概率第1、2章(部編)課件

概率統(tǒng)計簡明教程課程名稱概率統(tǒng)計簡明教程計劃學(xué)時32學(xué)時作業(yè)要求用大張的A4白紙書寫，姓名、班級和序號寫在最上方章次內(nèi)容講課時數(shù)習(xí)題講評或測驗第一章隨機(jī)事件20第二章事件的概率31第三章條件概率與事件的獨立性31第四章隨機(jī)變量及其分布41第五章二維隨機(jī)變量及其分布20第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布31第七章隨機(jī)變量的數(shù)字特征31第八章第九章統(tǒng)計與統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計量和抽樣分布2測驗1總復(fù)習(xí)40概率統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科,理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速.不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了本課程,而且在上世紀(jì)末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一。前言概率統(tǒng)計可分為概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，概率論嚴(yán)格地演繹研究大量隨機(jī)現(xiàn)象地數(shù)量關(guān)系，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)則側(cè)重與歸納方法。它們的共同點都是研究隨機(jī)現(xiàn)象地統(tǒng)計規(guī)律性。近年來，由于科學(xué)技術(shù)地日新月異，研究方法的不斷更新，概率統(tǒng)計已成為各門學(xué)科中不可或缺的理論基礎(chǔ)和研究工具。本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個部門中.例如

1.氣象、水文、地震預(yù)報、人口控制及預(yù)測都與《概率論》緊密相關(guān)；2.產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均要用到《假設(shè)檢驗》；6.探討太陽黑子的變化規(guī)律時,《時間序列分析》方法非常有用;4.電子系統(tǒng)的設(shè)計,火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性估計》;

3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行《實驗設(shè)計》和《數(shù)據(jù)處理》；5.處理通信問題,需要研究《信息論》；法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說:“生活中最重要的問題,其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對概率的某種估計,那么我們就寸步難行,無所作為.第一章隨機(jī)事件第一節(jié)樣本空間和隨機(jī)事件重點

1、隨機(jī)事件2、樣本空間在自然界和人類社會中，我們所遇到的各種現(xiàn)象按其結(jié)果能否準(zhǔn)確預(yù)言來劃分，可分為兩大類：一類是必然現(xiàn)象；另一類是隨機(jī)現(xiàn)象。在一定條件下，必然出現(xiàn)某一種結(jié)果的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象。如：1、在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100沸騰。2、三角形中，任意兩邊之和一定大于第三邊。3、異性電荷相互吸引。另一類現(xiàn)象是在一定條件下可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而且不能預(yù)先斷言出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。如：1、投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上。2、測試某產(chǎn)品是正品還是次品。對于隨機(jī)現(xiàn)象，我們感興趣的是那些在相同條件下可以重復(fù)觀測的隨機(jī)現(xiàn)象。研究它們時，總要在一定條件下進(jìn)行觀察、測量和試驗，以后我們把這些工作統(tǒng)稱為試驗。概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的學(xué)科一般的，稱具有以下三個特點的試驗為隨機(jī)試驗：

試驗在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行

試驗的所有可能結(jié)果是已知的或者是可以確定的。每次試驗將會發(fā)生什么結(jié)果是事先無法預(yù)知的。拋一枚硬幣,觀察正面或反面向上在一條生產(chǎn)線上，檢測在24小時內(nèi)產(chǎn)出次品的數(shù)目

向一目標(biāo)射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數(shù)實例

在隨機(jī)試驗中，產(chǎn)生的各種結(jié)果叫做隨機(jī)事件(randomEvents)，簡稱事件（Events)．隨機(jī)事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例：投擲一個骰子，觀察其朝上的點數(shù)。

都是隨機(jī)事件。A＝｛朝上的點數(shù)為2｝B＝｛朝上的點數(shù)為偶數(shù)點｝C＝｛朝上的點數(shù)不超過4｝如觀察馬路交叉口可能遇上的各種顏色交通燈，這是隨機(jī)試驗，而“遇上紅燈”則是一個隨機(jī)事件。

隨機(jī)試驗的每一個可能的結(jié)果稱為這個試驗的一個樣本點，記作ω．

全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．樣本空間是試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合.

樣本點與樣本空間樣本點SamplePoint樣本空間SampleSpaceΩ={ｔ|ｔ≥0}

寫出下列事件的樣本空間E4:在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E1:射手向一目標(biāo)射擊，記錄射擊的次數(shù)E3:擲一顆骰子，觀察向上一面出現(xiàn)的點數(shù)Ω={1,2,…}Ω={1,2,3,4,5,6}顯然，每次試驗有且只有一個含在樣本空間中的試驗結(jié)果發(fā)生。E2:從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。Ω={(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,J),(Q,K),(Q,A),(K,J),(K,Q),(K,A),(A,J),(A,Q),(A,K)}事件是由試驗的某些可能結(jié)果構(gòu)成的，因此事件是樣本空間的子集。僅含一個樣本點的隨機(jī)事件稱為基本事件，含多個樣本點的事件稱為復(fù)雜事件。如前例：投擲一個骰子，觀察其朝上的點數(shù)。記＝“出現(xiàn)點數(shù)為j”（j＝1,2,3,4,5,6）則A＝｛朝上的點數(shù)為2｝B＝｛朝上的點數(shù)為偶數(shù)點｝C＝｛朝上的點數(shù)不超過4｝必然事件CertaintyEvents

“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不大于6”例

必然事件——樣本空間本身也是事件,它包含了所有可能的試驗結(jié)果，因此不論在哪一次試驗它都發(fā)生，稱為必然事件。也將它記為。不可能事件ImpossibleEvent

“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”例不可能事件——不包含任何樣本點的事件,記為

,每次試驗必定不發(fā)生的事件.拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)例隨機(jī)試驗樣本空間

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={點數(shù)之和等于3}={（1，2），（2，1）}B={點數(shù)之和大于11}={6，6}C={點數(shù)之和不小于2}D={點數(shù)之和大于12}

=Φ=Ω第二節(jié)事件的關(guān)系和運算用簡單事件表示復(fù)雜事件事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系與運算事件事件之間的關(guān)系與事件的運算集合集合之間的關(guān)系與集合的運算

事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生

1、事件的包含BA(事件Ａ的樣本點都是事件Ｂ的樣本點)例如拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={出現(xiàn)1點}B={出現(xiàn)奇數(shù)點}

2、事件的相等A=BBA

事件A與事件B至少有一個發(fā)生3、事件的并(和)(由事件A與事件B所有樣本點組成)

多個事件的和4、事件的交(積)

事件Ａ和事件Ｂ同時發(fā)生ＡＢＡ∩Ｂ

多個事件的交(由事件Ａ和事件Ｂ公共的樣本點組成)Ａ－Ｂ

5、事件的差

事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生（由事件A的樣本點去掉事件B的樣本點組成）——

A

與B

互斥A、

B不可能同時發(fā)生（不含公共的樣本點）AB6.事件的互斥(互不相容)兩兩互斥——

A

與B

互相對立A注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互斥”是不同的概念7.事件的對立稱B

為A的對立事件(or補(bǔ)事件)，記為，可知

交換律

結(jié)合律

分配律

對偶律

運算律對應(yīng)事件運算集合運算某射手向目標(biāo)射擊三次，用表示第次擊中目標(biāo)試用及其運算符表示下列事件：（1）三次都擊中目標(biāo)：（2）至少有一次擊中目標(biāo)：

（3）至少有一次沒有擊中目標(biāo)：（4）三次都沒有擊中目標(biāo)：例：復(fù)合事件的表示練一練A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用A，B，C的運算表示下列事件1）A，B，C都不發(fā)生2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生3）A，B，C至少有一個發(fā)生4）事件3）的對立事件作業(yè)P5習(xí)題一

1、

2、

3、

4（1）（2）（3）（4）

5（1）（2）（3）（4）第二章事件的概率排列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)加法原理：完成一件事情有n

類方法，第i

類方法中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

個步驟，第i

個步驟中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法排列

從n個不同的元素中取出m

個(不放回地）按一定的次序排成一排,不同的排法共有全排列種?？芍貜?fù)排列

從n

個不同的元素中可重復(fù)地取出m

個排成一排,不同的排法有例某城市的電話號碼是八位，假定一個用戶只給一個號碼，問一共可容納多少電話用戶？號碼的末位數(shù)是8的用戶是多少？組合從n個不同的元素中取出m

個(不放回地）組成一組，不同的組合數(shù)記為第一節(jié)概率的概念歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出設(shè)在n

次試驗中，事件A

發(fā)生了m

次，

頻率則稱為事件A發(fā)生的頻率大量試驗表明，在多次重復(fù)試驗中，同一事件發(fā)生的頻率盡管不一定相同，然而卻在某一固定的常數(shù)附近擺動，呈現(xiàn)出相對穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著試驗次數(shù)的增加，這種現(xiàn)象越顯著，我們把這種“頻率穩(wěn)定性”稱為統(tǒng)計規(guī)律性。如歷史上，蒲豐、皮爾遜等先后做過拋擲硬幣的試驗：德.摩根試驗者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的次數(shù)m出現(xiàn)正面的頻率m/n204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000拋擲硬幣的試驗Experimentoftossingcoin歷史紀(jì)錄

概率的統(tǒng)計定義

在大量重復(fù)試驗中，若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近擺動，則把這個數(shù)p稱為事件A

的概率,記作P(A)＝p.對本定義的評價優(yōu)點：直觀易懂缺點：粗糙模糊不便使用

當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率。從頻率的性質(zhì)可知概率滿足：第二節(jié)古典概型理解概率的古典定義，會計算簡單的古典概率設(shè)隨機(jī)試驗具有如下特征：（1）試驗的可能結(jié)果只有有限個；（2）各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。則稱此試驗為古典（等可能）概型。

概率的古典定義古典概型中概率的計算：記

則例1設(shè)有批量為100的同型號產(chǎn)品，其中次品有30件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品（a）有放回抽取，即先任意抽取一件，觀察后放回批中，再從中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取一件。試分別按這兩種抽樣方式求（1）兩件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。解本題為古典概型。記A＝{兩件都是次品}B＝{第1件是次品，第二件是正品}（a）在方式（b）下，例2某城市電話號碼升位為六位數(shù)，且第一位為6或8，求（1）隨機(jī)抽取的一個電話號碼為不重復(fù)的六位數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取的電話號碼末位數(shù)是8的概率。例3（女士品茶問題）一位常飲牛奶加茶的女士稱：她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶。并且她在10次試驗中都正確地辨別出來，問該女士的說法是否可信？分析：判斷10試驗中每一次她都猜對的可能性有多大，A＝{在10次試驗中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序}每次試驗的結(jié)果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。有兩種可能。10次試驗結(jié)果的可能性（樣本點總數(shù)）：10次都猜對的概率為：該女士猜對的概率非常小，所以她的說法是可信的。例4（抽獎問題）設(shè)某超市有獎銷售，投放n張獎券只有1張有獎。每位顧客可抽一張。求第k位顧客中獎的概率。解抽獎券是不放回抽樣。記A為所求事件的概率，到第k個顧客為止試驗的樣本點總數(shù)為：A所包含的樣本點數(shù)為：于是：第三節(jié)幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗的概率模型，下面我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗的概率模型－幾何概型。SA1、設(shè)樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為2、向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點，這里“隨機(jī)投擲一點”的含義是指該點落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。3、設(shè)事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為，則向區(qū)域S隨機(jī)投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為幾何概率(*)注若樣本空間S為一線段或空間立體，則向S“投點”的相應(yīng)概率仍可用(*)式確定，但應(yīng)理解為長度或體積。例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，設(shè)電臺每正點報時一次，他打開收音機(jī)時電臺還沒有報時，求他等待時間短于10分鐘的概率。解以分鐘為單位，記上一次報時時刻為0，下一次報時時刻為60，于是這個人打開收音機(jī)的時間必在(0,60)，記“等待時間少于10分鐘”為事件A，則有于是例2甲乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面，先到者等待對方20分鐘，過時就離開。如果每個人可在一小時內(nèi)的任意時刻到達(dá)，求甲乙雙方見面的概率。解記7點為計算時刻的0時，以分鐘為單位，x，y分別記為甲乙到達(dá)指定地點的時刻，則樣本空間為以A表示事件“兩人會面”，則有這是一個幾何概型問題，于是：第四節(jié)概率的公理化定義概率的公理化定義掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而承認(rèn)的前提，這些前提規(guī)定了所討論對象的一些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進(jìn)一步內(nèi)容。設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為，若對每一事件A，有且只有一個實數(shù)P(A)以之對應(yīng)，滿足如下公理：公理1（非負(fù)性）公理2（規(guī)范性）公理3（完全可加性）對任意一列兩兩互斥事件有則稱P(A)為事件A的概率。概率的性質(zhì)

有限可加性:設(shè)

兩兩互斥,有