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由勾股定理得：，，，，依此類推可得：，∴，故選：B．5．（23·廣西貴港·期末）請看楊輝三角，并觀察下列等式：根據(jù)前面各式的規(guī)律，則.【答案】【詳解】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6故本題答案為：.6．（23-24·遼寧沈陽·期中）漢字文化正在走進人們的日常消費生活．下列圖形都是由同樣大小的圓點和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個圓點，圖②中共有18個圓點，圖③中共有25個圓點，圖④中共有33個圓點…依此規(guī)律，則圖⑧中共有圓點的個數(shù)是．【答案】75【詳解】解：在圖①中，圓點個數(shù)為個．在圖②中，圓點個數(shù)為個．在圖③中，圓點個數(shù)為個．在圖④中，圓點個數(shù)為個．．以次類推，在圖⑧中，圓點個數(shù)為．故答案為：75．7．（2023·四川資陽·一模）如圖，李明從A點出發(fā)沿直線前進5米到達(dá)B點后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α，再沿直線前進5米，到達(dá)點C后，又向左旋轉(zhuǎn)α角度，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點時，他共走了45米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為．【答案】40°．【詳解】連續(xù)左轉(zhuǎn)后形成的正多邊形邊數(shù)為：，則左轉(zhuǎn)的角度是．故答案是：40°．8．（22-23·江蘇）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“”，所有的偶數(shù)記為“”，則前行如圖②，前行如圖③，求前行“”的個數(shù)為．【答案】【詳解】觀察圖②和圖③可知，前行中包含個前行的圖形，中間三角形中的數(shù)字均為，前行中“”的個數(shù)是前行中“”的個數(shù)的倍，即前行中“”的個數(shù)為（個），同理可知前行中“”的個數(shù)是前行中“”的個數(shù)的倍，即前行中“”的個數(shù)為（個），前行中“”的個數(shù)是前行中“”的個數(shù)的倍，即前行中“”的個數(shù)為（個），故答案為：．9．（2023九年級上·全國·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示．已知A點坐標(biāo)為，過點A作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，依次進行下去，則點的坐標(biāo)為．

【答案】【詳解】解：∵A點坐標(biāo)為，∴直線為，∵，∴直線為，解得或，∴，∴，∵，∴直線為，解得或，∴，∴…，故答案為：．10．（22-23九年級上·全國·期末）(規(guī)律探究題)下表是按一定規(guī)律排列的一列方程，仔細(xì)觀察，大膽猜想，科學(xué)推斷，完成練習(xí).序號方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9………（1）這列方程中第10個方程的兩個根分別是x1=____，x2=____.（2）這列方程中第n個方程為________.【答案】（1）-10；30；（2）x2-2nx-3n2=0【詳解】（1）由表格中的規(guī)律可知，第10個方程的解為x1=-10，x2=30；（2）根據(jù)表格中的規(guī)律可知，第n個方程的解是x1=-n，x2=3n，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：第n個方程就是x2-2nx-3n2=0．11．（22-23·福建莆田·期中）探究規(guī)律題按照規(guī)律填上所缺的單項式并回答問題：（1）,________,__________；（2）試寫出第2017個和第2018個單項式；（3）試寫出第n個單項式；（4）試計算：當(dāng)a