高中數(shù)學講義-向量的數(shù)乘運算

高中數(shù)學講義——向量的數(shù)乘運算

目錄

1.教學大綱....................................................................1

2.知識點一向量的數(shù)乘運算及運算律...........................................1

3.知識點二共線向量定理.....................................................2

4.練習........................................................................2

5.探究點一向量的線性運算...................................................3

6.探究點二用已知向量表示未知向量..........................................5

7.探究點三向量共線定理及應用..............................................6

8.練習........................................................................7

9.課堂作業(yè)：向量的數(shù)乘運算...................................................9

1.教學大綱

新課程標準學業(yè)水平要求

1.通過教材實例抽象出向量數(shù)乘的概

1.通過實例分析，念.（數(shù)學抽象）

掌握平面向量數(shù)乘運2.掌握向量數(shù)乘的規(guī)定及運算律，能進行有

算及運算法則，理解兩水關的運算.（邏輯推理、數(shù)學運算）

個平面向量共線的含平一3.理解向量線性運算的意義及運算法則，會

義.進行向量的線性運算.（數(shù)學運算）

2.了解平面向量4.理解兩個向量共線的含義，能利用向量共

的線性運算性質及其線的條件解決相關問題.（邏輯推理）

幾何意義.水熟練掌握向量的共線條件及其線性運算法

平二貝U，并能解決相應的問題.（邏輯推理）

2.知識點一向量的數(shù)乘運算及運算律

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1.向量數(shù)乘的定義

一般地，我們規(guī)定實數(shù)2與向量。的積是一個向量，這種運算叫做向量的

數(shù)乘，記作2a.

(lW=UHa|.特別地，當2=0時，za=0.

(2)當2>0時，一的方向與a的方向相同;當2V0時，布的方向與a的方

向相反.

2.向量數(shù)乘的運算律

設九〃為實數(shù)，a,b為向量，則滿足如下運算律：

(1)如4)=&￡也；

(2)(A+//)a=2a+〃q；

(3?(a+))=2a+勸;

(4)(—X)a=—(za)=/l(-a),2(a—Z>)=za-Ab.

3.向量的線性運算

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍

是向量.

對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)2,〃i，〃2，恒有從“?！馈?))=加1?！?2瓦

［點撥］(1)實數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差.

(2)2=0或a=0臺〃=0.

3.知識點二共線向量定理

向量a(aW0)與方共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)九使—.

［點撥］判斷兩個向量是否共線的關鍵是看兩個向量是否滿足向量共線定

理，即向量a(aWO)與。共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)人使b=觴.因此,

在考慮問題時，不要忽略零向量.

4.練習

1.判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(1次。的方向與。的方向一致.()

(2)若2a=0,貝1ja=O.()

(3)對于任意實數(shù)"?和向量a,b,若ma=mb,則a=b.()

第2頁共14頁

(4)若向量8與a共線，則存在唯一的實數(shù)人使)=〃.()

(5)若則a與共線.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.已知非零向量a,萬滿足a=45，則()

A.\a\=\b\B.4\a\=\b\

C.a與的方向相同D.a與6的方向相反

C['：a=4b,4>0,...|a|=4網(wǎng)「.N=與-的方向相同,與一的方向相

同.故選C.]

3.(多選)已知實數(shù)〃z,〃和向量a,b,下列說法中正確的是()

A.m^a—b)=ma—mb

B.(m—n)a=ma—na

C.若ma=mb,則a=~

D.若〃?a=〃a(aWO),則m=n

ABD[易知A和B正確；C中，當陽=0時，ma=mb=0,但a與8不一

定相等，故C不正確；D中，由得⑴?一〃)a=0,因為a￥0,所以

〃，故D正確.]

4.在四邊形A8CO中，若筋=-1CD,則此四邊形的形狀是.

解析："：AB=~jCD,

...A3〃CO且依陰=；|CD|,

二四邊形ABC。是梯形.

答案：梯形

5.探究點一向量的線性運算

例化簡下列各式：

(1)(2AB-CD)-(AC-2BD)；

⑵支[3(2a+8Z>)—6(4a—26)].

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解析：⑴(2筋-CD)-(AC-2BD)=2AB~CD~AC+2BD=

2AB+DC+CA+2BD=2(AB+BD)+(DC+CA)=2AD+DA=AD.

(2)擊[3(2a+8))一6(4a—2b)]=/(6a+24b-24a+12b)=(—18。+

33

36。)=a+gb.

方法技巧

向量的線性運算的基本方法

(1)類比方法：向量的數(shù)乘運算可類比代數(shù)多項式的運算.例如，實數(shù)運算

中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中

同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系

數(shù).

(2)方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用

代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡

化運算.

［對點訓練］

1.若向量a=3i-4j,b=5i+4j,則由一j一3(a+句+(2b—a)=

解析：Q"-—3("+下］+(20—")=1a—b—3a—2b+2b—a——a

114432

~b=—y(3i-4/)-(5i+4/)=-lli+yj-5i-4/=-16/+yj.

32

答案：-16i十丁j

2.若2(x—1(6+c—3x)+Z>=0,其中a,c為已知向量，則向量

x=

2113

解析---

32-22

7211

--+

2X-32-2-

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.?.?￥=五a——b~\~jc.

答案:言a—16+1e

6.探究點二用已知向量表示未知向量

2

例國"如圖所示，△ABC中，ADAB,DE//BC,

邊上的中線AM交。E于點N,設油=a,AC=b,用向

量a,力表示曲,BC,,DN,AM.

2

解析：因為。E〃BC,ADAB,

f2f2fff

所以最=gACb,BC=AC—AB=b~a.

由△AOEs^ABC,得防=QBC=Q(b—a).

又M是△ABC的底邊BC的中點，DE//BC,

所以而=3和=1(b—a),

AM=AB+BM=a+；BC=a+g(Z>—a)=；(a+b).

方法技巧

用已知向量表示其他向量的兩種方法

(1)直接法

(2)方程法：當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊

形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程.

［對點訓練］

如圖，四邊形。4DB是以向量為=a,OB=6為鄰邊的平行

第5頁共14頁

四邊形.又麗4=|BC,dv=|cb,試用a,b表示麗,ON,MN.

解析：因為麗/=TBC=7BA=7{OA.-OB)

3oo

=1(a—b),

所以dA/=OB+BM=b+\a—7Z>=7a+|b.

006。

因為百/前=[歷，

3o

所以麗=OC+CN=]歷+[歷

2O

2f2—?f2

=§OD=5(OA+OB)=g(a+〃).

MN=ON—OM=B(a+〃)一Ja—fb=；a—7b.

5oo2o

7.探究點三向量共線定理及應用

例?"設ei,C2是兩個不共線的向量，已知命=2ei—8e2,CB=ei+3e2,

CD=2幻—ei.

(1)求證：A,B,。三點共線；

(2)若麗=3ei—ke2,且濟//BD,求實數(shù)Z的值.

解析：(1)證明：由已知得BD=CD—CB=(2ei—e2)—(ei+3e2)=ei—

4e2.

,：AB=24-8e2,：.AB=2BD.

又協(xié)與肋有公共點3,B,。三點共線.

(2)由(1)可知前=e|—4e2,又而=3日一雙2,

，可設臍=XBD(AGR).

(3—7=0,

「?3ei—&2=融1-4初2，(3—2)d=(%一4%)?2,又不共線，「?j

.A：—42=0,

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解得攵=12.

方法技巧

利用向量共線定理證明三點共線，一般先任取兩點構造向量，從而將問題

轉化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點共線時，不僅要證明b=

%(a70),還要說明向量a,力有公共點.

［對點訓練］

已知。，A,M,B為平面上四點，且加=AOB+(1—%)宓Q6R,2#0,

2W1).

(1)求證：A,B,M三點共線；

(2)若點3在線段AM上，求實數(shù)2的取值范圍.

解析：(1)證明：因為南=XOB+(1-A)OA,

所以而=/.0B+0A-AOA,OM-OA=AOB-AOA,

所以俞=/XBQWR,/two,且％#1).

又巍與魂有公共點A,

所以A,B,M三點共線.

⑵由(1)知林=XAB,若點B在線段AM上，則西與泰同向，3.\AM|

>|AB|>o,所以2>i.

8.練習

3

1.已知點C在線段A3上，且病AB,AC=zBC,則實數(shù)％的值為

()

3

B.2

C.—|D.

C[由題意，可知危=ABC=2(AC-AB)=/[|4》一同=一|M,

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2.如圖，在正方形ABC。中，點E,尸分別是。C,的中點，那么肆=

）

A.AB+；AD

C.AB+|ADD.\AB-\Ab

D[EF=EC+CFABAD.]

3.如圖，已知△ABC和點M滿足曲+MB+MC=0,

若存在實數(shù)m使得油+AC=mAM成立，則〃?=

解析：如圖，延長AM交8C于點D

因為肉+MB+MC=0.

即麻=-{MB+MC),

即贏=MB+MC,

所以。是BC邊的中點，

所以篇/=2MD,

3f.rrr

所以屐>）=3AM,所以筋+AC=2AD=3AM.

所以m=3.

答案：3

4.已知非零向量ei，e2不共線.

（D如果屈=ei+e2，BC=2ei+8e2，CD=3?-e2），求證：A，B,D三

點共線;

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(2)欲使於I+62和ei+履2共線，試確定實數(shù)Z的值.

解析：(1)證明："：AB=e\+ei,BD=BC+CD=2ei+8e2+3ei—3e2

=5(ei+e2)=5屈，

：.AB,BD共線，且有公共點3,B,。三點共線.

(2)'.,氏i+e2與ei+&2共線,???存在實數(shù)九使Zei+e2="ei+&2),則(攵一

A)ei=("—1)02，

k—2=0,

.「ei與02不共線，，匕.八.??％=±1.

［衣一1=0,

9.課堂作業(yè)：向量的數(shù)乘運算

(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)

[A級基礎達標]

1.已知向量mb,^AB=a+2b,BC=一5。+6"CD=7a—2b,則一

定共線的三點是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

A[VBC=—5a+6),CD=la~2b,：.BD=BC+CD=2。+44又

AB=a+2b,所以筋=2AB,即筋//BD,而翁，BD有公共點B,/.A,

B,。三點共線，A選項正確；AC=-4a+86,顯然公,BC,CD兩兩不共

線，選項B,C,D都不正確.故選A.]

?

2.若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足病=TABAC，則也組

\MC]

)

1

A-4

-4B.

D.

1

c-3

3

第9頁共14頁

31313

C\'：AM=-7AB+2AC=7(贏)+^(AM+MC)=1AM

311131

--+

44-4-4-44--o

得儂=1.故選C.]

\MC\

3.設a是非零向量，％是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()

A.a與腦的方向相反B.a與萬。的方向相同

C.|一癡|2⑷D.\~Xa\^W-a

B[對于A,當人＞()時，a與2a的方向相同，故A不正確；而萬〉。，故“

與A2a的方向相同，B正確；對于C,\-Aa\=\X\\a\,由于施的大小不確定，故|

—九z|與⑷的大小關系不確定，故C錯誤；對于D,囚?。是向量，而%|表示

長度，兩者不能比較大小，故D錯誤.故選B.]

4.我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股

定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個

小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若反：=a,BA

=b,BE=3EF,則麗=()

n,_9_.16,12,

A-25。+25bB-25a+25b

C-Ia+5bD't

B[由題得標=BC+CF=BC+1EA=前(EB+BA)=BC

(一,麗+或),即臍=BC(一,臍+或)，解得麗=^|BC+1|

BA,即麗a+^|無故選B.]

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5.（多選）瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這

樣一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心

的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設△ABC中，點

O,H,G分別是外心、垂心和重心，下列四個選項中結論正確的是（）

A.GH=20GB.GA+GB+GC=0

C.OH=OA+OB+OCD.OA=OB=OC

ABC［如圖：根據(jù)歐拉線定理可知，點。，H,G共線，且G〃=2OG

對于A,因為GH=2OG,所以礪=2OG,故A正確；對于B,取BC

的中點為D,則GX+GB+GC=GA+2GD=0,故B正確；對于C,OH=

3OG=3(AG-AO)=3(|AD-AO)=2AD~3AO=2(AO+OD)-3AO

=2OD-Ab=OB+OC+OA,故C正確；對于D,OA=OB=OC顯然

不正確.故選ABC.]

6.在△ABC中，已知。是AB邊上一點，若疝=2DB,CDCA+

XCB,則2的值為.

解析：方法一：由屐)=2揚，得前-CA=2(CB-CD),即⑦=

]f2—2

WCACB,所以義二手.

方法二：因為詼=CA+AD=CA+QAB=CA(CB—CA)=g

r22

CA+]CB,所以.

答案：f2

7.下列說法中正確的是.

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①單位向量都共線；

②若a=A,則a〃6

③若同>|例>|c|,則|a+b|>|Z?+d；

④|a-b|W|Q|且|a+b|W|A|.

解析：單位向量方向不一定相同或相反，故單位向量不一定共線，故①

錯誤；

若a=。，則a,方向相同，所以a,b是共線向量，故②正確；

當a=3e,b=—2e,c=e時，\a+b\=\e\=\b+c\=\e\,故③錯誤；

當a=e,Z>=-e時|a一例=2|e|>|a|,故④錯誤.

故答案為②.

答案：②

8.已知在△ABC中，點M滿足而+MB+MC=0,若存在實數(shù)機使得

AB+AC—mAM成立，則tn=.

解析：'：MA+MB+MC=0,為△ABC的重心，

2

設BC中點為D,則俞=3AD,

―?——?3—?f

.\AB+AC=2AD=2X-|AM=3AM,則m=3.

答案：3

9.設兩個不共線的向量ei，。2,若。=2g—3e2,b=2ei+3e2,c=2ei—9e2,

是否存在實數(shù)九〃，使〃=癡+曲與。共線？

解析：d—X(2e\—3e2)+〃(2ei+3e2)=(22+2〃)ei+(3/z—3A)e2，

要使d與c共線，則存在實數(shù)上使得d=笈(cWO),

即(22+2/z)ei+(3〃-3%)e2=2Zei—9kez,

?*.(22+2〃-2k)e\—(—%+3%—3〃)。2，

又3,e2是兩個不共線的向量，

第12頁共14頁

力+2〃=2鼠

解得2=—2〃.

.一3%+3〃=一9k,

故存在實數(shù)人和〃，使得d與c共線，此時4=—2〃.

10.如圖，G是△。43的重心，P,。分別是邊OA,08上的動點，且P,

G,。三點共線.

(1)設反；=XPQ,將濟用九OP,OQ表示；

(2)設標=xOA,OQ=yOB,證明：-+-是定值.

xy

解析：(1)%=OP+PG=OP+APQ=OP+)\OQ-OP)=(1-

2)O>+XOQ.

(2)證明：一方面，由