2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程題型探究新人教A屆選擇性必修第一冊(cè)

3.3拋物線3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程題型探究題型一根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程1．求下列各條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2＝－12x；(2)3x2－4y＝0；(3)x＝32y2；(4)y2＝ax(a≠0).[分析]先將所給方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定其開口方向，求出p的值，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.[解析](1)由方程y2＝－12x知，拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，2p＝12，所以p＝6，eq\f(p,2)＝3，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，準(zhǔn)線方程為x＝3.(2)方程3x2－4y＝0可化為x2＝eq\f(4,3)y，拋物線開口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，2p＝eq\f(4,3)，所以p＝eq\f(2,3)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,3)，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,3).(3)方程x＝32y2可化為y2＝eq\f(1,32)x，拋物線開口向右，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，2p＝eq\f(1,32)，所以p＝eq\f(1,64)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,128)，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,128).(4)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向右，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，2p＝a，所以p＝eq\f(a,2)，eq\f(p,2)＝eq\f(a,4)，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a,4)；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，2p＝－a，所以p＝－eq\f(a,2)，eq\f(p,2)＝－eq\f(a,4)，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a,4).綜上可得，當(dāng)a≠0時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a,4).[規(guī)律方法]由拋物線方程求焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程的基本方法已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，一般先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由標(biāo)準(zhǔn)方程得到參數(shù)p，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，要注意p>0，焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸由標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)確定，系數(shù)為正，焦點(diǎn)在正半軸；系數(shù)為負(fù)，焦點(diǎn)在負(fù)半軸.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)拋物線x2＋2y＝0的準(zhǔn)線方程為(C)A.x＝eq\f(1,2) B．x＝－eq\f(1,2)C.y＝eq\f(1,2) D．y＝－eq\f(1,2)(2)拋物線y＝－x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)))[解析](1)方程化為x2＝－2y，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，p＝1，所以準(zhǔn)線方程是y＝eq\f(1,2).(2)方程化為x2＝－y，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，2p＝1，所以eq\f(p,2)＝eq\f(1,4)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4))).題型二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2．(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)滿足5eq\r(x－12＋y2)＝|3x－4y＋2|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(D)A.橢圓 B．雙曲線C.直線 D．拋物線(2)根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(2,3)；②經(jīng)過點(diǎn)(－3，－1).[解析](1)方程5eq\r(x－12＋y2)＝|3x－4y＋2|可化為eq\r(x－12＋y2)＝eq\f(|3x－4y＋2|,5)，eq\r(x－12＋y2)表示點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)(1,0)的距離，eq\f(|3x－4y＋2|,5)表示M(x，y)到定直線3x－4y＋2＝0的距離，因此動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)(1,0)的距離等于它到定直線3x－4y＋2＝0的距離，且定點(diǎn)(1,0)不在定直線3x－4y＋2＝0上，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)為焦點(diǎn)，以3x－4y＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線.(2)①因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，則p＝eq\f(4,3)，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(8,3)y.②∵點(diǎn)(－3，－1)在第三象限，∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，則由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq\f(1,6)；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，則由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq\f(9,2).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(1,3)x或x2＝－9y.[規(guī)律方法]1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1)直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)p.(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù)p.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論或設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝my.2．定義法解決軌跡問題根據(jù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程判斷其軌跡時(shí)，要注意結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，對(duì)所給方程進(jìn)行適當(dāng)變形，分析其幾何意義，然后結(jié)合有關(guān)曲線的定義作出判定.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)一個(gè)動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，并且和直線l：x＝－2相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是_y2＝8x__.(2)求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：①過點(diǎn)(－1,2)；②焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上.[解析](1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為R.因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，所以|MA|＝R.又因?yàn)閯?dòng)圓和直線l：x＝－2相切，所以圓心M到直線l：x＝－2的距離d＝R，即圓心M到定點(diǎn)A的距離與到定直線l的距離相等，故其軌跡是拋物線，且A是焦點(diǎn)，l是準(zhǔn)線，并且有eq\f(p,2)＝2，所以p＝4，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2＝8x.(2)①設(shè)所求的拋物線方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵過點(diǎn)(－1,2)，∴4＝－2p1·(－1)或(－1)2＝2p2·2.∴p1＝2或p2＝eq\f(1,4).故所求的拋物線方程為y2＝－4x或x2＝eq\f(1,2)y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為x＝1，y＝－eq\f(1,8).②令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0，－2).當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此時(shí)拋物線方程y2＝16x；當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－2)時(shí)，eq\f(p,2)＝|－2|，∴p＝4，此時(shí)拋物線方程為x2＝－8y.故所求的拋物線方程為y2＝16x或x2＝－8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x＝－4，y＝2.題型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題3．河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？[解析]如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，－5)在拋物線上，故p＝eq\f(8,5)，得x2＝－eq\f(16,5)y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航.[規(guī)律方法]求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑(如圖1所示)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形.圖2是“東方之門”的示意圖，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，點(diǎn)D到直線AB的距離為150m，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求“門”的內(nèi)側(cè)曲線所在的拋物線方程，并求拋物線頂端O到AB的距離.[解析]以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，由題意設(shè)D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(152＝－2ph,302＝－2ph－150))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝－50,p＝2.25))，所以拋物線的方程為x2＝－4.5y，拋物線頂端O到AB的距離為50＋150＝200(m).易錯(cuò)警示4．設(shè)拋物線y2＝mx(m≠0)的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程.[錯(cuò)解]準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(m,4)，因?yàn)闇?zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，所以準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以－eq\f(m,4)＝－2，所以m＝8，故拋物線方程為y2＝8x.[辨析]題目條件中未給出m的符號(hào)，當(dāng)m>0或m<0時(shí)，拋物線的準(zhǔn)