1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)(部編)課件

正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)與x軸的交點(diǎn)圖象的最高點(diǎn)圖象的最低點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)圖象的最高點(diǎn)圖象的最低點(diǎn)圖象中關(guān)鍵點(diǎn)簡圖作法(五點(diǎn)作圖法)(1)列表(列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo))(2)描點(diǎn)(定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn))(3)連線(用光滑的曲線順次連結(jié)五個(gè)點(diǎn))正弦、余弦函數(shù)y=sinx,y=cosx,x∈R的圖象24-3-99正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)---------1-1因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=sinx的圖象在……，……與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象相同---------1-1正弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=cosx的圖象在……，……與y=cosx,x∈[0,2π]的圖象相同正弦曲線余弦曲線正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)想一想請觀察正弦曲線、余弦曲線的形狀和位置,說出它們的異同點(diǎn).它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線y=1與y=-1之間。但它們的位置不同，正弦曲線交y軸于原點(diǎn)，余弦曲線交y軸于點(diǎn)（0，1）.1

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像是有規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的；2

規(guī)律是：每隔2

重復(fù)出現(xiàn)一次（或者說每隔2k

,k

Z重復(fù)出現(xiàn)）3

這個(gè)規(guī)律由誘導(dǎo)公式sin(2k

+x)=sinx,os(2k

+x)=cosx

結(jié)論：像這樣一種函數(shù)叫做周期函數(shù)。

一般地，對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)

值，都滿足那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。二建構(gòu)問：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)只有一個(gè)周期嗎？

在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期.三討論最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)周期函數(shù)不一定存在最小正周期;反例：常數(shù)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)）,狄利克雷函數(shù)(3)高中階段涉及的函數(shù)的周期，如無特殊說明，均指函數(shù)的最小正周期.說明：(1)不是每個(gè)函數(shù)都是周期函數(shù);注意：1.周期函數(shù)x

定義域M，則必有x+T

M,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；2.“每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則f(x)就不為周期函數(shù)（如f(x0+t)

f(x0)）3.T往往是多值的（如y=sinx2

,4

,…,-2

,-4

,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）

正切函數(shù)是否是周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，求出它的周期;若不是周期函數(shù),請說明理由.四思考例1：求下列函數(shù)的周期解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,∴3cos(x+2π)=3cosx

∴函數(shù)y=3cosx，x∈R的周期為2π(2)設(shè)函數(shù)y=sin2x,x∈R的周期為T，則

sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x∵正弦函數(shù)的最小正周期為2π

，∴(3)設(shè)函數(shù)的周期為T，則∵正弦函數(shù)的最小正周期為2π

，∴∴函數(shù)的周期為4π∴y=sin2x,x∈R的周期為π結(jié)論函數(shù)及函數(shù)（其中為常數(shù)，且的周期

練習(xí)：求下列函數(shù)的周期.結(jié)論函數(shù)及函數(shù)（其中為常數(shù)，且的周期

例3

為了使函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，求的最小值.練習(xí)：設(shè)f(x)是以1為一個(gè)周期的函數(shù)，且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f(x)=2x+1,求f(3.5)的值函數(shù)的周期性的規(guī)律及方法：1：正弦函數(shù)余弦函數(shù)的周期性實(shí)質(zhì)是由終邊相同的角所具有的周期性所決定的。2；求三角函數(shù)的周期常用三種方法：（1)定義法（2）公式法（3）觀察法（圖像法）函數(shù)及函數(shù)（其中為常數(shù)，且的周期

wp2=Tx6yo--12345-2-3-41

y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41

y

y=cosx(xR)

定義域值域周期性xRy[-1,1]T=2溫故知新正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域、周期性

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函數(shù)正弦、余弦函數(shù)的奇偶性一般的，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)＝-f(x)，則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。注意：若f(x)是奇函數(shù)，且x＝0在定義域內(nèi)，則f(0)＝0函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]是奇函數(shù)嗎？

A

正弦函數(shù)的性質(zhì)-1y1

xo正弦曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱。

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)正弦、余弦函數(shù)的奇偶性一般的，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)＝f(x)，則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)。關(guān)于y軸對稱

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函數(shù)x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱正弦、余弦函數(shù)的奇偶性例1：判定下列函數(shù)的奇偶性

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)增區(qū)間為[，]

其值從-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1

0

1

0

-1減區(qū)間為[，]

其值從1減至-1？？？[

+2k

,

+2k],kZ[

+2k

,

+2k],kZ

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)

x

cosx

-

……0…

…

-1

0

1

0

-1增區(qū)間為

其值從-1增至1[

+2k

,

2k],kZ減區(qū)間為，

其值從1減至-1[2k

,

2k+

],kZyxo--1234-2-31

正弦函數(shù)的對稱性

xyo--1234-2-31

余弦函數(shù)的對稱性yxo--1234-2-31

函數(shù)y=sinxy=cosx圖形定義域值域最值單調(diào)性奇偶性周期對稱性1-1時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)1-1對稱軸：對稱中心：對稱軸：對稱中心：奇函數(shù)偶函數(shù)

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

例2

不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又

y=sinx

在上是增函數(shù)

sin()<sin()即：sin()–sin()>0cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

解：

cos<cos

即：

cos–cos<0又

y=cosx

在上是減函數(shù)從而

cos()-cos()

<0解：

y=2sin(-x)=-2sinx

函數(shù)在上單調(diào)遞減[

+2k,

+2k],kZ函數(shù)在上單調(diào)遞增[

+2k,

+2k],kZ

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

例3

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(2)y=2sin(-x)

(1)y=3sin(2x-)

解：單調(diào)增區(qū)間為所以：單調(diào)減區(qū)間為函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法;若式子中x的系數(shù)是負(fù)數(shù)，要先利用誘導(dǎo)公式將系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，再求，對于用整體替換法。最終要將結(jié)果寫成區(qū)間形式函數(shù)及函數(shù)（其中為常數(shù)，且

正弦、余弦函數(shù)的定義域和值域例5

求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么？

1

y=cosx+1，x∈R2

y=sin2x，x∈R正弦、余弦函數(shù)的定義域和值域例6

直接寫出下列函數(shù)的定義域：

1

y=

2

y=例7：已知函數(shù)（1）求f（x）最小正周期及最值；（2）