備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.3空間角(精練)(原卷版+解析)

7.3空間角（精練）（提升版）題組一題組一線線角1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面（通過圓臺(tái)上、下底面兩個(gè)圓心的截面，其形狀為等腰梯形），，C、D分別為OB，的中點(diǎn)，點(diǎn)E為底面圓弧AB的中點(diǎn)，則CD與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)，G，H分別為邊的中點(diǎn)，將分別沿直線翻折形成四棱錐，下列說法正確的是（

）A．異面直線所成角的取值范圍是 B．異面直線所成角的取值范圍是C．異面直線所成角的取值范圍是 D．異面直線所成角的取值范圍是5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．題組二題組二線面角1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．2．（2022·河南省杞縣）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022·青海西寧·二模（理））如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)O?M分別是?的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.5．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時(shí)，求證：平面平面；(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)設(shè)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．題組三題組三二面角1．（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面平面，M是AB的中點(diǎn)．(1)證明：平面BEF；(2)若，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。?．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)若平面，求的值；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正切值.3．（2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置.(1)試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得；(2)若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值.4．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）如圖，在五面體中，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面，，.(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值.5．（2022·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面ABCE.(1)求證：；(2)試判斷在線段PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.6．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，四棱錐中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．(1)若，，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，證明四邊形MENF為梯形；(2)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，試判斷在線段AB上是否存在一點(diǎn)F？使得二面角平面角為．若存在，求出的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．(1)是否存在點(diǎn)使得平面，若存在求的長(zhǎng)．若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)二面角的余弦值為，求的值．題組四空間角的綜合運(yùn)用題組四空間角的綜合運(yùn)用1．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的（

）個(gè)．①若E為的中點(diǎn)，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為④過點(diǎn)，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①四面體外接球的表面積為②點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．3．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值4．（2022·四川攀枝花·二模（文））如圖正方體，中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，為正方形的中心，則（

）A．直線與是異面直線 B．直線與是相交直線C．直線與互相垂直 D．直線與所成角的余弦值為.5．（2022·江蘇·如皋市第一中學(xué)）（多選）在四邊形中(如圖1)，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，連接為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為B．直線與所成的角的余弦值為C．四面體的外接球的表面積為D．若，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為6．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)）（多選）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD位置，連接PC，構(gòu)成三棱錐．設(shè)二面角為，直線和直線所成角為，在翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．PC與平面BCD所成的最大角為45°B．存在某個(gè)位置，使得PB⊥CDC．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．存在某個(gè)位置，使得B到平面PDC的距離為7．（2022·福建漳州）（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離為B．直線與平面所成角的余弦值為C．若、分別是、的中點(diǎn)，直線平面，則D．為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為定值8．（2022·山東德州）（多選）如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使A到，連接，，且，平面與平面的交線為l，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面平面 B．C．ВС與平面所成角的余弦值為 D．二面角的余弦值為7.3空間角（精練）（提升版）題組一題組一線線角1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，.所以，.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該正面體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B3．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面（通過圓臺(tái)上、下底面兩個(gè)圓心的截面，其形狀為等腰梯形），，C、D分別為OB，的中點(diǎn)，點(diǎn)E為底面圓弧AB的中點(diǎn)，則CD與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)，連接，則，因?yàn)椋?，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以即為與所成的角（或其補(bǔ)角）．作，垂足為，連接OE，HE，AE，則，，所以，．在等腰中，．故選：A．4．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)，G，H分別為邊的中點(diǎn)，將分別沿直線翻折形成四棱錐，下列說法正確的是（

）A．異面直線所成角的取值范圍是 B．異面直線所成角的取值范圍是C．異面直線所成角的取值范圍是 D．異面直線所成角的取值范圍是【答案】C【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意得，和在平面中的投影分別在和上（如下圖所示），因?yàn)?，令，則，由比值可知，的x，y，z坐標(biāo)比值為，所以令坐標(biāo)為，因?yàn)樵谄矫嬷械耐队霸谏?，所以，同理可得坐?biāo)為，，則，解得，因?yàn)楹偷姆秶鶠椋?，即夾角范圍是，故A，B錯(cuò)誤；同理可得，因?yàn)楫惷嬷本€所成角范圍是，則夾角范圍是．即C正確，D錯(cuò)誤；故選：C．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，因?yàn)?，所以，又，所以?，則，所以，取中點(diǎn)E，連接，則，，,,在中，，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．故選：D．題組二題組二線面角1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在四面體ABCD中，平面，平面，則，而，即，又，平面，則有平面，而平面，于是得，因P為AC的中點(diǎn)，即，而，平面，則平面，又平面，從而得，所以直線BP與AD所成的角為.故選：D2．（2022·河南省杞縣）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】把三棱柱補(bǔ)成如圖所示長(zhǎng)方體，連接，CD，則，所以即為異面直線與所成角（或補(bǔ)角）．由題意可得，，，所以．故選：B．3．（2022·青海西寧·二模（理））如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把展開圖還原成正方體如圖所示，由于且相等，故異面直線與所成的角就是和所成的角，故(或其補(bǔ)角)為所求，再由是等邊三角形，可得.故選：C.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)O?M分別是?的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：連接OB,由,O為AC的中點(diǎn)，得，又底面，故,∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴,又∵，∴,，故平面.(2)解法一：由（1）知平面,且,又，面,平面，∴面，則點(diǎn)A到面的距離就是點(diǎn)B到面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，故與面所成的角的大小為.解法二：設(shè)點(diǎn)A到面的高為h，而,由得，則，設(shè)直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，即所成的角的大小為.解法三：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,OS分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,則,由（1）可知為平面SOM的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，則,故，即直線與平面所成角為.5．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時(shí)，求證：平面平面；(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)因，，，則有，即有，又，且，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面.(2)在平面內(nèi)，過B作直線垂直于，交直線于E，有，，如圖，則為二面角的平面角，平面，，于是得，中，，則，在中，，，，由余弦定理得，則有，顯然平面平面，在平面內(nèi)過B作，則平面，以B為原點(diǎn)，分別以射線為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得而，設(shè)與平面所成的角為，所以與平面所成的角的正弦值為.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)設(shè)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．解：因?yàn)橹比庵校?、、兩兩垂直．分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．題組三題組三二面角1．（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面平面，M是AB的中點(diǎn)．(1)證明：平面BEF；(2)若，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面．(2)解：由題設(shè)平面，平面平面，，四邊形是平行四邊形，又且，所以，延長(zhǎng)，，相交于點(diǎn)，連接，則、分別為、的中點(diǎn)，則平面與平面所成的角就是二面角，可知，，所以平面，是二面角的平面角，又，，所以，即平面與平面所成的角為；2．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)若平面，求的值；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正切值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)過作于，連接.則，而，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所?因?yàn)椋?所以，所以.(2)法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，.易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t可取由圖知兩平面所成角為銳角，則其余弦值為，得,即二面角的正切值為.法二：過作于，過作，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫妫?所以是二面角的平面角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則.在Rt中，，則.即二面角的正切值為.3．（2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置.(1)試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得；(2)若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值.【答案】(1)F為BC中點(diǎn)(2)【解析】(1)因?yàn)?，，，所以，，，所以∽，所以，所以，在四邊形ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)交BC于則點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，所以F也為BC中點(diǎn).將沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置時(shí)，有，

所以平面EFM，也為平面EFM，所以，(2)（解法一）過點(diǎn)M作交BC于點(diǎn)則則在三棱錐中，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD,所以平面因?yàn)?，連接EN，則有所以即為二面角的平面角，設(shè)，則所以在中，所以二面角所成角的正切值為（解法二）過點(diǎn)M作交BC于點(diǎn)則則在三棱錐中，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以平面所以以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則所以由題可得，平面BCD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面EBC的一個(gè)法向量為，因?yàn)樗?，則有，設(shè)二面角的平面角為，為銳角，則，所以，所以所以二面角所成角的正切值為4．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）如圖，在五面體中，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面，，.(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，，因?yàn)槠矫?，平面，故，而為等邊三角形，，所以，又M、N分別為BE、AB所在棱的中點(diǎn)，所以，又，，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，則，，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面.(2)由（1）可知，為直線與平面所成角，設(shè)，則，，則，解得法一：向量法（通性通法）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、∴、設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，則∵平面，∴是平面的一個(gè)法向量∴所以平面與平面所成的銳二面角余弦值為.法二：幾何法：延長(zhǎng)ED交AC的延長(zhǎng)線于S，連接BS，則平面平面由（1）易知，，則，所以平面，又平面，所以，，故為平面與平面所成的銳二面角，又，則，故所以平面與平面所成的銳二面角余弦值為.5．（2022·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面ABCE.(1)求證：；(2)試判斷在線段PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)F為線段PB的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)【解析】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊行，且為等邊三角形，所以∠BCE=120o.又E為CD的中點(diǎn)，所以CE=ED=DA=CB，即為等腰三角形，所以∠CEB=30o.所以∠AEB=180o－∠AED－∠BEC=90o，即BE⊥AE.又因?yàn)槠矫鍭EP⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面ABCE，所以BE⊥平面APE，又平面APE，所以BE⊥AP.(2)解：取AE的中點(diǎn)O，連接PO，由于為正三角形，則PO⊥AE，又平面APE⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面EAP，所以PO⊥平面ABCE，，，取AB的中點(diǎn)G，則，由（1）得BE⊥AE，所以O(shè)G⊥AE，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OG，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則0（0，0，0），A（1，0，0），，，E（－1，0，0），則，，，，假設(shè)存在點(diǎn)F，使平面AEF與平面AEP的夾角為45°，設(shè)，則，設(shè)平面AEF的法向量為，由得，取z=2λ，得；由（1）知為平面AEP的一個(gè)法向量，于是，，解得或λ=－1（舍去），所以存在點(diǎn)F，且當(dāng)點(diǎn)F為線段PB的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面AEP的夾角為45°.6．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，四棱錐中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．(1)若，，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，證明四邊形MENF為梯形；(2)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，試判斷在線段AB上是否存在一點(diǎn)F？使得二面角平面角為．若存在，求出的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【解析】(1)連接，，，，，如圖所示：因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，即中所以且，∵中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)所以且，所以且，即證：四邊形為梯形．(2)在線段存在一點(diǎn)F滿足，使得二面角平面角為．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，在平面中，過點(diǎn)作，交于.所以平面.如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)椋O(shè)，四邊形為正方形，，所以，，，，，，平面PCD的一個(gè)法向量，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，令，則，，，因?yàn)槎娼瞧矫娼菫?，所以，解得，所以?．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．(1)是否存在點(diǎn)使得平面，若存在求的長(zhǎng)．若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)存在；理由見解析；(2)【解析】(1)存在．理由如下：方法一：如圖，在上取點(diǎn)，且滿足，再過作的平行線交于點(diǎn)，則，且，又，且是的中點(diǎn)，,，是平行四邊形，，不在面內(nèi)，平面，平面，且，在中，，．方法二：，，，連接并延長(zhǎng)至于交于點(diǎn)，，在中，，在中，在上取點(diǎn)，使得，而，則，又不在面內(nèi)，平面，平面，在中，，．方法三：在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，則,平面，故平面，而而，故是平行四邊形，故平面，故平面，而,故平面平面,而平面,得平面平面，在中，，．(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過點(diǎn)A作面ABCD的垂線為z軸，則，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，故是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則是平面的一個(gè)法向量，則，解得或（舍去）．所以．題組四空間角的綜合運(yùn)用題組四空間角的綜合運(yùn)用1．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的（

）個(gè)．①若E為的中點(diǎn)，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為④過點(diǎn)，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.所以，.對(duì)于①：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，不妨令x=1,則，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為.又因?yàn)?，所以與不垂直，所以直線平面不成立.故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：三棱錐的體積等于三棱錐的體積.又，高為a,所以.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，.平面的一個(gè)法向量為,而.設(shè)直線B1E與平面所成的角為，所以.所以，所以，即直線與平面所成的角正切值為.故③正確；對(duì)于④：設(shè).因?yàn)椋栽谏系玫酵队盀?所以點(diǎn)E到直線的距離為.當(dāng)z=0，即D、E重合時(shí)，截面為矩形，其面積為.當(dāng)時(shí)，截面為等腰梯形.設(shè)截面交于F.所以，高，所以其面積為.記，所以，所以在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即.因?yàn)椋援?dāng)z=a，即D1、E重合時(shí)，截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，其面積為.綜上所述：.故④正確.故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①四面體外接球的表面積為②點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于①，取的中點(diǎn)，連接、，則，因?yàn)?，所以，，所以，為四面體的外接球球心，球的表面積為，①對(duì)；對(duì)于②③④，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則二面角的平面角為，在中，，，，則，，，則，，，，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于的垂線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則、、、，，②錯(cuò)，，，③對(duì)，，，，故異面直線與所成角為，④錯(cuò).故選：B.3．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值【答案】D【解析】A：由題意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯(cuò)誤；B：連接，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，又，所以，若點(diǎn)在平面的射影為，則平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，在中，，所以，即不成立，故B錯(cuò)誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若存在點(diǎn)使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點(diǎn)使得與所成角為，故C錯(cuò)誤；D：如圖，由等體積法可知，又，為定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：D.4．（2022·四川攀枝花·二模（文））如圖正方體，中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，為正方形的中心，則（

）A．直線與是異面直線 B．直線與是相交直線C．直線與互相垂直 D．直線與所成角的余弦值為【答案】C【解析】在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，為正方形的中心，易知四邊形為平行四邊形，所以相交，故A不正確.若直線是相交直線，則直線相交或平行，這與題意不符合，故B不正確.以分別為軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，如圖則,則,,,,，故C正確.，故D不正確.故選：C5．（2022·江蘇·如皋市第一中學(xué)）（多選）在四邊形中(如圖1)，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，連接為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為B．直線與所成的角的余弦值為C．四面體的外接球的表面積為D．若，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，連接，易得，又，平面，則平面，易得，則，則，，則，A正確；對(duì)于B，，則，則，，則，，又，則，即直線與所成的角的余弦值為，B正確；對(duì)于C，易得，，則，取的中點(diǎn)，連接，易得，則四面體的外接球的半徑為，則外接球表面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作交延長(zhǎng)線于，由A選項(xiàng)知，，又，平面，則平面，又平面，則，又，則，又，則，即Q點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D正確.故選：ABD.6．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)）（多選）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD位置，連接PC，構(gòu)成三棱錐．設(shè)二面角為，直線和直線所成角為，在翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．PC