2024年高考新課標2卷文科數(shù)學試題(解析版)2

年高考數(shù)學新課標Ⅱ文1.(2024年新課標Ⅱ文)設集合A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},那么A∪B＝()A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4}A【解析】A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}.應選A.2.(2024年新課標Ⅱ文)(1＋i)(2＋i)＝()A.1－iB.1＋3i C.3＋i D.3－3iB【解析】(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝2＋3i－1＝1＋3i.應選B. 3.(2024年新課標Ⅱ文)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期為()A.4π B.2π C.π D.eq\f(π,2)C【解析】最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.應選C.4.(2024年新課標Ⅱ文)設非零向量a,b滿足|a＋b|＝|a－b|,那么()A.a⊥b B.|a|＝|b| C.a∥b D.|a|＞|b|A【解析】由|a＋b|＝|a－b|,兩邊平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2,即a·b＝0,那么a⊥b.應選A.5.(2024年新課標Ⅱ文)假設a＞1,那么雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A.(eq\r(2),＋∞)B.(eq\r(2),2) C.(1,eq\r(2)) D.(1,2)C【解析】e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).∵a＞1,∴1＜1＋eq\f(1,a2)＜2,那么1＜e＜eq\r(2).應選C.6.(2024年新課標Ⅱ文)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部后所得,那么該幾何體的體積為()A.90πB.63πC.42πD.36πB【解析】由題意,該幾何體是一個組合體,下半局部是一個底面半徑為3,高為4的圓柱,其體積V1＝π×32×4＝36π,上半局部是一個底面半徑為3,高為6的圓柱的一半,其體積V2＝eq\f(1,2)×(π×32×6)＝27π,∴該組合體的體積V＝V1＋V2＝63π.應選B.7.(2024年新課標Ⅱ文)設xy滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))那么z＝2x＋y的最小值是()A.－15 B.－9 C.1 D.9A【解析】不等式組表示的可行域如以以下圖易求得A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3).y＝－2x＋zB處取得最小值,最小值為2×(－6)＋(－3)＝－15.8.(2024年新課標Ⅱ文)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間是()A.(－∞,－2)B.(－∞,1) C.(1,＋∞) D.(4,＋∞)D【解析】依題意有x2－2x－8＞0,解得x＜－2或x＞4,易知f(x)在(－∞,－2)單調遞減,在(4,＋∞)單調遞增,所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(4,＋∞).9.(2024年新課標Ⅱ文)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀2位良好我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績給乙看丙的成績給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績:根據(jù)以上信息那么()A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績D【解析】由甲的說法可知乙、丙1人優(yōu)秀1人良好,那么甲、丁兩人1人優(yōu)秀1人良好,乙看到丙的成績那么知道自己的成績,丁看到甲的成績知道自己的成績,即乙、丁可以知道自己的成績.應選D.10.(2024年新課標Ⅱ文)執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的a＝－1,那么輸出的S＝()A.2 B.3 C.4 D.5B【解析】第一次循環(huán):S＝0－1＝－1,a＝1,K＝2；第二次循環(huán):S＝－1＋2＝1,a＝－1,K＝3；第三次循環(huán):S＝1－3＝－2,a＝1,K＝4；第四次循環(huán):S＝－2＋4＝2,a＝－1,K＝5；第五次循環(huán):S＝2－5＝－3,a＝1,K＝6；第六次循環(huán):S＝－3＋6＝3,a＝－1,K＝7.結束循環(huán),輸出S＝3.應選B.11.(2024年新課標Ⅱ文)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,那么抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5) C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)D【解析】如下表所示,表中的點的橫坐標表示第一次取到的數(shù),縱坐標表示第二次取到的數(shù):123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)共有25種情況,滿足條件的有10種,所以所求概率為eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).12.(2024年新課標Ⅱ文)過拋物線C:y2＝4x的焦點F,且斜率為eq\r(3)的直線交C于點M(M在x軸上方),l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,那么M到直線NF的距離為()A.eq\r(5)B.2eq\r(2)C.2eq\r(3)D.3eq\r(3)C【解析】由題知F(1,0),那么MF所在直線的方程為y＝eq\r(3)(x－1),與拋物線聯(lián)立,化簡,得3x2－10x＋3＝0,解得x1＝eq\f(1,3),x2＝3,∴M(3,2eq\r(3)).由MN⊥l可得N(－1,2eq\r(3)),又F(1,0),那么NF所在直線的方程為eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0,∴M到直線NF的距離d＝eq\f(|3eq\r(3)－eq\r(3)＋2eq\r(3)|,eq\r((eq\r(3))2＋(－1)2))＝2eq\r(3).應選C.13.(2024年新課標Ⅱ文)函數(shù)f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為.eq\r(5)【解析】f(x)＝2cosx＋sinx≤eq\r(22＋12)＝eq\r(5),∴f(x)的最大值為eq\r(5).14.(2024年新課標Ⅱ文)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x∈(－∞,0)時,f(x)＝2x3＋x2,那么f(2)＝.12【解析】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12..15.(2024年新課標Ⅱ文)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,那么球O的外表積為.14π【解析】設球的半徑為R,依題意知球的直徑為長方形的體對角線,∴2R＝eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14),球O的外表積S＝4πR2＝π(2R)2＝14π.16.(2024年新課標Ⅱ文)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設2bcosB＝acosC＋ccosA,那么B＝.eq\f(π,3)【解析】由正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB,∴cosB＝eq\f(1,2),那么B＝eq\f(π,3).17.(2024年新課標Ⅱ文)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1＝－1,b1＝1,a2＋b2＝2.(1)假設a3＋b3＝5,求{bn}的通項公式；(2)假設T3＝21,求S3.【解析】(1)設數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q,那么a2＋b2＝－1＋(2－1)d＋q2－1＝2,∴d＋q＝3.①a3＋b3＝－1＋(3－1)d＋q3－1＝5,∴2d＋q2＝6.②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝0))(舍去).∴{bn}的通項公式為bn＝2n－1.(2)由b1＝1,T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.當q＝－5時,由①得d＝8,S3＝3a1＋eq\f(2×3,2)d＝21.當q＝4時,由①得d＝－1,S3＝3a1＋eq\f(2×3,2)d＝－6.18.(2024年新課標Ⅱ文)如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB＝BC＝eq\f(1,2)AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明:直線BC∥平面PAD；(2)假設△PCD的面積為2eq\r(7),求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】(1)在平面ABCD內,∵∠BAD＝∠ABC＝90°,∴BC∥AD.∵AD?平面PAD,BC?平面PAD,∴BC∥平面PAD.(2)取AD的中點M,連接PM,CM.∵AB＝BC＝eq\f(1,2)AD,BC∥AD,∠ABC＝90°,∴四邊形ABCM為正方形,∴CM⊥AD.∵側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,∴PM⊥AD,又AD?底面ABCD,∴PM⊥底面ABCD.∵CM?底面ABCD,∴PM⊥CM.設BC＝x,那么CM＝x,CD＝eq\r(2)x,PM＝eq\r(3)x,PC＝PD＝2x.取CD的中點N,連接PN.那么PN⊥CD,∴PN＝eq\f(eq\r(14),2)x.S△PCD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(eq\r(14),2)x＝2eq\r(7),解得x＝±2(負值舍去),∴AB＝BC＝2,AD＝4,PM＝2eq\r(3).∴四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(2×(2＋4),2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).19.(2024年新課標Ⅱ文)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量比照,收獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:兩個圖中的頻率/組距改為eq\f(頻率,組距),兩個左以以下圖的數(shù)字0改為字母O(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg〞,估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關；箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.附:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))【解析】(1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62,∴A的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖的列聯(lián)表:箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2的觀測值K2＝eq\f(200×(62×66－34×38)2,100×100×96×104)≈15.705.∵15.705＞6.635,∴有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.(3)箱產量的頻率分布直方圖說明:新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數(shù))在50kg~55kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數(shù))在45kg~50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度比舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高,∴可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定,新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.20.(2024年新課標Ⅱ文)設O為坐標原點,動點M在橢圓C:eq\f(x2,2)＋y2＝1上，過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足eq\o(\s\up8(→),NP)＝eq\r(2)eq\o(\s\up8(→),NM).(1)求點P的軌跡方程；(2)設點Q在直線x＝－3上,且eq\o(\s\up8(→),OP)·eq\o(\s\up8(→),PQ)＝1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.【解析】(1)設P(x,y),M(x0,y0),那么N(x0,0),eq\o(\s\up8(→),NP)＝(x－x0,y),eq\o(\s\up8(→),NM)＝(0,y0).由eq\o(\s\up8(→),NP)＝eq\r(2)eq\o(\s\up8(→),NM)得x0＝x,y0＝eq\f(eq\r(2),2)y.∵M(x0,y0)在C上,∴eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1,∴點P的軌跡方程為x2＋y2＝2.(2)由題意知F(－1,0).設Q(－3,t),P(m,n),那么eq\o(\s\up8(→),OQ)＝Q(－3,t),eq\o(\s\up8(→),PF)＝(－1－m,－n),eq\o(\s\up8(→),OQ)·eq\o(\s\up8(→),PF)＝3＋3m－tn,eq\o(\s\up8(→),OP)＝(m,n),eq\o(\s\up8(→),PQ)＝(－3－m,－tn).由eq\o(\s\up8(→),OP)·eq\o(\s\up8(→),PQ)＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,由(1)知m2＋n2＝2,∴3＋3m－tn＝0.∴eq\o(\s\up8(→),OQ)·eq\o(\s\up8(→),PF)＝0,即eq\o(\s\up8(→),OQ)⊥eq\o(\s\up8(→),PF).又過點P存在唯一直線垂直于OQ,∴過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.(2024年新課標Ⅱ文)設函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex.(1)討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時,f(x)≤ax＋1,求a的取值范圍.【解析】(1)∵f(x)＝(1－x2)ex,∴f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－eq\r(2)或x＝－1＋eq\r(2).當x∈(－∞,－1－eq\r(2))時,f′(x)＜0；當x∈(－1－eq\r(2),－1＋eq\r(2))時,f′(x)＞0；當x∈(－1＋eq\r(2),＋∞)時,f′(x)＜0.∴f(x)在(－∞,－1－eq\r(2))和(－1＋eq\r(2),＋∞)單調遞減,在(－1－eq\r(2),－1＋eq\r(2))單調遞增.(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.當a≥1時,設函數(shù)h(x)＝(1－x)ex,那么h′(x)＝－xex＜0(x＞0),∴h(x)在[0,＋∞)單調遞減.又h(0)＝1,∴h(x)≤1,∴f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.當0＜a＜1時,設函數(shù)g(x)＝ex－x－1,那么g′(x)＝ex－1＞0(x＞0).∴g(x)在[0,＋∞)單調遞增.又g(0)＝0,∴ex≥x＋1.當0＜x＜1時,f(x)＞(1－x)(1＋x)2,(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2),取x0＝eq\f(eq\r(5－4a)－1,2),那么x0∈(0,1).(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0,∴f(x0)＞ax0＋1.當a≤0時,取x0＝eq\f(eq\r(5)－1,2),那么x0∈(0,1).f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1＞ax0＋1.綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).22.(2024年新課標Ⅱ文)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|＝16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程