2023-2024學(xué)年陜西省西安交大附中高一（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年陜西省西安交大附中高一（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z?11?i=i，則z?的虛部為A.?i B.i C.?1 D.12.如圖，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被墨汁覆蓋，已知O′為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A′、B′均在坐標(biāo)軸上，且△AOB的面積為9，則O′B′的長度為(

)A.34 B.322 C.3.有下列命題：

①有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；

②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；

③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；

④用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)．

⑤有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.34.平面向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，|a+b|=4A.1512a B.14a 5.將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成角為(

)A.π6 B.π4 C.π36.已知四面體P?ABC中，PA=4，AC=27，PB=BC=23，PA⊥平面PBC，則四面體P?ABCA.22 B.23 C.7.已知向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=3，a?b=?3A.27 B.7 C.28.現(xiàn)有10個(gè)直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長為a的正四面體盒子中，則a的最小值為(

)A.4+46 B.5+46 C.二、多選題：本題共4小題，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.三個(gè)平面最多可以把空間分成8部分

B.若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”的充要條件是“α與β相交”

C.若α∩β=l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b=P，則P∈l

D.若n條直線中任意兩條共面，則它們共面10.點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，下列說法正確的有(

)A.若OA+OB+OC=0則O為△ABC的重心

B.若(OA+OB)?AB=(OB+OC)?BC=0，則點(diǎn)O為△ABC的垂心

C.在△ABC中，向量AB與AC滿足(AB|AB|+11.9在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則(

)A.若A=30°，b=4，a=3，則△ABC恰有1解

B.若tanAtanB=1，則△ABC為直角三角形

C.若sin2A+sin2B+cos2C<1，則12.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD，A.直線A1G，C1E為異面直線

B.直線A1G與平面DD1C1C所成角的正切值為255

C.過點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分。13.設(shè)向量a=(?2,0)，b=(m,1)，若(a+b)⊥14.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面邊長與側(cè)棱長都等于2，O，O1分別為AC

15.如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，M是BC的中點(diǎn)，AN=23AC，設(shè)AM與BN相交于點(diǎn)P，則cos∠MPN=

16.我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽(圖a)創(chuàng)造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形，在正方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱(圖b)，其相交的部外就是牟合方蓋(圖c).我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖暅基于“勢(shì)冪既同則積不容異”這一觀點(diǎn)和對(duì)牟合方蓋性質(zhì)的研究，推導(dǎo)出了球體體積公式.已知在一個(gè)棱長為2r的正方體內(nèi)有一個(gè)牟合方蓋(圖1)，設(shè)平行于水平面且與水平面距離為?(0<?<r)的平面為α，則平面α截牟合方蓋所得截面的形狀為______(填“正方形”或“圓形”)，設(shè)這個(gè)牟合方蓋的體積為V1(圖2)，并設(shè)半徑為r的球的體積為V2，則V2V四、解答題：本題共6小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1和2，高是1.求：

(1)圓臺(tái)的表面積；

(2)圓臺(tái)的體積．18.(本小題8分)

已知復(fù)數(shù)z1=m?3?3m?3i，z2=?m2?m+32i，其中m≠3，m∈R．

(1)若19.(本小題10分)

在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD=π3，F(xiàn)是線段AD的中點(diǎn)，DE=λDC，λ∈[?1,1]．

(1)若λ=12，AE與BF交于點(diǎn)N，AN=xAB+y20.(本小題10分)

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2sin(B+π6)=b+ca．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC是銳角三角形，21.(本小題10分)

如圖，在圓錐PO中，邊長為23的正△ABC內(nèi)接于圓O，AD為圓O的直徑，E為線段PD的中點(diǎn)．

(1)求證：直線PO/?/平面BCE；

(2)若AE⊥PD，求直線AP與平面ABE所成角的正弦值．

22.(本小題10分)

如圖，在四棱錐Q?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面QAD是正三角形，側(cè)面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中點(diǎn)．

(1)求證：AM⊥平面QCD；

(2)求側(cè)面QBC與底面ABCD所成二面角的余弦值；

(3)在棱QC上是否存在點(diǎn)N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出QNNC，如果不存在，說明理由．

參考答案1.C

2.C

3.B

4.C

5.C

6.A

7.A

8.D

9.AC

10.ACD

11.BD

12.BCD

13.214.215.1916.正方形

π417.解：(1)如圖，圓臺(tái)OO′是大圓錐PO上面截掉小圓錐PO′得到的幾何體，

則O′，O分別為圓臺(tái)上、下底面的圓心，連接PO，則O′D=1，OC=2，O′O=1．

易得△PO′D∽△POC，則PO′PO=PO?O′OPO=O′DOC=12，得PO=2，

即PO′=1，PD=2，PC=2218.解：(1)∵復(fù)數(shù)z1=m?3?3m?3i，z2=?m2?m+32i，其中m≠3，m∈R，

∴z1?z2=m2+2m?3?(3m?3+32)i，

∵z1?z2是純虛數(shù)，

∴m2+2m?3=03m?3+32≠0，解得m=?319.解：(1)當(dāng)λ=12時(shí)，E為CD的中點(diǎn)，可得AE=AD+12DC=12AB+AD，

若AN=xAB+yAD，則BN=AN?AB=(x?1)AB+yAD，

因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF=AF?AB=?AB+12AD，結(jié)合BN//BF，得x?1?1=y12…①，

由AN//AE20.解：(1)因?yàn)?sin(B+π6)=b+ca，

由正弦定理得：2sinAsin(B+π6)=sinB+sinC，

所以sinA(3sinB+cosB)=sinB+sinC，

因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinA(3sinB+cosB)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

即3sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

即3sinAsinB=sinB+cosAsinB，整理得sinB(3sinA?cosA?1)=0，

因?yàn)锽∈(0,π)，

所以sinB≠0，

所以3sinA?cosA?1=0，即3sinA?cosA=2sin(A?π6)=1，

所以sin(A?π6)=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，

所以A?π6=π6，可得A=π3；

(2)因?yàn)锳=π3，c=421.(1)證明：設(shè)AD交BC于點(diǎn)F，

∵O為△ABC外心，

∴OF=12OA．

又OA=OD=r=232?sin60°=2，∴F為OD中點(diǎn)．

∴△POD中E，F(xiàn)分別為PD，OD中點(diǎn)，

∴EF//PO，

，EF?平面ECB，

∴直線PO/?/平面BCE．

(2)解：∵AE⊥PD，E為PD中點(diǎn)，又PA=PD，∴△APD為等邊三角形．

過O作OQ⊥AD且OQ?平面ABC，Q位于線段AB上，

以O(shè)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，OQ，OD，OP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

則：A(0,?2,0)，P(0,0,23)，AP=(0,2,23)，

B(3,1,0)，E(0,1,3)，

AB=(3,3,0)，BE=(?3,0,3).

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，

n?AB=0n?22.(1)證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，

又側(cè)面QAD⊥底面ABCD，側(cè)面QAD∩底面ABCD=AD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥平面QAD，又AM?平面QAD，

所以CD⊥AM，

因?yàn)椤鱍AD是正三角形，M是QD的中點(diǎn)，則AM⊥QD，

又CD∩QD=D，CD，PD?平面QCD，

所以AM⊥平面QCD；

(2)解：取AD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，QE，QF，

則EF=CD，EF//CD，所以EF⊥AD，

在正△QAD中，QE⊥AD，

因?yàn)镋F∩QE=E，EF，QE?平面QEF，

則AD⊥平面QEF，

在正方形ABCD中，AD//BC，

故BC⊥平面QEF，

所以∠QFE是側(cè)面QBC與底面ABCD所成二面角的平面角，

由CD⊥平面QAD，EF//CD，

則EF⊥平面QEF，又PE?平面QAD，

所以EF⊥QE，

設(shè)